復(fù)變函數(shù)第5章 (3)

第8章傅里葉變換§8.1傅里葉積分§8.2傅里葉變換函數(shù)§8.3頻譜§8.4傅里葉變換的性質(zhì)§8.5卷積本章大綱要求了解傅氏積分的概念，理解傅氏變換的概念，會求指數(shù)衰減函數(shù)、單位階躍函數(shù)、正弦、余弦函數(shù)等的傅氏變換。了解單位脈沖函數(shù)（δ函數(shù)）及其傅氏變換，會求非周期函數(shù)的頻譜。熟練掌握傅氏變換的線性性質(zhì)、位移性質(zhì)、微分性質(zhì)和積分性質(zhì)。理解卷積的概念，會用卷積定理求傅氏變換及傅氏逆變換。會用傅氏變換求某些積分。

§8.1傅里葉積分定理設(shè)是T以為周期的實(shí)值函數(shù)，且在上滿足狄利克雷條件(簡稱狄氏條件)，即（1）連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。（2）只有有限個(gè)極值點(diǎn)。（8.1）一、傅里葉級數(shù)

在間斷點(diǎn)t0處，(8.1)式左端為：由于：其中令：可得：（8.2）(8.3)稱(8.1)式為傅里葉級數(shù)的三角形式，稱(8.2)式為傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式。代入（8.1）式得：二、傅氏積分

對任何一個(gè)非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個(gè)周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T

時(shí)轉(zhuǎn)化而來的.作周期為T的函數(shù)fT(t),使其在[-T/2,T/2]之內(nèi)等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整個(gè)數(shù)軸上,則T越大,fT(t)與f(t)相等的范圍也越大,這就說明當(dāng)T

時(shí),周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f(t),

即有定理8.1.1(傅里葉積分定理)若在內(nèi)滿足：1、在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件；2、在無限區(qū)間內(nèi)絕對可積，即收斂，則有成立，而左端的在它的間斷點(diǎn)t處，應(yīng)以來代替。傅里葉積分公式式也可以轉(zhuǎn)化為三角形式：又考慮到積分是的偶函數(shù)，

類似于傅里葉級數(shù)形式若是上的偶函數(shù)，則有

若是上的奇函數(shù)，則有例8.1.1設(shè)試證§8.2傅里葉變換函數(shù)一、傅里葉變換的定義=[f(t)]=-1[F(w)]例8.2.1求函數(shù)的傅里葉變換及傅里葉積分表達(dá)式。例8.2.2求單邊指數(shù)衰減函數(shù)的傅里葉變換及其傅里葉積分表達(dá)式。二、單位脈沖函數(shù)及其性質(zhì)1、單位脈沖函數(shù)在物理和工程技術(shù)中,常常會碰到單位脈沖函數(shù).因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì),他們僅在某一瞬間或某一點(diǎn)出現(xiàn)，如瞬時(shí)沖擊力、脈沖電流、質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等，這些量都不能用通常的函數(shù)形式去描述。研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù)。如果有一個(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)放置在坐標(biāo)原點(diǎn)，則可以認(rèn)為它相當(dāng)于上面的細(xì)桿取的結(jié)果，則質(zhì)點(diǎn)的密度函數(shù)為：引例1：設(shè)有長度為的均勻細(xì)桿放在軸的上，其質(zhì)量為，用表示它的線密度，則有引例2在原來電流為零的電路中，某一瞬間（設(shè)為）進(jìn)入以單位電量的脈沖，現(xiàn)在要確定電路上的電流以表示上述電路中的電荷函數(shù)，則：這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度.為了確定這樣的電流強(qiáng)度,引進(jìn)一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù),簡單記成d-函數(shù).有了這種函數(shù),對于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量,例如點(diǎn)電荷,點(diǎn)熱源,集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等,就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決.這種函數(shù)的特點(diǎn)是：在某一點(diǎn)或某一瞬時(shí)，函數(shù)值為，而在其它點(diǎn)處函數(shù)值為0，且將函數(shù)從到積分得單位1。定義：狄拉克(Dirac

