人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第二冊(cè))同步講義第30講 拓展十一：近五年導(dǎo)數(shù)高考真題分類匯編含解析

拓展十一：近五年導(dǎo)數(shù)高考真題分類匯編考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．（2020?全國(guó)）設(shè)函數(shù)，若，則A．3 B． C． D．1【解析】，，又，，，故選：．2．（2019?全國(guó)）若函數(shù)，，則．【解析】由，得，，，．故答案為：3．3．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)函數(shù)，若（1），則．【解析】，，（1），，則，故答案為：1．4．（2022?甲卷）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（2）A． B． C． D．1【解析】由題意（1），則，則，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最值，可得也是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，（1），即．，易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故處，函數(shù)取得極大值，也是最大值，則（2）．故選：．5．（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若，均為偶函數(shù)，則A． B． C．（4） D．（2）【解析】為偶函數(shù)，可得，關(guān)于對(duì)稱，令，可得，即（4），故正確；為偶函數(shù)，，關(guān)于對(duì)稱，故不正確；關(guān)于對(duì)稱，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，函數(shù)在，處的導(dǎo)數(shù)為0，即，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，，函數(shù)在，的導(dǎo)數(shù)為0，是函數(shù)的極值點(diǎn)，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，，由是函數(shù)的極值點(diǎn)可得是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，，進(jìn)而可得，故是函數(shù)的極值點(diǎn)，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，，，故正確；圖象位置不確定，可上下移動(dòng)，即每一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是確定值，故錯(cuò)誤．解法二：構(gòu)造函數(shù)法，令，則，則，，滿足題設(shè)條件，可得只有選項(xiàng)正確，故選：．考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程6．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【解析】，，當(dāng)時(shí)，，在點(diǎn)處的切線斜率，切線方程為：．故答案為：．7．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）函數(shù)的圖象在點(diǎn)，（1）處的切線方程為A． B． C． D．【解析】由，得，（1），又（1），函數(shù)的圖象在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，即．故選：．8．（2021?全國(guó)）曲線在點(diǎn)處的切線方程是．【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即為．故答案為：．9．（2021?甲卷）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【解析】因?yàn)椋谇€上，所以，所以，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即．故答案為：．10．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為．【解析】的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)為，可得，解得，即有切點(diǎn)，則切線的方程為，即，故答案為：．11．（2019?天津）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【解析】由題意，可知：，．曲線在點(diǎn)處的切線方程：，整理，得：．故答案為：．12．（2019?新課標(biāo)Ⅲ）已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則A．， B．， C．， D．，【解析】，，由在點(diǎn)處的切線方程為，可得，解得，又切點(diǎn)為，可得，即．故選：．13．（2019?新課標(biāo)Ⅱ）曲線在點(diǎn)處的切線方程為A． B． C． D．【解析】由，得，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．故選：．14．（2018?全國(guó)）若函數(shù)圖象上點(diǎn)，（1）處的切線平行于直線，則A． B．0 C． D．1【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得點(diǎn)，（1）處的切線斜率為，由點(diǎn)，（1）處的切線平行于直線，可得，解得，故選：．15．（2018?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)函數(shù)．若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為A． B． C． D．【解析】函數(shù)，若為奇函數(shù)，，．所以：可得，所以函數(shù)，可得，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為：1，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為：．故選：．16．（2022?新高考Ⅰ）若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則的取值范圍是．【解析】，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，切線的斜率，切線方程為，又切線過(guò)原點(diǎn)，，整理得：，切線存在兩條，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，△，解得或，即的取值范圍是，，，故答案為：，，．17．（2022?新高考Ⅱ）曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，．【解析】當(dāng)時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，，切線的斜率，切線方程為，又切線過(guò)原點(diǎn)，，，切線方程為，即，當(dāng)時(shí)，，與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，切線方程也關(guān)于軸對(duì)稱，切線方程為，綜上所述，曲線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為，，故答案為：，．18．（2019?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在曲線上，且該曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【解析】設(shè)，，由，得，，則該曲線在點(diǎn)處的切線方程為，切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，即，則．點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：．19．（2019?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值是．【解析】由，得，設(shè)斜率為的直線與曲線切于，，由，解得．曲線上，點(diǎn)到直線的距離最小，最小值為．故答案為：4．20．（2021?北京）已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（Ⅱ）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，并求其最大值和最小值．【解析】（Ⅰ）的導(dǎo)數(shù)為，可得在處的切線的斜率為，則在，（1）處的切線方程為，即為；（Ⅱ）的導(dǎo)數(shù)為，由題意可得，即，解得，可得，，當(dāng)或時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減．