北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第三章 圓（B卷·能力提升練）（解析版）

第三章圓（B卷·能力提升練）班級(jí)姓名學(xué)號(hào)分?jǐn)?shù)考試范圍：全章；考試時(shí)間：120分鐘；總分：120分一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．（2022·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）九年級(jí)期中）已知平面內(nèi)圓的半徑為5cm，一點(diǎn)到圓心的距離是3cm，則這點(diǎn)在（

）A．圓外 B．圓上 C．圓內(nèi) D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系得出即可．【詳解】解：∵，∴點(diǎn)在圓內(nèi)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，能熟記點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江·溫州繡山中學(xué)九年級(jí)期中）半徑為6的圓弧的度數(shù)為，則它的弧長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在半徑是r的圓中，360°的圓心角所對(duì)的弧長就等于圓周長，即圓心角所對(duì)的弧長為．【詳解】解：∵圓弧的半徑為6，圓心角的度數(shù)為，∴圓弧的弧長為：；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算．解答該題需熟記弧長的公式．3．（2022·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在中，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理求解即可；【詳解】解：由圓周角定理可得：∵∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理；熟練運(yùn)用圓周角定理求角度是解題的關(guān)鍵．4．（2021·云南省昆明市第十中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，是的直徑，已知，，那么的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等弧對(duì)等角，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等弧對(duì)等角．熟練掌握等弧等對(duì)角是解題的關(guān)鍵．5．（2022·重慶市珊瑚初級(jí)中學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，要擰開一個(gè)邊長為的正六邊形，扳手張開的開口b至少為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，即是求該正六邊形的邊心距的2倍．構(gòu)造一個(gè)由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，且其半邊所對(duì)的角是30度，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識(shí)求解．【詳解】解：設(shè)正多邊形的中心是O，其一邊是，如圖，，，∴四邊形是菱形，，，，，，且，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓的知識(shí)，構(gòu)造一個(gè)由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解．6．（2022·四川省德陽市第二中學(xué)校九年級(jí)期中）已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分兩種情況，根據(jù)題意畫出圖形，先根據(jù)垂徑定理求出的長，連接，由勾股定理求出的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，∵的直徑，，，∴，，當(dāng)點(diǎn)位置如圖1所示時(shí)，∵，，，∴，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)位置如圖2所示時(shí)，同理可得：，∵，∴，在中，；綜上所述，的長為或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了的是垂徑定理和勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題意畫出圖形，利用垂徑定理和勾股定理求解是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．（2022·吉林·東北師大附中明珠學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，四邊形內(nèi)接于⊙O，，則的大小為_____°．【答案】##124度【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求出的度數(shù)，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍，求解即可．【詳解】∵四邊形內(nèi)接于⊙O，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍，數(shù)來能掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇·無錫金橋雙語實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，內(nèi)接于，，直徑交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為___．【答案】【分析】連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，以及同弧所對(duì)的圓周角相等得出，進(jìn)而根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理求得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵是的直徑，∴∵，∴∵∴∵，，∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角等于90度，同弧所對(duì)的圓周角相等，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇·蘇州市振華中學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，某地新建一座石拱橋，橋拱是圓弧形，它的跨度AB為40米，拱高為8米，則橋拱所在圓的半徑長為______米．【答案】29【分析】設(shè)半徑為r，則，跨度是米，根據(jù)垂徑定理可得米，在中，根據(jù)勾股定理列方程，即可解得答案．【詳解】解：如圖，設(shè)半徑為r，∵拱高為米，∴，∵跨度是米，根據(jù)垂徑定理可得米，在中，根據(jù)勾股定理可得，，解得，∴橋拱所在圓的半徑長為29米．故答案為：29．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵10．（2022·江蘇·東?？h馬陵山中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）矩形中，邊，，以A為圓心作，使B、C、D三點(diǎn)有兩個(gè)點(diǎn)在內(nèi)，有一點(diǎn)在外，則的半徑的取值范圍是____．【答案】【分析】利用矩形的性質(zhì)和勾股定理求出對(duì)角線的長度，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解．