)函數(shù)且函數(shù)圖形：d函數(shù)的另一種定義是作為函數(shù)序列的極限注：對于任意一個(gè)無窮次可微函數(shù)有2、函數(shù)的篩選性質(zhì)設(shè)是任意良函數(shù)，即：（1）在所有點(diǎn)處有任意階導(dǎo)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，下降得足夠快，使得當(dāng)大于某一值時(shí)，和它的一切導(dǎo)數(shù)都等于零，或至少比收斂得快，為任意大的正數(shù)。則有一般地：利用d函數(shù)的篩選性質(zhì)可以實(shí)現(xiàn)對函數(shù)f(t)的任一抽樣。例如：記Ⅲ(t)則：Ⅲ(t)f(t)3、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)是任意良函數(shù)，則一般地：例8.2.6設(shè)是赫維賽德單位階躍函數(shù)，即試證：例8.2.7設(shè)是一連續(xù)函數(shù)，試證4、函數(shù)的傅氏變換

-1[1]=

-1三、廣義傅里葉變換在物理和工程技術(shù)中，有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中的絕對可積條件，即不滿足例如：常數(shù)函數(shù)，符號函數(shù)，單位階躍函數(shù)，正弦函數(shù)，余弦函數(shù)等就是如此。利用傅氏變換的定義及函數(shù)的結(jié)果，我們也可以求出以上諸函數(shù)的傅氏變換，只是已不再是古典意義下的變換，而是廣義傅氏變換。例8.2.8分別求函數(shù)與的傅氏變換。例8.2.9試證單位階躍函數(shù)u(t)的傅氏變換為

-1

-1例8.2.10求的傅氏變換。例8.2.11求的傅氏變換§8.3頻譜一、周期函數(shù)的頻譜根據(jù)傅氏級數(shù)理論，周期為T的非正弦函數(shù)，f(t)只要滿足一定的條件，就可以分解為無窮多諧波分量，而每一個(gè)諧波分量由其振幅與相位來表征。各次諧波可以按其頻率高低依次排列起來城譜狀，按這樣排列的各次諧波的全體稱為頻譜。振幅頻譜、相位頻譜、能量頻譜等若f(t)的傅氏級數(shù)展開式是三角形式，則它的第n次諧波為從而n次諧波的振幅為：若f(t)的傅氏級數(shù)展開式是復(fù)數(shù)形式，則它的第n次諧波為其中且離散頻譜：其中反映了頻率為的諧波在所占的份額，稱為振幅。則反映了頻率為的諧波沿時(shí)間軸移動的大小，稱為相位。這兩個(gè)指標(biāo)完全刻畫了信號的性態(tài)。2、非周期函數(shù)的頻譜定義8.3.1設(shè)f(t)是滿足傅氏積分定理?xiàng)l件的非周期函數(shù)，稱其傅氏變換為f(t)的頻譜函數(shù)，而稱頻譜函數(shù)的模為f(t)的振幅頻譜，簡稱頻譜。由于w是連續(xù)變化的,稱之為連續(xù)頻譜.稱為的相角頻譜。顯然例8.3.2求圖中所示的單個(gè)矩形脈沖的頻譜例8.3.3作常數(shù)函數(shù)的頻譜圖?！?.4傅里葉變換的性質(zhì)1、線性性質(zhì)：設(shè)

，

，為常數(shù)則：

－12、位移性質(zhì)：設(shè)

，為實(shí)常數(shù)，則：

－1例8.4.1設(shè)求求的傅氏變換。

-1[G(ω)]例8.4.2已知求3、相似性質(zhì)：設(shè)

，為非零常數(shù)，則：

－1

特別的（翻轉(zhuǎn)性質(zhì)）

例8.4.3已知抽樣信號的頻譜函數(shù)為求信號的頻譜函數(shù)。相似性質(zhì)說明了時(shí)域和頻域之間的聯(lián)系：如函數(shù)（信號）在時(shí)域上被壓縮，則其象在頻域上被擴(kuò)展，及頻譜被擴(kuò)展。反之，在時(shí)域上被擴(kuò)展，則其象在頻域上被壓縮，及頻譜被壓縮。4、對稱性質(zhì)：設(shè)

，則

5、微分性質(zhì)：若，則：

一般地，若，則：

象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：例8.4.5已知求

例8.4.6已知

求

6、積分性質(zhì)：

，若，則：設(shè)

，如果則：

－17、帕塞瓦爾(Parserval)等式：設(shè)

，則：乘積定理：若

則：例8.4.7求§8.5卷積1、卷積定義：設(shè)與在內(nèi)有定義，若廣義積分對任何實(shí)數(shù)t收斂，則它定義了一個(gè)自變量為t的函數(shù)，此函數(shù)稱為與的卷積，記作例1、設(shè)，求與的卷積。例2、設(shè)，求與的卷積。設(shè)F1(w)=[f1(t)],F