浙江省杭州市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第一學(xué)期杭州市高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無(wú)效！3．考試結(jié)束，只需上交答題卡．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】集合即函數(shù)的定義域，而則為函數(shù)的值域，分別求解再進(jìn)行交集運(yùn)算即可.【詳解】由有意義，則，故，由，得其值域?yàn)椋?，所以，故選：A2.設(shè)復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A. B.0 C. D.2【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)，進(jìn)而求得，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：B.3.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】舉反例即可求解ABC,分類討論，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解D.【詳解】若，滿足，但不成立，故A錯(cuò)誤，若，滿足，但，不成立，故B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，不成立，故C錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，顯然成立，當(dāng)時(shí)，則，又，故成立，當(dāng)時(shí)，，顯然成立，故時(shí)都有，故D正確，故選：D4.設(shè)集合．若，且中元素滿足：①任意一個(gè)元素的各數(shù)位的數(shù)字互不相同；②任意一個(gè)元素的任意兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和不等于9，則中的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.72 B.78 C.81 D.90【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合描述列舉出集合中的兩位數(shù)，由及中元素的性質(zhì)確定中的兩位數(shù)的個(gè)數(shù).【詳解】行表示個(gè)位，列表示十位，集合中的兩位數(shù)如下表所示0123456789110111213141516171819220212223242526272829330313233343536373839440414243444546474849550515253545556575859660616263646566676869770717273747576777879880818283848586878889990919293949596979899由，對(duì)于集合中的兩位數(shù)元素，任意一個(gè)元素的各數(shù)位的數(shù)字互不相同，排除；任意一個(gè)元素的任意兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和不等于9，排除；共有90個(gè)兩位數(shù)，排除其中18個(gè)，所以中的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為72個(gè).故選：A5.用測(cè)量工具測(cè)量某物體的長(zhǎng)度，需測(cè)量次，得到個(gè)數(shù)據(jù)．設(shè)函數(shù)，則當(dāng)取最小值時(shí)，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】理解求和符號(hào)，由是二次函數(shù)，求解二次函數(shù)最值即可.【詳解】,當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為.即時(shí)，取最小值.故選：B6.設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，則“”是“為等比數(shù)列”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用等比中項(xiàng)的性質(zhì)，由為等比數(shù)列，解出值，即可判斷.【詳解】依題，“為等比數(shù)列”，所以，得，化簡(jiǎn)得，解得，則“”是“為等比數(shù)列”的充要條件.故選：C7.邊長(zhǎng)為2的正方形，經(jīng)如圖所示的方式裁剪后，可圍成一個(gè)正四棱錐，則此正四棱錐的外接球的表面積的最小值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)底面邊長(zhǎng)為，可求得此四棱錐的高為，根據(jù)外接球與正四棱錐的關(guān)系，利用勾股定理可求出外接球半徑，再利用導(dǎo)數(shù)求得半徑的最小值即可.【詳解】如圖所示，設(shè)圍成的四棱柱為，為正四棱錐高，作交于，連接，設(shè)，則，在直角三角形中由勾股定理得，又因?yàn)檎睦忮F的外接球球心在它的高上，記球心為，半徑為，連接，則，則在直角三角形中，即，解得，令，則，，令解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取最小值，所以，所以該四棱錐外接球表面積的最小值為，故選：B8.設(shè)函數(shù)．若為函數(shù)的零點(diǎn)，為函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，且在區(qū)間上有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.12【答案】A【解析】【分析】直接利用，，求出和的表達(dá)式，進(jìn)一步利用在區(qū)間上有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，通過分類討論求出的值，進(jìn)而可得最大值.【詳解】由已知得，，，則，其中，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間上有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，所以，解得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)有兩個(gè)極大值點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)，成立；所以的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過條件將和都用整數(shù)表示出來(lái)，然后對(duì)的值由大到小討論找到符合條件的結(jié)果.