專題15 三角形相似的判定方法之四大考點(解析版)

專題15三角形相似的判定方法之四大考點【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一兩角對應相等，兩個三角形相似】 1【考點二兩邊成比例且夾角相等，兩個三角形相似】 5【考點三三邊對應成比例，兩個三角形相似】 8【考點四補充條件使兩個三角形相似】 11【過關檢測】 13【典型例題】【考點一兩角對應相等，兩個三角形相似】例題：（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求證：△BDE∽△EFC．【答案】見解析【分析】根據，得出，根據可判斷，可證．【詳解】證明，，又，，，，．【點睛】本題考查平行線性質，三角形相似判定，掌握平行線性質，三角形相似判定是解題關鍵．【變式訓練】1．如圖，在中，，E是邊AC上一點，且，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：．【答案】見解析【分析】先根據等腰三角形的性質得∠C=∠BEC，又由對頂角相等可證得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出結論．【詳解】證明：∵∴∠C=∠BEC，∵∠BEC=∠AED，∴∠AED=∠C，∵AD⊥BD，∴∠D=90°，∵，∴∠D=∠ABC，∴．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，相似三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質和相似三角形的判定定理是解題的關鍵．2．如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，點E為AC的中點，AD⊥BC于點D，ED延長后交AB的延長線于點F，求證：△AEF∽△ABC．【答案】證明見解析．【分析】先根據直角三角形斜邊上的中線性質得到ED＝EC，則∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性質可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，則根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似可判斷△AEF∽△ABC．【詳解】證明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴△ADC是直角三角形，∵點E為AC的中點，∴ED＝EC，∴△ECD是等腰三角形，∴∠EDC＝∠C，∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C，∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AEF，∵∠EAF＝∠BAC，∴△AEF∽△ABC．【點睛】此題考查了相似三角形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質、等腰三角形的判定和性質、三角形的外角的性質等，熟練掌握直角三角形斜邊上中線的性質是解題的關鍵．3．如圖，在中，，于點．（1）求證：；（2）若點是邊上一點，連接交于，交邊于點，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）由得，利用同角的余角相等推出即可；（2）兩次用同角的余角相等推出和即可．【詳解】（1）證明：，，，，，，；（2）證明：，，，，，，，，，．【點睛】本題考查三角形相似判定問題，掌握三角形相似的判定定理，靈活運用三角形相似的判定定理證明相似是解題關鍵．【考點二兩邊成比例且夾角相等，兩個三角形相似】例題：如圖，AB?AF＝AE?AC，且∠1＝∠2，求證：△ABC∽△AEF．【答案】見解析【分析】根據題意得出，然后由∠1＝∠2得出∠BAC＝∠EAF，利用相似三角形的判定即可證明【詳解】證明：如圖，∵AB?AF＝AE?AC，∴，又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF，即∠BAC＝∠EAF，∴△ABC∽△AEF．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵．【變式訓練】1．如圖所示，點D是△ABC的AB邊上一點，且AD＝1，BD＝2，AC＝．求證：△ACD∽△ABC．【答案】見解析【分析】首先利用已知得出，進而利用相似三角形的判定方法得出即可．【詳解】證明：∵，，，∴，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，正確把握相似三角形的判定方法是解題關鍵．2．如圖，FE∥CD，AF=3，AD=5，AE=4．(1)求AC的長；(2)若，求證：△ADE∽△ABC．【答案】(1)AC=；(2)見解析【分析】（1）根據平行線分線段成比例定理得出比例式，求出AC即可；（2）根據已知線段的長度求出，根據相似三角形的判定即可得出△ADE∽△ABC．（1）解：∵EF∥CD，∴，∵AF=3，AD=5，AE=4，∴，解得：AC=；（2）證明：∵AB=，AD=5，AE=4，AC=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．3．如圖，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．（1）填空：∠ABC＝°，BC＝；（2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并證明你的結論．【答案】（1），；（2），證明見解析【分析】（1）先在Rt△BCG中根據等腰直角三角形的性質求出∠GBC的度數，再根據∠ABC=∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度數；在Rt△BGC中利用勾股定理即可求出BC的長．（2）利用格點三角形的知識求出AB，BC及DE，EF的長度，繼而可作出判斷．【詳解】解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形，∴∠GBC=45°，∵∠ABG=90°，∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°；∵在Rt△BGC中，BG=2，CG=2，∴；故答案為：，；（2）解：相似．理由如下：∵，，∴，∴又∵∴．【點睛】此題主要考查學生對勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此題的關鍵是認真觀察圖形，得出兩個三角形角和角，邊和邊的關系．【考點三三邊對應成比例，兩個三角形相似】例題：如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，△ABC和△DEF的頂點都在方格紙的格點上，判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由．【答案】相似，理由見解析【分析】根據勾股定理求出AB，BC，AC，DE，DF，EF的長，再根據相似三角形的判定定理，即可求解．【詳解】解：△ABC和△DEF相似；理由如下：根據題意得：AB＝2，，；，，EF＝2，∴，，，∴，∴△ABC∽△DEF．