人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第二冊(cè))同步講義第31講 拓展十二：導(dǎo)數(shù)大題的8種常見(jiàn)考法總結(jié)含解析

拓展十二：導(dǎo)數(shù)大題的8種常見(jiàn)考法總結(jié)考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線問(wèn)題1．（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿(mǎn)足.(1)求在處的導(dǎo)數(shù)；(2)求的圖象在點(diǎn)處的切線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，再令即可得出答案；（2）由（1）求得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】（1）由，得，則，所以；（2）由（1）得，則，所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.2．（2023秋·陜西·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)滿(mǎn)足.(1)求的值；(2)求的圖象在處的切線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)得出，令可得出的值；（2）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程.【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，所以，，解得.（2）解：由（1）可知，則，則，，因此，的圖象在處的切線方程為，即.3．（2023秋·廣東廣州·高二西關(guān)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且．(1)求a，b的值；(2)求曲線在點(diǎn)處的切線方程．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)以及列方程，從而求得的值.（2）利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以①．又，，所以②，由①②解得：，．（2）由（1）知，又因?yàn)?，，所以曲線在處的切線方程為，即．4．（2023秋·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谀┰O(shè)為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性(2)若過(guò)點(diǎn)有且只有兩條直線與曲線相切，求的值.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求得，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，即可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)寫(xiě)出切線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，可得出，結(jié)合（2）中的結(jié)論以及三次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】（1）因?yàn)?，則，由可得，，①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，且不恒為零，此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，由可得或，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，由可得或，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.（2）解：設(shè)切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，切線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程整理可得，即，故關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則方程至多一個(gè)實(shí)根，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，則，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程至多一個(gè)實(shí)根，不合乎題意；③當(dāng)時(shí)，則，則，解得，合乎題意.綜上所述，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.5．（2023秋·云南·高二云南師大附中?？计谀┮阎瘮?shù).(1)若，求在處的切線方程；(2)在恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在處的切線方程；（2）二次求導(dǎo)后，對(duì)a分類(lèi)討論，分別研究單調(diào)性，求最值進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以.故在處的切線方程為.（2）由題意知，令，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，則，所以在單調(diào)遞減，所以，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在單調(diào)遞減，則，①當(dāng)，即時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，所以，滿(mǎn)足題意；②且時(shí)，即時(shí)，由零點(diǎn)存在性定理知，，使得.當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以，不滿(mǎn)足題意；③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，對(duì)任意單調(diào)遞增，所以，不滿(mǎn)足題意.綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．（4）利用導(dǎo)數(shù)解決恒（能）成立問(wèn)題．6．（2023秋·山西晉城·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中，且曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線(1)求a的值.(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；【答案】(1)(2)增區(qū)間為,減區(qū)間；極小值,沒(méi)有極大值.【分析】（1）由，而曲線在點(diǎn)處的切線垂直于，所以，解方程可得的值；（2）由（1）的結(jié)果知,于是可用導(dǎo)函數(shù)求的單調(diào)區(qū)間與極值；【詳解】（1）對(duì)求導(dǎo)得，由在點(diǎn)處切線垂直于直線，知解得；（2）由（1）知，則令，解得或.因不在的定義域內(nèi)，故舍去.當(dāng)時(shí)，故在內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，故在內(nèi)為增函數(shù)；所以函數(shù)在時(shí)取得極小值,沒(méi)有極大值.7．（2023秋·山西晉中·高二山西省平遙中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)若，求在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若，試判斷的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】(1)1(2)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）先求導(dǎo)，把代入，得到切線的斜率，再結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出切線的方程，再求切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為方程的解的個(gè)數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，分類(lèi)討論當(dāng)，時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，再找到零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1）若，，，所以，即切線的斜率為2.又，即切點(diǎn)坐標(biāo)為.所以在處的切線方程為，令，解得；令，解得.所以在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積.（2）由且，整理得．令，．

若，則，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，即在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．

若，令，又，，，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)且．令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，所以，，又，所以在區(qū)間上有唯一零點(diǎn).，所以在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，所以在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，即在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)．

