2023-2024學(xué)年寧夏靈武市高二上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年寧夏靈武市高二上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前填寫好自己的姓名?班級(jí)?考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）一?單選題1．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角，則直線的方程為（

）A． B． C． D．2．已知，，且，則（

）A． B．2 C．4 D．63．如圖，空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．4．下列利用方向向量?法向量判斷線?面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，則B．直線的方向向量為，平面的法向量為，則C．兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則5．如圖所示，在正方體中，E是棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱C1D1上，且，若∥平面，則（

）A． B． C． D．6．在正方體中，M是線段（不含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．平面平面C．平面 D．平面7．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，當(dāng)BF⊥PE時(shí)，等于（

）A． B．1 C．2 D．38．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為，、分別是棱、的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若面，則線段長(zhǎng)度的最小值是（

）A． B．3 C． D．二?多選題9．已知直線，則該直線（

）A．過(guò)點(diǎn) B．斜率為C．傾斜角為 D．在x軸上的截距為10．空間直角坐標(biāo)系中，已知，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．若，則C．點(diǎn)A關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．11．下列命題是真命題的有（

）A．A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥αD．平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)是平面α的法向量，則12．如圖，在正方體中，、、分別為、、的中點(diǎn)，則（

）

A．平面B．平面C．D．直線與直線所成角的余弦值為三?填空題13．若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值是.14．已知空間向量的夾角為，，則15．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，則λ的值為.16．如圖，四個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體排成一個(gè)正四棱柱，AB是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則集合中的元素個(gè)數(shù)為．四?解答題17．已知三角形的頂點(diǎn)為.(1)求邊上的中線所在直線方程.(2)求邊上的高線所在直線方程.18．已知平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，．(1)求；(2)求．19．如圖在邊長(zhǎng)是的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)．應(yīng)用空間向量方法求解下列問(wèn)題．(1)證明：平面；(2)證明：平面．20．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面平面，P為的中點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)設(shè)M為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．21．四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，底面ABCD，PB與底面ABCD所成的角為60°，E是PB的中點(diǎn)．

(1)求異面直線DE與PA所成角的余弦值；(2)證明：平面PAD，并求點(diǎn)E到平面PAD的距離．22．如圖，已知平面四邊形ABCP中，D為PA的中點(diǎn)，PAAB，CDAB，且PA＝CD＝2AB＝4．將此平面四邊形ABCP沿CD折成直二面角，連接PA、PB，設(shè)PB中點(diǎn)為E．(1)證明：平面PBD平面PBC；(2)在線段BD上是否存在一點(diǎn)F，使得EF平面PBC？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．C【分析】利用直線的點(diǎn)斜式方程求解.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角，所以直線的斜率為1，又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即，故選：C2．A【分析】根據(jù)空間向量共線定理列式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)使得，即，所以,所以，得，所以.故選：A3．B【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，所以，所以.故選：B.4．C【分析】對(duì)于A，由不重合兩直線方向向量平行可判斷；對(duì)于B，要考慮直線可能在面內(nèi)；對(duì)于C，由兩法向量垂直可得兩平面垂直；對(duì)于D，直線方向向量與法向量平行，則直線與面垂直.【詳解】對(duì)于A，兩條不重合直線的方向向量分別是，則，所以不平行，即不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線l的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則，所以，故C正確；對(duì)于D，直線l的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即，故D錯(cuò)誤．故選：C．5．C【分析】先求平面的法向量，根據(jù)線面平行可得，運(yùn)算求解即可.【詳解】如圖所示，以A為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，可得，設(shè)是平面的法向量，則，令，則，即，由，且，可得，又因?yàn)?，則，由∥平面，可得，解得.故選：C.6．B【分析】由面面垂直的判定定理判斷B，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法證明面面、線面的位置關(guān)系判斷ACD．【詳解】因?yàn)?，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正確；以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，.設(shè)，則，.設(shè)平面的法向量為，則有可取，得.又，則，故A不正確；因?yàn)?，所以，故D不正確；因?yàn)?，所以，故C不正確．故選：B．

7．B【分析】建系，根據(jù)題意結(jié)合空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，PA＝a，則，設(shè)，則，因?yàn)锽F⊥PE，則，解得，即，可知F是AD的中點(diǎn)，故.故選：B.8．C【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中、，利用空間向量法可得出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合空間向量的模長(zhǎng)公式可求得線段長(zhǎng)度的最小值.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，，設(shè)點(diǎn)，其中、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，因?yàn)槠矫?，則，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度取最小值.故選：C.9．AB【分析】驗(yàn)證法判斷選項(xiàng)A；求得直線的斜率判斷選項(xiàng)B；求得直線的傾斜角判斷選項(xiàng)C；求得直線在x軸上的截距判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，∴，∴直線過(guò)點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，由題意得，，∴該直線的斜率為，故B正確；對(duì)于C，∵直線的斜率為，∴直線的傾斜角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，∴該直線在x軸上的截距為2，故D錯(cuò)誤．故選：AB．10．AB【分析】利用向量的坐標(biāo)公式，模的計(jì)算公式，對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，及數(shù)量積公式依次計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】，,，A正確,D錯(cuò)誤.若，則,則,B正確，點(diǎn)A關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤，故選：AB.11．ABD【分析】由基底的概念以及空間位置關(guān)系的向量證明依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則共面，可得A，B，M，N共面，A正確；對(duì)于B，，故，可得l與m垂直，B正確；對(duì)于C，，故，可得l在α內(nèi)或，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，易知，故，故，D正確.故選：ABD.12．BD【分析】以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