【點睛】本題主要考查了網格圖與勾股定理，相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．【變式訓練】1．根據下列條件，判斷與是否相似，并說明理由：(1)，，，，，；(2)，，，，，．【答案】(1)相似，理由見解析(2)相似，理由見解析【分析】（1）計算對應邊的比，根據三邊對應，兩三角形相似，進而判斷即可；（2）根據兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似，進而判斷即可．（1）解：∵，，，∴．∴．（2）∵，，∴．又∵，∴．【點睛】題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關鍵．2．如圖，在和中，、分別是、上一點，，當時，求證：．【答案】見解析【分析】根據比例的性質可得，，即可求證．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】此題考查了相似三角形的判定方法，涉及了比例的性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法．3．如圖，設網格中每個小正方形的邊長均為1．點、、和、、都在正方形的頂點上．求證：．【答案】證明見解析【分析】先利用勾股定理分別求解再分別計算：可得兩個三角形的三邊對應成比例，從而可得結論.【詳解】解：由勾股定理可得：【點睛】本題考查的是二次根式的運算，勾股定理的應用，相似三角形的判定，熟悉三邊對應成比例的兩個三角形相似是解題的關鍵.【考點四補充條件使兩個三角形相似】例題：如圖，在中，，點在上（點與，不重合），若再增加一個條件就能使，則這個條件是________（寫出一個條件即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】兩個三角形中如果有兩組角對應相等，那么這兩個三角形相似，據此添加條件即可．【詳解】解：添加，可以使兩個三角形相似．∵，，∴．故答案為：（答案不唯一）【點睛】本題考查相似三角形的判定定理，兩組角對應相等的兩個三角形相似．理解和掌握三角形相似的判定是解題的關鍵．【變式訓練】1．如圖，在中，點在邊上，點在邊上，請?zhí)砑右粋€條件_________，使．【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）．【分析】已知有一個公共角，則可以再添加一個角從而利用有兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定或添加夾此角的兩邊對應成比例也可以判定．【詳解】解∶∵∠A=∠A，∴根據兩角相等的兩個三角形相似，可添加條件∠ADE=∠B或∠AED=∠C證相似；根據兩邊對應成比例且夾角相等，可添加條件證相似．故答案為∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．【點睛】此題考查了本題考查了相似三角形的判定，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法．2．如圖，已知相交于點O，若補充一個條件后，便可得到，則要補充的條件可以是________．【答案】∠B=∠C（答案不唯一）【分析】根據題意有∠AOB=∠DOC，因此根據相似三角形的判定條件只需要添加∠B=∠C或∠A=∠D即可證明△AOB∽△DOC．【詳解】解：∵∠AOB=∠DOC，∴當添加條件∠B=∠C時可以證明△AOB∽△DOC，故答案為：∠B=∠C（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定條件是解題的關鍵．3．如圖所示，在四邊形中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么還要補充的一個條件是________．（只要求寫出一個條件即可）【答案】或或（答案不唯一）【分析】先由AD∥BC，得到∠DAC=∠ACB，然后利用相似三角形的判定定理，做題即可．【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴當∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或∴都可得相似．故答案為：∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或（答案不唯一）．【點睛】此題考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定條件是解題的關鍵：①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似．【過關檢測】一、單選題1．（2023秋·九年級課時練習）如圖，下列條件不能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據有兩個角對應相等的三角形相似和兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，分別判斷得出即可．【詳解】解：A、∵，，∴，故此選項不合題意；B、∵，，∴，故此選項不合題意；C、∵，∴，，∴，故此選項不合題意；D、不能判定，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．2．（2023春·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，那么添加下列一個條件后，不能判定的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據求出，再根據相似三角形的判定方法解答．【詳解】解：，，A、添加，可用兩角法判定，故本選項不符合題意；B、添加，可用兩角法判定，故本選項不符合題意；C、添加，可用兩邊及其夾角法判定，故本選項不符合題意；D、添加，不能判定，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定：①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．3．（2023春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）如圖，下列條件：①；②；③；④；其中單獨能夠判定的條件有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據相似三角形的判定逐一判斷即可．【詳解】解：，，，故①單獨能夠判定；，，，故②單獨能夠判定；由③不能判定，，，，故④單獨能夠判定；其中單獨能夠判定的條件有3個，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．4．（2023秋·九年級課時練習）如圖，為線段上的一點，與交于點，，與交于點，交于點，則下列結論中錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由相似三角形的判定逐一進行判斷即可．【詳解】解：，且，，，故選項B正確，不符合題意；，，故選項A正確，不符合題意；，，故選項C正確，不符合題意；由條件無法證明，故選項D錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．二、填空題5．（2023春·安徽合肥·九年級校考階段練習）如圖，要使和相似，已具備條件，還需補充的條件是，或，或．

