《常微分方程解的穩(wěn)定性的探析》10000字

PAGEPAGE21常微分方程解的穩(wěn)定性的研究摘要微分方程就是聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式；如果在微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則稱這種微分方程為常微分方程。常微分方程是理工科專業(yè)中的一門基礎(chǔ)課程，起源于17世紀(jì)，其中如何求解常微分方程是該門課程的重點(diǎn)，也是該門課程必須要攻克的難點(diǎn)，學(xué)習(xí)常微分方程這一部分內(nèi)容，對(duì)于大多數(shù)人來說都是偏難的，但它又是數(shù)學(xué)專業(yè)中必須要掌握的知識(shí)，所以采用合適的方程去解決常微分方程是很有必要的，也是值得重視的。因此，本文以常微分方程為研究對(duì)象，首先分析了微分方程穩(wěn)定性的概念，并舉了一些例子來說明不同穩(wěn)定性定義之間的區(qū)別和聯(lián)系；其次，從自治系統(tǒng)、非自治系統(tǒng)等分析微分方程中穩(wěn)定性的相關(guān)含義；然后，分析常微分方程中穩(wěn)定性的相關(guān)概述，重點(diǎn)從李雅普諾夫第二方法中尋找常微分方程的應(yīng)用；最后，通過相關(guān)的數(shù)學(xué)模型研究常微分方程解題的方法，讓更多人了解與使用數(shù)學(xué)知識(shí)，全面處理現(xiàn)實(shí)生活中的問題，進(jìn)而在不同領(lǐng)域使用且促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的全面使用。關(guān)鍵詞：自治系統(tǒng)；穩(wěn)定性；全局吸引性目錄TOC\o"1-3"\h\u12075第1章引言 27613第2章微分方程穩(wěn)定性分析 4279642.1穩(wěn)定性定義 4293892.2自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性 5299172.2.1函數(shù) 6106432.2.2穩(wěn)定性定理 7166862.3非自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性 10260752.3.1函數(shù)和類函數(shù) 10202992.3.2零解的穩(wěn)定性 1232455第3章常微分方程穩(wěn)定性研究 1657283.1常微分方程穩(wěn)定性 16248603.2常微分方程解的穩(wěn)定性的重要意義 183183.3李雅普諾夫第二方法 18166443.3.1李雅普諾夫函數(shù)的介紹 18321573.3.2李雅普諾夫第二方法的相關(guān)定理 19324523.4李雅普諾夫第二方法的構(gòu)造和應(yīng)用 2157453.4.1李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造 21323063.4.2李雅普諾夫第二方法的應(yīng)用 2131237第4章常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用 23284134.1數(shù)學(xué)模型簡介 2345254.2常微分方程在捕魚業(yè)的持續(xù)收益問題中的應(yīng)用 23133114.2.1問題提出 23164694.2.2模型假設(shè) 23189804.2.3模型建立 2417971第5章結(jié)論 2721438參考文獻(xiàn) 28第1章引言20世紀(jì)以來，隨著大量的邊緣科學(xué)諸如電磁流體力學(xué)、化學(xué)流體力學(xué)、動(dòng)力氣象學(xué)、海洋動(dòng)力學(xué)、地下水動(dòng)力學(xué)等等的產(chǎn)生和發(fā)展，在自然科學(xué)（如物理、化學(xué)、生物、天文）和社會(huì)科學(xué)（如工程、經(jīng)濟(jì)、軍事）中的大量問題都可以用微分方程來描述，尤其當(dāng)我們描述實(shí)際對(duì)象的某些特性隨時(shí)間（空間）而演變的過程，分析它的變化規(guī)律，預(yù)測它的未來形態(tài)時(shí)，要建立對(duì)象的動(dòng)態(tài)模型，通常要用到微分方程模型，而穩(wěn)定性模型的對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過程，而建模的目的是研究時(shí)間充分長以后過程的變化趨勢、平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定.穩(wěn)定性模型不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。20世紀(jì)50～60年代，在美國貝爾曼(R．Bellman)、萊夫謝茨(S．