綜上，若，在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；若，在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，一般要進(jìn)行分類(lèi)討論，難度比較大.1.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)也就是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，所以可以借助函數(shù)圖像的特征求解函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.2.對(duì)于含參函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，也可以進(jìn)行參變分離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，做出函數(shù)的大致圖象，根據(jù)極大值和極小值的符號(hào)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即“幾個(gè)交點(diǎn)幾個(gè)根，正負(fù)極值定乾坤”.8．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù).(1)求曲線在處切線方程；(2)若直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與曲線相切，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，然后利用點(diǎn)斜式寫(xiě)切線方程即可；（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到斜率，進(jìn)而得到直線的方程.【詳解】（1），所以，所以，，所以切線方程為：，整理得.（2），所以，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線斜率為，則切線方程為：，又因?yàn)榍芯€過(guò)原點(diǎn)，所以將代入切線方程得，解得，所以切線方程為：，整理得.考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性9．（2023秋·陜西西安·高二?？计谀┮阎瘮?shù)在處取得極值．(1)求的解析式，并討論和是函數(shù)的極大值還是極小值；(2)試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)，是函數(shù)的極大值，是函數(shù)的極小值(2)單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)得到是方程的兩個(gè)實(shí)根，解得，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到極值.（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】（1），在處取得極值，故是方程的兩個(gè)實(shí)根．所以，解得，所以，．令，得或；令，得．故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故是函數(shù)的極大值，是函數(shù)的極小值．（2），．令，得或；令，得．故的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為．10．（2023秋·山西太原·高二山西大附中?？计谀┮阎瘮?shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)討論的單調(diào)性.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的最值即可證明不等式；（2），對(duì)分類(lèi)討論即可得出函數(shù)的單調(diào)性．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令，，可得時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，，∴，即．（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，?/p>

當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.11．（2023秋·福建福州·高二福州三中?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)若曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)求得，利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.（2）由在區(qū)間恒成立分離常數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的最值求得的取值范圍.【詳解】（1）依題意，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2），，依題意可知在區(qū)間恒成立，即，，所以.12．（2023秋·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）已知.(1)若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，求出的值，檢驗(yàn)即可；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可；【詳解】（1）解：因?yàn)椋裕李}意，即，解得，此時(shí)，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在處取得極小值，符合題意，所以.（2）解：因?yàn)?，所以，，則，令，則或，當(dāng)時(shí)，令可得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，令，可得或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，令可得：或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；綜上可得：當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為，.13．（2023秋·北京·高二北京市十一學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)，．(1)若函數(shù)在x＝1處取得極值，求a的值．(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，根據(jù)求出，驗(yàn)證后得到答案；（2）求定義域，求導(dǎo)并對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行因式分解，分，，與分類(lèi)討論，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）定義域?yàn)?，，因?yàn)樵趚＝1處取得極值，所以，解得：，經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)x＝1為極大值點(diǎn)，滿(mǎn)足要求，故；（2），當(dāng)時(shí)，恒成立，令得：，令得：，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，故令得：或，令得：，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，恒成立，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，令得：或，令得：，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；14．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)（a為非零常數(shù)）(1)若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)1；(2)分類(lèi)討論，答案見(jiàn)解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，再代入計(jì)算作答.（2）求出函數(shù)定義域，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類(lèi)討論求解單調(diào)區(qū)間作答.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得：，則有，而，因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則有，即，而，則，所以實(shí)數(shù)的值為1.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒有，當(dāng)且僅當(dāng)且取等號(hào)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由解得，，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間是.考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值15．