2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中+期末高效復(fù)習(xí)課第三章圓錐曲線的方程新定義文化高觀點必刷必過題含解析

Page1第三章圓錐曲線的方程新（定義，文化）高觀點必刷必過題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）2021年2月10日，天問一號探測器順利進(jìn)入火星的橢圓環(huán)火軌道（將火星近似看成一個球體，球心為橢圓的一個焦點）．2月15日17時，天問一號探測器成功實施捕獲軌道遠(yuǎn)火點（橢圓軌跡上距離火星表面最遠(yuǎn)的一點）平面機動，同時將近火點高度調(diào)整至約265km．若此時遠(yuǎn)火點距離約為11945km，火星半徑約為3395km，則調(diào)整后天問一號的運行軌跡（環(huán)火軌道曲線）的焦距約為（

）A．11680km B．5840km C．19000km D．9500km【答案】A【詳解】設(shè)橢圓的方程為（），由橢圓的性質(zhì)可知橢圓上的點到焦點距離的最小值為，最大值為，根據(jù)題意可得近火點滿足①，遠(yuǎn)火點滿足②，由得，故選：A2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）圖1是明朝的一個葡萄紋橢圓盤，圖2是清朝的一個青花山水樓閣紋飾橢圓盤，圖3是北宋的一個汝窯橢圓盤．已知圖1，2，3中橢圓的短軸長與長軸長的比值分別為，，，設(shè)圖1，2，3中橢圓的離心率分別為，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由橢圓的短軸長與長軸長的比值為，離心率為，得，，，所以．故選：A3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓：的蒙日圓方程為，，分別為橢圓的左、右焦點.離心率為，為蒙日圓上一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點，若面積的最大值為36，則橢圓的長軸長為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為橢圓的離心率，所以.因為，所以，所以橢圓的蒙日圓的半徑為.因為，所以為蒙日圓的直徑，所以，所以.因為，當(dāng)時，等號成立，所以面積的最大值為：.由面積的最大值為36，得，得，進(jìn)而有，，故橢圓的長軸長為.故選：B4．（2022·福建·莆田八中高三開學(xué)考試）第24屆冬季奧林匹克運動會，將于2022年2月在北京和張家口舉行，北京冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，運用中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將厚重的東方文化底蘊與國際化的現(xiàn)代風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出新時代的中國新形象、新夢想．會徽圖形上半部分展現(xiàn)滑冰運動員的造型，下半部分表現(xiàn)滑雪運動員的英姿．中間舞動的線條流暢且充滿韻律，代表舉辦地起伏的山巒、賽場、冰雪滑道和節(jié)日飄舞的絲帶，下部為奧運五環(huán)，不僅象征五大洲的團(tuán)結(jié)，而且強調(diào)所有參賽運動員應(yīng)以公正、坦誠的運動員精神在比賽場上相見．其中奧運五環(huán)的大小和間距按以下比例（如圖）：若圓半徑均為12，則相鄰圓圓心水平距離為26，兩排圓圓心垂直距離為11，設(shè)五個圓的圓心分別為，若雙曲線C以為焦點、以直線為一條漸近線，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意，以點為原點，直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，點，設(shè)雙曲線C的方程為，其漸近線為，因直線為一條漸近線，則有，雙曲線C的離心率為.故選：B5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積．當(dāng)我們垂直地縮小一個圓時，我們得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓的面積為，兩個焦點分別為，點P為橢圓C的上頂點．直線與橢圓C交于A，B兩點，若的斜率之積為，則橢圓C的長軸長為（

）A．3 B．6 C． D．【答案】B【詳解】橢圓的面積，即①.因為點P為橢圓C的上項點，所以.因為直線與橢圓C交于A，B兩點，不妨設(shè)，則且，所以.因為的斜率之積為，所以，把代入整理化簡得：②①②聯(lián)立解得：.所以橢圓C的長軸長為2a=6.故選：B6．（2022·北京·景山學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現(xiàn)唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細(xì)工的典范之作.該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線的一部分，若的中心在原點，焦點在軸上，離心率，且點在雙曲線上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)雙曲線的方程為：，因為離心率，故半焦距，故，而雙曲線過，故，解得，故雙曲線的方程為：，故選：C.7．（2022·全國·模擬預(yù)測）北京冬奧會火種臺（圖1）以“承天載物”為設(shè)計理念，創(chuàng)意靈感來自中國傳統(tǒng)青銅禮器——尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬物”，頂部舒展開闊，寓意迎接純潔的奧林匹克火種．如圖2，一種尊的外形近似為雙曲線的一部分繞著虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，尊高50cm，上口直徑為，底座直徑為25cm，最小直徑為20cm，則這種尊的軸截面的邊界所在雙曲線的離心率為（

