專題1.7 勾股定理章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（北師大版）（原卷版）

專題1.7勾股定理章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由勾股定理求兩條線段的平方和（差）】 1【題型2勾股定理在網(wǎng)格問題中的運(yùn)用】 2【題型3勾股定理在折疊問題中的運(yùn)用】 4【題型4以弦圖為背景的計(jì)算】 6【題型5勾股定理的證明方法】 7【題型6勾股定理與全等綜合】 10【題型7由勾股定理確定在幾何體中的最短距離】 12【題型8由勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問題】 13【題型1由勾股定理求兩條線段的平方和（差）】【例1】（2023春·陜西咸陽·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，射線AM⊥AN于點(diǎn)A、點(diǎn)C、B在AM、AN上，D為線段AC的中點(diǎn)，且DE⊥BC于點(diǎn)E．（1）若BC=10，直接寫出AC（2）若AC=8，△ABC的周長為24，求△ABC的面積；（3）若AB=6，C點(diǎn)在射線AM上移動(dòng)，問此過程中，BE【變式1-1】（2023·福建·模擬預(yù)測）如圖所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2-M【變式1-2】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，若AB=3，CD=2，則AD2【變式1-3】（2023春·福建莆田·八年級(jí)校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A4,4，B

(1)如圖1，判斷△AOB的形狀并說明理由；(2)如圖2，M，N分別是y軸負(fù)半軸和x軸正半軸上的點(diǎn)，且AM⊥AN，探究線段OM，ON，OA之間的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)如圖3，延長BA交y軸于點(diǎn)C，M，N分別是x軸負(fù)半軸和y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，連接AN交x軸于D，且∠AMO+∠ANO=45°，探究BD2，DM【題型2勾股定理在網(wǎng)格問題中的運(yùn)用】【例2】（2023春·浙江·八年級(jí)期末）在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中．每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形ABCD的邊為斜邊，向外作四個(gè)全等的直角三角形，使四個(gè)直角頂點(diǎn)E,F,G,H都是格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖．例如，在圖1所示的格點(diǎn)弦圖中，正方形ABCD的邊長為26，此時(shí)正方形EFGH的面積為52．問：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長為26時(shí)，正方形EFGH的面積的所有可能值是(不包括52)．【變式2-1】（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5，10，13，求這個(gè)三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．（1）請(qǐng)你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：；思維拓展：（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長分別為5a，22a，17a（a＞0），請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．探索創(chuàng)新：（3）若△ABC三邊的長分別為m2+16n2,9m2+4n2【變式2-2】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？计谥校┰?0×10網(wǎng)格中，點(diǎn)A和直線l的位置如圖所示：

（1）將點(diǎn)A向右平移6個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位長度得到點(diǎn)B，在網(wǎng)格中標(biāo)出點(diǎn)B；（2）在（1）的條件下，在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA＋PB的值最小，保留畫圖痕跡，并直接寫出PA＋PB的最小值：______；（3）結(jié)合（2）的畫圖過程并思考，直接寫出x2+32【變式2-3】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的10×10網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．五邊形ABCDE的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，按步驟完成下列問題：（1）五邊形ABCDE的周長為．（2）在AB上找點(diǎn)F，使E，C兩點(diǎn)關(guān)于直線DF對(duì)稱；（3）設(shè)DF交CE于點(diǎn)G，連接AG，直接寫出四邊形AEDG的面積；（4）在直線DF上找點(diǎn)H，使∠AHB＝135°．【題型3勾股定理在折疊問題中的運(yùn)用】【例3】（2023春·河南鄭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，把△ABP沿直線BP折疊，使得點(diǎn)A落在圖中點(diǎn)A′處，當(dāng)△AA′C是直角三角形時(shí)，則線段CP的長是．【變式3-1】（2023春·浙江寧波·八年級(jí)校考期中）定義：若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b2＝2c2，則稱△ABC為“方倍三角形”．（1）對(duì)于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是．A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜邊AB＝3，則該三角形的面積為；（3）如圖，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P為AC邊上一點(diǎn)，將△ABP沿直線BP進(jìn)行折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，連接CD，AD．若△ABD為“方倍三角形”，且AP＝2，求△PDC的面積．【變式3-2】（2023春·浙江·八年級(jí)期末）如圖1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．(1)求BC邊上的高線長．(2)點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在邊AB上，且AD＝4，連結(jié)DE．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是BC中點(diǎn)時(shí)，求△BDE的面積．②如圖3，沿DE將△BDE折疊得到△FDE，當(dāng)DF與△ABC其中一邊垂直時(shí)，求BE的長．【變式3-3】（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b2=2c2，則稱(1)對(duì)于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是___．A.①一定是“方倍三角形”

