專題02 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（原卷版）VIP

專題02一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值題型二利用根與系數(shù)的關(guān)系間接求代數(shù)式的值題型三利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求代數(shù)式的值題型四構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值題型五由兩根關(guān)系求方程字母系數(shù)題型六根與系數(shù)關(guān)系的新定義問(wèn)題題型七一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系綜合【知識(shí)梳理】如果一元二次方程（）的兩根為那么，就有比較等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得①式與②式也可以運(yùn)用求根公式得到．人們把公式①與②稱之為韋達(dá)定理，即根與系數(shù)的關(guān)系．因此，給定一元二次方程就一定有①與②式成立．反過(guò)來(lái)，如果有兩數(shù)滿足①與②，那么這兩數(shù)必是一個(gè)一元二次方程的根．利用這一基本知識(shí)?？梢院?jiǎn)捷地處理問(wèn)題．利用根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以不求方程的根，而知其根的正、負(fù)性．在的條件下，我們有如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，方程的兩根必一正一負(fù)．若，則此方程的正根不小于負(fù)根的絕對(duì)值；若，則此方程的正根小于負(fù)根的絕對(duì)值．當(dāng)時(shí)，方程的兩根同正或同負(fù)．若，則此方程的兩根均為正根；若，則此方程的兩根均為負(fù)根．⑴韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）：如果的兩根是，，則，．(隱含的條件：)⑵若，是的兩根(其中)，且為實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，一般地：①，②且，③且，特殊地：當(dāng)時(shí)，上述就轉(zhuǎn)化為有兩異根、兩正根、兩負(fù)根的條件．⑶以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是：．⑷其他：若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根(，為有理數(shù))．若，則方程必有實(shí)數(shù)根．若，方程不一定有實(shí)數(shù)根．若，則必有一根．若，則必有一根．⑸韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）主要應(yīng)用于以下幾個(gè)方面：已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根以及確定方程參數(shù)的值；已知方程，求關(guān)于方程的兩根的代數(shù)式的值；已知方程的兩根，求作方程；結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征；逆用構(gòu)造一元二次方程輔助解題：當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)時(shí)，就可以把某兩個(gè)變?cè)醋髂硞€(gè)一元二次方程的兩根，以便利用韋達(dá)定理；⑤利用韋達(dá)定理求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗(yàn)證方程的．一些考試中，往往利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱．【經(jīng)典例題一利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值】【例1】（2023·天津河北·統(tǒng)考二模）已知一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（

）A．6 B．2 C．4 D．3【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考二模）已知，是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A．3 B． C．2 D．2．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考二模）已知，是方程的兩個(gè)根，則的值為______．3．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知，是方程的兩實(shí)數(shù)根，求：(1)，(2)的值．【經(jīng)典例題二利用根與系數(shù)的關(guān)系間接求代數(shù)式的值】【例2】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A． B．2 C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值等于（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2022·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)a，b是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則___________．3．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根分別為，且滿足．求的值．【經(jīng)典例題三利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求代數(shù)式的值】【例3】（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知是方程的兩根，則的值是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·四川達(dá)州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）設(shè)，是一元二次方程的兩根，則等于（

）A．1 B．5 C．11 D．132．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤绻辉畏匠痰膬蓚€(gè)根為，，則_____．3．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)晉江市第一中學(xué)校考期中）已知a，b是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)【經(jīng)典例題四構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值】【例4】（2022秋·四川眉山·九年級(jí)校考期中）已知實(shí)數(shù)a、b滿足，且，則的值（

）A．0 B． C．4 D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為m，則方程的兩根分別是（

）．A．， B．， C．， D．，2．（2023春·山東棗莊·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)、滿足，，則_______．3．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考一模）閱讀材料，解答問(wèn)題：已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，則，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：(1)直接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)，滿足：，，且，則_____，______；(2)間接應(yīng)用：在（1）條件下，求的值；(3)拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)，滿足：，且，則______．【經(jīng)典例題五由兩根關(guān)系求方程字母系數(shù)】【例5】（2022秋·重慶萬(wàn)州·九年級(jí)重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？计谥校┑妊切蔚娜呴L(zhǎng)分別為，，1，且關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根是和，則的值為（

）A．1 B．1或2 C．2 D．1且2【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，方程的兩根分別是、，且，則值是（

）A． B． C． D．2．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根為、，若，則_____．3．（2023·北京石景山·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若，且該方程的一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，求的值．【經(jīng)典例題六根與系數(shù)關(guān)系的新定義問(wèn)題】【例6】（2022秋·湖北鄂州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義新運(yùn)算“※”：對(duì)于實(shí)數(shù)m、n、p、q，有，其中等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算，例如：．若關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【變式訓(xùn)練】1．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，我們定義新運(yùn)算“*”：，例如：．若m，n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（）A． B．-3 C． D．2．（2022秋·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）已知對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)、，定義一種新的運(yùn)算：，如，已知，是一元二次程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則_______．3．（2023春·福建南平·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：有些數(shù)學(xué)問(wèn)題雖然表面與一元二次方程無(wú)關(guān)，但是我們能夠通過(guò)構(gòu)造一元二次方程、并利用一元二次方程的有關(guān)知識(shí)將其解決．下面介紹兩種基本構(gòu)造閉法：方法1：利用根的定義構(gòu)造．例如，如果實(shí)數(shù)、滿足、，且，則可將、看作是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．方法2：利用韋達(dá)定理逆向構(gòu)造．例如，如果實(shí)數(shù)、滿足、，則可以將、看作是方程的兩實(shí)數(shù)根．根據(jù)上述材料解決下面問(wèn)題：(1)已知一元二次方程的兩根，，則______，______；(2)已知實(shí)數(shù)滿足，，求的值．(3)已知實(shí)數(shù)滿足、，且，求c的最大值．【經(jīng)典例題七一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的綜合】【例7】（2022·四川宜賓·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范圍是（）A．﹣＜a＜ B．a(chǎn)＞ C．a(chǎn)＜﹣ D．﹣＜a＜0【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級(jí)期末）若方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根滿足，則實(shí)數(shù)p的所有值之和為（