）A．2 B．C． D．【答案】B【詳解】建立雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的直角坐標(biāo)系，最小直徑在軸，如圖，雙曲線方程為，則，，（），（）在雙曲線上，且，由，即，，，由，得，所以，，，離心率為．故選：B．8．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓C的焦點在x軸上，且橢圓C的離心率為，面積為．則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，則，解得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：C．9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)品，如吉林大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物，如圖.若將該大學(xué)的校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線的一部分，且點在該拋物線上，則該拋物線的焦點坐標(biāo)是（

）A． B．（0，－1） C． D．【答案】A【詳解】依題意在拋物線上，所以，所以，故，且拋物線開口向下，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為.故選：A10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）涼山美酒惹人醉，涼山的酒杯更是讓人愛不釋手，如圖為彝族漆器，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是彝族酒器的典范之作.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的右支與直線，，圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該酒杯主體部分的上口外半徑BM為，下底外半徑AN為，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可知，，故雙曲線經(jīng)過，兩點，則，解得，，所以，則雙曲線的離心率為，故選：A．11．（2022·四川廣元·高二期末（理））三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一，數(shù)學(xué)家帕普斯巧妙地利用圓弧和雙曲線解決了這個問題．如圖，在圓D中，為其一條弦，，C，O是弦的兩個三等分點，以A為左焦點，B，C為頂點作雙曲線T．設(shè)雙曲線T與弧的交點為E，則．若T的方程為，則圓D的半徑為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【詳解】由題知所以雙曲線的方程為又由題設(shè)的方程為,所以,即設(shè)AB的中點為,則由.所以,即圓的半徑為2故選：C12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）礦山爆破時，在爆破點處炸開的礦石的運動軌跡可看作是不同的拋物線，根據(jù)地質(zhì)、炸藥等因素可以算出這些拋物線的范圍，這個范圍的邊界可以看作一條拋物線，叫“安全拋物線”，如圖所示．已知某次礦山爆破時的安全拋物線的焦點為，則這次爆破時，礦石落點的最遠(yuǎn)處到點的距離為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【詳解】依題意，拋物線的頂點坐標(biāo)為，則拋物線的頂點到焦點的距離為，p>0，解得，于是得拋物線的方程為，由得，，即拋物線與軸的交點坐標(biāo)為，因此，，所以礦石落點的最遠(yuǎn)處到點的距離為.故選：D13．（多選）（2022·全國·高二單元測試）泰戈爾說過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無法相依，而是相互瞭望的星星，卻沒有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓．已知點，直線l：，若某直線上存在點P，使得點P到點M的距離比到直線l的距離小1，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則（

）A．點P的軌跡是一條線段B．點P的軌跡與直線：是沒有交匯的軌跡（即兩個軌跡沒有交點）C．不是“最遠(yuǎn)距離直線”D．是“最遠(yuǎn)距離直線”【答案】BCD【詳解】由點P到點M的距離比到直線l的距離小1，可得點P到點M的距離等于到直線：的距離，故點P的軌跡是以為焦點，直線：為準(zhǔn)線的拋物線，其方程是，故A錯誤．由上述可知點P的軌跡與直線沒有交點，即兩者是沒有交匯的軌跡，故B正確．易知“最遠(yuǎn)距離直線”與拋物線有交點，把代入拋物線方程，消去y并整理得．因為，方程無解，所以不是“最遠(yuǎn)距離直線”，故C正確．把代入拋物線方程，消去y并整理得．因為，方程有解，所以是“最遠(yuǎn)距離直線”，故D正確．故選：BCD．14．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）阿基米德是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號．若拋物線上任意兩點A，B處的切線交于點P，則稱為“阿基米德三角形”．已知拋物線的焦點為F，過拋物線上兩點A，B的直線的方程為，弦的中點為C，則關(guān)于“阿基米德三角形”，下列結(jié)論正確的是（

）A．點 B．軸 C． D．【答案】BCD【詳解】由消y可得令，，，解得，，A錯．，∴軸，B對．，∴，D對．，∴，C對，故選：BCD．15．（多選）（2022·海南·模擬預(yù)測）黃金比例被公認(rèn)為是最具美感的比例，其值為．已知橢圓的離心率，設(shè)坐標(biāo)原點為，橢圓的右焦點為，左頂點為A，下頂點為，過點且垂直于軸的直線交橢圓于點和，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】由于，即，故，則，故A錯誤；由于，故，由得，故，故B正確；由于，則，即，故，C錯誤；將代入，得，故，而故，D正確，故選：BD16．（多選）（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）第24屆冬季奧林匹克運動會圓滿結(jié)束.根據(jù)規(guī)劃，國家體育場（鳥巢）成為北京冬奧會開、閉幕式的場館.國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若橢圓：和橢圓：的離心率相同，且.則下列正確的是（

