專題13 圖形變換綜合問題（解析版）【浙江專用】

決勝2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘（浙江專用）專題13圖形變換綜合問題【例1】（2019?紹興）正方形ABCD的邊AB上有一動(dòng)點(diǎn)E，以EC為邊作矩形ECFG，且邊FG過點(diǎn)D．在點(diǎn)E從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B的過程中，矩形ECFG的面積（）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．一直變大 D．保持不變【分析】連接DE，△CDE的面積是矩形CFGE的一半，也是正方形ABCD的一半，則矩形與正方形面積相等．【解析】連接DE，∵S△CDES△CDE=∴矩形ECFG與正方形ABCD的面積相等．故選：D．【例2】（2019?金華）圖2，圖3是某公共汽車雙開門的俯視示意圖，ME、EF、FN是門軸的滑動(dòng)軌道，∠E＝∠F＝90°，兩門AB、CD的門軸A、B、C、D都在滑動(dòng)軌道上，兩門關(guān)閉時(shí)（圖2），A、D分別在E、F處，門縫忽略不計(jì)（即B、C重合）；兩門同時(shí)開啟，A、D分別沿E→M，F(xiàn)→N的方向勻速滑動(dòng)，帶動(dòng)B、C滑動(dòng)：B到達(dá)E時(shí)，C恰好到達(dá)F，此時(shí)兩門完全開啟，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如圖3，當(dāng)∠ABE＝30°時(shí)，BC＝90﹣453cm．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)A向M方向繼續(xù)滑動(dòng)15cm時(shí)，四邊形ABCD的面積為2256cm2．【分析】（1）先由已知可得B、C兩點(diǎn)的路程之比為5：4，再結(jié)合B運(yùn)動(dòng)的路程即可求出C運(yùn)動(dòng)的路程，相加即可求出BC的長；（2）當(dāng)A向M方向繼續(xù)滑動(dòng)15cm時(shí)，AA'＝15cm，由勾股定理和題目條件得出△A'EB'、△D'FC'和梯形A'EFD'邊長，即可利用割補(bǔ)法求出四邊形四邊形ABCD的面積．【解析】∵A、D分別在E、F處，門縫忽略不計(jì)（即B、C重合）且AB＝50cm，CD＝40cm．∴EF＝50+40＝90cm∵B到達(dá)E時(shí)，C恰好到達(dá)F，此時(shí)兩門完全開啟，∴B、C兩點(diǎn)的路程之比為5：4（1）當(dāng)∠ABE＝30°時(shí)，在Rt△ABE中，BE=32AB＝253∴B運(yùn)動(dòng)的路程為（50﹣253）cm∵B、C兩點(diǎn)的路程之比為5：4∴此時(shí)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路程為（50﹣253）×45=（40﹣20∴BC＝（50﹣253）+（40﹣203）＝（90﹣453）cm故答案為：90﹣453；（2）當(dāng)A向M方向繼續(xù)滑動(dòng)15cm時(shí)，設(shè)此時(shí)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)A'處，點(diǎn)B、C、D分別運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B'、C'、D'處，連接A'D'，如圖：則此時(shí)AA'＝15cm∴A'E＝15+25＝40cm由勾股定理得：EB'＝30cm，∴B運(yùn)動(dòng)的路程為50﹣30＝20cm∴C運(yùn)動(dòng)的路程為16cm∴C'F＝40﹣16＝24cm由勾股定理得：D'F＝32cm，∴四邊形A'B'C'D'的面積＝梯形A'EFD'的面積﹣△A'EB'的面積﹣△D'FC'的面積=12×90×(40+32)-12×30×40-12∴四邊形ABCD的面積為2256cm2．故答案為：2256．【例3】（2019?寧波）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，點(diǎn)D在邊BC上，CD＝5，BD＝13．點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半徑為6的⊙P與△ABC的一邊相切時(shí)，AP的長為6.5或313．【分析】根據(jù)勾股定理得到AB=122+182=613，AD=AC2+CD2=13，當(dāng)⊙P于BC相切時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離＝6，過P作PH⊥BC于H，則PH【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，∴AB=122在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，∴AD=AC當(dāng)⊙P于BC相切時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離＝6，過P作PH⊥BC于H，則PH＝6，∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴PH∥AC，∴△DPH∽△DAC，∴PDDA∴PD13∴PD＝6.5，∴AP＝6.5；當(dāng)⊙P于AB相切時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離＝6，過P作PG⊥AB于G，則PG＝6，∵AD＝BD＝13，∴∠PAG＝∠B，∵∠AGP＝∠C＝90°，∴△AGP∽△BCA，∴APAB∴AP6∴AP＝313，∵CD＝5＜6，∴半徑為6的⊙P不與△ABC的AC邊相切，綜上所述，AP的長為6.5或313，故答案為：6.5或313．