函數(shù)的圖象如右圖，當(dāng)，；，，則在處取得極大值1，且為最大值1；在處取得極小值，且為最小值．所以的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；的最大值為1，最小值為．21．（2021?新高考Ⅰ）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則A． B． C． D．【解析】法一：函數(shù)是增函數(shù)，恒成立，函數(shù)的圖象如圖，，即切點(diǎn)坐標(biāo)在軸上方，如果在軸下方，連線的斜率小于0，不成立．點(diǎn)在軸或下方時(shí)，只有一條切線．如果在曲線上，只有一條切線；在曲線上側(cè)，沒有切線；由圖象可知在圖象的下方，并且在軸上方時(shí)，有兩條切線，可知．故選：．法二：設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線橫坐標(biāo)為，則切線方程為，可得，設(shè)，可得，，，是增函數(shù)，，，是減函數(shù)，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，對(duì)應(yīng)兩條切線．故選：．22．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)，，，函數(shù)的圖象在點(diǎn)，和點(diǎn)，的兩條切線互相垂直，且分別交軸于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是．【解析】當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)數(shù)為，可得在點(diǎn)，處的斜率為，切線的方程為，令，可得，即，當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)數(shù)為，可得在點(diǎn)，處的斜率為，令，可得，即，由的圖象在，處的切線相互垂直，可得，即為，，，所以．故答案為：．23．（2022?甲卷）已知函數(shù)，，曲線在點(diǎn)，處的切線也是曲線的切線．（1）若，求；（2）求的取值范圍．【解析】（1）由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，，則，解得，則（1），解得；（2），則在點(diǎn)，處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時(shí)，，的變化情況如下表：01000單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增則的值域?yàn)?，，故的取值范圍為，?4．（2020?北京）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．【解析】（Ⅰ）的導(dǎo)數(shù)，令切點(diǎn)為，可得切線的斜率為，，，切線的方程為；（Ⅱ）曲線在點(diǎn)，處的切線的斜率為，切線方程為，令，可得，令，可得，，由，可知為偶函數(shù)，不妨設(shè)，則，，由，得，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減，則在處取得極小值，且為最小值32，同理可得時(shí)，在處取得極小值，且為最小值32，所以的最小值為32．25．（2022?天津）已知，，函數(shù)，．（1）求函數(shù)在，處的切線方程；（2）若和有公共點(diǎn)．（?。┊?dāng)時(shí)，求的取值范圍；（ⅱ）求證：．【解析】（1），，，，函數(shù)在處的切線方程為；（2）（ⅰ），，又和有公共點(diǎn)，方程有解，即有解，顯然，在上有解，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，，的范圍為，；（ⅱ）證明：令交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，由柯西不等式可得，又易證時(shí)，，，，，故．26．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)，處的切線與軸垂直．（1）求；（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．【解答】（1）解：由，得，，即；（2）證明：法一、設(shè)為的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)題意，，且，則，且，令，，當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，可知在，，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．又，（1），，，．設(shè)為的零點(diǎn)，則必有，即，，得，即．所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．法二、由（1）可得，．，可得當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，則在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．且，，，（1），若的所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1的零點(diǎn)，則或（1）．即或．當(dāng)時(shí)，，，，（1），又，由零點(diǎn)存在性定理可知，在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)．即在上存在唯一零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)．此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；當(dāng)時(shí)，，，，（1），又，由零點(diǎn)存在性定理可知，在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)．即在上存在唯一零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)．此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾．綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性27．（2020?全國(guó)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A． B．， C． D．【解析】已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋海瑒t，令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選：．28．（2021?全國(guó)）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【解析】（1）已知函數(shù)，則，，令，解得：或，令，解得：，即的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；（2）由（1）可得：函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，（2），又當(dāng)時(shí)，，即，即，即的取值范圍為：．29．（2021?甲卷）設(shè)函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖像與軸沒有公共點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1），，因?yàn)?，所以，所以在上，，單調(diào)遞減，在，上，，單調(diào)遞增．綜上所述，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．（2）由（1）可知，，因?yàn)榈膱D像與軸沒有公共點(diǎn)，所以，所以，所以的取值范圍為，．30．（2021?乙卷）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1），△，①當(dāng)△，即時(shí)，由于的圖象是開口向上的拋物線，故此時(shí)，則在上單調(diào)遞增；②當(dāng)△，即時(shí)，令，解得，令，解得或，令，解得，在，，單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）設(shè)曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線為，切點(diǎn)為，則切線方程為，將原點(diǎn)代入切線方程有，，解得，切線方程為，令，即，解得或，曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為和．31．（2022?北京）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)，討論函數(shù)在，上的單調(diào)性；（Ⅲ）證明：對(duì)任意的，，有．