BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的改進和MATLAB實現(xiàn)

改進BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與MATLAB實現(xiàn)江西師范大學(xué)1：BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概述2：BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的標準訓(xùn)練學(xué)習(xí)3：在MATLAB軟件上運行幾個程序4：基于Levenberg-Marquardt算法的學(xué)習(xí)優(yōu) 化（阻尼最小二乘法）5：基于蟻群算法的初始權(quán)值優(yōu)化6：經(jīng)過4和5優(yōu)化后的仿真試驗（發(fā)動機 性能趨勢分析和故障診斷中的應(yīng)用）7：總結(jié)多元函數(shù)圖示一元函數(shù)X.R二元函數(shù)xyoR.fD.f.三元函數(shù)xyzo.R.fXXI矩形的面積

S=x×y長方體體積

V=x×y×z多元函數(shù)圖示xR..

多元函數(shù)及其圖形多元函數(shù)及其圖形BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型激活函數(shù)必須處處可導(dǎo)一般都使用S型函數(shù)使用S型激活函數(shù)時BP網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出關(guān)系輸入輸出BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型輸出的導(dǎo)數(shù)根據(jù)S型激活函數(shù)的圖形可知,對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練，應(yīng)該將net的值盡量控制在收斂比較快的范圍內(nèi)

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)輸入層有n個神經(jīng)元，隱含層有p個神經(jīng)元,

輸出層有q個神經(jīng)元變量定義輸入向量;隱含層輸入向量；隱含層輸出向量;輸出層輸入向量;輸出層輸出向量;期望輸出向量;輸入層與中間層的連接權(quán)值:隱含層與輸出層的連接權(quán)值:隱含層各神經(jīng)元的閾值:輸出層各神經(jīng)元的閾值:樣本數(shù)據(jù)個數(shù):激活函數(shù):誤差函數(shù)：第一步，網(wǎng)絡(luò)初始化給各連接權(quán)值分別賦一個區(qū)間（-1，1）內(nèi)的隨機數(shù)，設(shè)定誤差函數(shù)e，給定計算精度值和最大學(xué)習(xí)次數(shù)M。第二步,隨機選取第個輸入樣本及對應(yīng)期望輸出第三步，計算隱含層各神經(jīng)元的輸入和輸出第四步，利用網(wǎng)絡(luò)期望輸出和實際輸出，計算誤差函數(shù)對輸出層的各神經(jīng)元的偏導(dǎo)數(shù) 。第五步，利用隱含層到輸出層的連接權(quán)值、輸出層的 和隱含層的輸出計算誤差函數(shù)對隱含層各神經(jīng)元的偏導(dǎo)數(shù) 第六步，利用輸出層各神經(jīng)元的 和隱含層各神經(jīng)元的輸出來修正連接權(quán)值第七步，利用隱含層各神經(jīng)元的和輸入層各神經(jīng)元的輸入修正連接權(quán)。第八步，計算全局誤差第九步，判斷網(wǎng)絡(luò)誤差是否滿足要求。當誤差達到預(yù)設(shè)精度或?qū)W習(xí)次數(shù)大于設(shè)定的最大次數(shù)，則結(jié)束算法。否則，選取下一個學(xué)習(xí)樣本及對應(yīng)的期望輸出，返回到第三步，進入下一輪學(xué)習(xí)。BP算法直觀解釋情況1的直觀表達當誤差對權(quán)值的偏導(dǎo)數(shù)大于零時，權(quán)值調(diào)整量為負，實際輸出大于期望輸出，權(quán)值向減少方向調(diào)整，使得實際輸出與期望輸出的差減少。whoe>0，此時Δwho<0BP算法直解釋情況2的直觀表達當誤差對權(quán)值的偏導(dǎo)數(shù)小于零時，權(quán)值調(diào)整量為正，實際輸出少于期望輸出，權(quán)值向增大方向調(diào)整，使得實際輸出與期望輸出的差減少。e<0,此時Δwho>0who梯度下降法

一、無約束優(yōu)化的古典分析法無約束優(yōu)化問題可表示為

minf

(x1,x2,…,xn)

xi

R，i=1,2,…,n如果令

x=(x1,x2,…,xn)T，則無約束優(yōu)化問題為

minf

(x)

x

Rn

關(guān)于

f

(x)：當

x

=(x)

時，f

(x)

是一條曲線；當

x

=(x1,x2)T

時，f

(x1,x2)

是一個曲面；當

x

=(x1,x2,x3)T

時，f

(x1,x2,x3)

是一個體密度(或類位勢函數(shù))；當

x

=(x1,x2,…,xn)T

時，f

(x1,x2,…,xn)

是一個超曲面。

設(shè)函數(shù)

f

(x)=f

(x1,...,xn)

