2022屆山西省應縣高考數(shù)學四模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2,請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.函數(shù)/（幻=——'——的圖象大致是（）

x-lnx-1

2.設(shè)集合A={1,2,6},8={-2,2,4},C={X￡R|-2VXV6},則(AU3)nC=()

A.{2}B.(1,2,4)

C.d,2,4,61D.{XGR|-l<x<5}

3.已知角?的終邊經(jīng)過點P(sin47°,cos47°),則sin(a-13°)=

A.-B.3C.106

2222

2；一："，M/(/(-D)=()

4.已知函數(shù)Ax），

x+l,x<0,

A.2B.3C.4D.5

l+z

5.在復平面內(nèi)，復數(shù)八.、2對應的點位于（）

-1）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.已知四棱錐S-ABC。的底面為矩形，SA，底面A3CD,點E在線段BC上，以AO為直徑的圓過點E.若

SA=KAB=3,則ASED的面積的最小值為（）

97

A.9B.7C.-D.-

22

7.已知函數(shù)y=/（X）是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)Ax）滿足/（x）=〃x+4）,且xe（0,1]時，/（x）=log2（x+l）,

貝！J/（2018）+/（2019）=（）

A.2B.-2C.1D.-1

x+2y-2>0

8.已知實數(shù)x,）滿足約束條件<x—2y+220,則f+產(chǎn)的取值范圍是（）

x<2

A.寺,2/B.1,8C.|,8D.[1,8]

9.已知/（刈=產(chǎn)—1+工，則不等式/*）+/（3-2幻42的解集是（）

A.[l,+oo）B.[0,+oo）C.（-oo,0]D.（-oo,l]

10.已知數(shù)列｛4,｝對任意的有%+尸%-永焉+1成立，若％=1,則即,等于（）

10191111122

A.---B.—C.—D.

10101111

2

11.若復數(shù)2=下，其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）

A.z的虛部為-iB.|z|=2C.二的共輸復數(shù)為-1-iD.z?為純虛數(shù)

12.若集合A=｛xeN|x=6麗｝,。=2&，則下列結(jié)論正確的是（）

A.｛a｝cAB.a^AC.[a｝&AD.a^A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.公比為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若%=2,S4-5S2=0,則S6-S3的值為.

14.已知公=〃，則（x+y+1）"展開式中的系數(shù)為一

15.根據(jù)如圖的算法，輸出的結(jié)果是.

16.正四面體ABC。的一個頂點A是圓柱。4上底面的圓心，另外三個頂點8C。圓柱下底面的圓周上，記正四面體

ABC。的體積為匕，圓柱04的體積為匕，則孑的值是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

X=1+，2COS(7)

17.(12分)在直角坐標系中，已知曲線C的參數(shù)方程為(。為參數(shù))，以原點為極點，工軸的非負

y=1+“sine

半軸為極軸建立極坐標系，射線4的極坐標方程為。=a,射線〃的極坐標方程為8=。+￡.

(I)寫出曲線C的極坐標方程，并指出是何種曲線；

(II)若射線4與曲線C交于。、A兩點，射線4與曲線c交于0、B兩點,求AABO面積的取值范圍.

18.(12分)如圖，在三棱柱ABC-A4G中，AC=3C=1,AB=0，4。=1，4。，平面48。.

(1)證明：平面4ACG_￡平面BCC4

(2)求二面角A-旦B-C的余弦值.

19.(12分)已知橢圓(a>b>0)的離心率為手，且經(jīng)過點(-1,亭)

(1)求橢圓。的方程；

(2)過點(出,0)作直線/與橢圓。交于不同的兩點A,B,試問在x軸上是否存在定點。使得直線出與直線Q8恰

關(guān)于x軸對稱？若存在，求出點。的坐標；若不存在，說明理由.