（2023秋·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值(2)【分析】（1）求導(dǎo)得到，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間計(jì)算極值得到答案.（2）在上恒成立，得到，解得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以的極小值為，無(wú)極大值.（2）在上恒成立，即在上恒成立，所以.16．（2023秋·山西呂梁·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，．(1)求的極值；(2)令，若，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，分類(lèi)討論與兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性求得的單調(diào)性，進(jìn)而得到的極值；（2）法一：先由（1）得，再構(gòu)造函數(shù)，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，由此得解；法二：構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證，利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論的取值范圍得到的單調(diào)性，從而得到關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】（1）由題知，，得，當(dāng)時(shí)，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，無(wú)極小值；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，無(wú)極大值；綜上：當(dāng)時(shí)，有極大值，無(wú)極小值；當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值.（2）法一：由，即，即，令，由（1）知，從而得，即，令，則，又，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取到最大值，且，所以，即a的取值范圍為．法二：由，即，即，令，由（1）知，令，，則，因?yàn)?，令，則，當(dāng)，即時(shí)，則，在上單調(diào)遞增，，與題意矛盾；當(dāng)，即時(shí)，令，得；令，得；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，解得，所以；當(dāng)，即時(shí)，，故恒成立，所以在上遞增，即，故，解得，而，無(wú)解，舍去；綜上，，即a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．17．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二校考期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在上的單調(diào)區(qū)間；(2)若在內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；(2)．【分析】將代入中，求導(dǎo)后分別令和，求出單調(diào)區(qū)間即可；對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)在內(nèi)有極值，可知在內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn)，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與x軸在內(nèi)有交點(diǎn)，再求出的取值范圍即可解決．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，得，故在上單調(diào)遞減；令，得，故在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）由，得，由在內(nèi)有極值，可知在內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn)，即方程在內(nèi)存在解，所以函數(shù)與x軸在內(nèi)有交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，則在恒成立，則與x軸在內(nèi)沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，若，則，單調(diào)遞增，若，則，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，，則與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，則與x軸有公共點(diǎn)，則與x軸在內(nèi)沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，則與x軸在內(nèi)至少有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意，綜上，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．18．（2023秋·山西太原·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1），分和討論即可；（2），題目轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，利用分離參數(shù)法得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究得圖像即可得到答案.【詳解】（1），，當(dāng)，則若,則在上單調(diào)遞增；若,令，即，則在上單調(diào)遞增.令，解得，則在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2），，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn),所以有兩個(gè)零點(diǎn),顯然,1不是的零點(diǎn)，由,得.即直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，，令,令，解得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,而,故,所以在,和上單調(diào)遞減，又在上,趨近于0時(shí),趨近于正無(wú)窮，趨近于1時(shí),趨近于負(fù)無(wú)窮，故函數(shù)在之間存在唯一零點(diǎn)，在上,趨近于1時(shí),趨近于正無(wú)窮，趨近于正無(wú)窮時(shí),趨近于0.作出圖形如下圖所示：所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵在于等價(jià)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在定義域上有兩零點(diǎn)，然后利用分離參數(shù)法，得到，轉(zhuǎn)化為直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，研究的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到的范圍.19．（2023秋·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若有三個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）先將代入，然后求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷其單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間即可；（2）求導(dǎo)將極值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，然后讓導(dǎo)函數(shù)有三個(gè)不相同的變號(hào)零點(diǎn)，求出的取值范圍即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，.令，得或；令，得.的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），.若函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且都不是.，故不可能是函數(shù)的零點(diǎn).所以，令，解得.在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增.的最小值為，，解得，又趨向或時(shí)，趨向，當(dāng)時(shí)，存在，使得，且.實(shí)數(shù)的取值范圍為.考點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值20．（2023秋·陜西商洛·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)求在上的最值．【答案】(1)(2)在區(qū)間上的最小值為-3，最大值為15.【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可求解；(2)求出函數(shù)在上的所有極值和，通過(guò)比較即可求解.【詳解】（1），所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以函數(shù)在上有極小值而，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為-3，最大值為15.21．