【例4】（2019?舟山）如圖，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在個(gè)平面上，邊AC與EF重合，AC＝12cm．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC方向滑動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長為（24﹣122）cm；連接BD，則△ABD的面積最大值為（243+362-126）cm【分析】過點(diǎn)D'作D'N⊥AC于點(diǎn)N，作D'M⊥BC于點(diǎn)M，由直角三角形的性質(zhì)可得BC＝43cm，AB＝83cm，ED＝DF＝62cm，由“AAS”可證△D'NE'≌△D'MF'，可得D'N＝D'M，即點(diǎn)D'在射線CD上移動(dòng)，且當(dāng)E'D'⊥AC時(shí)，DD'值最大，則可求點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長，由三角形面積公式可求S△AD'B=12BC×AC+12×AC×D'N-12×BC×D'M＝243+12（12﹣43）×D'N，則E'【解析】∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°∴BC＝43cm，AB＝83cm，ED＝DF＝62cm如圖，當(dāng)點(diǎn)E沿AC方向下滑時(shí)，得△E'D'F'，過點(diǎn)D'作D'N⊥AC于點(diǎn)N，作D'M⊥BC于點(diǎn)M∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F'∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM∴CD'平分∠ACM即點(diǎn)E沿AC方向下滑時(shí)，點(diǎn)D'在射線CD上移動(dòng)，∴當(dāng)E'D'⊥AC時(shí)，DD'值最大，最大值=2ED﹣CD＝（12﹣62）∴當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長＝2×（12﹣62）＝（24﹣122）cm如圖，連接BD'，AD'，∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C∴S△AD'B=12BC×AC+12×AC×D'N-12×BC×D'M＝243+當(dāng)E'D'⊥AC時(shí)，S△AD'B有最大值，∴S△AD'B最大值＝243+12（12﹣43）×62=（243+362-故答案為：（24﹣122），（243+362-12【例5】（2019?紹興）如圖，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，點(diǎn)M，N分別在邊AB，CD上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，MN，EF交于點(diǎn)P，記k＝MN：EF．（1）若a：b的值為1，當(dāng)MN⊥EF時(shí)，求k的值．（2）若a：b的值為12，求k（3）若k的值為3，當(dāng)點(diǎn)N是矩形的頂點(diǎn)，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE時(shí)，求a：b的值．【分析】（1）作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，設(shè)EF交MN于點(diǎn)O．證明△FHE≌△MQN（ASA），即可解決問題．（2）由題意：2a≤MN≤5a，a≤EF≤5a，當(dāng)MN的長取最大時(shí)，EF取最短，此時(shí)k的值最大最大值=5，當(dāng)MN的最短時(shí)，EF的值取最大，此時(shí)k（3）連接FN，ME．由k＝3，MP＝EF＝3PE，推出MNPM=EFPE=3，推出PNPM=PFPE=2，由△PNF∽△PME，推出NFME=PNPM=2，ME∥NF，設(shè)PE＝2m，則PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，接下來分兩種情形①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)N【解析】（1）如圖1中，作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，設(shè)EF交MN于點(diǎn)O．∵四邊形ABCD是正方形，∴FH＝AB，MQ＝BC，∵AB＝CB，∴FH＝MQ，∵EF⊥MN，∴∠EON＝90°，∵∠ECN＝90°，∴∠MNQ+∠CEO＝180°，∠FEH+∠CEO＝180°∴∠FEH＝∠MNQ，∵∠EHF＝∠MQN＝90°，∴△FHE≌△MQN（ASA），∴MN＝EF，∴k＝MN：EF＝1．