20.(12分)已知凸〃邊形4424…A7的面積為1,邊長4A+I=q(i=l，2,…,”1),AA=a〃，其內(nèi)部一點尸到邊

A4+I=^(Z=I,2,.--,/2-I)的距離分別為MW，4，…，4,?求證：等+與~+…+呼~之0y?

x——1—3/

21.(12分)已知直線/的參數(shù)方程為c，Q為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸且取相同

°=2+4/

的單位長度建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為夕=20cos(6-.

(1)求直線/的普通方程及曲線C的直角坐標方程：

(2)設(shè)點P(—l,2),直線/與曲線C交于A8兩點，求|AB|+|P4|-|P3|的值.

22/y

22.(10分)已知橢圓「5+5=13>〃>0)過點(0,在)，設(shè)橢圓「的上頂點為3,右頂點和右焦點分別為A，F(xiàn),

ab2

5jr

KZAFB=—.

6

(1)求橢圓「的標準方程；

(2)設(shè)直線/：y=&+〃(〃x±D交橢圓「于P,Q兩點,設(shè)直線與直線8。的斜率分別為原.，kBQ,若

喙+5=-1,試判斷直線/是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)表達式，把分母設(shè)為新函數(shù)，首先計算函數(shù)定義域，然后求導，根據(jù)導函數(shù)的正負判斷函數(shù)單調(diào)性,對應函數(shù)圖像

得到答案.

【詳解】

設(shè)g(x)=x-lnx—l,g⑴=0,則/?(》)=一!一的定義域為xe(0,l)U(l,+oo).g，(x)=l—L,當XG(1,+8),

x-lnx-1x

g'(x)>0,g(x)單增，當xe(0,l),g'(x)<0,g(x)單減，則g(x)Ng(l)=0.則f(x)在xe(0,l)上單增，%e(1,+<?)

上單減，/(幻>0.選氏

【點睛】

本題考查了函數(shù)圖像的判斷，用到了換元的思想，簡化了運算，同學們還可以用特殊值法等方法進行判斷.

2.B

【解析】

直接進行集合的并集、交集的運算即可.

【詳解】

解：AuB={-2,l,2,4,6}；

.,.(AuB)nC={l,2,4}.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運算，是基礎(chǔ)題.

3.A

【解析】

由題意可得三角函數(shù)的定義可知：

sina=——,,---=cos47。，cosa=——,sin47、----=sin47。，貝(I：

sin2470+cos247°sin2470+cos247°

sin(a-13。)=sinacos130-cos?sin13

=cos470cos13°-sin47°sin13°

=cos(470+13)=cos600=1.

本題選擇A選項.

4.A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)直接計算得到答案.

【詳解】

2'—x,x..0,)

因為/(x)=,?所以/(7(—1))=八2)=22-2=2.

x+l,x<0,

故選：A.

【點睛】

本題考查了分段函數(shù)計算，意在考查學生的計算能力.

5.B

【解析】

化簡復數(shù)為a+勿的形式，然后判斷復數(shù)的對應點所在象限，即可求得答案.

【詳解】

1+1l+/_(l+i)i

'(1-z)2--2z-z

-1+z11.

=---=--1—I

222

對應的點的坐標為［一《1)在第二象限

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定，根據(jù)勾股定理，得到BE,EC之間的等量關(guān)系，再用表示出?S￡D

的面積，利用均值不等式即可容易求得.

【詳解】

設(shè)=EC=y,則BC=A￡)=x+y.

因為S4_L平面ABC。，EDu平面ABC。，所以

又AELED,SAnAE^A,所以ED_L平面SAE,則ED_LS￡.

易知AE=1x2+3，ED=J;/+3.

在RtAAED中，AE2+ED2=AD2?

即f+3+y2+3=(x+y)2,化簡得肛=3.

在RtA5E￡＞中，SE=Jf+12,即=正+3=

=-SEED=-.k+萼+4：.

所以SASE/)

22Vx2

因為4+詈皿3/.詈=36.

當且僅當％=遙，y=當時等號成立，所以SAS.23136+45=,.

故選：C.