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.在正六邊形中，（）A. B.C. D.在上的投影向量為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解AB，根據(jù)數(shù)量積的定義求解C，根據(jù)垂直關(guān)系，即可由投影向量的定義求解D.【詳解】,故A錯(cuò)誤，連接相交于，相交于，則，為，的中點(diǎn),由于,所以,故B錯(cuò)誤，,故C正確，由于故故，所以在上的投影向量為，D正確，故選：CD10.已知，，，則（）A.的最小值為4 B.的最小值為C.的最小值為3 D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可判斷A；利用消元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；利用基本不等式結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可判斷C；利用基本不等式結(jié)合指數(shù)運(yùn)算即可判斷D.【詳解】由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則A錯(cuò)誤；,，，，,當(dāng)時(shí)，的最小值為，則B正確；因?yàn)椋?，所以，所以?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則C正確；,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則D正確；故選：BCD.11.已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都是2，，分別是，的中點(diǎn)，則（）A.平面B.平面與平面夾角的余弦值為C.三棱錐的體積是三棱柱體積的D.若正三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在球上，則球的表面積為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理可判斷A；判斷出即為平面與平面夾角，即可判斷；C，應(yīng)用等積法即可判斷；D，判斷出球心在上下底面的中心的連線的中點(diǎn)，解直接三角形即可得.【詳解】A，連接,交于點(diǎn),連接,則為的中點(diǎn)，故為的中位線，則，平面,平面,故平面，A正確；B，依題得，平面，，平面，則，又，平面，則平面，又平面，則，則平面與平面夾角為，則，B正確；C，取中點(diǎn)，連接，則，又平面，平面，則，平面，則平面則，C正確；D，取上下底面的中心，則球心為的中點(diǎn)，，又，則，則球的表面積為，D錯(cuò)誤.故選：ABC12.已知過原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)作軸的平行線與函數(shù)的的圖象交于兩點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)和原點(diǎn)在同一條直線上B.點(diǎn)和原點(diǎn)在同一條直線上C.當(dāng)平行于軸時(shí)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為D.當(dāng)平行于軸時(shí)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為【答案】BC【解析】【分析】由與圖象數(shù)形結(jié)合可判斷A項(xiàng)；由三點(diǎn)共線得斜率等式化簡(jiǎn)可得，可判斷B項(xiàng)；再由平行于軸得，聯(lián)立等式，解方程組即可判斷CD項(xiàng).【詳解】設(shè)，且，且，不妨設(shè)，則由題意得.選項(xiàng)A，由題意知，三點(diǎn)共線，軸，且在函數(shù)的圖象上，而在函數(shù)的圖象上，可知點(diǎn)不在直線上，即A項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由三點(diǎn)共線可知，，則由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得，則有，所以，即三點(diǎn)共線，故B項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，當(dāng)平行于軸時(shí)，則，化簡(jiǎn)得，則，代入，得，化簡(jiǎn)得，又，解得，代入得，點(diǎn)的縱坐標(biāo)，故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)為________．（用數(shù)字作答）【答案】15【解析】【分析】由二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)有，可知常數(shù)項(xiàng)的值；【詳解】二項(xiàng)展開式通項(xiàng)為，∴當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)，故答案為：15【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)求常數(shù)項(xiàng)，屬于簡(jiǎn)單題；14.已知，，與的夾角為，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由向量，，與的夾角為，可得，所以.故答案為：.15.已知是三角形的內(nèi)角，若，則________．【答案】【解析】【分析】分析可知，，利用二倍角的正弦和余弦公式化簡(jiǎn)可得出的值.【詳解】因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)角，則，且，即，所以，，可得，故.故答案為：.16.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，且（為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率等于________．【答案】【解析】【分析】求出表達(dá)式和長(zhǎng)，利用二者之間的關(guān)系求出的關(guān)系，進(jìn)而求出，即可得出雙曲線的離心率.