2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微專題47等差數(shù)列的前n項和Sn的最值問題學(xué)案_第1頁
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微專題47等差數(shù)列的前n項和Sn的最值問題例題:設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a3=24,S11=0.(1)求an;(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn;(3)當n為何值時,Sn最大,并求Sn的最大值.

變式1等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且公差d<0,若S9=S23,則數(shù)列{an}的前多少項的和最大?變式2等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且公差d<0,若S10=S23,則數(shù)列{an}的前多少項的和最大?串講1已知數(shù)列{an}的通項公式an=eq\f(40-5n,7),記Tn=an+an+1+…+an+6,當|Tn|取最小值時,n的值為多少?

串講2已知數(shù)列{an}的通項公式an=eq\f(40-5n,7),記Tn=an+an+1+…+an+5,當|Tn|取最小值時,n的值為多少?(2018·全國Ⅱ卷改編)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,已知a1=-7,S3=-15.求Sn,并求Sn的最小值.(2018·蘇州第一學(xué)期期初調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且an-Sn=n2-16n+15(n≥2,n∈N*).若對任意的n∈N*,總有Sn≤Sk,求正整數(shù)k的值.答案:k=7.解法1因為an-Sn=n2-16n+15(n≥2,n∈N*),所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2-S2=-13,,a3-S3=-24,))也即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1=13,,a1+a2=24,))解得a1=13,a2=11,所以d=a2-a1=-2,故an=-2n+15,5分令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0,,an+1<0,))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-2n+15≥0,,-2n+13<0,))所以eq\f(13,2)<n≤eq\f(15,2),9分又n∈N*,所以n=7,即數(shù)列{an}的前7項和為S7最大,所以k=7.14分解法2因為an-Sn=n2-16n+15(n≥2,n∈N*),所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2-S2=13,,a3-S3=-24,))也即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1=13,,a1+a2=24,))解得a1=13,a2=11,7分所以d=a2-a1=-2,故an=-2n+15,9分Sn=13n+eq\f(n(n-1),2)×(-2)=-n2+14n=-(n-7)2+49,12分所以數(shù)列{an}的前7項和為S7最大,故k=7.14分微專題47例題答案:(1)an=48-8n;(2)Sn=-4n2+44n;(3)n=5或6時,Sn最大,Sn=120.解析:(1)因為a3=24,S11=0.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1+2d=24,,11a1+\f(11×10,2)d=0,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1=40,,d=-8,))所以an=48-8n.(2)由(1)知,a1=40,an=48-8n,所以Sn=eq\f((a1+an)n,2)=eq\f((40+48-8n)n,2)=-4n2+44n.(3)解法1:由(2)有,Sn=-4n2+44n=-4(n-eq\f(11,2))2+121,故當n=5或n=6時,Sn最大,且Sn的最大值為120.解法2:由an=48-8n,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0,,an+1<0,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(48-8n≥0,,48-8(n+1)<0,))得5<n≤6,又n∈N*,所以n=6,即該數(shù)列前5項都是正數(shù),第6項為0,所以前5項和、前6項的和同為最大值,最大值為120.說明:等差數(shù)列的前n項和Sn最值問題的研究有兩種主要思路:其一,利用Sn=an2+bn具有的二次函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合單調(diào)性或拋物線圖象來研究;其二,是利用“鄰項變號法”研究,即由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0,,an+1<0,))求得Sn取得最大值時n的條件,同樣由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0,,an+1>0,))求得Sn取得最小值時n的條件.變式聯(lián)想變式1答案:16.解析:由S9=S23,得a10+a11+…+a23=0,即a16+a17=0,又因為d<0,所以a16>0,a17<0,所以,數(shù)列{an}的前16項的和最大.變式2答案:16或17.解析:由S10=S23,得a11+a12+…+a23=0,即a17=0,又因為d<0,所以a16>0,a18<0,所以,數(shù)列{an}的前16項或17的和最大.說明:上述兩個“變式”題的不同之處在于,“變式1”中不含為0的項,因此前n項和Sn取得最值時,n的值只有一解,“變式2”中含有數(shù)值為0的項,因此前n項和Sn取得最值時,n的值有兩解!請同學(xué)們仔細體會其中的差別.串講激活串講1答案:n=5.解析:由an=eq\f(40-5n,7),知{an}遞減且a8=0,又Tn=an+an+1+…+an+6=7an+3,考慮到|Tn|≥0,且由n+3=8,得n=5,即滿足|Tn|取得最小值的正整數(shù)n=5.串講2答案:n=5或6.解析:由an=eq\f(40-5n,7),知{an}遞減且a8=0,又Tn=an+an+1+…+an+5,式子右邊有6項,結(jié)合等差數(shù)列的對稱性知,當下標n+(n+5)=2×8±1,即就是n=5或6時,|Tn|取

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