【點睛】

本題考查空間幾何體的線面位置關(guān)系及基本不等式的應用，考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想，涉及線面垂直的判

定和性質(zhì)，屬中檔題.

7.D

【解析】

/(x)=/(x+4)說明函數(shù)是周期函數(shù)，由周期性把自變量的值變小，再結(jié)合奇偶性計算函數(shù)值.

【詳解】

由/(x)=/(X+4)知函數(shù)/(x)的周期為4,又/0)是奇函數(shù)，

/(2)=/(-2),又/(-2)=-/(2),"(2)=0,

.?./(2018)+/(2019)=/(2)+/(3)=0+/(-1)=0-/(1)=-1.

故選：D.

【點睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ).

8.B

【解析】

畫出可行域，根據(jù)可行域上的點到原點距離，求得W+y2的取值范圍.

【詳解】

由約束條件作出可行域是由A(2,0),B(0,l),C(2,2)三點所圍成的三角形及其內(nèi)部，如圖中陰影部分，而./+y可

理解為可行域內(nèi)的點到原點距離的平方，顯然原點到A8所在的直線x+2y-2=0的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離

4

的最小值，此時小+丁=002=10=3,點。到原點的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最大值，此時

IABJ5

M+y2=22+22=8.所以9+)2的取值范圍是28.

【點睛】

本小題考查線性規(guī)劃，兩點間距離公式等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應用意識.

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-1,通過分析g(x)的單調(diào)性和對稱性，求得不等式/(幻+/(3-2幻〈2的解集.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/a)T=e"一2+(x—l),

g(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，且向左移動一個單位得到〃(X)=g(X+1)=y一5+X,

h(x)的定義域為R,且〃(一x)=十一e*-x=-〃(x),

所以〃(力為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，所以g(x)圖像關(guān)于(1,0)對稱.

不等式/。)+/(3-2x)W2等價于“X)-1+/(3-2%)-140,

等價于g(x)+g(3—2x)W0,注意到g(l)=0,

結(jié)合g(無)圖像關(guān)于(1,0)對稱和g(x)單調(diào)遞增可知x+3-2x<2=>x>l.

所以不等式f(x)+/(3-2^)<2的解集是［1,物).

故選：A

【點睛】

本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對稱性解不等式，屬于中檔題.

10.B

【解析】

觀察已知條件，對%+1=4-7=+1進行化簡，運用累加法和裂項法求出結(jié)果.

【詳解】

已知""I=”"一看+1

則%一4所以有q-q=[_(,_5)，

n(n+1)nn+\nn+1

4o一%=1_~~)，兩邊同時相加得4()-4=9-(1-,又因為4=1,所以a=1+9-(1一。)=襄.

910101U1U

故選：B

【點睛】

本題考查了求數(shù)列某一項的值，運用了累加法和裂項法，遇到形如丁二；時就可以采用裂項法進行求和，需要掌握

數(shù)列中的方法，并能熟練運用對應方法求解.

11.D

【解析】

將復數(shù)二整理為1-/的形式，分別判斷四個選項即可得到結(jié)果.

【詳解】

22(l-z)

7=-------=-----------------——=1—/

l+i(l+z)(l-z)

z的虛部為一1,A錯誤；回=/m=血，8錯誤；z=l+i,C錯誤；

22

Z=(1-Z-)=-2Z,為純虛數(shù)，。正確

本題正確選項：。

【點睛】

本題考查復數(shù)的模長、實部與虛部、共扼復數(shù)、復數(shù)的分類的知識，屬于基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

由題意A=&wN|x=而}=0,分析即得解

【詳解】

由題意A={xeN|x=J2O2O}=0,故。史4,A^{a}

故選：D

【點睛】

本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關(guān)系，考查了學生概念理解，數(shù)學運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.56

【解析】

根據(jù)已知條件求等比數(shù)列的首項和公比，再代入等比數(shù)列的通項公式，即可得到答案.

【詳解】

,.1/=2,S4—5s2=0,

44=2,,

-j□—:,lV-A

Ii-qi-q

345

S6—S3=a4+a5+a6=2+2+2=56.