【詳解】由題意，在拋物線中，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，在雙曲線中，漸近線：，拋物線準(zhǔn)線與雙曲線交于兩點(diǎn)，∴，，∵，∴，解得：，∴，∴離心率，故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知四邊形內(nèi)接于，若，，．（1）求線段的長(zhǎng)．（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求解，（2）根據(jù)余弦定理得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式即可求解.【小問1詳解】由題知，，所以，根據(jù)余弦定理，，即，．所以，所以．所以．【小問2詳解】因?yàn)樗?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）又,所以．18.設(shè)函數(shù)，滿足：①；②對(duì)任意，恒成立．（1）求函數(shù)的解析式．（2）設(shè)矩形的一邊在軸上，頂點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上．設(shè)矩形的面積為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，結(jié)合題設(shè)條件即可得解；（2）先利用導(dǎo)數(shù)判斷的圖象性質(zhì)，從而利用矩形面積公式得到關(guān)于的表達(dá)式，從而得證.【小問1詳解】因?yàn)椋?，得，則；由，得，恒成立，即恒成立，所以，所以，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，令，得；令，得；所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．不妨設(shè)，，由知，那么，；故，因?yàn)?，所以?9.在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，且底面，與底面成角，且．（1）求證：；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）應(yīng)用空間向量法證明線線垂直；（2）應(yīng)用空間向量法求線面角正弦計(jì)算即可得出邊長(zhǎng)關(guān)系.【小問1詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸建立坐標(biāo)系．那么，，，，．故，因?yàn)?，所以，即．【小?詳解】因?yàn)椋?，故，所以平面，故平面的法向量設(shè)直線與平面所成角為，則：整理得，即．20.第19屆亞運(yùn)會(huì)于9月23日至10月8日在杭州舉行，某學(xué)校為持續(xù)營(yíng)造全民參與亞運(yùn)、服務(wù)亞運(yùn)、奉獻(xiàn)亞運(yùn)的濃厚氛圍舉辦“心心相融·愛答亞運(yùn)”知識(shí)挑戰(zhàn)賽．挑戰(zhàn)者向守擂者提出挑戰(zhàn)，規(guī)則為挑戰(zhàn)者和守擂者輪流答題，直至一方答不出或答錯(cuò)，則另一方自動(dòng)獲勝．若賽制要求挑戰(zhàn)者先答題，守擂者和挑戰(zhàn)者每次答對(duì)問題的概率都是，且每次答題互不影響．（1）若在不多于兩次答題就決出勝負(fù)，則挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少?（2）在此次比賽中，挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少?（3）現(xiàn)賽制改革，挑戰(zhàn)者需要按上述方式連續(xù)挑戰(zhàn)8位守擂者，每次挑戰(zhàn)之間相互獨(dú)立，當(dāng)戰(zhàn)勝至少三分之二以上的守擂者時(shí)，則稱該挑戰(zhàn)者勝利．若再增加1位守擂者時(shí)，試分析該挑戰(zhàn)者勝利的概率是否增加?并說明理由．【答案】（1）（2）（3）沒有增加，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式求解即可；（2）設(shè)為先答題者獲勝的概率，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式列出方程，進(jìn)而求解；（3）分別求出增加1位守擂者前后挑戰(zhàn)者勝利的概率，進(jìn)行比較即可求解.【小問1詳解】設(shè)事件為挑戰(zhàn)者獲勝，事件為不多于兩次答題比賽結(jié)束．．【小問2詳解】設(shè)為先答題者獲勝的概率，則，解得，所以挑戰(zhàn)者獲勝的概率是.【小問3詳解】設(shè)隨機(jī)變量為挑戰(zhàn)者連續(xù)挑戰(zhàn)8人時(shí)戰(zhàn)勝得守擂者人數(shù)，為此時(shí)挑戰(zhàn)者獲勝的概率；為挑戰(zhàn)者連續(xù)挑戰(zhàn)9人時(shí)戰(zhàn)勝得守擂者人數(shù)，為此時(shí)挑戰(zhàn)者獲勝的概率．，，顯然，，即該挑戰(zhàn)者勝利的概率沒有增加．21.設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和滿足：．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比為，數(shù)列滿足：，．求．【答案】21.證明見解析22.【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列定義證明等比數(shù)列即可；（2）分項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)，分別應(yīng)用裂項(xiàng)相消求和即可.【小問1詳解】由；令，得，故，；因?yàn)?，其中，，．所以?dāng)時(shí)，，兩式相減得：，整理得：，．綜上，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．【小問2詳解】由題意得：，，，，故．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，綜上：22.已知，函數(shù)，.（1）當(dāng)與都存在極小值，且極小值之和為時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求證：.【答案】（1）1（2）證明見解析【解析】【分析】（1）分別對(duì)，求導(dǎo)，討論和，得出和的單調(diào)性，即可求出，的極小值，即可得出答案