【解析】（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得：，將代入原函數(shù)可得，將代入導(dǎo)函數(shù)可得：，故在處切線斜率為1，故，化簡(jiǎn)得：；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）有：，，令，令，設(shè)，恒成立，故在，單調(diào)遞增，又因?yàn)椋试?，恒成立，故，故在，單調(diào)遞增；解法二：由（Ⅰ）有：，，設(shè)，，則，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得上上是增函數(shù)，且，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，在，單調(diào)遞增．（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）有在，單調(diào)遞增，又，故在，恒成立，故在，單調(diào)遞增，設(shè)，，由（Ⅱ）有在，單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，故單調(diào)遞增，又因?yàn)?，故，即：，又因?yàn)楹瘮?shù)，故，得證．32．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】由題意，的定義域?yàn)椋遥?）當(dāng)時(shí)，，令，解得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．的極小值也是最小值為．又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．要使有兩個(gè)零點(diǎn)，只要即可，則，可得．綜上，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是，．33．（2020?新課標(biāo)Ⅱ）已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性．【解析】（1）等價(jià)于．設(shè)，．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，在時(shí)取得極大值也就是最大值為（1），，即．則的取值范圍為，；（2），，．．令，則，令，解得，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（a），即，在和上單調(diào)遞減．34．（2019?全國(guó)）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間，的最小值為，求．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），令，則，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，，不符合條件；當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，符合條件；當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，，不符合條件．在區(qū)間，的最小值為，的值為．35．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（1）證明：在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)；（2）若，時(shí)，，求的取值范圍．【解析】（1）證明：，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，極大值為，又，，在上有唯一零點(diǎn)，即在上有唯一零點(diǎn)；（2）由題設(shè)知，，可得．由（1）知，在上有唯一零點(diǎn)，使得，且在為正，在，為負(fù)，在，遞增，在，遞減，結(jié)合，，可知在，上非負(fù)，當(dāng)，時(shí)，，又當(dāng)，，時(shí)，，，的取值范圍是，．36．（2019?新課標(biāo)Ⅱ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線在點(diǎn)，處的切線也是曲線的切線．【解答】解析：（1）法一：函數(shù)．定義域?yàn)椋?，，；，且，在和上單調(diào)遞增，①在區(qū)間取值有，代入函數(shù)，由函數(shù)零點(diǎn)的定義得，，，，在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，②在區(qū)間，區(qū)間取值有，代入函數(shù)，由函數(shù)零點(diǎn)的定義得，又（e），，（e），在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故在定義域內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；法二：的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)的圖象如圖所示．由兩函數(shù)圖象知有一交點(diǎn)在，有一交點(diǎn)在，故在定義域內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）是的一個(gè)零點(diǎn)，則有，曲線，則有；由直線的點(diǎn)斜式可得曲線的切線方程，曲線在點(diǎn)，處的切線方程為：，即：，將代入，即有：，而曲線的切線中，在點(diǎn)，處的切線方程為：，將代入化簡(jiǎn)，即：，故曲線在點(diǎn)，處的切線也是曲線的切線．故得證．37．（2021?乙卷）設(shè)，，，則A． B． C． D．【解析】，，，令，，令，則，，，在上單調(diào)遞增，（1），，，同理令，再令，則，，，在上單調(diào)遞減，（1），，，．故選：．38．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)．①，；②，．【解析】（Ⅰ），，①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，令，可得或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，時(shí)，且等號(hào)不恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，和上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和，上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減．（Ⅱ）證明：若選①，由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增．注意到．在上有一個(gè)零點(diǎn)；，由得，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)．綜上：在上僅有一個(gè)零點(diǎn)．另解：當(dāng)，時(shí)，有，，而，于是，所以在沒有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，于是，所以在，上存在一個(gè)零點(diǎn)，命題得證．若選②，則由（Ⅰ）知：在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．，，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，取，，，又易證，，在上有唯一零點(diǎn)，即在上有唯一零點(diǎn)．綜上：在上有唯一零點(diǎn)．39．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）．，時(shí)，，在遞增，時(shí)，令，解得：或，令，解得：，在遞增，在，遞減，在，遞增，綜上，時(shí)，在遞增，時(shí)，在遞增，在，遞減，在，遞增；（2）由（1）得：，，，若有三個(gè)零點(diǎn)，只需，解得：，故．40．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；（3）設(shè)，證明：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．（2）令，，，在上恒成立，又，令，則，，①當(dāng)，即，存在，使得當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以在?nèi)遞增，所以，這與矛盾，故舍去；②當(dāng)，即，，若，則，所以在，上單調(diào)遞減，，符合題意．若，則，所以在上單調(diào)遞減，，符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．另解：的導(dǎo)數(shù)為，①當(dāng)時(shí)，，所以在遞增，所以，與題意矛盾；②當(dāng)時(shí)，，所以在遞減，所以，滿足題意；．③當(dāng)時(shí)，．設(shè)，，則在遞減，所以，，所以在遞減，所以，滿足題意；④當(dāng)時(shí)，，令，則，，可得遞減，，所以存在，使得．當(dāng)時(shí)，，在遞增，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，在遞增，所以，與題意矛盾．綜上可得，的取值范圍是，．