【詳解】解：連接，矩形，，，在中，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，半徑，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，半徑，當(dāng)點(diǎn)B、、三點(diǎn)有兩個(gè)點(diǎn)在內(nèi)，有一點(diǎn)在外需滿足，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．（2022·浙江溫州·九年級(jí)期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，若的外接圓經(jīng)過原點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為____________．【答案】【分析】連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出對(duì)稱軸，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而求出，得到答案．【詳解】連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，由題意得：拋物線的對(duì)稱軸，，，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，，則，的外接圓經(jīng)過原點(diǎn)，外接圓的圓心是線段的中點(diǎn)，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出外接圓的半徑．12．（2022·江蘇·江陰市華士實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，若與坐標(biāo)軸有三個(gè)公共點(diǎn)，則的半徑為_____．【答案】或2##2或【分析】利用圓與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，畫出符合要求的圖形進(jìn)行求解即可．【詳解】點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)A到軸的距離為1，到軸的距離為2，如圖1，當(dāng)經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，半徑為；如圖2，當(dāng)與y軸相切時(shí)，半徑為點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為2；故答案為：或2【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，直線和圓的位置關(guān)系的確定一般是利用圓心到直線的距離與半徑比較來判斷，若圓心到直線的距離是d，半徑是r，則①d>r，直線和圓相離，沒有交點(diǎn)；②d=r，直線和圓相切，有一個(gè)交點(diǎn)；③d<r，直線和圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)．三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（2022·江蘇無錫·九年級(jí)期中）如圖，已知為的直徑，CD是的弦，、的延長線交于點(diǎn)E，且．(1)若，求的度數(shù)；(2)若的度數(shù)是的度數(shù)的m倍，則m＝．【答案】(1)(2)3【分析】（1）根據(jù)得到，根據(jù)等腰三角形底角相等得，再根據(jù)三角形的外角定理得到，從而得到，再通過三角形外角定理即可得到的度數(shù)．（2）根據(jù)圓弧度數(shù)比等于對(duì)應(yīng)的圓心角之比即可得到答案．【詳解】（1）解：如下圖所示，連接，由題意得，∵，∴，∴，∵，∴，∵,∴，∵,∴；（2）解：∵對(duì)應(yīng)的圓心角，對(duì)應(yīng)的圓心角，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)和三角形外角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)和三角形外角定理．14．（2022·江蘇鹽城·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格紙中，O、A都是格點(diǎn)，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，用無刻度的直尺完成以下畫圖：(1)在圖①中畫⊙O的一個(gè)內(nèi)接正六邊形；(2)在圖②中畫⊙O的一個(gè)內(nèi)接正八邊形．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）設(shè)的延長線與圓交于點(diǎn)D，根據(jù)圓的內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，點(diǎn)D即為正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，且正六邊形的邊長等于圓的半徑，即，故在圖中找到的中垂線與圓的交點(diǎn)即為正六邊形的頂點(diǎn)B和F,同理∶在圖中找到的中垂線與圓的交點(diǎn)即為正六邊形的頂點(diǎn)C和E，連接，如圖，正六邊形即為所求；（2）圓的內(nèi)接八邊形的中心角為，而正方形的對(duì)角線與邊的夾角也為，根據(jù)正方形對(duì)角線能形成角，以此確定，同理即可確定另外4個(gè)點(diǎn)位置，再順次連接即可．（1）解：如圖所示，如圖①，正六邊形即為所求；（2）如圖所示，如圖②，正八邊形即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、正多邊形和圓，解決本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊的性質(zhì)，準(zhǔn)確畫圖．15．（2022·吉林白城·九年級(jí)期中）如圖，在中，B、C是的三等分點(diǎn)，弦相交于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的弦相等即可得解；（2）根據(jù)圓周角定理及三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：∵B，C是的三等分點(diǎn)，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、圓心角、弦、弧之間的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A周角定理以及同圓或等圓中同弧或等弧所對(duì)的弦相等是解題的關(guān)鍵．16．（2022·江蘇南京·九年級(jí)期中）如圖，弓形是由和弦所圍成的圖形，弓形的高是的中點(diǎn)到的距離，點(diǎn)是所在圓的圓心，，弓形的高為．(1)求的半徑；(2)經(jīng)測(cè)量的度數(shù)約為，則弓形的面積為__________．【答案】(1)(2)【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)的半徑為，根據(jù)垂徑定理可得，，從而得出，然后利用勾股定理建立關(guān)于的方程，最后解方程即可；（2）弓形面積看成扇形面積減去三角形面積即可．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)的半徑為，∵點(diǎn)為圓心，，弓形的高為．∴，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，在中，，∴，解得：．∴的半徑為．（2）∵，，∴．∴弓形的面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了勾股定理，扇形的面積，三角形的面積等知識(shí)，運(yùn)用了分割法求不規(guī)則圖形面積的解題方法．解題的關(guān)鍵是過圓心作弦的垂線構(gòu)造直角三角形求出圓的半徑．17．（2022·江蘇·昆山市城北中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，是它的角平分線，，D在邊上，，以為直徑的圓O經(jīng)過點(diǎn)E．