故答案為：56.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的通項公式和前〃項和公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求

解能力.

14.1.

【解析】

由題意求定積分得到"的值，再根據(jù)乘方的意義，排列組合數(shù)的計算公式，求出展開式中的系數(shù).

【詳解】

0丫42

?已知=L=4=〃，貝！|(x+y+l)n=(x+j+l)4,

24o

它表示4個因式(x+y+1)的乘積.

故其中有2個因式取x,一個因式取剩下的一個因式取1,可得V),的項.

故展開式中x2y的系數(shù)C：?C；?C：=12.

故答案為：1.

【點睛】

本題主要考查求定積分，乘方的意義，排列組合數(shù)的計算公式，屬于中檔題.

15.55

【解析】

根據(jù)該For語句的功能，可得S=l+2+3+...+10,可得結(jié)果

【詳解】

根據(jù)該For語句的功能，可得S=l+2+3+...+10

r,(1+10)x10

則S=-----——=55

2

故答案為：55

【點睛】

本題考查For語句的功能，屬基礎(chǔ)題.

10.-----

4萬

【解析】

設(shè)正四面體的棱長為“，求出底面外接圓的半徑與高，代入體積公式求解.

【詳解】

解：設(shè)正四面體的棱長為

則底面積為[xax更。=中〃2,底面外接圓的半徑為走a，

二正四面體的體積乂=

134312

fV3YR_V63

圓柱。4的體積匕=》x-----ClX-------Cl=------Q71

339

y/23

v77。V3

則廣與

4〃

9

故答案為：工二

4萬

【點睛】

本題主要考查多面體與旋轉(zhuǎn)體體積的求法，考查計算能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（I）r=2cosq+2sinq,曲線C是以（1,1）為圓心，、歷為半徑的圓；（D）[1,2].

【解析】

(I)由曲線C的參數(shù)方程能求出曲線C的普通方程，由此能求出曲線。的極坐標方程.

=；P\P2’利用誘導公

(II)令夕］=2cosa+2sina,p2=|OB|=2cosa+—+2sina+—9則^AOAB

式及二倍角公式化簡，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)求出面積的取值范圍；

【詳解】

x=l+j2cos0,”

解：(I)由廠(。為參數(shù))化為普通方程為(x-l)+(y-l)-=2

y=1+>/2si”

(pcos6^-l)2+(psin^-l)2=2,整理得廠=2cosq+2sinq

曲線。是以(1,1)為圓心，血為半徑的圓.

(II)令夕］=|OA|=2cosa+2sina

p2=|OB|=2cosa+二+2sina+二=-2sina+2cosa

SAOAB~~P\PI=2(cos2?-sin2a)=2cos2a

7X71K7UI_

*/———<2。<一,「.一<cos2aK1,1.IW2cos2a42,

669332

AABO面積的取值范圍為[1,2]

【點睛】

本題考查曲線的極坐標方程的求法，考查三角形的面積的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標方程、極坐標方程的互化等

基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題.

18.(1)證明見解析(2)也

3

【解析】

(1)證明AC_L平面BCG用即平面AACG，平面8CC4得證；⑵分別以CACB,BC所在直線為X軸，y軸.

軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Cuyz,再利用向量方法求二面角A-8乃-C的余弦值.

【詳解】

(1)證明：因為4c，平面A5C,所以用CLAC

因為AC=BC=1,A3=正.所以AC?+BC2=.即AC1BC

又BCnBC=C.所以AC_L平面BCCR

因為4Cu平面4ACG.所以平面AACC1，平面BCCfi

(2)解：由題可得BC，CA,CB兩兩垂直，所以分別以C4,CB,BC所在直線為x軸，y軸.軸，建立如圖所示的空間

直角坐標系C-xyz,則A(l,0,0),C(0,0,0),8(0,1,0),4(0,0,1),所以麗;=(0,-1,1),通=(—1,1,0)

設(shè)平面ABBi的一個法向量為m=(x,y,z),

—y+z=0

{r+y=0

令1=1,得機=(1,1,1)

又CAL平面,所以平面Q3用的一個法向量為夕=(1,0,0).

cos(m,CA)=—f==——

A/33

所以二面角A-B}B-C的余弦值為旦.