Lefschetz)及拉薩爾(J．P．LaSalle)等的大力介紹和推動(dòng)下，穩(wěn)定理論在世界范圍內(nèi)迅速發(fā)展起來.在中國，則在秦元?jiǎng)?、張學(xué)銘、許淞慶等的大力提倡下，形成一支可觀的研究隊(duì)伍。葉魯金等研究李雅普諾夫第1方法中一次近似系統(tǒng)特征數(shù)與穩(wěn)定性保持問題的關(guān)系，并進(jìn)一步探討特征數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算等.50年代馬爾金提出特征數(shù)的穩(wěn)定性問題，貝洛夫等則研究了最大、最小特征數(shù)的上、下穩(wěn)定性和特征數(shù)的重合等問題。對(duì)于李雅普諾夫第2方法，切塔也夫等研究李雅普諾夫穩(wěn)定性條件.提出了一致穩(wěn)定性等概念，建立了著名的切塔也夫不穩(wěn)定定理.同時(shí)研究了李雅普諾夫穩(wěn)定性條件的必要性.通過分類并應(yīng)用微分方程的解構(gòu)造V函數(shù)，基本上解決了各種穩(wěn)定性定理的逆問題。關(guān)于穩(wěn)定性定理?xiàng)l件的研究，除了個(gè)別條件的削弱，例如定號(hào)性的減弱等條件之外，最有名的是向量李雅普諾夫函數(shù)和微分不等式比較方法的引入.60年代貝爾曼和馬特洛索夫通過向量V函數(shù)將微分方程穩(wěn)定性的研究轉(zhuǎn)化為以V函數(shù)為自變量的另一微分方程的正解的穩(wěn)定性的研究。李雅普諾夫定義的穩(wěn)定性原是局部性質(zhì)的概念，在實(shí)際應(yīng)用中往往要考慮全相空間的情形.50年代初巴爾巴辛和克拉索夫斯基引進(jìn)了無限大函數(shù)的概念把李雅普諾夫定理推廣到全空間，建立了全局穩(wěn)定性理論.其結(jié)果后來廣泛應(yīng)用于自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)、電力系統(tǒng)和生態(tài)系統(tǒng)中。早在60年代，拉薩爾便應(yīng)用拓樸動(dòng)力系統(tǒng)的極限集概念建立了“不變性原理”.用李雅普諾夫函數(shù)刻畫分方程解的極限集位置.70年代以來，不變性原理用于全局穩(wěn)定性的各種研究.從力學(xué)問題中還提出了部分變?cè)€(wěn)定性概念.通過對(duì)V函數(shù)條件的改進(jìn)也得到了部分變?cè)€(wěn)定性的有關(guān)定理。70年代以來，穩(wěn)定性理論得到了進(jìn)一步的發(fā)展.除了50～60年代發(fā)展起來的控制系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性、臨界情形穩(wěn)定性、向量李雅普諾夫函數(shù)和比較方法等繼續(xù)得到發(fā)展外，在科學(xué)技術(shù)發(fā)展的推動(dòng)下還提出了若干新的問題和方法.同時(shí)，穩(wěn)定性理論與方法，已廣泛地滲透到其他學(xué)科中去。李雅普諾夫方法已不限于研究穩(wěn)定性問題，也可應(yīng)用于研究解的有界性、振動(dòng)性等，吉澤太郎(T．Yoshizawa)曾深入研究概周期微分方程的穩(wěn)定性、有界性.同時(shí)，利用李雅普諾夫函數(shù)研究周期解、概周期解的存在性。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論與方法已滲透到各類學(xué)科中去.對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)、泛函微分方程、隨機(jī)微分方程、微分積分方程、含脈沖系統(tǒng)及偏微分方程建立了相應(yīng)的穩(wěn)定性理論，李雅普諾夫特征數(shù)在渾沌（Chaos）和分形（Fractals）研究中也起著重要作用。今后，穩(wěn)定性理論將繼續(xù)在新技術(shù)的應(yīng)用中發(fā)揮作用，并在控制理論、偏微分方程、微分積分方程等學(xué)科中得到發(fā)展。同時(shí)，動(dòng)力系統(tǒng)理論、非線性科學(xué)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用將為穩(wěn)定性理論的發(fā)展開開辟的方向。