對所有變元都有一階與二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則

①

稱

n

個一階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的

n

維列向量為

f.(x)

的梯度，記作

②

稱滿足

f

(x0)

=

0

的點

x0為函數(shù)f

(x)

的駐點或臨界點。

③

稱

n2個二階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的

n

階對稱矩陣為函數(shù)

f

(x)

的海森(Hessian)矩陣，記為

H(x)或

2f

(x)：

綜上所述，多元函數(shù)

f

(x)=f

(x1,x2,…,xn)

的一階導(dǎo)數(shù)是它的梯度

f.(x)，二階導(dǎo)數(shù)是它的

Hessian

矩陣

2f

(x)。在最優(yōu)化方法的討論中這是兩個常用的概念。

定理

(最優(yōu)性條件)設(shè)

n

元函數(shù)

y

=

f

(x)

對所有變元具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則

x0是

f

(x)

極小點的充分條件為

f

(x0)=0，

2f

(x0)>0(正定)而

x0是f

(x)

極大點的充分條件為

f

(x0)=0，

2f

(x0)<0(負定)

事實上，如果設(shè)

x=(x1,…,xn)T，則利用多元函數(shù)的泰勒展開式，我們有其中

R

為

x

的高階無窮小，即

R=o||

x

||2。

于是，當

x0為函數(shù)

f.(x)

的駐點時可以得到于是，當

xi(i=1,…,n)足夠小時，上式右端的正負號完全由二次型

xT

2f

(x0)x

決定，從而完全由

Hessian

矩陣

2f

(x)的正(負)定性決定。

注記：微積分中求一元函數(shù)和二元函數(shù)極值的方法，是這個定理的特例。二、無約束優(yōu)化的梯度下降法對于無約束優(yōu)化問題minf(x)(1)

x=(x1,x2,…,xn)T

Rn如果f

(x)

可微，根據(jù)古典分析的方法，可利用

f

(x)=0(2)求駐點，然后再利用

Hessian

矩陣

2f.(x)

來判定這些駐點是否極小值點，從而求出無約束優(yōu)化問題(1)的最優(yōu)解。

但是，用古典分析的方法求解無約束優(yōu)化問題(1)實際上是行不通的，這是由于：

(1)實際應(yīng)用中相當數(shù)量的函數(shù)

f.(x)

不具有解析性，故非線性方程組

f

(x)

=

0

無法形成；

(2)即使形成了方程組

f

(x)

=

0，由于它是一個

n

元非線性方程組，因而求它的解與解決原問題一樣地困難；

(3)即使求得了

f

(x)

=

0

的解

x*，但由于最優(yōu)性條件不被滿足或者難于驗證，因此仍無法確定

x*

是否為(1)的解。

例如，有些曲面有許多甚至無窮多極大值和極小值，則無法驗證最優(yōu)性條件。

鑒于上述種種原因，對于(1)的求解，通常采用一些比較切合實際、行之有效的數(shù)值算法。最常用的是迭代算法(搜索算法)。

迭代算法的基本思想是：從一個選定的初始點

x0

Rn出發(fā)，按照某一特定的迭代規(guī)則產(chǎn)生一個點列

{xk}，使得當

{xk}

是有窮點列時，其最后一個點是(1)的最優(yōu)解；當

{xk}

是無窮點列時，它有極限點，并且其極限點是(1)的最優(yōu)解。

設(shè)

xk

Rn

是某迭代算法的第

k

輪迭代點，而xk+1

Rn是第

k+1

輪迭代點，記xk+1=xk

+

kpk這里

k

R

稱為步長，pk

Rn

稱為搜索方向。在

k和

pk

確定之后，由

xk

Rn

就可以確定

xk+1

Rn。各種不同迭代算法的差別，在于選擇

k

和

pk(特別是

pk)的方法不同。

使用最廣泛的一類是下降算法，它每迭代一次都是目標函數(shù)值有所下降，即

f

(xk+1)

<f

(xk)。在下降算法中

(1)搜索方向

pk

有多種選擇方式，不同的選擇形成不同的下降算法，如梯度下降法(也叫最速下降法)，共軛梯度法，牛頓法，阻尼牛頓法，擬牛頓法等。但無論哪種下降法，pk

的選擇都有一個一般的原則：既要使它盡可能地指向極小值點，又不至于花費太大的使計算代價。

(2)步長的選擇也有多種不同方式，最常用的方式是尋找最優(yōu)步長，即求單變量極值問題的最優(yōu)解

k

R：

梯度下降法(最速下降法)

早在

1847

年，法國數(shù)學(xué)家

Cauchy

就曾提出這樣的問題：從任一給定點

x0

Rn出發(fā)，沿著哪個方向

f

(x)

