2023-2024學(xué)年四川省巴中市高三上冊“零診”考試數(shù)學(xué)試題（理科）（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省巴中市高三上冊“零診”考試數(shù)學(xué)試題（理科）注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置．2．答選擇題時請使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題答題時必須用0.5毫米黑色墨跡簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置，在規(guī)定的答題區(qū)域以外答題無效，在試題卷上答題無效．3．考試結(jié)束后，考生將答題卡交回．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是，則（

）A． B．C． D．2．已知集合，則（

）A． B．C． D．3．已知等差數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的公差為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．已知向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件5．雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個三角形區(qū)域，表示該區(qū)域的不等式組是（

）A． B．C． D．6．某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的表面積為（

）

A． B． C． D．7．第31屆世界大學(xué)生夏季運動會以“綠色、智慧、活力、共享”為理念，向全世界送出來自中國的美好祝愿．某高校田徑組擬從甲、乙兩名女同學(xué)中選一人參加本屆大運會，已知甲、乙兩名同學(xué)近五次800米訓(xùn)練成績（單位：秒）如下面的莖葉圖所示．根據(jù)兩人訓(xùn)練成績的平均值及方差，現(xiàn)有下列4種推薦意見．

①甲成績的平均值低于乙成績的平均值，推薦甲參加大運會．②甲成績的平均值高于乙成績的平均值，推薦乙參加大運會．③甲成績的方差大于乙成績的方差，推薦乙參加大運會．④甲成績的方差小于乙成績的方差，推薦甲參加大運會．其中合理推薦意見的編號是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④8．已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則（

）

A． B． C．1 D．9．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過斜率為的直線與的右支交于點，若線段恰被軸平分，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．310．已知正數(shù)滿足（為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列關(guān)系式中不正確的是（

）A． B．C． D．11．已知且，則的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．712．已知，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知的展開式中，的系數(shù)為6，則．14．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則．15．已知數(shù)列的前項和為，，則．16．在三棱錐中，，分別為棱的中點．現(xiàn)有以下4個結(jié)論：①三棱錐的外接球表面積為；②；③平面；④當時，平面平面．則其中正確結(jié)論的序號為．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17—21題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．中央電視臺“國家品牌計劃”欄目組為了做好新能源汽車的品牌推介，利用網(wǎng)絡(luò)平臺對年齡（單位：歲）在內(nèi)的人群進行了調(diào)查，并從參與調(diào)查者中隨機選出600人，把這600人分為對新能源汽車比較關(guān)注和不太關(guān)注兩類，制成如下表格：年齡男性人數(shù)4012016080比較關(guān)注人數(shù)87211248女性人數(shù)107010020比較關(guān)注人數(shù)5498016(1)完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為性別與對新能源汽車的關(guān)注有關(guān)；比較關(guān)注不太關(guān)注總計男性女性總計(2)為了進一步了解不同性別的消費者對新能源汽車的關(guān)注情況，采用分層抽樣的方法從這600人中選出6人進行訪談，最后從這6人中隨機選出3人參與電視直播節(jié)目，記其中男性的人數(shù)為，求的分布列與期望．附：，其中．0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87918．在中，角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求的面積．19．如圖，在四棱錐中，底面，分別為的中點．(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值．20．已知橢圓的左、右頂點分別為，點在橢圓上，且.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的右焦點為，過點斜率不為0的直線交橢圓于兩點，記直線與直線的斜率分別為，當時，求的面積.21．已知.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】（10分）22．在直角坐標系中，圓的圓心為點，且半徑長為2，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．(1)求圓的極坐標方程；(2)已知直線與圓相交于兩點，且，求．【選修4-5：不等式選講】23．已知.(1)當時，求不等式的解集；(2)若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.1．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的運算，即可得答案.【詳解】由題意知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是，故，所以，故選：A2．C【分析】解不等式化簡集合A，B，再利用交集的定義求解作答.【詳解】解不等式，得，即，而集合，所以.故選：C3．D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，結(jié)合已知條件，列式計算，即可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，故由可得，即，故選：D4．A【分析】利用向量數(shù)量積的坐標表示，求出對應(yīng)的x的值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】當時，，則，所以，故有，當時，因為，所以，即，解得或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A5．B【分析】求出漸近線方程，再同一坐標系內(nèi)畫出三條直線，得到表示三角形區(qū)域的不等式組.【詳解】的漸近線方程為和，畫出，和，如下：

故表示三角形區(qū)域的不等式組為.故選：B6．A【分析】根據(jù)給定的三視圖還原幾何體，再按圓錐及圓柱表面積公式計算求解.【詳解】由給定的三視圖知，這個幾何體是底面直徑為2，高為2的圓柱，上接一個底面直徑為2，高為的圓錐構(gòu)成的組合體，如圖，