（2023秋·浙江舟山·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在上的最值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）求導(dǎo)，得出切線的斜率，確定切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，寫(xiě)出切線方程；（2）研究函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，計(jì)算在上的極值及和，然后比較可得最值．【詳解】（1），.，所以切線方程為，即.（2）在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減，時(shí)，取極大值也是最大值，，.22．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)．(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求在上的最大值；(2)若曲線在處的切線與曲線也相切，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）求出后，根據(jù)可求出，再利用導(dǎo)數(shù)可求出在上的最大值；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在處的切線，以及曲線在點(diǎn)處的切線方程，根據(jù)兩直線重合列式可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，得，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),,所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以是的一個(gè)極小值點(diǎn)，所以符合題意.由以上可知，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又，，所以，所以在上的最大值為.（2）由（1）知，，所以，又，所以切線，即，假設(shè)直線與曲線切于，因?yàn)椋?，又，所以在處的切線方程為，即,因?yàn)橹本€與直線重合，所以，消去，得，解得或.23．（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)且．(1)求a的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)求函數(shù)在上的最大值和最小值．【答案】(1)(2)調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(3)最大值為，最小值為【分析】(1)求導(dǎo)得，代入，得可得答案；(2)由題意可得，分別解，，即可得函數(shù)的單調(diào)遞增、減區(qū)間；(3)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，即可得答案.【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)，∴，由，得，解得；（2）解：由（1）可知，解不等式，得或，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，解不等式，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的變化如下表所示：令，解得或，x+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因?yàn)?，；所以?dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值；又因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，∴函數(shù)的最大值為，最小值為．24．（2023秋·陜西咸陽(yáng)·高二武功縣普集高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在處有極值.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求函數(shù)在上的最值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意列出方程，求得的值，可得答案.（2）求出函數(shù)的極值點(diǎn)，求得函數(shù)的極值以及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較可得答案.【詳解】（1），，解得，則，若，則；若，則或,即函數(shù)在處有極大值且極大值為，符合題意，故：（2）由（1）知，，，若，則；若，則或,在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,又，.25．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·高二湖南省邵東市第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】(1)的極小值為，極大值為11；(2).【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值作答.（3）利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在的單調(diào)性，求出最小值即可求解作答.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)镽，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在，上遞減，在上遞增，因此當(dāng)時(shí)，取得極小值，當(dāng)時(shí)，取得極大值，所以的極小值為，極大值為11．（2）函數(shù)，，求導(dǎo)得，因?yàn)?，則由得，顯然，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，則函數(shù)在上的最小值為，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為1.考點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)證明不等式26．（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)（）.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可；(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性和極值的關(guān)系得到，即可證明.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，得解得，得解得，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，得解得，得解得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；（2）因?yàn)?，由?）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，設(shè)，，由得解得，由得解得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，從而恒成立，即恒成立.27．（2023秋·重慶萬(wàn)州·高二重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由在上單調(diào)遞增，得恒成立，討論的單調(diào)性，求的最小值大于等于恒成立，建立不等關(guān)系，求得答案.（2）利用分析法轉(zhuǎn)化需要證明的結(jié)論為，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，可判斷函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，結(jié)合重要不等式對(duì)式子進(jìn)行放縮，結(jié)論得證.【詳解】（1）在上單調(diào)遞增，所以恒成立，令恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立.當(dāng)時(shí)，所以h（x）在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，故不符合題意.當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以解得.綜上，的取值范圍是.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，要證，即證，只需證，即證令，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故存在使得所以，即在時(shí)遞增，在時(shí)遞減.令，則二次函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，函數(shù)圖象開(kāi)口向下，且，故當(dāng)時(shí)，，又∴，又，所以函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，使得.,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立因?yàn)槿〉忍?hào)的條件不一致，故.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．28．