3

【點睛】

本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明，考查二面角的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

v-2

19.(1)—+/=1(2)見解析

4

【解析】

(1)由題得a,b,c的方程組求解即可(2)直線QA與直線QB恰關(guān)于x軸對稱，等價于AQ,BQ的斜率互為相反數(shù),

即』二+&7=°,整理（G—。（%+丫2）-201%丫2=0.設(shè)直線］的方程為x+my-石=0,與橢圓C聯(lián)立，將

X1—lx2-I\/

韋達定理代入整理即可.

【詳解】

（1）由題意可得且=￡,3+3=1，又a2—b2=c2,

2aa-4b-

解得a?=4,b2=1.

所以，橢圓C的方程為三+y2=l

4

（2）存在定點Q，一,0,滿足直線QA與直線QB恰關(guān)于x軸對稱.

設(shè)直線1的方程為x+my-6=0,與橢圓C聯(lián)立，整理得，（4+n?）y2-2月my—1=0.

^B（X2,y2）,■^-+y1y=l,定點Q（t,0）.（依題意tHx”tHX2）

則由韋達定理可得，%+y,=2媽，y,y2=—

-4+m-4+m~

直線QA與直線QB恰關(guān)于x軸對稱，等價于AQ,BQ的斜率互為相反數(shù).

所以，=即得y/x2-t）+y2（X|-t）=0.

AjIA.?I

又X［+my］-石=0,x2+my2一6=0,

所以，yjG-my?-t）+y2（G-my「t）=0,整理得，（6-。（丫］+y2）-Zmym=0.

從而可得，（0—t）?漢亞—2m?上^=0,

\）4+m24+m2

即2m（4-百t）=0,

所以，當1=迪，即Q［建,o］時，直線QA與直線QB恰關(guān)于x軸對稱成立.特別地，當直線］為x軸時，

3I3）

Q-y-,0也符合題意.綜上所述，存在x軸上的定點Q十,0,滿足直線QA與直線QB恰關(guān)于x軸對稱.

\/\7

【點睛】

本題考查橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系，熟記橢圓方程簡單性質(zhì)，熟練轉(zhuǎn)化題目條件，準確計算是關(guān)鍵，是中檔題.

20.證明見解析

【解析】

由已知，易得.4+a2d2+…=2,所以

學+學+…+等=2件+今+…+?=（咽+%&+.?.+〃,4）件+今+.?.+今利用柯西不等式和基本不等式即

44d“14d2dn）Md2d?）

可證明.

【詳解】

因為凸”邊形的面積為1,所以+/4+…+%4,=2,

?…2a,2a.2a?八

所以學+學+…+學=2幺+幺+…+&

44dn4d2dn)

=+%&+…+?！?)生+生+...+生

4d24,

端+…+"相丫（由柯西不等式得）

=(4+a2+.-+%/

..（網(wǎng)4%…f（由均值不等式得）

【點睛】

本題考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式的問題，考查學生對不等式靈活運用的能力，是一道容易題.

21.(1)4x+3y-2=0；x2+y2-2x-2y-0(2)5

【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應用，把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉(zhuǎn)換.

（2）利用（1）的結(jié)論，進一步利用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系式的應用求出結(jié)果.

【詳解】

x=-1—3z

解：（1）直線/的參數(shù)方程為〈

1，=2+4Z為參數(shù)）'轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為以+3t2=。.

曲線C的極坐標方程為P=20cos[8-）.轉(zhuǎn)換為r=2cosq+2sing,轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為

x~+y2_2x_2y—0.

x=-1—3//Q為參數(shù)),

(2)直線/的參數(shù)方程為［尸2+4,"為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為標準式為