第2章微分方程穩(wěn)定性分析2.1穩(wěn)定性定義初始值的微小變化對(duì)不同系統(tǒng)的影響不同.例如初始值問題，（1）的解為.是（1）的一個(gè)解，我們稱它為零解.當(dāng)時(shí)，無論多小，只要，當(dāng)時(shí)，總有，即初始值的微小變化會(huì)導(dǎo)致解的誤差任意大；而當(dāng)時(shí)，與零解的誤差不會(huì)超過初始誤差，且隨著的增加很快就會(huì)消失，所以當(dāng)很小時(shí)，與零解的誤差也很小.這個(gè)例子表明時(shí)(1)的零解是“不穩(wěn)定的”，而當(dāng)時(shí)（1）的零解是“穩(wěn)定”的.下面我們就給出微分方程零解穩(wěn)定的嚴(yán)格定義.設(shè)微分方程，，（2）滿足解的存在惟一性定理的條件，其解的存在區(qū)間是，還滿足條件（3）（3）保證是(2)的解，我們稱它為零解.定義1若對(duì)任意給定的，都能找到，使得當(dāng)時(shí)(2)的解滿足，（4）則稱（2）的零解是穩(wěn)定的，否則稱（2）的零解是不穩(wěn)定的.注1：（2）零解穩(wěn)定的意義是對(duì)任意給定的半徑，總能在中找到一個(gè)以原點(diǎn)為中心、半徑為的開球，使得（2）在時(shí)刻從出發(fā)的解曲線當(dāng)時(shí)總停留在半徑為的開球內(nèi).注2：（2）的零解不穩(wěn)定的數(shù)學(xué)描述是至少存在一個(gè)，使得對(duì)任意的，在開球內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)時(shí)刻，使得.注3：對(duì)（2）的任何一個(gè)解都可以定義穩(wěn)定性.事實(shí)上，若是（2）的一個(gè)解，為了考察其他解和它的接近程度，我們就可以令，帶入（2）得（5）這樣一來，（2）解的穩(wěn)定性就轉(zhuǎn)化為（2）零解的穩(wěn)定性.所以在本文的討論中，我們僅研究（2）零解的穩(wěn)定性.定義2設(shè)是中包含原點(diǎn)的一個(gè)開區(qū)域，對(duì)所有和任意給定的，總能找到一個(gè)，使得當(dāng)時(shí)，有成立，我們就稱是（2）零解的一個(gè)吸引域，這時(shí)稱（2）的零解是吸引的.是(2)零解的一個(gè)吸引域，更簡單的描述是對(duì)所有，均有.即從中出發(fā)的解趨于0.定義3若(2)的解釋穩(wěn)定的，又是吸引的，則稱(2)的零解是漸近穩(wěn)定的；如果(2)的零解的吸引域是整個(gè)，則稱(2)的零解是全局漸近穩(wěn)定的.定義4若定義1中的與無關(guān)，則稱(2)的零解是一致穩(wěn)定的；若定義2.2中的與和無關(guān)，則稱(2)的零解是一致吸引的；若(2)的零解是一致穩(wěn)定和一致吸引的，則稱(2)的零解是一致漸近穩(wěn)定的.定義5若有正數(shù)，對(duì)任意給定的，有，使得當(dāng)時(shí)有則稱(2)的零解是指數(shù)漸近穩(wěn)定的.2.2自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性前面給出了微分方程穩(wěn)定性的概念，并舉了一些例子來說明不同穩(wěn)定性定義之間的區(qū)別和聯(lián)系.這些例子都是通過求出方程解析解的方法來討論零解是否穩(wěn)定.在實(shí)際問題中提出的微分方程往往是很復(fù)雜的，無法求出其解析解，這就需要我們從方程本身來判斷零解的穩(wěn)定性，直接方法就是解決這一問題的有效途徑.這一節(jié)中我們先引入函數(shù)的定義，然后再給出穩(wěn)定性定理.2.2.1函數(shù)設(shè)函數(shù)在中原點(diǎn)的某鄰域中有定義，在中連續(xù)可微，且滿足.定義6若除原點(diǎn)外對(duì)所有均有，則稱為正定函數(shù)(負(fù)定函數(shù))；若對(duì)所有均有，則稱為半正定函數(shù)或常正函數(shù)(半負(fù)定函數(shù)或常負(fù)函數(shù))；若中原點(diǎn)的任一鄰域內(nèi)既可取正值，也可取負(fù)值，則稱為變號(hào)函數(shù).例如，是中的正定函數(shù)，是中的半正定函數(shù)，而是中的變號(hào)函數(shù).由定義6看出，正定時(shí)必是半正定的.另外正定和半正定與空間的維數(shù)和鄰域的大小有關(guān).例如是中的正定函數(shù)，而它在中僅是半正定的.利用化為極坐標(biāo)的方法可以看出，函數(shù)在中的區(qū)域中是正定函數(shù)，而在中卻不是正定函數(shù).最常用的函數(shù)是二次型，因?yàn)槎涡偷谋磉_(dá)式簡單，其符號(hào)類型可以利用線性代數(shù)中有關(guān)的特征值理論來判定，且一些復(fù)雜的函數(shù)往往可以通過對(duì)二次型的修改得到.一般函數(shù)的符號(hào)判斷十分困難，通常是把在原點(diǎn)展開為級(jí)數(shù)其中，分別是的次、次齊次函數(shù)，根據(jù)展開式中的最低次項(xiàng)，在許多情況下就可以確定在原點(diǎn)鄰域內(nèi)的符號(hào).對(duì)正定函數(shù)，容易證明當(dāng)充分小時(shí)，是中包圍原點(diǎn)的閉曲面，且隨著趨于零，縮向坐標(biāo)原點(diǎn).事實(shí)上，由正定函數(shù)的定義可知，在內(nèi)的閉曲面上，有正的下界，當(dāng)時(shí)，在連接原點(diǎn)與任一點(diǎn)的任一條連續(xù)曲線的線段上至少有一點(diǎn)，使，所以是包圍原點(diǎn)的閉曲面。