B.②一定是“方倍三角形”C.①②都一定是“方倍三角形”

D.①②都一定不是“方倍三角形”(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜邊AB=3，則該三角形的面積為___(3)如圖，△ABC中，∠ABC=120°，∠ACB=45°，P為AC邊上一點(diǎn)，將△ABP沿直線BP進(jìn)行折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，連結(jié)CD，AD，若△ABD為“方倍三角形”，且AP＝【題型4以弦圖為背景的計(jì)算】【例4】（2023春·浙江嘉興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在認(rèn)識(shí)了勾股定理的趙爽弦圖后，一位同學(xué)嘗試將5個(gè)全等的小正方形嵌入長方形ABCD內(nèi)部，其中點(diǎn)M，N，P，Q分別在長方形的邊AB，BC，CD和AD上，若AB=7，BC=8，則小正方形的邊長為（

）A．5 B．6 C．7 D．2【變式4-1】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)合肥市第四十二中學(xué)校考期中）如圖，它是由弦圖變化得到的，是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成的，將圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別記為S1、S2、（1）若S1=25，S3=1（2）若S1+S2【變式4-2】（2023春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成的．已知BE:AE=3:1，正方形ABCD的面積為80．連接ACAC，交BE于點(diǎn)P，交DG于點(diǎn)Q，連接FQ．則圖中陰影部分的面積之和為．【變式4-3】（2023春·四川巴中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面積分別為S1，S2，S3，若S1+【題型5勾股定理的證明方法】【例5】（2023春·廣西百色·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人入迷．(1)證明勾股定理取4個(gè)與Rt△ABC（圖1）全等的三角形，其中∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，把它們拼成邊長為a+b的正方形DEFG

(2)應(yīng)用勾股定理

①應(yīng)用場景1：在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點(diǎn)．如圖3，在數(shù)軸上找出表示1的點(diǎn)D和表示4的點(diǎn)A，過點(diǎn)A作直線l垂直于DA，在l上取點(diǎn)B，使AB=2，以點(diǎn)D為圓心，DB為半徑作弧，則弧與數(shù)軸的交點(diǎn)C表示的數(shù)是______．②應(yīng)用場景2：解決實(shí)際問題．如圖4，某公園有一秋千，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度BE=0.5m，將它往前推至C處時(shí)，水平距離CD=2m，踏板離地的垂直高度CF=1.5m【變式5-1】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算圖1的面積，把圖1看作一個(gè)大正方形，它的面積是a+b2，如果把圖1看作是由2個(gè)長方形和2個(gè)小正方形組成的，它的面積為a2+2ab+(1)如圖2，正方形ABCD是由四個(gè)邊長分別是a，b的長方形和中間一個(gè)小正方形組成的，用不同的方法對(duì)圖2的面積進(jìn)行計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______（用a，b表示）(2)已知：兩數(shù)x，y滿足x+y=14，xy=24，求x-y的值．(3)如圖3，正方形ABCD的邊長是c，它由四個(gè)直角邊長分別是a，b的直角三角形和中間一個(gè)小正方形組成的，對(duì)圖3的面積進(jìn)行計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______．（用a，b，c表示，結(jié)果化到最簡）【變式5-2】（2023春·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c2，另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即12ab×4+b-a2，從而得到等式c2=【方法運(yùn)用】千百年來，人們對(duì)勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的直角三角形△ABC和△DEA如圖2放置，其三邊長分別為a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，顯然BC⊥AD．(1)請(qǐng)用a，b，c分別表示出四邊形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理a2(2)【方法遷移】請(qǐng)利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得△ABC，則AB邊上的高為______．(3)如圖4，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB=4，AC=5，BC=6，設(shè)BD=x，求x的值．【變式5-3】（2023春·全國·八年級(jí)期中）如圖（1），是兩個(gè)全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c）（1）用這樣的兩個(gè)三角形構(gòu)造成如圖（2）的圖形，利用這個(gè)圖形，證明：a2+b2＝c2；（2）用這樣的兩個(gè)三角形構(gòu)造圖3的圖形，你能利用這個(gè)圖形證明出題（1）的結(jié)論嗎？如果能，請(qǐng)寫出證明過程；（3）當(dāng)a＝3，b＝4時(shí)，將其中一個(gè)直角三角形放入平面直角坐標(biāo)系中，使直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，兩直角邊a，b分別與x軸、y軸重合（如圖4中Rt△AOB的位置）．點(diǎn)C為線段OA上一點(diǎn)，將△ABC沿著直線BC翻折，點(diǎn)A恰好落在x軸上的D處．①請(qǐng)寫出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；②若△CMD為等腰三角形，點(diǎn)M在x軸上，請(qǐng)直接寫出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．【題型6勾股定理與全等綜合】【例6】（2023春·安徽滁州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，AD為底邊BC上的高線，E是AC上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，且∠CBE=45°．