(1)求證：是的切線；(2)求圖中陰影部分的面積;【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）直接利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，即可得出答案；（2）首先求出的長，進(jìn)而利用陰影部分的面積等于，進(jìn)而得出答案；【詳解】（1）證明：連接；∵平分∴∵∴∴∴∵∴∴是的切線；（2）解：∵∴∵∴∴∴故圖中陰影部分的面積為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及扇形面積求法，正確得出BE的長是解題關(guān)鍵．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．（2022·浙江·寧波市鎮(zhèn)海區(qū)古塘初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，O是線段上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，長為半徑的交于點(diǎn)A，點(diǎn)C在上，連接，滿足．(1)求證：．(2)若，求的值【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，并且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；（2）先證明，再由可得，，則有，再根據(jù)勾股定理計(jì)算然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出的值．【詳解】（1）證：∵，∴，∵,∴．（2）解：如下圖所示，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴∵是直徑，∴，∴,∴,∴,∵，，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查圓、相似三角形和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵根據(jù)圓的相關(guān)知識(shí)和勾股定理推算出．19．（2022·新疆·烏魯木齊市第109中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上的一點(diǎn)，連接DP，CP．(1)求∠CPD的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)時(shí)，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接OD，OC，根據(jù)正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，結(jié)合圓周角定理可得∠CPD；（2）結(jié)合正多邊形的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠COP的度數(shù)，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：連接OD，OC，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DOC＝90°，∴．（2）解：連接PO，OB，如圖所示：∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，∴，∴，∴n＝360÷45＝8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半．20．（2022·山東·日照市新營中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一段圓弧經(jīng)過格點(diǎn)A、B、C．（網(wǎng)格小正方形的邊長為1）．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出圓心P點(diǎn)位置，點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________；的半徑為___________；(2)判斷點(diǎn)與的位置關(guān)系；(3)若扇形PAC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面積為___________；側(cè)面積為___________．【答案】(1)，(2)點(diǎn)N在上；(3)，【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)畫出和的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為P點(diǎn)，再寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后計(jì)算長得到的半徑；（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出，然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法求解；（3）先利用勾股定理的逆定理證明為直角三角形，，設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為r，由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，則利用弧長公式得到，求出r，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)P為所作，P點(diǎn)坐標(biāo)為，，即的半徑為；故答案為：，；（2）解：∵P，，∴，∴的長等于圓的半徑，∴點(diǎn)N在上；（3）解：∵，，∴，∴為直角三角形，，設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得，解得，∴該圓錐的底面積．側(cè)面積為．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)和垂徑定理．五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．（2022·浙江·杭州市采荷中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，連接．(1)求和的度數(shù)；(2)若，且，求弦的長度；(3)在（2）的條件下，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．【答案】(1)的度數(shù)為108°，的度數(shù)為18°(2)(3)【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)是的直徑，得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，由圓周角定理得到，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴,∴，∵是直徑，∴，∴，（2）如圖，連接，由（1）知，，，∴，∴，∵，∴，∴在中，；（3）∵，，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，扇形面積的計(jì)算，熟練掌握各性質(zhì)定理，熟記扇形面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．22．（2022·浙江·慈溪育才中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知等腰中，，以為直徑的與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若．①設(shè)的半徑為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．②當(dāng)時(shí)，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）利用等腰三角形“三線合一”證明，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明，進(jìn)而推出，，即可證明；（2）①先證∽，推出，即可得到關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；②先證和是等邊三角形，陰影部分面積等于扇形的面積減去的面積．【詳解】（1）證明：如圖，連接．是的直徑，，即，又，，四邊