2.2.2穩(wěn)定性定理設(shè)維自治微分方程(6)的解為.為了研究(6)解的穩(wěn)定性，考察隨時(shí)間變化時(shí)的變化情況.將視為的復(fù)合函數(shù)，關(guān)于求導(dǎo)得(7)(7)為函數(shù)沿著(7)軌線的全導(dǎo)數(shù).定理1若有原點(diǎn)的鄰域和一個(gè)正定(負(fù)定)函數(shù)，使得是半負(fù)定(半正定)的，則系統(tǒng)(6)的零解是穩(wěn)定的；且使得負(fù)定(正定)時(shí)，(6)的零解是漸近穩(wěn)定的。定理2幾何意義是函數(shù)正定時(shí)，是包圍原點(diǎn)的閉曲面族，且隨著的減少而縮向原點(diǎn).當(dāng)全導(dǎo)數(shù)半負(fù)定時(shí)，在時(shí)過的軌線上，的值不會(huì)增加，(2)的軌線只能停留在內(nèi)，所以原點(diǎn)是穩(wěn)定的.當(dāng)負(fù)定時(shí)，原點(diǎn)鄰域內(nèi)(6)的軌線不斷跑向閉曲面族中更小的一個(gè)閉曲面，最終趨于原點(diǎn)，所以(6)的零解是漸近穩(wěn)定的.該幾何意義也正是我們證明定理1的基本思想.證明設(shè)正定，對(duì)任意給定的(不妨假設(shè)閉球在中)，取，則當(dāng)時(shí)，的點(diǎn)必全部位于原點(diǎn)的鄰域內(nèi).由的連續(xù)性知，必有，使得當(dāng)時(shí).由于，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切有，所以，當(dāng)時(shí)，.這就說明了半負(fù)定時(shí)，(6)的零解時(shí)穩(wěn)定的.當(dāng)負(fù)定時(shí)，(6)的零解穩(wěn)定，只要，即可證明(6)的零解漸近穩(wěn)定.利用反證法，設(shè)(6)的零解不是漸近穩(wěn)定的，則至少有一個(gè)從上述原點(diǎn)的鄰域內(nèi)某點(diǎn)出發(fā)的解，使得.由于負(fù)定，故單調(diào)下降，從而由的正定性知必有，且時(shí).由的連續(xù)性知，必存在，使得時(shí).又由于是負(fù)定的，必有，在區(qū)域內(nèi)，，由(7)式得，(8)對(duì)(8)式兩邊積分得(9)(9)表明，這與矛盾.故（6）的零解是漸近穩(wěn)定的.例2.1討論系統(tǒng)d2x解令x2=(10)令，顯然是正定函數(shù)，容易求得沿(10)軌線的全導(dǎo)數(shù)為，它是負(fù)定函數(shù)，由定理1知該系統(tǒng)的零解是漸近穩(wěn)定的.應(yīng)當(dāng)注意，如果取，那么，所求得的，是半負(fù)定的，由定理1只能得到(10)的零解穩(wěn)定這一結(jié)論，得不到漸近穩(wěn)定性.這表明構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)是非常重要的.當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的零解事實(shí)上是漸近穩(wěn)定時(shí)，我們有可能構(gòu)造出函數(shù)用定理1來證明零解是漸近穩(wěn)定的.也可能所構(gòu)造出函數(shù)僅能證明零解是穩(wěn)定的，也可能構(gòu)造不出函數(shù)，連零解的穩(wěn)定性也無法得到.例2.1也提示我們?cè)谧C明零解漸近穩(wěn)定時(shí)，負(fù)定這一條件有可能再補(bǔ)充其他條件后削弱為半負(fù)定，這就是下面的定理2，它降低了負(fù)定這一條件，給出了判定漸近穩(wěn)定性的又一結(jié)果.定理3設(shè)在原點(diǎn)的鄰域內(nèi)存在正定函數(shù)1，它沿著（6）軌線的全導(dǎo)數(shù)是半負(fù)定的，如果集合內(nèi)除原點(diǎn)外，不在包含系統(tǒng)的其他軌線，則(6)的零解是漸近穩(wěn)定的.證明由定理1知，在定理2的條件下(6)的零解是穩(wěn)定的.于是對(duì)給定的(不妨假設(shè)含在內(nèi))，可以找到，使得時(shí)，(6)滿足的解；當(dāng)時(shí)滿，且由易見是的單調(diào)非增有界函數(shù)，故必有極限，令由于的正半軌有界，故它的極限非空，若，則，.這表明，從而有.由于是由(6)的整條軌線組成，而在中除外不再包含(6)的其他軌線，故有.于是有.零解的漸近穩(wěn)定性得證.例2.2討論非線性振動(dòng)系統(tǒng)(11)零解的漸近穩(wěn)定性.其中和都是連續(xù)函數(shù)，且滿足下列條件(1)；(2).解選取，由條件(1)知，是正定函數(shù).計(jì)算沿著(11)的軌線的全導(dǎo)數(shù)得.由(2)知是半負(fù)定的.