【答案】【分析】根據三角形判定定理：兩角對應相等兩三角形相似、兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似．已知一個角相等，只要滿足另外任何一個角對應相等或者所夾角的兩邊對應成比例即可．【詳解】解：由圖示可知，要使和相似根據三角形相似的判定定理，需要補充條件是，或，．故答案為：；；；．【點睛】本題考查了三角形相似的判定，定理為：①兩角對應相等兩三角形相似；②兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似；③三邊對應成比例，兩個三角形相似．6．（2023春·江西贛州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，請再添加一個條件，使，你添加的條件是（寫出一個即可）．【答案】或【分析】根據相似三角形的判定定理即可進行解答．【詳解】解：添加，∵，∴；添加，∵，，∴；故答案為：或．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定定理，解題的關鍵是掌握：三邊分別成比例的兩個三角形相似；兩邊成比例，夾角相等的兩個三角形相似；有兩個角相等的兩個三角形相似．7．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形網格中：①；②；③；這3個斜三角形中，能與相似的是．（點、、、、均在格點上）【答案】【分析】分別求出三個三角形的三邊的比（按邊長的大小順序），所求三邊之比等于的三邊之比就是與相似的三角形．【詳解】解：∵的三邊之比是，的三邊之比是的三邊之比是，的三邊之比是．∴與相似，故答案為：．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，勾股定理與網格，掌握“三邊對應成比例，兩三角形相似”是解題的關鍵．8．（2023秋·河南漯河·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點為中點，點在上，當為時，與以點A、D、E為頂點的三角形相似．

【答案】3或【分析】先得到，再分與兩種情況討論即可解答．【詳解】解：當時，∵，∴，∴，當時，∵，∴，∴，綜上，或，故答案為：3或．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，解題的關鍵是分類討論思想的運用及熟練掌握相似三角形的判定定理．三、解答題9．（2022春·九年級單元測試）如圖判斷方格中的兩個三角形是否相似，并說明理由．【答案】相似，理由見解析【分析】根據相似三角形的判定定理判斷即可．【詳解】相似，理由如下：∵在中，，，，在中，，，，∵，，，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟知其判定定理是解題的關鍵．10．（2022秋·江蘇鹽城·九年級東臺市三倉鎮(zhèn)中學校聯考階段練習）如圖，和的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上

(1)求證：(2)的的面積比為________．【答案】(1)見解析；(2)，見解析．【分析】（1）根據勾股定理求得兩三角形三邊長，按大小邊順序，求出兩三角形對應三邊比，根據“兩三角形三邊對應成比例，兩三角形相似”得證．（2）根據相似三角形性質“面積比等于相似比的平方”求解．【詳解】（1）解：由圖知，，，，，，，∴，，；∴∴（2）解：∵∴的的面積比為，即．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法及性質是解題的關鍵．11．（2023·浙江杭州·校聯考三模）如圖所示，延長平行四邊形一邊至點F，連接交于點E，若．

(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)9【分析】（1）根據平行四邊形的性質可得，則，即可求證；（