（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，令得，，整理得，，，，，即．另解：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時(shí)，左邊成立．假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即．當(dāng)時(shí)，要證，只要證，即證．可令，則，，則需證明，再令，則需證明．構(gòu)造函數(shù)，，，可得在，上遞減，則（1），所以原不等式成立，即時(shí)，成立．綜上可得，成立．41．（2021?新高考Ⅰ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：．【解答】（1）解：由函數(shù)的解析式可得，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）證明：由，得，即，由（1）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以（1），且（e），令，，則，為的兩根，其中．不妨令，，則，先證，即證，即證，令，則在單調(diào)遞減，所以（1），故函數(shù)在單調(diào)遞增，（1）．，，得證．同理，要證，（法一）即證，根據(jù)（1）中單調(diào)性，即證，令，，則，令，，，單調(diào)遞增，，，，單調(diào)遞減，又時(shí)，，且（e），故，（1）（1），恒成立，得證，（法二），，又，故，，故，，令，，，在上，，單調(diào)遞增，所以（e），即，所以，得證，則．42．（2020?海南）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，（1），（1），曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．（2）方法一：由，可得，即，即，令，則，在上單調(diào)遞增，，即，令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，（1），，，故的范圍為，．方法二：由可得，，，即，設(shè)，恒成立，在單調(diào)遞增，，，即，再設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，（1），，即，則，此時(shí)只需要證，即證，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立，綜上所述的取值范圍為，．方法三：由題意可得，，，易知在上為增函數(shù)，①當(dāng)時(shí)，（1），，存在使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，（1），不滿足題意，②當(dāng)時(shí)，，，，令，，易知在上為增函數(shù)，（1），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，（1），即，綜上所述的取值范圍為，．方法四：，，，，易知在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，在0，上為減函數(shù)，與在0，上有交點(diǎn)，存在，使得，則，則，即，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，設(shè)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且（1），當(dāng)，時(shí)，，，時(shí)，，設(shè)，，，恒成立，在，上單調(diào)遞減，（1），當(dāng)時(shí)，，，．方法五：等價(jià)于，該不等式恒成立．當(dāng)時(shí)，有，其中．設(shè)（a），則（a），則（a）單調(diào)遞增，且（1）．所以若成立，則必有．下面證明當(dāng)時(shí)，成立．設(shè)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，即，把換成得到，，．，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．綜上，．考點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值43．（2022?全國(guó)）設(shè)和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)．若，則A．0 B．1 C．2 D．3【解析】函數(shù)，，又和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則和是方程的兩根，故，，又，則，即，則，故選：．44．（2021?乙卷）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則A． B． C． D．【解析】令，解得或，即及是的兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點(diǎn)，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，則；當(dāng)時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點(diǎn)，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，則；綜上，．故選：．45．【多選】（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)，則A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn) C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線【解析】，令，解得或，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，有兩個(gè)極值點(diǎn)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)正確；假設(shè)是曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得或，顯然和均不在曲線上，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．46．（2022?乙卷）已知和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則的取值范圍是．【解析】對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，分析可知：在定義域內(nèi)至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，對(duì)其再求導(dǎo)可得：，當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，此時(shí)若存在使得，則在單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，此時(shí)若函數(shù)在和分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，應(yīng)滿足，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞減，此時(shí)若存在使得，則在單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，且，此時(shí)若函數(shù)在和分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，故僅需滿足，即：，解得：，又因?yàn)?，故綜上所述：的取值范圍是．47．（2020?天津）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，（ⅰ）求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，，，且，有．【解析】當(dāng)時(shí)，，故，（1），（1），曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，即．，，，令，解得，當(dāng)，，當(dāng)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是極小值點(diǎn)，極小值為（1），無(wú)極大值（Ⅱ）證明：由，則，對(duì)任意的，，，且，令，，則，，，①令，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)，（1），即，，，，，②，由（Ⅰ）可知當(dāng)時(shí)，（1）即，③，由①②③可得，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，，且，有．48．（2021?乙卷）已知函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求；（2）設(shè)函數(shù)．證明：．【解答】（1）解：由題意，的定義域?yàn)?