）A．0 B． C． D．2．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另外一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于“倍根方程”的說(shuō)法，正確的有_____（填序號(hào)）．①方程是“倍根方程”；②若是“倍根方程”，則；③若滿足，則關(guān)于x的方程是“倍根方程”；④若方程是“倍根方程”，則必有．3．（2023春·湖北十堰·九年級(jí)專題練習(xí)）定義：已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若，且，則稱這個(gè)方程為“限根方程”．如：一元二次方程的兩根為，因，，所以一元二次方程為“限根方程”．請(qǐng)閱讀以上材料，回答下列問(wèn)題：(1)判斷一元二次方程是否為“限根方程”，并說(shuō)明理由；(2)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，且兩根滿足，求k的值；(3)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范圍．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則（

）A．， B．，C．， D．，2．（2022秋·山東棗莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·河南安陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）定義運(yùn)算：．若a，b是方程的兩根，則的值為（）A．0 B．1 C．2 D．與m有關(guān)4．（2022秋·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考期中）直線與拋物線的兩個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是，，若，則的值是（

）A． B．3或 C． D．或25．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)石獅市石光中學(xué)?？计谥校┰O(shè)，是方程的兩根，則的值是（

）A． B．5 C．3 D．6．（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，，，則的值是（

）A．-11 B．13或-11 C．25或13 D．137．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)校考期中）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，如果定義新運(yùn)算，則下列結(jié)論正確的有（）①5*3=1；②當(dāng)x=-1時(shí)，[(-2)*x]*7=-21；③；④若、是一元二次方程的兩個(gè)根，則或-17；⑤若、是一元二次方程的兩個(gè)根，，則m的值為-3或-6．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)8．（2023春·江蘇南通·九年級(jí)專題練習(xí)）有兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列四個(gè)結(jié)論中，①如果，那么方程M和方程N(yùn)有一個(gè)公共根為1；②方程M和方程N(yùn)的兩根符號(hào)異號(hào)，而且它們的兩根之積必相等；③如果2是方程M的一個(gè)根，那么一定是方程N(yùn)的一個(gè)根；④如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必定是．其中錯(cuò)誤的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)9．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）若等腰三角形的一邊長(zhǎng)是3，另兩邊的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則n的值為______．10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）已知a、b為一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則的值是______．11．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）關(guān)于的方程的兩個(gè)根為，．若，則______．12．（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n，關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根為，則________．13．（2022春·四川內(nèi)江·九年級(jí)專題練習(xí)）將兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均為常數(shù)）的形式，如果只有系數(shù)a不同，其余完全相同，我們就稱這樣的兩個(gè)方程為“同源二次方程”．已知關(guān)于x的一元二次方程（）與方程是“同源二次方程”，且方程（）有兩個(gè)根為、，則b－2c＝______，的最大值是______．14．（2023春·浙江·八年級(jí)期末）已知兩個(gè)關(guān)于的一元二次方程，有一個(gè)公共解2，且，，，．下列結(jié)論：①有唯一對(duì)應(yīng)的值；②；③是一元二次方程的一個(gè)解．其中正確結(jié)論的序號(hào)是____．15．（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若已知此方程的一個(gè)根為，求m的值以及方程的另一根．16．（2023·廣東珠海·?？既＃┮阎?1)化簡(jiǎn)；(2)若、是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值．17．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考二模）【閱讀與思考】如表是小亮同學(xué)在數(shù)學(xué)雜志上看到的小片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系通過(guò)學(xué)習(xí)用公式法解一元二次方程可以發(fā)現(xiàn)，一元二次方程的根完全由它的系數(shù)確定，求根公式就是根與系數(shù)關(guān)系的一種形式．除此以外，一元二次方程的根與系數(shù)之間還有一些其他形式的關(guān)系．從因式分解的角度思考這個(gè)問(wèn)題，若把一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別記為，，則有恒等式，即．比較兩邊系數(shù)可得：______，______．任務(wù)：(1)填空：______，______．(2)小亮同學(xué)利用求根公式進(jìn)行推理，同樣能夠得出一元二次方程兩根之和、兩根之積與系數(shù)之間的關(guān)系．下面是小亮同學(xué)的部分推理過(guò)程，請(qǐng)完成填空，并將推理和運(yùn)算過(guò)程補(bǔ)充完整．解：對(duì)于一元二次方程，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根______，______．……(3)已知關(guān)于x的方程的兩根之和與兩根之積的和等于2，直接寫出的值．18．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)試求的取值范圍；(2)若，求的值；(3)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且滿足，試求的值．19．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考一模）閱讀下列材料并完成相應(yīng)任務(wù)：對(duì)于一元二次方程（），如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，那么，；一元二次方程的這種根與系數(shù)的關(guān)系，最早是由法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)（）發(fā)現(xiàn)的，因此，我們把這個(gè)關(guān)系稱為韋達(dá)定理，靈活運(yùn)用這個(gè)定理有時(shí)可以使解題更為簡(jiǎn)單．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：(1)材料理解：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，求的值．小明給出了一部分解題思路：解：∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，∴______，∴______，∴請(qǐng)?zhí)羁詹?/p>