的函數(shù)值下降最快？這個問題從理論上已經(jīng)得到解決，就是沿著在該點的負梯度方向，f

(x)

的函數(shù)值下降最快。這就是梯度下降法的理論依據(jù)。

梯度下降法的迭代步驟

1

給定初始點

x0

Rn，允許誤差

>

0，并令k:=0；

2

計算pk

=

f(xk)；

3檢驗是否滿足收斂性判別準則：||

pk||

若滿足判別準則，則停止迭代，得到點

x*

xk，否則進行

4；

4

單變量極值問題的最優(yōu)解

k

R：

5

令xk+1

=xk

+

kpk；k:=k+1返回

2。

例

用梯度下降法求解minf

(x)=2x12+

x22。

解

(1)取初始點

x0

=

(1,

1)T，計算得

p0=

f

(x0)=(4x01,

2x02)T|x1=1,x2=1

=

(4,2)T由于所以f

(x0+

p0)=2(1

4

)2+(1

2

)2。再求解單變量極值問題：得

0

=

5/18，于是x1=

x0+

0

p0=(1/9,4/9)T

(2)計算得

p1=

f(x1)=(4x11

2x12)|x11=1/9,x12=4/9

=(4/9,8/9)T所以故再求解單變量極值問題：得

1

=5/12，于是x2=

x1+

1

p1=(2/27,2/27)T

(3)計算得

p2=

f

(x2)=(8/27,4/27)，......

如此繼續(xù)下去，直到滿足收斂準則為止。

該問題的最優(yōu)解為

x*

=

(0,1)T，f

(x*)

=

0，如圖所示。

梯度下降法是求解無約束優(yōu)化問題的最基本的算法，它在最優(yōu)化方法中占有重要地位。梯度下降法的優(yōu)點是計算量小，存儲變量少，對初始點要求不高。缺點是：

f.(x)

僅僅反映了函數(shù)在點

x

處的局部性質(zhì)，對局部來說是最速的下降方向，但對整體求解過程并不一定使函數(shù)值下降的最快；另外，梯度下降法收斂速度慢，特別是在極小值點附近。

梯度下降法適用于尋優(yōu)過程的前期迭代或作為間插步驟，當接近極值點時宜選用其它收斂快的算法。在MATLAB上實現(xiàn)的幾個例子屬于解析型的算法有：①梯度法：又稱最速下降法。這是早期的解析法，收斂速度較慢。②牛頓法：收斂速度快，但不穩(wěn)定，計算也較困難。③共軛梯度法：收斂較快，效果較好。④變尺度法：這是一類效率較高的方法。等等BP網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練函數(shù)

訓(xùn)練方法訓(xùn)練函數(shù)梯度下降法traingd有動量的梯度下降法traingdm自適應(yīng)lr梯度下降法traingda自適應(yīng)lr動量梯度下降法traingdx彈性梯度下降法trainrpFletcher-Reeves共軛梯度法traincgfPloak-Ribiere共軛梯度法traincgpPowell-Beale共軛梯度法traincgb量化共軛梯度法trainscg擬牛頓算法trainbfg一步正割算法trainossLevenberg-Marquardttrainlm例一：利用三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來完成非線性函數(shù)的逼近任務(wù)，其中隱層神經(jīng)元個數(shù)為五個。樣本數(shù)據(jù)：輸入X輸出D輸入X輸出D輸入X輸出D-1.0000-0.9602-0.30000.13360.40000.3072-0.9000-0.5770-0.2000-0.20130.50000.3960-0.8000-0.0729-0.1000-0.43440.60000.3449-0.70000.37710-0.50000.70000.1816-0.60000.64050.1000-0.39300.8000-0.3120-0.50000.66000.2000-0.16470.9000-0.2189-0.40000.46090.3000-0.09881.0000-0.3201例二利用三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來完成非線性函數(shù)的逼近任務(wù)，其中隱層神經(jīng)元個數(shù)為五個。樣本數(shù)據(jù)：輸入X輸出D輸入X輸出D輸入X輸出D00448211539322621043371些論文對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練學(xué)習(xí)過程進行改進用LM（Levenberg-Marquardt

）算法對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練學(xué)習(xí)進行改進。它是使用最廣泛的非線性最小二乘算法，它是利用梯度求最小（大）值的算法，形象的說，屬于“爬山”法的一種。它同時具有梯度法和牛頓法的優(yōu)點。當λ很小時，步長等于牛頓法步長，當λ很大時，步長約等于梯度下降法的步長。

這個λ的變動有時候像阻尼運動一樣，所以LM算法又叫阻尼最小二乘法牛頓法的幾何意義xyx*x0x

1x

2牛頓法也稱為切線法基本思想