（2023秋·河南信陽(yáng)·高二信陽(yáng)高中?？计谀┮阎瘮?shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，恒成立.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）分別在和兩種情況下，根據(jù)的正負(fù)可得單調(diào)區(qū)間；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得：定義域?yàn)?，；①?dāng)時(shí)，，則在上恒成立，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由得：；令，則，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，，，使得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問(wèn)題；證明不等式的關(guān)鍵是能夠通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值的求解問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定最大值.29．（2023秋·廣東深圳·高二深圳大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù).(1)若是的極小值點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若只有唯一的極值點(diǎn)，求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分，和討論函數(shù)單調(diào)性即可求解；（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，此時(shí)有唯一的極大值點(diǎn)，題意轉(zhuǎn)化成，令，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可【詳解】（1）由可得，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故是的極大值點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，令，則或；由可得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減，故是的極大值點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，①若，即，，故在上單調(diào)遞增，不符合題意，舍去；②若，即時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故是的極大值點(diǎn)，不符合題意，舍去；③若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，符合題意.綜上所述，的取值范圍.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，此時(shí)有唯一的極大值點(diǎn)，要證：，設(shè)，，設(shè)，，，當(dāng)，當(dāng)，于是在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，于是，則由可得，當(dāng)，當(dāng)，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，那么，即證【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．30．（2023秋·湖南岳陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求函數(shù)在點(diǎn)P處的切線方程．(2)當(dāng)時(shí)，求證．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出，由求得，然后計(jì)算出，用點(diǎn)斜式得切線方程并化簡(jiǎn)；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性，從而確定的零點(diǎn)存在，得出其為極小值點(diǎn)，由得間的關(guān)系，代入變形，然后由基本不等式結(jié)合已知條件得證結(jié)論．【詳解】（1）由解得，所以，，所以，，切線方程為，即所求切線方程為；（2）證明得定義域?yàn)椋?，設(shè)，則，故是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以存在，使得①，且時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，故②，由①式得③，將①③兩式代入②式，結(jié)合得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，結(jié)合②式可知，此時(shí)，故恒成立．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法：利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，證明最小值大于0即得，問(wèn)題常常遇到最小值點(diǎn)不能直接求出，只有利用零點(diǎn)存在定理確定為，為此可利用的性質(zhì)：確定與參數(shù)的關(guān)系，從而化為一個(gè)變量的函數(shù)（一元函數(shù)），然后由不等式的知識(shí)或函數(shù)知識(shí)得出其大于0.31．（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線l，求l的方程；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，證明：．【答案】(1)或(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）易知不在上，設(shè)切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將代入求出對(duì)應(yīng)，即可求解對(duì)應(yīng)切線方程；（2）構(gòu)造，求得，再令，通過(guò)研究正負(fù)確定單調(diào)性，再由正負(fù)研究最值，進(jìn)而得證.【詳解】（1）由題，時(shí)，，，設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，該切線過(guò)點(diǎn)，則，即，所以或．又；；，．所以，切線方程為或；（2）設(shè)，則，令，則，可知，時(shí)，；時(shí)，，故時(shí)均有，則即在上單調(diào)遞增，，因?yàn)闀r(shí)，則，，故在上單調(diào)遞增，此時(shí)，．所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，均有．32．（2023秋·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谀┮阎瘮?shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求f(x)的最大值；(2)設(shè)a為整數(shù)，若在定義域上恒成立，求a的最大值；(3)證明.【答案】(1)1；(2)2；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值作答.（2）利用（1）的結(jié)論可得，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，，再按、探討恒成立，構(gòu)造函數(shù)并證明不等式作答.（3）利用（2）的結(jié)論，構(gòu)造數(shù)列不等式，再借助等比數(shù)列求和公式推理作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.（2）由（1）知，，，即，因此對(duì)，，當(dāng)時(shí)，對(duì)，，則有，于是當(dāng)時(shí)，對(duì)，恒成立，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，必有，解得，而為整?shù)，則最大值不大于2，因?yàn)閷?duì)，恒成立，則對(duì)，有恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是對(duì)，，綜上得當(dāng)時(shí)，對(duì)，恒成立，即整數(shù)，所以整數(shù)a的最大值為2.（3）由（2）知，，，取，有，因此，從而，所以原不等式成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含參函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)分段討論，確定臨界值，再利用導(dǎo)數(shù)證明不等式作答.33．（2023秋·山西臨汾·高二統(tǒng)考期末）已知.(1)當(dāng)，證明；(2)討論的單調(diào)性；(3)利用（1）中的結(jié)論，證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)得到，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間計(jì)算最值得到證明.（2）求導(dǎo)得到，討論，，三種情況，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性.