(1)求證：AB(2)如圖1，若AB=6.5，BC=5，求AF的長；(3)如圖2，若AF=BC，以BF，EF和AE為邊，能圍成直角三角形嗎？請(qǐng)判斷，并說明理由．【變式6-1】（2023春·江西宜春·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，把一張矩形紙片沿對(duì)角線BD折疊，若BC=9，CD=3，那么AF的長為．【變式6-2】（2023春·湖北襄陽·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG=CH=8，BG=DH=6，連接GH，則線段GH的長為（

）

A．538 B．22 C．14【變式6-3】（2023春·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=62，D是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF⊥AD（AF始終在AD上方），且AF=AD，連接(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，判斷BF與DC的關(guān)系，并說明理由．

(2)如圖2，若點(diǎn)D、E為線段BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠DAE=45°，連接EF，DC=3，求

(3)若在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，BD=3，則AF=___．(4)如圖3，若M為AB中點(diǎn)，連接MF，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)BD=__時(shí)，MF的長最??？最小值是___．

【題型7由勾股定理確定在幾何體中的最短距離】【例7】（2023春·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個(gè)長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒有縫腺），一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．若AB=3，BC=4，CC1A．74 B．310 C．89 D．【變式7-1】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)合肥壽春中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一個(gè)圓柱形食品盒，它的高為10cm，底面圓的周長為(1)點(diǎn)A位于盒外底面的邊緣，如果在A處有一只螞蟻，它想吃到盒外表面對(duì)側(cè)中點(diǎn)B處的食物，則螞蟻需要爬行的最短路程是cm；(2)將左圖改為一個(gè)無蓋的圓柱形食品盒，點(diǎn)C距離下底面3cm，此時(shí)螞蟻從C處出發(fā)，爬到盒內(nèi)表面對(duì)側(cè)中點(diǎn)B處(如右圖)，則螞蟻爬行的最短路程是cm【變式7-2】（2023春·全國·八年級(jí)期中）愛動(dòng)腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時(shí)遇到下面的問題：已知，如圖一個(gè)棱長為8cm無蓋的正方體鐵盒，小明通過遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體盒子外壁A處，然后遙控甲蟲從A處出發(fā)沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到邊CD上后再在邊CD上爬行3cm，最后在沿內(nèi)壁面正方形ABCD上爬行，最終到達(dá)內(nèi)壁BC的中點(diǎn)M，甲蟲所走的最短路程是cm【變式7-3】（2023春·廣東佛山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）初中幾何的學(xué)習(xí)始于空間的“實(shí)物和具體模型”，聚焦平面的“幾何圖形的特征和運(yùn)用”，形成了空間幾何問題要轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解題策略．問題提出：如圖所示是放在桌面上的一個(gè)圓柱體，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)B，如何求最短路程呢？(1)問題分析：螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)B，可以有幾條路徑？在圖中畫出來；(2)問題探究：①若圓柱體的底面圓的周長為18cm，高為12cm，螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)②若圓柱體的底面圓的周長為24cm，高為4cm，螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)③若圓柱體的底面圓的半徑為r，高為h，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)B，求最短路程．【題型8由勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問題】【例8】（2023春·吉林白城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，A、B兩塊試驗(yàn)田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進(jìn)行修筑．（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請(qǐng)通過計(jì)算說明．【變式8-1