，令，則，，則，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，則有，即，所以，當(dāng)時(shí)，，且，因?yàn)椋瑒t在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)．綜上所述，；（2）證明：由（1）可知，，要證，即需證明，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以需證明，即，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以為的極小值點(diǎn)，所以，即，故，所以．49．（2019?新課標(biāo)Ⅱ）已知函數(shù)．證明：（1）存在唯一的極值點(diǎn)；（2）有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)．【解答】證明：（1）函數(shù)．的定義域?yàn)椋?，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又（1），（2），存在唯一的，使得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，存在唯一的極值點(diǎn)．（2）由（1）知（1），又，在，內(nèi)存在唯一的根，由，得，，是在的唯一根，綜上，有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)．50．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【解答】證明：（1）的定義域?yàn)?，，，令，則在恒成立，在上為減函數(shù)，又，，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性可得，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，可得在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞增；由于在，上單調(diào)遞減，且，，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在，上存在唯一零點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性可知，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞減．當(dāng)，時(shí)，，，于是，單調(diào)遞減，其中，．于是可得下表：000單調(diào)遞減0單調(diào)遞增大于0單調(diào)遞減大于0單調(diào)遞減小于0結(jié)合單調(diào)性可知，函數(shù)在，上有且只有一個(gè)零點(diǎn)0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，在，上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，，則恒成立，因此函數(shù)在，上無(wú)零點(diǎn)．綜上，有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．51．（2019?天津）設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）若，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若．（?。┳C明：恰有兩個(gè)零點(diǎn)；（ⅱ）設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明：．【解答】解：，．時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．證明：由可知：，．令，，可知：在上單調(diào)遞減，又（1）．且，存在唯一解．即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減．是函數(shù)的唯一極值點(diǎn)．令，，，可得（1），時(shí)，．．（1）．函數(shù)在，上存在唯一零點(diǎn)．又函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)1．因此函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；由題意可得：，，即，，，即，，可得．又，故，取對(duì)數(shù)可得：，化為：．考點(diǎn)五利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值52．（2022?乙卷）函數(shù)在區(qū)間，的最小值、最大值分別為A．， B．， C．， D．，【解析】，，，則，令得，或，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，在區(qū)間，上的極大值為，極小值為，又，，函數(shù)在區(qū)間，的最小值為，最大值為，故選：．53．（2018?江蘇）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在，上的最大值與最小值的和為．【解析】函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，，，①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，在上沒有零點(diǎn)，舍去；②當(dāng)時(shí)，的解為，在上遞減，在，遞增，又只有一個(gè)零點(diǎn)，，解得，，，，，的解集為，在上遞增，在上遞減，，，（1），，，在，上的最大值與最小值的和為：．54．（2018?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）函數(shù)．，，是的極值點(diǎn)，（2），解得，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．（2）證法一：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，則，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，是的最小值點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，（1），當(dāng)時(shí)，．證法二：函數(shù)，，即，，令，，則，，（1），當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，（1），，．當(dāng)時(shí)，．證法三：當(dāng)時(shí)，，即只需證明，由于，則，令，則，即為增函數(shù)，又易證，故，即成立，故當(dāng)時(shí)，．55．（2022?甲卷）已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．【解析】（1）的定義域?yàn)椋?，解得，故函?shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故（1），要使得恒成立，僅需，故，故的取值范圍是，；（2）證明：由已知有函數(shù)要有兩個(gè)零點(diǎn)，故（1），即，不妨設(shè)，要證明，即證明，，，即證明：，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，即證明：，構(gòu)造函數(shù)，，，構(gòu)造函數(shù)，，因?yàn)?，所以，故在恒成立，故在單調(diào)遞增，故（1）又因?yàn)?，故在恒成立，故在單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?），故（1），故，即．得證．56．（2022?乙卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，同時(shí)也是最大值，函數(shù)的最大值為（1）；（2），①當(dāng)時(shí)，由（1）可知，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又（1），故此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且（1），，又由（1）可得，，即，則，，則，當(dāng)時(shí)，，故存在，使得，此時(shí)在上存在唯一零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又（1），故此時(shí)函數(shù)有唯一零點(diǎn)；⑤當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且（1），又由（1）可得，當(dāng)時(shí)，，則，則，此時(shí)，故存在，使得，故函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．57．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，因?yàn)?，可得在上遞增，即在上遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，①當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，可得；②當(dāng)