（3）根據(jù)得到，依次帶入數(shù)據(jù)相加得到證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，令，解得，當(dāng)在之間變化時(shí)，及的變化情況如下表：10單調(diào)遞增0單調(diào)遞減因此當(dāng)時(shí)，取得最大值，故；（2），所以，令，解得，①當(dāng)時(shí)，方程的解為，且，在之間變化時(shí)，及的變化情況如下表：0單調(diào)遞增單調(diào)遞減在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，此時(shí)恒成立，故在單調(diào)遞增，③當(dāng)時(shí)，方程的解為，但，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；（3）由（1）知，，其中“=”當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，當(dāng)時(shí)，且，故，即，于是當(dāng)時(shí)，依次有，，，，，相加得，即【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，討論函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用構(gòu)造是解題的關(guān)鍵，需要熟練掌握這種技巧.考點(diǎn)五利用導(dǎo)數(shù)解決恒（能）成立問(wèn)題34．（2023秋·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（為常數(shù)）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論確定的正負(fù)得單調(diào)性；（2）分離參變量得在上恒成立，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值的問(wèn)題，求解即可．【詳解】（1）定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由題意知：在上恒成立，即：在上恒成立，令，則，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，只需，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.35．（2023秋·江蘇常州·高二江蘇省奔牛高級(jí)中學(xué)校考期末）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）求出函數(shù)定義域，利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論求解的單調(diào)區(qū)間即可求解；（2）變形給定不等式，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，求出在的最小值即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，若，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）令，于是恒成立，即恒成立，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，，則有，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題的方法(1)分離參數(shù)法求范圍：若或恒成立，只需滿(mǎn)足或即可，利用導(dǎo)數(shù)方法求出的最小值或的最大值，從而解決問(wèn)題；(2)把參數(shù)看作常數(shù)利用分類(lèi)討論方法解決：對(duì)于不適合分離參數(shù)的不等式，常常將參數(shù)看作常數(shù)直接構(gòu)造函數(shù)，常用分類(lèi)討論法，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值，從而得出參數(shù)范圍.36．（2023秋·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，極大值，無(wú)極小值；(2)【分析】（1）直接求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與極值；（2）構(gòu)造，由，可得，可得，又，，即得，可得時(shí)，恒成立.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，故在處取得極大值，無(wú)極小值；（2）因?yàn)闀r(shí)，，即，故，令，故時(shí)，恒成立，故，即（必要性），當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，因?yàn)?，又由，由?）知，，故，故時(shí)，恒成立（充分性），即時(shí)，恒成立，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．37．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二江蘇省江都中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，討論在上的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)【分析】（1）根據(jù)題意將代入中，求導(dǎo)，解導(dǎo)數(shù)方程，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)和，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合單調(diào)性即可求解的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，當(dāng)時(shí)，解得，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）令，則.當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增.又，故.當(dāng)時(shí)，令，則，故在上單調(diào)遞增.故存在使得，且當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，故不符合.綜上所述，的取值范圍為.38．（2023秋·江蘇鹽城·高二校考期末）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值0.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的極小值列出方程組，再求解并驗(yàn)證作答.（2）根據(jù)給定條件，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，再求出函數(shù)的最小值作答.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得：，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值0，因此，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得函數(shù)在處取得極小值0，所以函數(shù)的解析式為.（2），不等式，令，，求導(dǎo)得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榇嬖?，使不等式成立，則存在，使不等式成立，即有，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.39．（2023秋·湖南岳陽(yáng)·高二湖南省汨羅市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)圖象上各點(diǎn)切線斜率的最大值為2，求函數(shù)的極值；(2)若不等式有解，求的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值(2)且【分析】（1）求導(dǎo)后可知，當(dāng)時(shí)取最大值，求得的值，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)的極值；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到，將有解轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到，則等價(jià)于且，由此求得的取值范圍．【詳解】（1）由于圖像上各點(diǎn)切線斜率的最大值為2，即取得最大值為2，由題可知的定義域?yàn)?，則，即是關(guān)于的二次函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，，而，，此時(shí)，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，的極小值為，無(wú)極大值．（2），其中且，在上，，則單調(diào)遞減，在上，，則單調(diào)遞增，，關(guān)于的不等式有解，，，，設(shè)，則，在上，，則單調(diào)遞增，在上，，則單調(diào)遞減，，即在內(nèi)恒成立，要求，即，則只需即可，即，等價(jià)于，解得：且，的取值范圍是：且.40．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先求出導(dǎo)數(shù)，分，，討論單調(diào)性.(2)根據(jù)第（1）問(wèn)，分，，討論在的單調(diào)性，求【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上：時(shí)在上單調(diào)遞增.時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）若在區(qū)間上有解，即求當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為不成立，故不滿(mǎn)足題意.