又因?yàn)榧嫌?11)可見時(shí)，滿足方程組的解必有，從而集合內(nèi)除外不再包含(11)的其他軌線，所以(11)的零解是漸近穩(wěn)定的.2.3非自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性這一節(jié)研究非自治系統(tǒng)(12)零解的穩(wěn)定性問題，將建立與上一節(jié)類似的定理.2.3.1函數(shù)和類函數(shù)設(shè)，是中包含閉球的一個(gè)鄰域，是上定義的連續(xù)可微函數(shù)，是上定義的連續(xù)可微函數(shù).定義7若有正定(負(fù)定)函數(shù)，使得在上成立，且，則稱是上的正定(負(fù)定)函數(shù).若，則稱是半正定函數(shù)(半負(fù)定函數(shù)).注:分析定理1的證明過程，不難發(fā)現(xiàn)，正定(負(fù)定)函數(shù)下述性質(zhì)是證明的關(guān)鍵所在，即時(shí)，(時(shí)).對(duì)于而言，若僅要求，，則上述性質(zhì)不一定能保持.例如.這就是為什么要通過的正定性來定義正定的原因.例如是的正定函數(shù)，而僅是半正定函數(shù).定義8若是的正定函數(shù)，且，則稱是上的無窮大正定函數(shù).定義9若有正定函數(shù)，使得，則稱具有無窮小上界；若有無窮大正定函數(shù)，使得，則稱具有無窮大下界.例如可以取，所以有即是具有無窮小上界和無窮大下界的函數(shù).函數(shù)具有無窮小上界的特征是當(dāng)時(shí)，必有正數(shù)，使得，即充分小時(shí)，可以充分小.當(dāng)時(shí)，這就等價(jià)于，連續(xù).由此不難理解引入無窮小上界的原因.而具有無窮大下界的特征是當(dāng)充分大時(shí)，可以任意大.定義10設(shè)是的連續(xù)函數(shù)，且，嚴(yán)格單調(diào)遞增，則稱是類函數(shù)，記為.若還滿足，則稱為無窮大類函數(shù).類函數(shù)與正定函數(shù)、有無窮小上界的函數(shù)和有無窮大下界函數(shù)之間有著十分密切的關(guān)系.引理1(1)是正定函數(shù)的充分必要條件是有，，使得(13)(2)若有，使得，則必是正定函數(shù)，反之亦真；(3)若有，使得，則具有無窮小下界，反之亦真；(4)若有無窮大類函數(shù)，使得，則是具有無窮大下界的函數(shù)，反之亦真.證明由于引理1的(2)~(4)又可以從定義和引理1的(1)直接推出，故在此僅證明(1).若有，，使得(13)成立，則顯然有和，故為正定函數(shù)，充分性得證.反過來，若是正定函數(shù)，則可以定義函數(shù)，由的正定性和連續(xù)性知，連續(xù)，，且時(shí)，.又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，這表明是嚴(yán)格單調(diào)遞增的函數(shù)，且滿足.同理可定義.按前面類似的過程可以驗(yàn)證是滿足的類函數(shù).所以(13)式成立，必要性得證.2.3.2零解的穩(wěn)定性設(shè)是上定義的連續(xù)可微函數(shù)，是(12)的解.定義沿著(12)解的全導(dǎo)數(shù)為利用前面給出的一些定義，可以得到下面關(guān)于零解穩(wěn)定性的定理.定理5(1)若有正定函數(shù)，使得半負(fù)定，則(12)的零解穩(wěn)定；(2)若正定且有無窮小上界，半負(fù)定，則(12)的零解一致漸近穩(wěn)定.證明定理5證明思路是利用類函數(shù)的性質(zhì):當(dāng)時(shí)必定有.其證明過程就是利用類函數(shù)的這些性質(zhì)對(duì)任意給出的尋找滿足相應(yīng)穩(wěn)定性定義的，而給出時(shí)要反復(fù)利用引理1中函數(shù)與類函數(shù)的關(guān)系.(1)由于是正定函數(shù)，由引理2.1得，有類函數(shù)，使得.()，，由及的連續(xù)性知，必有，使得當(dāng)時(shí)，.由于，故當(dāng)時(shí)有由類函數(shù)的單調(diào)性知，.所以，(12)的零解是穩(wěn)定的.(2)當(dāng)是具有無窮小上界的正定函數(shù)時(shí)，由引理2.1知，必有類函數(shù)和，使，，取，當(dāng)時(shí)，由得由類函數(shù)的單調(diào)性知，.故(12)的零解是一致穩(wěn)定的.(3)當(dāng)正定，且有無窮小上界，負(fù)定時(shí)，由(2)知，(12)的零解一致穩(wěn)定，下面僅證明(12)的零解一致吸引.由引理2.1知，必有類函數(shù)，和，使得(14)對(duì)任意給定的()，，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切有.取.由于，故，且當(dāng)時(shí)，，所以是一個(gè)有限正數(shù).由于對(duì)上式兩邊積分得即(15)再由的非負(fù)性和(14)，(15)得(16）所以當(dāng)，時(shí)，由(16)得(17)由得，再由上式得最后由的單調(diào)性知，.是(13)零解的一致吸引域，故(13)的零解是一致漸近穩(wěn)定的.例2.3討論方程(18)零解的穩(wěn)定性.解取，沿(18)解的全導(dǎo)數(shù)因?yàn)椋?，是具有無限小上界的正定函數(shù)，半負(fù)定，由定理5知，(18)的零解是一致穩(wěn)定的.例2.4討論(19)零解的穩(wěn)定性.解取，顯然有.所以是具有無限小上界的正定函數(shù)，又因?yàn)榧词秦?fù)定的，所以由定理5知，(19)的零解是一致漸近穩(wěn)定的.