則有圓錐的母線為，圓錐的側(cè)面積，圓柱的側(cè)面積，圓柱下底面圓面積，這個幾何體的表面是圓錐的側(cè)面、圓柱的側(cè)面、圓柱的下底面組成，所以這個幾何體的表面積為.故選：A7．C【分析】由莖葉圖分別求出甲乙成績的平均值和方差，比較后得到結(jié)論，求出答案.【詳解】對于①②，甲的成績平均值為，乙的成績平均值為，甲的成績的平均值大于乙的成績的平均值，推薦乙參加大運會，①錯誤，②正確；對于③④，甲的成績的方差為，乙的成績的方差為，因為，所以甲成績的方差大于乙成績的方差，推薦乙參加大運會，③正確，④錯誤.故選：C8．B【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，由三角函數(shù)的性質(zhì)求得，，在結(jié)合題意和，求得，即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，又由，可得，所以，所以，因為，即，解得，即，又因為，可得，所以函數(shù)的表達式為，所以.故選：B9．C【分析】設(shè)交y軸與A，可推出，從而，結(jié)合的斜率，設(shè)可推出之間的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】如圖，設(shè)交y軸與A，A為的中點，

因為O為的中點，故為的中位線，則，而，則,因為直線的斜率為，故中，，故設(shè)，則，結(jié)合雙曲線定義以及P在雙曲線右支上，即有，則，故選：C10．C【分析】構(gòu)造，由函數(shù)單調(diào)性得到，通過變換可得到ABD正確，C錯誤.【詳解】由題意得，令，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，B正確，，A正確，，D正確，C選項，，，又在上單調(diào)遞增，，故，所以，故，設(shè)，，則，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故，即，當且僅當時，等號成立，故，則，所以，又，故，C錯誤.故選：C常見的不等式放縮有，，，，，等，常用來比較大小.11．B【分析】令，結(jié)合可得，由此即得，展開后利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意得，，令，則，由得，故，當且僅當，結(jié)合，即時取等號，也即，即時，等號成立，故的最小值為9，故選：B12．D【分析】記，從而化為，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)解不等式即可.【詳解】因為，所以，記，，因為在上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，時，，時，，此時單調(diào)遞減；時，，此時單調(diào)遞增；又因為且定義域為R，所以函數(shù)為偶函數(shù)，則不等式等價于等價于，所以，所以，化簡得，解得或，即不等式的解集為.故選：D關(guān)鍵點睛：涉及解不等式問題，往往將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)性質(zhì)解不等式是解決問題的關(guān)鍵.13．1【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式可確定的展開式中的系數(shù)，可得方程，即可求得答案.【詳解】由題意得，而的通項公式為，故的展開式中，的系數(shù)為，解得，故114．【分析】由題意求出B點坐標，繼而求出直線BC的方程，聯(lián)立拋物線方程，求得點C坐標，即可求得答案.【詳解】如圖，由題意可知軸，，將代入中得，即,