（2）∵a：b＝1：2，∴b＝2a，由題意：2a≤MN≤5a，a≤EF≤5∴當(dāng)MN的長取最大時(shí)，EF取最短，此時(shí)k的值最大最大值=5當(dāng)MN的最短時(shí)，EF的值取最大，此時(shí)k的值最小，最小值為25（3）連接FN，ME．∵k＝3，MP＝EF＝3PE，∴MNPM=∴PNPM=PFPE=2∴△PNF∽△PME，∴NFME=PNPM=2設(shè)PE＝2m，則PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)M恰好與B重合．作FH⊥BD于H．∵∠MPE＝∠FPH＝60°，∴PH＝2m，F(xiàn)H＝23m，DH＝10m，∴ab②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)N與C重合，作EH⊥MN于H．則PH＝m，HE=3m∴HC＝PH+PC＝13m，∴tan∠HCE=MB∵M(jìn)E∥FC，∴∠MEB＝∠FCB＝∠CFD，∵∠B＝∠D，∴△MEB∽△CFD，∴CDMB=∴ab綜上所述，a：b的值為35或2【例6】（2019?臺(tái)州）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，P是BA延長線上的一點(diǎn)，連接PC交AD于點(diǎn)F，AP＝FD．（1）求AFAP（2）如圖1，連接EC，在線段EC上取一點(diǎn)M，使EM＝EB，連接MF，求證：MF＝PF；（3）如圖2，過點(diǎn)E作EN⊥CD于點(diǎn)N，在線段EN上取一點(diǎn)Q，使AQ＝AP，連接BQ，BN．將△AQB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q'落在邊AD上．請(qǐng)判斷點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'是否落在線段BN上，并說明理由．【分析】（1）設(shè)AP＝FD＝a，通過證明△AFP∽△DFC，可得APCD=AFFD，可求（2）在CD上截取DH＝AF，由“SAS”可證△PAF≌△HDF，可得PF＝FH，由勾股定理可求CE＝EP=5，可得CM＝CH=5-1，由“SAS”可證△FCM≌△FCH，可得FM＝FH（3）以A原點(diǎn)，AB為y軸，AD為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法可求BN解析式，即可求B'坐標(biāo)，計(jì)算B'Q'的長度，即可判斷點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'是否落在線段BN上．【解析】（1）設(shè)AP＝FD＝a，∴AF＝2﹣a，∵四邊形ABCD是正方形∴AB∥CD∴△AFP∽△DFC∴AP即a∴a=5∴AP＝FD=5-∴AF＝AD﹣DF＝3-∴AF（2）在CD上截取DH＝AF∵AF＝DH，∠PAF＝∠D＝90°，AP＝FD，∴△PAF≌△HDF（SAS）∴PF＝FH，∵AD＝CD，AF＝DH∴FD＝CH＝AP=5∵點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，∴BE＝AE＝1＝EM∴PE＝PA+AE=∵EC2＝BE2+BC2＝1+4＝5，∴EC=∴EC＝PE，CM=5∴∠P＝∠ECP∵AP∥CD∴∠P＝∠PCD∴∠ECP＝∠PCD，且CM＝CH=5-1，CF∴△FCM≌△FCH（SAS）∴FM＝FH∴FM＝PF（3）若點(diǎn)B'在BN上，如圖，以A原點(diǎn)，AB為y軸，AD為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，∵EN⊥AB，AE＝BE∴AQ＝BQ＝AP=5由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AQ＝AQ'=5-1，AB＝AB'＝2，Q'B'＝QB=∵點(diǎn)B（0，﹣2），點(diǎn)N（2，﹣1）∴直線BN解析式為：y=12x設(shè)點(diǎn)B'（x，12x﹣2∴AB'=x∴x=∴點(diǎn)B'（85，-∵點(diǎn)Q'（5-1，0∴B'Q'=(∴點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'不落在線段BN上．【例7】（2019?金華）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝142，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，將線段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF．（1）如圖1，若AD＝BD，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，AF與DC相交于點(diǎn)O．求證：BD＝2DO．（2）已知點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)．①如圖2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的長．②若AD＝6BD，是否存在點(diǎn)E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的長；若不存在，試說明理由．【分析】（1）如圖1中，首先證明CD＝BD＝AD，再證明四邊形ADFC是平行四邊形即可解決問題．（2）①作DT⊥BC于點(diǎn)T，F(xiàn)H⊥BC于H．