）A．B．C．如果兩個橢圓，分別是同一個矩形（此矩形的兩組對邊分別與兩坐標(biāo)軸平行）的內(nèi)切橢圓（即矩形的四條邊與橢圓均有且僅有一個交點）和外接橢圓，則D．由外層橢圓的左頂點向內(nèi)層橢圓分別作兩條切線（與橢圓有且僅有一個交點的直線叫橢圓的切線）與交于兩點，的右頂點為，若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為.【答案】BCD【詳解】A：由且，則，即，故錯誤；B：由，得，則，所以，故正確；C：滿足橢圓方程，又，則，所以，，故正確；D：由對稱性知：、關(guān)于軸對稱，，，，，，，則，，故正確.故選：BCD.17．（多選）（2022·湖北省鄂州高中高三期末）中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國結(jié).中國結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.曲線：是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的圖象關(guān)于原點對稱B．曲線經(jīng)過5個整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）C．曲線上任意一點到坐標(biāo)原點的距離都不超過3D．若直線與曲線只有一個交點，則實數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【詳解】把代入得，所以曲線的圖象關(guān)于原點對稱，故A正確；令解得，或，即曲線經(jīng)過，結(jié)合圖象，，令，得，令，得，因此結(jié)合圖象曲線只能經(jīng)過3個整點，，故B錯誤；可得，所以曲線上任意一點到坐標(biāo)原點的距離，即都不超過3，故C正確；直線與曲線一定有公共點，若直線與曲線只有一個交點，所以，整理得無解，即，解得，故D正確.故選：ACD.18．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過雙曲線的設(shè)計元素賦予了這座建筑以輕盈、極簡和雕塑般的氣質(zhì)．若將該建筑外形弧線的一段按照一定的比例壓縮后可近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的下焦點到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為______．【答案】【詳解】因為，所以下焦點的坐標(biāo)為，漸近線方程為，即，則下焦點到的距離為．，解得，則，所以該雙曲線的方程為．故答案為：19．（2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了它們的光學(xué)性質(zhì)．比如橢圓，他發(fā)現(xiàn)如果把橢圓焦點F一側(cè)做成鏡面，并在F處放置光源，那么經(jīng)過橢圓鏡面反射的光線全部都會經(jīng)過另一個焦點．設(shè)橢圓方程為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點A和點B反射后，滿足，則該橢圓的離心率為_________．【答案】##【詳解】由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，都經(jīng)過，且在中，，如圖，所以，由橢圓的定義可知，即，又，可得，在中，，所以，所以.故答案為：20．（2022·全國·高二課時練習(xí)）青花瓷，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一.如圖是一個落地青花瓷，其外形稱為單葉雙曲面，且它的外形左右對稱，可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為16，上瓶口圓的直徑為20，上瓶口圓與最小圓圓心間的距離為12，則該雙曲線的離心率為___________.【答案】【詳解】由題意作出軸截面如圖：以花瓶最細(xì)處橫截面圓的直徑為x軸，的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為：，花瓶最細(xì)處橫截面圓直徑為，設(shè)B為花瓶上瓶口軸截面上的點，則由已知可得是雙曲線上的點，且,故,解得，故故，故答案為：．21．（2022·河南·平頂山市教育局教育教學(xué)研究室高二開學(xué)考試（文））如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，F(xiàn)是拋物線的焦點，是饋源的方向角，記為，焦點F到頂點的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角，則其焦徑比為______．【答案】【詳解】設(shè)拋物線的方程為，則．設(shè)，因為，所以，所以，所以，所以，故其焦徑比．故答案為：22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）美學(xué)四大構(gòu)件是：史詩、音樂、造型（繪畫、建筑等）和數(shù)學(xué).素描是學(xué)習(xí)繪畫的必要一步，它包括明暗素描和結(jié)構(gòu)素描，而學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描最重要的一步.某同學(xué)在畫切面圓柱體（用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體，原圓柱的母線被截面所截剩余的部分稱為切面圓柱體的母線）的過程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個橢圓，若切面圓柱體的最長母線與最短母線所確定的平面截切面圓柱體得到的截面圖形是有一個底角為45°的直角梯形（如圖所示），則該橢圓的離心率為_____.【答案】【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，依題意知，最長母線與最短母線所在截面如圖所示．．從而．因此在橢圓中長軸長，短軸長，．，故答案為：．23．（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)二模）歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓C的切線垂直且過相應(yīng)切點的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點為，由發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為．利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：（1）橢圓C的離心率為__________．（2）點P是橢圓C上除頂點外的任意一點，橢圓在點P處的切線為在l上的射影H在圓上，則橢圓C的方程為__________．【答案】

##0.5

【詳解】設(shè)橢圓C的長軸長為2a(a>0),則由F1發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到F1，經(jīng)過的路程為，從而；如圖示：延長,交于點F0.在△中,PH⊥F0F2,由反射角等于入射角，可得：,則且H為中點.在△中,則,∴,所以橢圓方程為.故答案為：；.24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得