2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微專題47等差數(shù)列的前n項和Sn的最值問題學(xué)案

微專題47等差數(shù)列的前n項和Sn的最值問題例題：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a3＝24，S11＝0.(1)求an；(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn；(3)當n為何值時，Sn最大，并求Sn的最大值．

變式1等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且公差d<0，若S9＝S23，則數(shù)列{an}的前多少項的和最大？變式2等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且公差d<0，若S10＝S23，則數(shù)列{an}的前多少項的和最大？串講1已知數(shù)列{an}的通項公式an＝eq\f(40－5n,7)，記Tn＝an＋an＋1＋…＋an＋6，當|Tn|取最小值時，n的值為多少？

串講2已知數(shù)列{an}的通項公式an＝eq\f(40－5n,7)，記Tn＝an＋an＋1＋…＋an＋5，當|Tn|取最小值時，n的值為多少？(2018·全國Ⅱ卷改編)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝－7，S3＝－15.求Sn，并求Sn的最小值．(2018·蘇州第一學(xué)期期初調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)．若對任意的n∈N*，總有Sn≤Sk，求正整數(shù)k的值．答案：k＝7.解法1因為an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－S2＝－13，,a3－S3＝－24，))也即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝13，,a1＋a2＝24，))解得a1＝13，a2＝11，所以d＝a2－a1＝－2，故an＝－2n＋15，5分令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1<0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2n＋15≥0，,－2n＋13<0，))所以eq\f(13,2)<n≤eq\f(15,2)，9分又n∈N*，所以n＝7，即數(shù)列{an}的前7項和為S7最大，所以k＝7.14分解法2因為an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－S2＝13，,a3－S3＝－24，))也即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝13，,a1＋a2＝24，))解得a1＝13，a2＝11，7分所以d＝a2－a1＝－2，故an＝－2n＋15，9分Sn＝13n＋eq\f(n（n－1）,2)×(－2)＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，12分所以數(shù)列{an}的前7項和為S7最大，故k＝7.14分微專題47例題答案：(1)an＝48－8n；(2)Sn＝－4n2＋44n；(3)n＝5或6時，Sn最大，Sn＝120.解析：(1)因為a3＝24，S11＝0.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝24，,11a1＋\f(11×10,2)d＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝40，,d＝－8，))所以an＝48－8n.(2)由(1)知，a1＝40，an＝48－8n，所以Sn＝eq\f(（a1＋an）n,2)＝eq\f(（40＋48－8n）n,2)＝－4n2＋44n.(3)解法1：由(2)有，Sn＝－4n2＋44n＝－4(n－eq\f(11,2))2＋121，故當n＝5或n＝6時，Sn最大，且Sn的最大值為120.解法2：由an＝48－8n，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1<0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(48－8n≥0，,48－8（n＋1）<0，))得5<n≤6，又n∈N*，所以n＝6，即該數(shù)列前5項都是正數(shù)，第6項為0，所以前5項和、前6項的和同為最大值，最大值為120.說明：等差數(shù)列的前n項和Sn最值問題的研究有兩種主要思路：其一，利用Sn＝an2＋bn具有的二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合單調(diào)性或拋物線圖象來研究；其二，是利用“鄰項變號法”研究，即由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1<0，))求得Sn取得最大值時n的條件，同樣由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1>0，))求得Sn取得最小值時n的條件．變式聯(lián)想變式1答案：16.解析：由S9＝S23，得a10＋a11＋…＋a23＝0，即a16＋a17＝0，又因為d<0，所以a16>0，a17<0，所以，數(shù)列{an}的前16項的和最大．變式2答案：16或17.解析：由S10＝S23，得a11＋a12＋…＋a23＝0，即a17＝0，又因為d<0，所以a16>0，a18<0，所以，數(shù)列{an}的前16項或17的和最大．說明：上述兩個“變式”題的不同之處在于，“變式1”中不含為0的項，因此前n項和Sn取得最值時，n的值只有一解，“變式2”中含有數(shù)值為0的項，因此前n項和Sn取得最值時，n的值有兩解！請同學(xué)們仔細體會其中的差別．串講激活串講1答案：n＝5.解析：由an＝eq\f(40－5n,7)，知{an}遞減且a8＝0，又Tn＝an＋an＋1＋…＋an＋6＝7an＋3，考慮到|Tn|≥0，且由n＋3＝8，得n＝5，即滿足|Tn|取得最小值的正整數(shù)n＝5.串講2答案：n＝5或6.解析：由an＝eq\f(40－5n,7)，知{an}遞減且a8＝0，又Tn＝an＋an＋1＋…＋an＋5，式子右邊有6項，結(jié)合等差數(shù)列的對稱性知，當下標n＋(n＋5)＝2×8±1，即就是n＝5或6時，|Tn|取