證明DG是△ABF的中位線，想辦法求出BF即可解決問題．②分三種情形情形：如圖3﹣1中，當(dāng)∠DEG＝90°時(shí)，F(xiàn)，E，G，A共線，作DT⊥BC于點(diǎn)T，F(xiàn)H⊥BC于H．設(shè)EC＝x．構(gòu)建方程解決問題即可．如圖3﹣2中，當(dāng)∠EDG＝90°時(shí)，取AB的中點(diǎn)O，連接OG．作EH⊥AB于H．構(gòu)建方程解決問題即可．如圖3﹣3中，當(dāng)∠DGE＝90°時(shí)，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程解決問題即可．【解答】（1）證明：如圖1中，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，BD＝AD，∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，∵CD＝CF，∴AD＝CF，∵∠ADC＝∠DCF＝90°，∴AD∥CF，∴四邊形ADFC是平行四邊形，∴OD＝OC，∵BD＝2OD．（2）①解：如圖2中，作DT⊥BC于點(diǎn)T，F(xiàn)H⊥BC于H．由題意：BD＝AD＝CD＝72，BC=2BD＝14∵DT⊥BC，∴BT＝TC＝7，∵EC＝2，∴TE＝5，∵∠DTE＝∠EHF＝∠DEF＝90°，∴∠DET+∠TDE＝90°，∠DET+∠FEH＝90°，∴∠TDE＝∠FEH，∵ED＝EF，∴△DTE≌△EHF（AAS），∴FH＝ET＝5，∵∠DBE＝∠DFE＝45°，∴B，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴∠DBF+∠DEF＝90°，∴∠DBF＝90°，∵∠DBE＝45°，∴∠FBH＝45°，∵∠BHF＝90°，∴∠HBF＝∠HFB＝45°，∴BH＝FH＝5，∴BF＝52，∵∠ADC＝∠ABF＝90°，∴DG∥BF，∵AD＝DB，∴AG＝GF，∴DG=12BF②解：如圖3﹣1中，當(dāng)∠DEG＝90°時(shí)，F(xiàn)，E，G，A共線，作DT⊥BC于點(diǎn)T，F(xiàn)H⊥BC于H．設(shè)EC＝x．∵AD＝6BD，∴BD=17AB＝2∵DT⊥BC，∠DBT＝45°，∴DT＝BT＝2，∵△DTE≌△EHF，∴EH＝DT＝2，∴BH＝FH＝12﹣x，∵FH∥AC，∴EHEC∴2x整理得：x2﹣12x+28＝0，解得x＝6±22．如圖3﹣2中，當(dāng)∠EDG＝90°時(shí)，取AB的中點(diǎn)O，連接OG．作EH⊥AB于H．設(shè)EC＝x，由2①可知BF=2（12﹣x），OG=12BF=22∵∠EHD＝∠EDG＝∠DOG＝90°，∴∠ODG+∠OGD＝90°，∠ODG+∠EDH＝90°，∴∠DGO＝∠HDE，∴△EHD∽△DOG，∴DHOG∴22整理得：x2﹣36x+268＝0，解得x＝18﹣214或18+214（舍棄），如圖3﹣3中，當(dāng)∠DGE＝90°時(shí)，取AB的中點(diǎn)O，連接OG，CG，作DT⊥BC于T，F(xiàn)H⊥BC于H，EK⊥CG于K．設(shè)EC＝x．∵∠DBE＝∠DFE＝45°，∴D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，∴∠DBF+∠DEF＝180°，∵∠DEF＝90°，∴∠DBF＝90°，∵AO＝OB，AG＝GF，∴OG∥BF，∴∠AOG＝∠ABF＝90°，∴OG⊥AB，∵OG垂直平分線段AB，∵CA＝CB，∴O，G，C共線，由△DTE≌△EHF，可得EH＝DT＝BT＝2，ET＝FH＝12﹣x，BF=2（12﹣x），OG=12BF=22（12﹣x），CK＝EK=22x，GK＝72-由△OGD∽△KEG，可得OGEK∴22解得x＝2，綜上所述，滿足條件的EC的值為6±22或18﹣214或2．【例8】（2019?衢州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BM并延長分別交DE，AC于點(diǎn)F、G．（1）求CD的長．（2）若點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，求EFDF（3）請(qǐng)問當(dāng)DM的長滿足什么條件時(shí)，在線段DE上恰好只有一點(diǎn)P，使得∠CPG＝60°？【分析】（1）解Rt△ADC即可解決問題．（2）由DE∥AC，可得EFAG=BEAB=（3）求出三種特殊位置：①當(dāng)⊙Q與DE相切時(shí)，如圖3﹣1中．②當(dāng)⊙Q經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，如圖3﹣2中．③當(dāng)⊙Q經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，如圖3﹣3中，分別求出DM的值即可判斷．【解析】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC=12∠BAC＝在Rt△ADC中，DC＝AC?tan30°＝6×33=（2）由題意易知：BC＝63，BD＝43，∵DE∥AC，∴∠FDM＝∠GAM，∵AM＝DM，∠DMF＝∠AMG，∴△DFM≌△AGM（ASA），∴DF＝AG，∵DE∥AC，∴EFAG∴EFDF（3）∵∠CPG＝60°，過C，P，G作外接圓，圓心為Q，∴△CQG是頂角為120°的等腰三角形．①當(dāng)⊙Q與DE相切時(shí)，如圖3﹣1中，作QH⊥AC于H，交DE于P．連接QC，QG．