又，則，故的方程為，聯(lián)立，可得，解得，或（此時C與B關(guān)于x軸對稱，不合題意），則，故，故答案為.15．【詳解】分析：由，當時，當時，相減可得，則，由此可以求出數(shù)列的通項公式詳解：當時，當時由可得二式相減可得：又則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列點睛：本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式即數(shù)列遞推式，在解答此類問題時看到，則用即可算出，需要注意討論的情況．16．①③④．【分析】利用直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合球的性質(zhì)、線面垂直和面面垂直的判定定理逐一判斷即可.【詳解】①：因為，所以，又因為是中點，所以，同理由和是中點，可得，因此是三棱錐的外接球的球心，半徑為，所以三棱錐的外接球表面積為，因此本結(jié)論正確；②：因為分別是的中點，所以，又因為分別是的中點，所以，因此可得，所以四邊形是平行四邊形，若，此時平行四邊形是菱形，則，因為分別是的中點，所以，因此，題中沒有給出的長度，因此不一定成立，本結(jié)論不正確；③：由①可知，是的中點，所以，又因為因為分別是的中點，所以，因此有，因為，所以，而是中點，由全等三角形的性質(zhì)可知，而是中點，因此，而，所以有平面，所以平面，因此本結(jié)論正確；④：當時，有，而，平面，因此平面，而平面所以平面平面，因此本結(jié)論正確，故①③④關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵在于多次使用三角形中位線定理、球的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì).17．(1)表格見解析，能；(2)分布列見解析，2.【分析】（1）根據(jù)給定的數(shù)表，完善列聯(lián)表，再求出的觀測值，并與臨界值表比對作答.（2）求出抽取的6人中男女性人數(shù)，求出的可能值及對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望作答.【詳解】（1）由給定的數(shù)表知，男性總?cè)藬?shù)為400，其中比較關(guān)注的有240人，女性中比較關(guān)注的有150人，列聯(lián)表如下：比較關(guān)注不太關(guān)注總計男性240160400女性15050200總計390210600則所以能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為性別與對新能源汽車的關(guān)注有關(guān).（2）已知600人中男性與女性的比為，則所抽男性人數(shù)為人，所抽女性人數(shù)為人，依題意，的可能值為1，2，3，，因此，，，所以的分布列為：123期望為.18．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和二倍角公式得到，故，求出；（2）法一：由求出，結(jié)合（1）中，由余弦定理得到，結(jié)合（1）中所求得到，利用三角形面積公式求出答案；法二：由求出，結(jié)合（1）中所求得到，，利用，求出，利用三角形面積公式求出答案；法三：由求出，結(jié)合（1）中，由余弦定理得到或，排除，結(jié)合，求出三角形面積.【詳解】（1）由及正弦定理得：，由得：．，由知，，；（2）法一：當時，代入得：，由（1）知，由余弦定理得：，整理得：，解得：，由（1）知：，．法二：當時，代入得：，由（1）得：，，由得，，．法三：當時，代入得：，由（1）得：，由余弦定理得：，整理得：，解得：或，若，則為等腰三角形，此時，由及內(nèi)角和定理得：，與矛盾，不合題意，，∵，．19．(1)證明見解析(2)【分析】方法一方法二，先構(gòu)造并證明面面平行，繼而利用面面平行的性質(zhì)定理證明結(jié)論；方法三，連結(jié)延長交的延長線于，連結(jié)，證明，根據(jù)線面平行的判定即可證明結(jié)論；方法四，建立空間直角坐標系，利用空間向量法證明結(jié)論.（2）方法一，建立空間直角坐標系，求得相關(guān)點坐標，求得平面和平面的法向量，利用空間角的向量求法即可求得答案；方法二，作出二面角的平面角，解三角形即可求得答案.【詳解】（1）證明：方法一：綜合法——平行平面的性質(zhì)取的中點，連結(jié)（如下圖）由分別為的中點及中位線定理得，平面平面，平面平面，又平面，故平面平面，平面，平面；方法二：綜合法——平行平面的性質(zhì)取的中點，連結(jié)（如下圖）由分別為的中點及中位線定理得，平面平面，平面，，，平面平面,平面，又平面，平面平面，平面，平面.方法三：綜合法——直線與平面平行的判定連結(jié)延長交的延長線于，連結(jié)，，即，又，，又，，平面平面，平面．方法四：空間向量方法底面平面，，又，故兩兩垂直，以A為原點，分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，如下圖:由知：，，設(shè)平面的一個法向量為由得，取得，平面，平面.（2）方法一由（1）方法四可得：，，設(shè)平面的一個法向量為，由，得，取，得，設(shè)平面的一個法向量為，由，得，取，得，，由幾何體的空間結(jié)構(gòu)知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.方法二連結(jié)，由得：，，，在中，，由余弦定理得：，則，，底面平面，，平面，平面．又平面，，為二面角的平面角，在直角三角形中，，在直角三角形中，，在三角形中，由余弦定理得：，二面角的余弦值為．20．(1)(2)【分析】（1）利用點在橢圓上及數(shù)量積的坐標運算列方程求解即可；（2）設(shè)直線聯(lián)立方程，韋達定理，方法一：求出弦長及三角形的高即可求出面積，方法二：利用面積分割法求解面積即可.【詳解】（1）由題意知，又，則，，解得(負值舍去)，由在橢圓上及得，解得，橢圓的方程為；（2）由（1）知，右焦點為，據(jù)題意設(shè)直線的方程為，則，于是由得，化簡得（*）由消去整理得，，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，代入（*）式得：，解得，直線的方程為，方法一：，由求根公式與弦長公式得：，設(shè)點到直線的距離為，則，.

方法二：由題意可知，代入消去得，，.方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.21．(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）方法一：求導(dǎo)函數(shù)，分類討論研究單調(diào)性，利用函數(shù)有兩個零點得函數(shù)最小值為負數(shù)，解對數(shù)不等式即可；方法二：把零點問題轉(zhuǎn)化為即有兩個實根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】（1）因為，所以，①當，即時，由得，由得，則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；②當即時，由得或，由得，則在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；③當即時，恒成立，故在上為增函數(shù)；④當即時，由得或，由得，則在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).綜上：當時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；當時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；當時，在上為增函數(shù)；當時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).（2）方法一：由已知得，故，①當時，在上單調(diào)遞增，不存在兩個零點；②當時，令得，令得，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).，由有兩個零點得：即，又，故，解得，又，且當無限趨向正無窮大時，趨向正無窮大，當時，函數(shù)有兩個零點.綜上可知：的取值范圍為.方法二：有兩個零點等價于：關(guān)于的方程有兩個實根，即有兩個實根，由（1）知，由方程（*）得有兩個實根，令，則，由得，解得，由得解得，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，，又當時，，當時且當無限趨向正無窮大時，無限趨向于0，（如下圖）

當，即時，有兩個零點，的取值范圍為.方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論