2023年新高一數(shù)學(xué)暑假課程（人教A版2019）第四十講對(duì)數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)（原卷版）

第四十講：對(duì)數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)【教學(xué)目標(biāo)】1.了解對(duì)數(shù)、常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)的概念；；3.掌握積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，理解其推導(dǎo)過程和成立的條件；4.掌握換底公式及其推論；5.能熟練運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值．【基礎(chǔ)知識(shí)】一、對(duì)數(shù)的定義一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．注意點(diǎn)：(1)對(duì)數(shù)是由指數(shù)轉(zhuǎn)化而來，則底數(shù)a、指數(shù)或?qū)?shù)x、冪或真數(shù)N的范圍不變，只是位置和名稱發(fā)生了變換；(2)logaN的讀法：以a為底N的對(duì)數(shù)．二、兩類特殊對(duì)數(shù)(1)以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把log10N記為lgN；(2)以無理數(shù)e＝2.71828…為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，并把logeN記為lnN.三、對(duì)數(shù)的性質(zhì)(1)loga1＝0(a>0，且a≠1)．(2)logaa＝1(a>0，且a≠1)．(3)零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)．(4)對(duì)數(shù)恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．四、對(duì)數(shù)的運(yùn)算如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．注意點(diǎn)：(1)性質(zhì)的逆運(yùn)算仍然成立；(2)公式成立的條件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意義，而log2(－2)與log2(－3)都沒有意義；(3)性質(zhì)(1)可以推廣為：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*.五、換底公式1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．對(duì)數(shù)換底公式的重要推論(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)．(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．注意點(diǎn)：(1)公式成立的條件要使每一個(gè)對(duì)數(shù)式都有意義；(2)在具體運(yùn)算中，我們習(xí)慣換成常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)，即logab＝eq\f(lgb,lga)或logab＝eq\f(lnb,lna).【題型目錄】考點(diǎn)一：對(duì)數(shù)的概念考點(diǎn)二：對(duì)數(shù)式有意義考點(diǎn)三：對(duì)數(shù)與指數(shù)相互轉(zhuǎn)化考點(diǎn)四：簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)性質(zhì)的計(jì)算考點(diǎn)五：利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求值考點(diǎn)六：對(duì)數(shù)運(yùn)算公式的簡(jiǎn)單計(jì)算考點(diǎn)七：對(duì)數(shù)運(yùn)算公式的應(yīng)用考點(diǎn)八：對(duì)數(shù)運(yùn)算公式的化簡(jiǎn)和求值考點(diǎn)九：對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用考點(diǎn)十：對(duì)數(shù)運(yùn)算公式的綜合應(yīng)用考點(diǎn)十一：實(shí)際問題中的對(duì)數(shù)運(yùn)算【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：對(duì)數(shù)的概念例1．有下列說法：①以10為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù)；②任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式；③以e為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù)；④零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù).其中正確的個(gè)數(shù)為（） A．1 B．2 C．3 D．4變式訓(xùn)練1．給出下列說法:①零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù);②任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式;③以10為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù);④以為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù).其中正確的個(gè)數(shù)為（） A．1 B．2 C．3 D．4變式訓(xùn)練2．下列說法中錯(cuò)誤的是（） A．零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù) B．任何一個(gè)指數(shù)式都可化為對(duì)數(shù)式 C．以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù) D．以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)變式訓(xùn)練3．對(duì)于下列說法：（1）零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；（2）任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式；（3）以10為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)；（4）以e為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)．其中錯(cuò)誤說法的個(gè)數(shù)為（） A．1 B．2 C．3 D．4考點(diǎn)二：對(duì)數(shù)式有意義例2．使有意義的實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練1．使對(duì)數(shù)有意義的的取值范圍為（） A．且 B． C．且 D．變式訓(xùn)練2．已知對(duì)數(shù)式有意義，則的取值范圍為（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練3．使式子有意義的的取值范圍是（） A． B． C． D．考點(diǎn)三：對(duì)數(shù)與指數(shù)相互轉(zhuǎn)化例3．已知函數(shù)，則（） A．0 B．1 C．1 D．2變式訓(xùn)練1．將轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)形式，正確的是（） A．； B．； C．； D．．變式訓(xùn)練2．已知，則的值為（） A．2 B．4 C．6 D．8變式訓(xùn)練3．已知函數(shù)，則的值為（） A． B． C． D．