設(shè)⊙Q的半徑為r．則QH=12r，r+12r∴r=4∴CG=433×3=由△DFM∽△AGM，可得DMAM∴DM=47AD②當(dāng)⊙Q經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，如圖3﹣2中，延長CQ交AB于K，設(shè)CQ＝r．∵QC＝QG，∠CQG＝120°，∴∠KCA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠AKC＝90°，在Rt△EQK中，QK＝33-r，EQ＝r，EK＝1∴12+（33-r）2＝r2解得r=14∴CG=14由△DFM∽△AGM，可得DM=14③當(dāng)⊙Q經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，如圖3﹣3中，此時(shí)點(diǎn)M，點(diǎn)G與點(diǎn)A重合，可得DM＝AD＝43．觀察圖象可知：當(dāng)DM=1637或1435＜DM1．（2020?柯橋區(qū)模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)P，Q在對(duì)角線BD上，且BQ=23BP，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，連接HQ，以PH、HQ為鄰邊作平行四邊形PHQG，設(shè)BQ＝（1）若m＝2時(shí)，求此時(shí)PH的長．（2）若點(diǎn)C，G，H在同一直線上時(shí)，求此時(shí)的m值．（3）若經(jīng)過點(diǎn)G的直線將矩形ABCD的面積平分，同時(shí)該直線將平行四邊形PHQG的面積分成1：3的兩部分，求此時(shí)m的值．【分析】（1）由勾股定理可求BD＝5，通過證明△BPH∽△BDA，可得PHAD（2）設(shè)BQ＝2x，則BP＝3x，PQ＝x，通過證明△PHO∽△BCO，可得PHBC=POOB，可求PH的長，通過證明△BPH∽△BDA，可得（3）分兩種情況，由平行線分線段成比例，可求解．【解析】（1）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∴BD=AB2∵BQ＝2，BQ=2∴BP＝3，∵PH∥AD，∴△BPH∽△BDA，∴PHAD∴PH=AD?BP（2）如圖，設(shè)HG與PQ交于點(diǎn)O，設(shè)BQ＝2x，則BP＝3x，PQ＝x，∴PO＝QO=1∴BO=52∵PH∥BC，∴△PHO∽△BCO，∴PHBC∴PH=BC?PO∵PH∥AD，∴△BPH∽△BDA，∴PHAD∴35∴x=1∴BQ=m=2x=2（3）連接AC交BD于O，∵經(jīng)過點(diǎn)G的直線將矩形ABCD的面積平分，∴這條直線經(jīng)過矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)O．①如圖，當(dāng)直線OG經(jīng)過PH的中點(diǎn)R時(shí)，直線OG將平行四邊形PHQG的面積分成1：3的兩部分，∵PH∥GQ，∴PRGQ∴32∴m=15②如圖，當(dāng)直線OG經(jīng)過HQ的中點(diǎn)N時(shí)，直線OG將平行四邊形PHQG的面積分成1：3的兩部分，∵PG∥HQ，∴NQPG∴32∴m=15綜上所述，滿足條件的m的值為158或152．（2020?東陽市模擬）如圖，已知點(diǎn)A（0，8），B（16，0），點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與原點(diǎn)O重合），連結(jié)AP，把△OAP沿著AP折疊后，點(diǎn)O落在點(diǎn)C處，連結(jié)PC，BC，設(shè)P（t，0）．（1）如圖1，當(dāng)AP∥BC時(shí)，試判斷△BCP的形狀，并說明理由．（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)∠PCB＝90°時(shí)，求t的值．（3）如圖2，過點(diǎn)B作BH⊥直線CP，垂足為點(diǎn)H，連結(jié)AH，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在AH＝BC？若存在，求出t的值：若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得∠PCB＝∠PBC，可得PC＝PB，可得△BCP是等腰三角形；（2）分兩種情況討論，由折疊的性質(zhì)可得∠AOP＝∠ACP＝90°，OP＝PC＝t，可證點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)B三點(diǎn)共線，由銳角三角函數(shù)可求解；（3）分四種情況討論，先證由點(diǎn)A，點(diǎn)H，點(diǎn)B，點(diǎn)C所構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，由勾股定理可求解．