則、、、、、，所以，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得．對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榕c不平行，所以與平面不垂直，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，且平面，所以平面，B對(duì)；對(duì)于CD選項(xiàng)，，所以，異面直線與直線所成角的余弦值為，C錯(cuò)D對(duì).故選：BD.13．.【分析】由已知結(jié)合直線平行的條件即可直接求解.【詳解】解：∵直線與直線平行，故，所以.故答案為.本題主要考查了直線平行的條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14．【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算作答.【詳解】由空間向量的夾角為，，得，所以.故15．【分析】由已知，根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示出各點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過(guò)異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，即可列式計(jì)算.【詳解】以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.正方體的棱長(zhǎng)為2，則A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).所以,,所以，所以，解得或（舍去）.故答案為.16．1【分析】根據(jù)空間平面向量的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合空間向量垂直的性質(zhì)、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由圖像可知，，則．因?yàn)槔忾L(zhǎng)為1，，所以，所以，故集合中的元素個(gè)數(shù)為1．故117．(1)；(2)【分析】（1）求得BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)，求得中線方程；（2）求得BC的斜率，從而求得其上的高的斜率，且過(guò)，求得高的方程【詳解】（1）BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故中線的斜率，則邊BC上的中線所在直線的方程為即；（2）邊BC的斜率為，則其上的高的斜率為，且過(guò)，則邊BC上的高所在直線的方程為即18．(1)3(2)【分析】根據(jù)空間向量基本定理將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基向量進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)，，，由題意得：，，，，，，；（2）19．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由題意，求得直線的方向向量，以及平面的法向量，由空間向量數(shù)量積，可得答案；（2）由題意，求得平面的法向量，由（1）的直線的方向向量，根據(jù)空間向量的共線定理，可得答案.【詳解】（1）由題意，可知，，，，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則，易知平面的一個(gè)法向量，，，平面，平面.（2）由題意，可知，，，在平面內(nèi)，取，，設(shè)其法向量，則，即，令，則，故平面的一個(gè)法向量，，平面，即平面，20．(1)證明見解析；(2)；(3)．【分析】（1）證明平面，原題即得證；（2）以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求直線與平面所成角的正弦值；（3）證明平面，再利用向量法求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：在中，∵，P為的中點(diǎn)，∴，∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，又平面，∴.（2）解：在直角梯形中，∵，，P為中點(diǎn)，∴，且，則四邊形為平行四邊形，∵，∴，

由（1）可知，平面，故以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，∴，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，取，得；設(shè)直線與平面所成角為，則．∴直線與平面所成角的正弦值為；（3）解：∵，，，平面，∴平面，即為平面的一個(gè)法向量，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，而，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，．

∴．∴二面角的余弦值為．

21．(1)(2)證明見解析，【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)中位線定理證明線線平行，進(jìn)而得線面平行，利用空間向量點(diǎn)到面距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題意，兩兩互相垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

菱形中，，所以,在中，因?yàn)榈酌鍭BCD，所以PB與底面ABCD所成的角為，所以，則點(diǎn)A、B、D、P的坐標(biāo)分別是，E是PB的中點(diǎn)，則，于是，.設(shè)的夾角為θ，則有.∴異面直線DE與PA所成角的余弦值為；（2）連接，分別是的中點(diǎn)，，平面PAD，平面PAD，平面PAD.因?yàn)椋?設(shè)平面PAD的法向量，則，令，則，所以，又，則點(diǎn)E到平面PAD的距離.22．(1)證明見解析；(2)這樣的點(diǎn)F存在，為線段BD上靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)可得PD平面ABCD，可得PDBC，通過(guò)題意得數(shù)據(jù)可得到BDBC，再利用線面垂直的判定定理可得到BC平面PBD，再用面面垂直的判定定理即可得證；（2）假設(shè)F存在，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)F在線段BD上求得，再求平面PBC的法向量，利用EF平面PBC可得即可求得答案【詳解】（1）易得，所以直二面角的平面角為∠PDA＝90°，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以PD平面ABCD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以PDBC，又在平面四邊形ABCP中，由已知數(shù)據(jù)可得，，且，所以BDBC，而PDBD＝D，PD