第3章常微分方程穩(wěn)定性研究3.1常微分方程穩(wěn)定性微分方程自誕生以來就一直以微分方程解的求法為研究中心.數(shù)學(xué)家在微分方程求解過程中進(jìn)行了不懈的努力，但始終沒有從根本上擺脫求確定解的桎梏，致使研究的道路越來越窄.此時(shí)單純的定量分析已不能解決問題，必須用一種綜合化、整體化的思想加以考慮.避開微分方程求精確解的定量方法，轉(zhuǎn)向運(yùn)用穩(wěn)定性方法探求解的性質(zhì)，從而解決常微分方程（組）的解的問題.考慮微分方程組 （20）其中函數(shù)對(duì)和連續(xù)，對(duì)滿足局部利普希茨條件。設(shè)方程（2.1）對(duì)初值存在唯一解，而其他解記作QUOTEx=x(t,t0,x0).本文中向量的范數(shù)取。如果所考慮的解的存在區(qū)間是有限閉區(qū)間，那么這是解對(duì)初值的連續(xù)依賴性.現(xiàn)在要考慮的是解的存在區(qū)間是無窮區(qū)間，那么解對(duì)初值不一定有連續(xù)依賴性，這就產(chǎn)生的李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性概念。如果對(duì)于任意給定的和都存在，使得只要，就有對(duì)一切成立，則稱（1）的解QUOTEφ(t,t0,x1)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。假設(shè)是穩(wěn)定的，而且存在，使得只要QUOTE∥x0-x1∥<δ1則稱（20）的解QUOTEφ(t,t0,x1)是漸近穩(wěn)定的.為了簡化討論，通常把解的穩(wěn)定性化成零解的穩(wěn)定性問題.下面記，作如下變量代換：令(21)則QUOTEdydt=dx(t)dt-QUOTE=ft,φt+y-f(t,φ(t))QUOTE?F(t,y)于是在變換（21）下，將方程（20）化成（22）其中，這樣關(guān)于（20）的解的穩(wěn)定性問題就化為（22）的零解的穩(wěn)定性問題了.因此，我們可以只考慮（20）的零解的穩(wěn)定性，即假設(shè)，并有如下定義：定義11若對(duì)于任意給定的QUOTEε>0和QUOTEt0≥0，存在，使當(dāng)時(shí)有對(duì)所有的成立，則稱（20）的零解是穩(wěn)定的，反之是不穩(wěn)定的.定義12若（20）的零解是穩(wěn)定的，且存在（為定義中的），當(dāng)時(shí)有，則稱（20）的零解是漸近穩(wěn)定的。例1考察系統(tǒng)QUOTEdxdt=ydydt的零解的穩(wěn)定性.解不妨取初始時(shí)刻，對(duì)于一切，方程組滿足初值條件的解為對(duì)任一，取，則當(dāng)時(shí)，有故該系統(tǒng)的零解是穩(wěn)定的。然而，由于QUOTElimt→∞[x2t+y3.2常微分方程解的穩(wěn)定性的重要意義在實(shí)際情況中，干擾性因素總是不可避免的，因此穩(wěn)定性理論的研究有很重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值，這也是穩(wěn)定性理論蓬勃發(fā)展的原因.李雅普諾夫首先給出了常微分方程解穩(wěn)定的嚴(yán)格定義(稱為“李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性”)：如果對(duì)于任何正數(shù)ε，無論它多么小，可以選取另一個(gè)正數(shù)，使得對(duì)于所有受干擾的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其在初始時(shí)刻t0時(shí)滿足，而在所有時(shí)滿足不等式，則QUOTEdxidt=f(t,x1,x2,?,xn這個(gè)定義簡單而有力，既反映了深刻的物理本質(zhì)，又具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)含義，極大地推廣了不動(dòng)點(diǎn)或平衡解的穩(wěn)定性定義，成為更嚴(yán)格、更自然的定義。接著，他又給出了兩種解題方法：（1）冪級(jí)數(shù)展開法，適用于已知擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程一個(gè)明確解(通常為無窮級(jí)數(shù)的形式)的情形。（2）李雅普諾夫直接方法，即李雅普諾夫第二方法，至今它仍是解決穩(wěn)定性問題的主要工具.