【解析】（1）等腰三角形，理由如下：∵AP∥BC，∴∠APC＝∠BCP，∠APO＝∠CBP，∵△OAP沿著AP折疊，∴∠APO＝∠APC，∴∠PCB＝∠PBC，∴PC＝PB，∴△BCP是等腰三角形；（2）當(dāng)t＞0時(shí)，如圖，∵△OAP沿著AP折疊，∴∠AOP＝∠ACP＝90°，OP＝PC＝t，∴∠ACP+∠BCP＝180°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)B三點(diǎn)共線，∵點(diǎn)A（0，8），B（16，0），∴OA＝8，OB＝16，∴AB=OA2+OB∵tan∠ABO=AO∴88∴t＝45-4當(dāng)t＜0時(shí)，如圖，同理可求：t＝﹣45-4（3）∵△OAP沿著AP折疊，∴AC＝AO＝8，∠ACP＝∠AOP＝90°，∵BH⊥CP，∴∠ACP＝∠BHC＝90°，∵AH＝BC，CH＝CH，∴Rt△ACH≌Rt△BHC（HL）∴AC＝BH，∴四邊形AHBC是平行四邊形，如圖2，當(dāng)0≤t≤16時(shí)，點(diǎn)H在PC上時(shí)，連接AB交CH于G，∵四邊形AHBC是平行四邊形，∴AG＝BG＝45，HG＝CG，AC＝BH＝8，∴HG=BG2在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t﹣8）2，∴t＝8；如圖3，當(dāng)0≤t≤16時(shí)，點(diǎn)H在PC的延長線上時(shí)，∵四邊形AHBC是平行四邊形，∴AG＝BG＝45，HG＝CG，AC＝BH＝8，∴HG=BG2在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t+8）2，∴t=8如圖4，當(dāng)t＜0時(shí)，同理可證：四邊形ABHC是平行四邊形，又∵AH＝BC，∴四邊形ABHC是矩形，∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝45，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t+85）2，∴t＝16﹣85；當(dāng)t＞16時(shí)，如圖5，∵四邊形ABHC是矩形，∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝85，CP＝OP＝t，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（t﹣16）2＝64+（t﹣85）2，∴t＝16+85．綜上所述：當(dāng)t＝8或83或16﹣85或16+85時(shí)，存在AH＝BC3．（2020?永康市一模）如圖1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AD邊上任意一點(diǎn)，現(xiàn)將△AEF沿直線EF對(duì)折，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G．（1）如圖2，當(dāng)EF∥BD，且點(diǎn)G落在對(duì)角線BD上時(shí)，求DG的長；（2）如圖3，連接DG，當(dāng)EF∥BD且△DFG是直角三角形時(shí)，求AE的值；（3）當(dāng)AE＝2AF時(shí)，F(xiàn)G的延長線交△BCD的邊于點(diǎn)H，是否存在一點(diǎn)H，使得以E，H，G為頂點(diǎn)的三角形與△AEF相似，若存在，請(qǐng)求出AE的值；若不存在，請(qǐng)說明理由【分析】（1）連接AG，如圖2所示，首先證明AG⊥BD，解直角三角形即可解決問題．（2）分兩種情形：①當(dāng)∠DGF＝90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D，G，E三點(diǎn)共線，②當(dāng)∠GDF＝90°時(shí)，點(diǎn)G在DC上，過點(diǎn)E作EH⊥CD于H，則四邊形ADHE是矩形，分別求解即可．（3）分四種情形：①當(dāng)△AEF∽△GHE時(shí)，如圖4﹣1，過點(diǎn)H作HP⊥AB于P．②當(dāng)△AEF∽△GHE時(shí)，如圖4﹣2，過點(diǎn)H作HP⊥AB于P．③當(dāng)△AEF∽△GEH時(shí)，如圖4﹣3，過點(diǎn)G作MN∥AB交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥MN于N．④當(dāng)△AEF∽△GEH時(shí)，如圖4﹣4，過點(diǎn)G作MN∥AB交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥MN于N，過點(diǎn)H作HQ⊥AD于Q，分別求解即可．【解析】（1）連接AG，如圖2所示，由折疊得：AG⊥EF，∵EF∥BD，∴AG⊥BD，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∴∠DAB＝90°，AD＝BC＝6，∴DB=AB∴cos∠ADB=AD∴DG＝AD?cos∠ADB＝6×3（2）①當(dāng)∠DGF＝90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D，G，E三點(diǎn)共線，設(shè)AF＝3t，則FG＝3t，AE＝4t，DF＝6﹣3t，在Rt△DFG中，DG2+FG2＝DF2，即DG2＝（6﹣3t）2﹣（3t）2＝36﹣36t，∵tan∠FDG=FG∴3t36-36t解得t=7∴AE=7②當(dāng)∠GDF＝90°時(shí)，點(diǎn)G在DC上，過點(diǎn)E作EH⊥CD于H，則四邊形ADHE是矩形，EH＝AD＝6．