當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以成立，滿(mǎn)足題意.時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以不成立，舍去時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在單調(diào)遞增，，所以綜上的取值范圍為：考點(diǎn)六利用導(dǎo)數(shù)解決零點(diǎn)問(wèn)題41．（2023秋·河南周口·高二項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的最小值；(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)只有一個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，求得切線斜率，再由點(diǎn)斜式得解；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得最小值；（3）結(jié)合零點(diǎn)存在定理和單調(diào)性，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，則，又，由點(diǎn)斜式可得，所求切線方程為，即；（2）令，解得；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；（3），，則，令，解得；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上無(wú)零點(diǎn)，在上單調(diào)遞增，，，則在只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上在定義域只有一個(gè)零點(diǎn)．42．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）已知，函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值：(2)若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值(2)【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的正負(fù)可得的單調(diào)性，由極值定義可求得結(jié)果；（2）根據(jù)單調(diào)性可知，則只需，解不等式即可.【詳解】（1）由題意得：定義域?yàn)椋?；令，解得：，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無(wú)極大值.（2）由（1）知：的極小值即為的最小值，即；若無(wú)零點(diǎn)，則，即，，解得：，則的取值范圍為.43．（2023秋·云南昆明·高二昆明一中?？计谀┮阎瘮?shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間；減區(qū)間(2)【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，由求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由可得，則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令可得，列表如下：取值為正取值為?fù)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由，可得，則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，由，可得，列表如下：取值為正取值為?fù)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以，函數(shù)的極大值為，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，和函數(shù)相比，一次函數(shù)呈爆炸性增長(zhǎng)，所以，且，，又，根據(jù)以上信息，作出其圖象如下：當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．44．（2023秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)極小值為(2)【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求解，（2）求導(dǎo)，分類(lèi)討論，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，令，解得，列表如下：0極小值所以的極小值為.（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)即有兩個(gè)零點(diǎn).因?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).（i）若，則，最多只有一個(gè)零點(diǎn)；（ii）若，因?yàn)椋?，所以在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).令，則，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).所以，故.所以，又，所以在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問(wèn)題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.45．（2023秋·山西晉城·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)a的范圍.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間.(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論a的取值范圍，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得答案;（2）分類(lèi)討論a的取值，確定的單調(diào)性，若為單調(diào)函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)先減后增時(shí)，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，需要其最小值小于0，求得a的取值范圍，再證明確實(shí)有兩個(gè)零點(diǎn).【詳解】（1）由于，則定義域?yàn)椋傻茫?，?dāng)時(shí)，∵，∴，故在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，∵，∴由可得，由得，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2），，，當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去;當(dāng)時(shí)，由得或(舍去).當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，，需要，即，解得，又，且，所以在上有唯一的零點(diǎn)，令，，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，故，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，且，所以在上有唯一的零點(diǎn)，綜上:當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù)的常用方法:(1)將函數(shù)可方程變形構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢(shì))等，畫(huà)出的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)利用零點(diǎn)存在性定理，先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).46．（2023秋·山西呂梁·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在時(shí)有極值0．(1)求函數(shù)的解析式；(2)記，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由在時(shí)有極值0，則，兩式聯(lián)立可求常數(shù)a，b的值，檢驗(yàn)所得a，b的值是否符合題意，從而得解析式；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，根據(jù)函數(shù)圖象的大致形狀可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由可得，因?yàn)樵跁r(shí)有極值0，所以，即，解得或，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不滿(mǎn)足在時(shí)有極值，故舍去，當(dāng)，時(shí)滿(mǎn)足題意，所以常數(shù)a，b的值分別為，，所以．（2）由（1）可知，，令，解得，，∴當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴的遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則須滿(mǎn)足，解得．47．（2023秋·福建福州·高二福州三中?？计谀┮阎瘮?shù)（）．