這種方法不用尋求運(yùn)動(dòng)方程的特解與通解，只要結(jié)合實(shí)際的物理背景，構(gòu)造一類具有特殊性質(zhì)的李雅普諾夫函數(shù)QUOTEV(x1,x2,?,xn李雅普諾夫使用分析的方法，以嚴(yán)格的分析證明解決穩(wěn)定性問題.理論的嚴(yán)格性與徹底性是李雅普諾夫工作的顯著特征之一。如今，李雅普諾夫穩(wěn)定性理論被普遍認(rèn)為是微分方程定性理論的基本成就之一，不僅有精確的定義，更有嚴(yán)格的分析證明，將微分方程及穩(wěn)定性理論的研究推向了新的高度。3.3李雅普諾夫第二方法3.3.1李雅普諾夫函數(shù)的介紹李雅普諾夫創(chuàng)立了處理穩(wěn)定性問題的兩種方法：第一方法要利用微分方程的級(jí)數(shù)解，在他之后沒有得到大的發(fā)展；第二方法是在不求方程解的情況下，借助一個(gè)所謂的李雅普諾夫函數(shù)和通過微分方程所計(jì)算出來的導(dǎo)數(shù)QUOTEdV(x)dt的符號(hào)性質(zhì)，就能直接推斷出解的穩(wěn)定性，因此又稱為直接法.下面，先引入李雅普諾夫函數(shù)概念我們考慮自治系統(tǒng)(23)假設(shè)在上連續(xù)，滿足局部利普希茨條件，且.定義13若函數(shù)滿足，和都連續(xù)，且若存在,使在上，則稱是常正(負(fù))的；若在D上除外總有，則稱正(負(fù))的；既不是常正又不是常負(fù)的函數(shù)稱為變號(hào)函數(shù).通常我們稱函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù).例：函數(shù)在平面上為正定的；函數(shù)在QUOTE（x1,x2）函數(shù)在平面上是變號(hào)函數(shù)；函數(shù)在平面上是常正函數(shù)；3.3.2李雅普諾夫第二方法的相關(guān)定理定理6對(duì)系統(tǒng)（23），若在區(qū)域D上存在李雅普諾夫函數(shù)QUOTEV(x)滿足（1）正定（2）常負(fù)，則（23）的零解是穩(wěn)定的.證明對(duì)任意,記QUOTEΓ={x|∥x∥=ε}，則由正定，連續(xù)和是有界閉集知QUOTEb=minx∈ΓV(x)>0由和連續(xù)知存在，使當(dāng)，QUOTEVx<b，于是有時(shí)，，（24）若上述不等式不成立，有QUOTE∥x∥<δ<ε和的連續(xù)性知存在，當(dāng)時(shí)，QUOTExt,t0,x0<ε，而QUOTExt,t0,x0=ε.那么由b（25）另一方面，由條件（2）知在上成立，即時(shí)，,自然有,與（25）矛盾，即（24）成立.引理若是正定（或負(fù)定）的李雅普諾夫函數(shù)，且對(duì)連續(xù)有界函數(shù)有QUOTElimt→∞V(xt)=0，則QUOTElimt→∞xt=0定理7對(duì)系統(tǒng)（21），若在區(qū)域D上存在李雅普諾夫函數(shù)QUOTEV(x)滿足（1）正定（2）負(fù)定，則（23）的零解是漸近穩(wěn)定.證明由定理6知（23）的零解是穩(wěn)定的.取QUOTEδ為定理6的證明過程中的,于是當(dāng)QUOTE∥x∥≤δ時(shí)，單調(diào)下降.若,則由唯一性知,自然有QUOTElimt∈+∞xt,t0不妨設(shè).由初值問題解的唯一性，對(duì)任意t，.從而由QUOTEV(x)的正定性知QUOTEV(xt,t0,x0)>0總成立，那么存在使QUOTElimt∈+∞Vxt,t0,x0=a，假設(shè),聯(lián)系到QUOTEV(xt,t0,x0)的單調(diào)性有QUOTEa<Vxt,t0,x0<Vx0對(duì)QUOTEt≥t0成立，從而由QUOTEV0=0知存在，使QUOTEQUOTEh<∥xt,t0,x成立.由條件（2）有QUOTEM=maxh≤∥x∥≤εdVdt<故從（26）知對(duì)上述不等式兩端從到積分得，QUOTEVxt,t0,該不等式意味著QUOTElimt∈+∞Vxt,t0,x0=+∞矛盾，故，即QUOTElimt∈+∞Vxt,t0,x0=0，由于零解是穩(wěn)定的，所以在QUOTE[t0,+∞]定理8對(duì)系統(tǒng)（23），若在區(qū)域D上存在李雅普諾夫函數(shù)滿足（1）正定（2）不是常負(fù)函數(shù)，則系統(tǒng)（23）的零解是不穩(wěn)定的.3.4李雅普諾夫第二方法的構(gòu)造和應(yīng)用3.4.1李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造在判定系統(tǒng)是自治的情況下，微分方程的穩(wěn)定性和將近穩(wěn)定性，可以構(gòu)造如下形式的李雅普諾夫函數(shù)：（1）二維空間，這里a,b>0;m,n為正整數(shù)（2）n維空間其中同號(hào)，都是正整數(shù).這樣構(gòu)造的整數(shù)，都是定號(hào)函數(shù)且不含t也就有窮小上界的性質(zhì).3.4.2李雅普諾夫第二方法的應(yīng)用例1討論方程組零解的穩(wěn)定性.解取函數(shù)是正定函數(shù).