設(shè)AF＝3t，則FG＝3t，AE＝4t，DF＝6﹣3t，∵∠FDG＝∠FGE＝∠EHG＝90°，∴∠DGF+∠DFG＝90°，∠DGF+∠EGH＝90°，∴∠DFG＝∠EGH，∴△GDF∽△EHG，∴DFGH∴6-3kGH∴DG=92，GH＝8﹣4∵DG+GH＝AE，∴92+8﹣4k＝4∴k=25∴AE=25綜上所述：AE=74或（3）①當(dāng)△AEF∽△GHE時(shí)，如圖4﹣1，過點(diǎn)H作HP⊥AB于P，∵∠AEF＝∠FEG＝∠EHG，∠EHG+∠HEG＝90°，∴△FEG+∠HEG＝90°，∴∠A＝∠FEH＝90°，∴△AEF∽△EHF，∴EF：HE＝AF：AE＝1：2，∵∠A＝∠HPE＝90°，∴∠AEF+∠HEP＝90°，∠HEP+∠EHP＝90°，∴∠AEF＝∠EHP，∴△AEF∽△HPE，∴EA：HP＝EF：EH＝1：2，∵HP＝6，∴AE＝3．②當(dāng)△AEF∽△GHE時(shí)，如圖4﹣2，過點(diǎn)H作HP⊥AB于P，同法可得EF：HE＝1：2，EA：HP＝1：2，設(shè)AF＝t，則AE＝2t，EP＝2t，HP＝4t，∴BP＝8﹣4t，∵△BHP∽△BDA，∴4t：6＝（8﹣4t）：8，解得：t=67，AE③當(dāng)△AEF∽△GEH時(shí)，如圖4﹣3，過點(diǎn)G作MN∥AB交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥MN于N．設(shè)AF＝t，則AE＝2t，DF＝6﹣t，由翻折可知：△AEF≌△GEF，AE＝GE，∵△AEF∽△GEH，AE＝GE，∴△AEF≌△GEH（AAS或ASA），∴FG＝GH，∵M(jìn)G∥DH，∴FM=12（6﹣∴AM＝EN＝AF+FM=6+t又∵△FMG∽△GNE，且GF：GE＝1：2，∵M(jìn)G=12NE=12AM=6+t4，GN＝2∵M(jìn)N＝AE，∴6+t4+6﹣t＝2解得t=30∴AE=60④當(dāng)△AEF∽△GEH時(shí)，如圖4﹣4，過點(diǎn)G作MN∥AB交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥MN于N，過點(diǎn)H作HQ⊥AD于Q，設(shè)AF＝t，則AE＝2t，設(shè)FM＝a，∴NG＝2a，NE＝a+t，∴MG=12EN=1∴a+t2+2a＝2t由上題可知：MF＝MQ＝a，QH＝2MG＝a+t，∴DQ＝6﹣t﹣2a，∵DQQH∴6-t-2aa+t=解得t=30∴AE=60綜上所述，滿足條件的AE的值為3或127或6011或4．（2020?寧波模擬）如圖，矩形ABCD中．AB＝6，BC＝8，在所給的3個(gè)矩形中分別畫1個(gè)菱形，要求菱形的頂點(diǎn)都在矩形的邊上，且畫出菱形后整個(gè)圖形分別符合下列條件，并在橫線上直接寫出菱形的面積．①是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形；②既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形且菱形四個(gè)頂點(diǎn)落在矩形不同邊上；③是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形且菱形面積最大．S＝36；S＝24；S＝752【分析】根據(jù)題意，可以畫出符合要求的菱形，然后根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以分別求得三個(gè)菱形的面積，本題得以解決．【解析】如下圖所示，S①＝6×6＝36，S②=6×82在符合③的圖形中，設(shè)菱形的邊長為a，62+（8﹣a）2＝a2，解得，a=25S②=254×故答案為：36，24，7525．（2020?寧波模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為1，E是CD邊上一點(diǎn)，先把正方形ABCD沿線段AE剪開，再將四邊形ABCE沿某一條線段m剪開，使剪開后的三塊圖形能以不重疊、無縫隙的方式重新拼成與原圖形不全等的菱形或矩形．設(shè)DE＝x．（1）當(dāng)x＝0.5時(shí)，求所拼菱形的邊長，并在圖中畫出線段m的位置．（2）當(dāng)所拼矩形的一邊長為0.8時(shí)，求矩形的另一邊長和x的值．（3）舉例說明存在分?jǐn)?shù)x，能使所拼菱形或矩形的邊長都是分?jǐn)?shù)．【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算出AE的長，再連接BE即可；（2）先畫出圖形，再證明△AHB∽△FCB，利用相似三角形的性質(zhì)得比例式，再根據(jù)面積法計(jì)算可得答案；（3）答案不唯一，如x=512，仿照（1），由勾股定理得菱形的邊AE的長，仿照（2），利用相似三角形的性質(zhì)可得矩形的邊長BH和【解析】（1）所拼菱形的邊長為：AE=A如圖所示：（2）四邊形BFGH是所拼矩形示意圖，∵BF＞1，∴BH＝0.8，∵∠ABH+∠HBC＝90°，∠CBH+∠HBC＝90°，∴∠ABH＝∠CBF，又∵∠AHB＝∠BCF＝90°，∴△AHB∽△FCB，∴ABBFBF=AB?BCBH=1∴矩形的另一邊長為54，x的值為3（3）答案不唯一，如x=5由（2）可知，此時(shí)菱形的邊長AE=1∵∠DAE+∠BAH＝90°，∠ABH+∠BAH＝90°，∴∠DAE＝∠ABH，又∵∠AHB＝∠D＝90°，∴△ABH∽△EAD，∴BHAD∴BH1∴BH=12∴BF=AB?BC∴分?jǐn)?shù)x=56．（2020?寧波模擬）如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足α﹣β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．