(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（），求證：．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的不同取值范圍，對(duì)的符號(hào)進(jìn)行討論即可；（2）由已知及（1）中單調(diào)性，可知，且，故只需證明，再借助不等式性質(zhì)和放縮，即可證出.【詳解】（1）由已知，的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，恒成立，∴此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（），則由（1）知，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（*）∵，∴，∴，又∵，∴，∴只需證明，即有.下面證明，設(shè)，，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增，∴，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又∵，∴，即，∴由（*）知，，∴，即.又∵，，∴，原命題得證.【點(diǎn)睛】本題第（2）問(wèn)為極值點(diǎn)偏移的變式，首先需要通過(guò)和，確認(rèn)只需證，再通過(guò)構(gòu)造關(guān)于其中一個(gè)零點(diǎn)的一元差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性，證出，最后使用不等式性質(zhì)和放縮得到.48．（2023秋·山西太原·高二統(tǒng)考期末）（B）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先對(duì)求導(dǎo)，再分類(lèi)討論與，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的圖像與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，從而利用導(dǎo)數(shù)研究的圖像得到；再利用極值點(diǎn)偏移，構(gòu)造函數(shù)證得，由此得證.【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，即時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，，，令，得；令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)椋?，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根，令，則的圖像與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，又，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，又當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)，的增長(zhǎng)速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于的增長(zhǎng)速率，所以趨于，由此作出的圖像如下：所以，則，又，則，故，因?yàn)?，令，則，令，則，，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以在上單調(diào)遞增，則，故當(dāng)時(shí)，，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，則，即，所以，故，即，又，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．考點(diǎn)七利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問(wèn)題49．（2023秋·福建福州·高二福建省福州第八中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)(1)已知在上為單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若在有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)在上為單調(diào)遞增，可得，在上恒成立，即可轉(zhuǎn)化為一元二次不等式在上恒成立，即可求得的取值范圍；（2）若在有兩個(gè)極值點(diǎn)，即有在上有兩個(gè)根，轉(zhuǎn)化為為方程的兩個(gè)根，根據(jù)一元二次方程根的分布可得的范圍與滿(mǎn)足的關(guān)系式，從而化簡(jiǎn)，再將所證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）由，，求導(dǎo)得，因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞增，故，在上恒成立，又恒成立，所以在上恒成立，由時(shí)，即，所以的取值范圍為.（2）證明：在上由兩個(gè)極值點(diǎn)，有在上有兩個(gè)根，即為方程的兩個(gè)根，所以，解得，可得，且，所以將代入上式，可得：，由題意，需證，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，即，故.50．（2022秋·陜西渭南·高二期末）已知函數(shù).(1)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明:.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）分類(lèi)討論導(dǎo)函數(shù)的實(shí)數(shù)根即可求解極值點(diǎn)，（2）構(gòu)造函數(shù)和，通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解最值，當(dāng)導(dǎo)數(shù)正負(fù)不好確定的時(shí)候，需要構(gòu)造新的函數(shù)，不斷的通過(guò)求導(dǎo)判斷單調(diào)性.【詳解】（1）,則,顯然不是的零點(diǎn),令,則,在單調(diào)遞減,在（0,1）單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且時(shí),只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以此時(shí)有1個(gè)極值點(diǎn),時(shí),沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故有0個(gè)極值點(diǎn),當(dāng)時(shí)，，有一個(gè)實(shí)數(shù)根，但不是極值點(diǎn)，故此時(shí)沒(méi)有極值點(diǎn)，時(shí),有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故有2個(gè)極值點(diǎn).（2）由（1）知,,且在（0,1）單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,先證:,即證:，即證:.即證:.令,即證:,令則令,則,則在單調(diào)遞減,,即在單調(diào)遞減,,證畢.再證:,,且.在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,.即證:,又,即證:.令,.令,,令,令令,,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.,,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.,,,在單調(diào)遞增,,所以原命題得證.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性時(shí)，如果求導(dǎo)后的正負(fù)不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來(lái)，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時(shí)，常采用兩種思路：求直接求最值和等價(jià)轉(zhuǎn)化.無(wú)論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.51．（2022春·陜西安康·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)若時(shí)，，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，判定單調(diào)性，求解最值可得范圍；（2）把雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性和最值，可以證明結(jié)論.【詳解】（1）∵，，∴，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，與已知矛盾．當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，滿(mǎn)足條件；綜上，取值范圍是．（2）證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，要證，只需證，∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴只需證，∵，∴只需證．設(shè)，則，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，即成立，∴．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒成立問(wèn)題的處