沿方程的全導(dǎo)數(shù)為QUOTEdvdt=x3xy-x3+y+yx4-例2研究質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程零解穩(wěn)定性.解原振動(dòng)方程可轉(zhuǎn)化為零解對(duì)應(yīng)平衡點(diǎn)（0，0）取函數(shù)是正定函數(shù)，沿方程的導(dǎo)數(shù)為QUOTEdvdt=my-bm(常負(fù)函數(shù)).由定理6知，零解穩(wěn)定.例3討論方程組零解穩(wěn)定性解取是正定函數(shù)，沿方程對(duì)t求導(dǎo)QUOTEdvdt=-26x2+可知當(dāng)QUOTE6x2+5y2+2z2<1時(shí)，QUOTEdvdt<0第4章常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用4.1數(shù)學(xué)模型簡介一般我們將實(shí)際問題的模擬叫做模型．比如交通圖、地質(zhì)圖、航空以及建筑模型等．使用字母、數(shù)學(xué)和其余數(shù)學(xué)符號(hào)創(chuàng)建完成的等式或不等式和圖表、圖象、框圖等來模擬實(shí)際模型被叫做數(shù)學(xué)模型．此類模型在現(xiàn)實(shí)生活中時(shí)常遇到，比如尋求不規(guī)則圖形的面積，可創(chuàng)建定積分的數(shù)學(xué)模型，求變化率的問題可創(chuàng)建導(dǎo)數(shù)模型，統(tǒng)計(jì)學(xué)中抽樣審查，買彩票中獎(jiǎng)的概率等．學(xué)會(huì)創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型對(duì)處理現(xiàn)實(shí)問題有一定的積極影響。創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型是目前現(xiàn)實(shí)問題和數(shù)學(xué)工具之間緊密關(guān)聯(lián)的橋梁。伴隨科技的持續(xù)發(fā)展，尤其是電子計(jì)算機(jī)科技的持續(xù)進(jìn)步，數(shù)學(xué)逐漸進(jìn)入到從自然科學(xué)科技以及工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)創(chuàng)建活動(dòng)中，不僅存在在經(jīng)濟(jì)生活中，此外也出現(xiàn)在日常生活的多個(gè)部分。通常來說，在現(xiàn)實(shí)中需要我們對(duì)所分析的實(shí)際對(duì)象進(jìn)行研究、預(yù)估、決策、控制等部門操作的時(shí)候，此時(shí)一般都需要數(shù)學(xué)的使用，其中創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型就是此過程的重要部分。4.2常微分方程在捕魚業(yè)的持續(xù)收益問題中的應(yīng)用4.2.1問題提出在可持續(xù)發(fā)展的主要政策下，此時(shí)可以對(duì)可再生資源的科學(xué)使用進(jìn)行分析。如同漁業(yè)這般可再生資源在確保平穩(wěn)產(chǎn)量的基礎(chǔ)上怎樣得到最高利益，就開始得到產(chǎn)業(yè)內(nèi)人士的重視。接下來我們會(huì)分析漁場在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中的增長規(guī)律，分析怎樣管控捕撈強(qiáng)度促使?jié)O場的魚量更加平穩(wěn)，確保在接連捕撈下得到最高利益。4.2.2模型假設(shè)記時(shí)刻漁場中總魚量是，對(duì)漁場魚量的增長與捕撈狀況進(jìn)行假定可知：1.在無捕撈條件下的增長服從Logistic規(guī)律，也就是此處r是自然增長率，N是環(huán)境能容納的最大魚量，表示要求的單位時(shí)間內(nèi)增長量。（2）每段時(shí)間的捕撈量和漁場魚量成正比，比例常數(shù)代表單位時(shí)間捕撈率,是捕撈強(qiáng)度，此處管控出海漁船數(shù)或捕撈時(shí)間間隔來管控捕撈強(qiáng)度的大小，因此單位時(shí)間內(nèi)的捕撈量是4.2.3模型建立模型一：產(chǎn)量模型根據(jù)以上假設(shè)記其中為漁場魚量，于是可得方程此處，不需要求方程（19）的解，只依照方程就可以了解漁場維持穩(wěn)定時(shí)相關(guān)因子滿足的條件就可以，或者說是在t很大之后漁場魚量的發(fā)展走勢。所以，尋求方程（19）的平衡點(diǎn)，之后研究其平穩(wěn)性。令得到兩個(gè)平衡點(diǎn)，不難算出,，根據(jù)穩(wěn)定性觀點(diǎn)，在<時(shí)，平穩(wěn)，不穩(wěn)定;在>時(shí)，結(jié)果與之相反。假如E超過魚量的自然增長率r,此時(shí)魚量會(huì)不斷減少乃至絕(也就是)。接下來敘