考點(diǎn)四：簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)性質(zhì)的計(jì)算例4．有以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③若，則；④若，則．其中正確的是（） A．①③ B．②④ C．①② D．③④變式訓(xùn)練1．有以下四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（） A． B． C．若，則 D．變式訓(xùn)練2．有以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③若，則；④若，則，其中正確的是（） A．①② B．②④ C．①③ D．③④變式訓(xùn)練3．下列各式：①；②；③若，則；④若，則.其中正確的個(gè)數(shù)有（） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)考點(diǎn)五：利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求值例5．若，則等于（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練1．已知，那么=（） A．1 B．2 C．3 D．4變式訓(xùn)練2．設(shè)，則的值等于（） A．10 B．13 C．100 D．變式訓(xùn)練3．若，則的值是（） A． B． C． D．考點(diǎn)六：對(duì)數(shù)運(yùn)算公式的簡(jiǎn)單計(jì)算例6．求下列各式的值．(1)；(2)；變式訓(xùn)練1．化簡(jiǎn)的值得（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練2．計(jì)算：的值（） A．0 B． C．2 D．3變式訓(xùn)練3．的值為（） A．0 B．1 C． D．考點(diǎn)七：對(duì)數(shù)運(yùn)算公式的應(yīng)用例7．設(shè)，，則（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練1．已知，，那么用a，b表示應(yīng)為（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練2．已知，則（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練3．已知，則（） A．3 B．5 C． D．考點(diǎn)八：對(duì)數(shù)運(yùn)算公式的化簡(jiǎn)和求值例8．計(jì)算下列各式的值：(1)；(2).變式訓(xùn)練1．計(jì)算：(1)；(2).變式訓(xùn)練2．計(jì)算(1).(2).變式訓(xùn)練3．計(jì)算：(1);(2)考點(diǎn)九：對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用例9．已知，則（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練1．的值為（） A． B．1 C． D．變式訓(xùn)練2．設(shè)，那么m等于（） A． B．9 C．18 D．27變式訓(xùn)練3．若，，則（） A． B． C． D．考點(diǎn)十：對(duì)數(shù)運(yùn)算公式的綜合應(yīng)用例10．已知，則（） A．2 B．1 C．1 D．2變式訓(xùn)練1．已知，且，則（）. A．3 B．6 C．12 D．18變式訓(xùn)練2．已知，則的值為（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練3．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（） A．5 B．9 C．13 D．18考點(diǎn)十一：實(shí)際問題中的對(duì)數(shù)運(yùn)算例11．某科研小組研發(fā)一種抗旱小麥品種，已知第1代有40粒種子，若之后各代每粒種子可收獲下一代15粒種子，則所得種子重量首次超過1噸（約2400萬粒）的是（） A．第6代種子 B．第7代種子 C．第8代種子 D．第9代種子變式訓(xùn)練1．某科技研發(fā)公司2021年全年投入的研發(fā)資金為300萬元，在此基礎(chǔ)上，計(jì)劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加10%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：，，，） A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年變式訓(xùn)練2．標(biāo)準(zhǔn)的圍棋共行列,個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)上可能出現(xiàn)“黑”“白”“空”三種情況，因此有種不同的情況，而我國(guó)北宋學(xué)者括在他的著作《夢(mèng)溪筆談》中，也論過這個(gè)問題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有“連書萬字五十二”，即，下列數(shù)據(jù)最接近的是（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練3．荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”我們可以把看作是每天的“進(jìn)步”率都是1，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1，一年后是．若經(jīng)過200天，則“進(jìn)步”的值大約是“退步”的值的（）（參考數(shù)據(jù)：，，） A．40倍 B．45倍 C．50倍 D．55倍【課堂小結(jié)】1．知識(shí)清單：(1)對(duì)數(shù)的概念．(2)自然對(duì)數(shù)、常用對(duì)數(shù)．(3)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化．(4)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．(5)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)、求值．(6)換底公式．(7)對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化法．3．常見誤區(qū)：易忽視對(duì)數(shù)式中底數(shù)與真數(shù)的范圍；要注意對(duì)數(shù)的換底公式的結(jié)構(gòu)形式，易混淆【課后作業(yè)】1．已知函數(shù)，則（） A．0 B．1 C．2 D．32．已知，則（） A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若，則（） A． B． C． D．4．設(shè)，則的值等于（） A．10 B． C．100 D．10005．有下列說法:①零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；②任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式；③以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)；④成立.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（） A．1 B．2 C．3 D．46．在等式中，實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A．或 B．或 C． D．7．方程的根為（） A． B． C．或 D．或8．下列對(duì)數(shù)式中，與指數(shù)式等價(jià)的是（） A． B． C． D．9．下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化不正確的一組是（） A．與 B．與 C．與 D．與10．已知，，則（） A．25 B．5 C． D．11．已知，，那么的值為（） A．8 B．3 C．1 D．12．方程的解是（） A．1 B．2 C．e D．313．下列算式計(jì)算正確的是（） A． B． C． D．14．若（），則的值為（） A．4