（1）若△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度數(shù)；（2）如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，點(diǎn)D是BC延長線上一點(diǎn)．若△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”，求CD的長；（3）如圖②，在四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“準(zhǔn)互余三角形”，求BD的長．【分析】（1）由“準(zhǔn)互余三角形”定義可求解；（2）由勾股定理可求AC＝3，分兩種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可求解；（3）如圖，將△ABC沿BC翻折得到△EBC，可得CE＝AC＝4，∠BCA＝∠BCE，∠CBA＝∠CBE，∠E＝∠BAC＝90°，通過證明△CEB∽△BED，可求BE＝6，由勾股定理可求解．【解析】（1）∵△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，若∠A﹣∠B＝90°，則∠A＝110°，∴∠C＝180°﹣110°﹣20°＝50°，若∠A﹣∠C＝90°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝35°；（2）∵∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，∴AC=BC2∵△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”，∴∠BAD﹣∠B＝90°，或∠BAD﹣∠ADB＝90°，當(dāng)∠BAD﹣∠ADB＝90°，∴∠BAC+∠CAD﹣∠ADB＝90°，∴∠CAD＝∠ADB，∴AC＝CD＝3，當(dāng)∠BAD﹣∠B＝90°，∴∠BAC+∠CAD﹣∠B＝90°，∴∠B＝∠CAD，∵∠ADC＝∠BDA，∴△ADC∽△BDA，∴CDAD∴CDAD∴CD=45（3）如圖，將△ABC沿BC翻折得到△EBC，∴CE＝AC＝4，∠BCA＝∠BCE，∠CBA＝∠CBE，∠E＝∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠ACE＝180°，∵∠ACD＝2∠ABC＝∠ABE，∴∠ACD+∠ACE＝180°，∴點(diǎn)D，點(diǎn)C，點(diǎn)E三點(diǎn)共線，∵∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝2∠ABC+∠ACB＝90°+∠ABC，∴∠BCD﹣∠CBD＝90°，∵△BCD是“準(zhǔn)互余三角形”，∴∠BCD﹣∠CDB＝90°，∴90°+∠ABC﹣∠CDB＝90°，∴∠CDB＝∠ABC＝∠EBC，又∵∠E＝∠E，∴△CEB∽△BED，∴CEBE即4BE∴BE＝6，∴BD=BE2+DE7．（2020?金東區(qū)模擬）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝82．點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，將線段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連結(jié)BF，BF的中點(diǎn)為G．（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)．①如圖1，若AD＝BD，求BF的長．②當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長．（2）當(dāng)AE＝3，點(diǎn)G在△DEF一邊所在直線上時(shí)，求AD的長．【分析】（1）①如圖1中，過點(diǎn)F作FT⊥BC交BC的延長線于T．想辦法求出FT，TB，利用勾股定理即可解決問題．②如圖2中，連接AF，取AB的中點(diǎn)T，連接TG．證明點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是Rt△ABC斜邊的中線即可解決問題．（2）分四種情形：①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)G在直線EF上時(shí)，過點(diǎn)D作DJ⊥AC于J，設(shè)AJ＝DJ＝x，則EJ＝3﹣x，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)G在直線DF上時(shí)，AD=2AE＝32③如圖3﹣3中，當(dāng)點(diǎn)G在直線DE上時(shí)，過點(diǎn)F作FT⊥CA交CA的延長線于T，根點(diǎn)G作GK⊥AC于K，過點(diǎn)D作DJ⊥AC于J．設(shè)FT＝AT＝x．利用相似三角形以及全等三角形的性質(zhì)求解即可．④如圖3﹣4中，當(dāng)點(diǎn)G在直線DF上時(shí)，點(diǎn)D與B重合，此時(shí)AD＝82．【解析】（1）①如圖1中，過點(diǎn)F作FT⊥BC交BC的延長線于T．在Rt△ACB中，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝82，∴AB＝BC＝8，∵AD＝BD，∴CD＝AD＝BD＝CF＝42，CD⊥AB，∴∠DCB＝∠ACD＝45°，∵∠DCF＝90°，∴∠FCT＝45°，∴FT＝CT＝4，BT＝BC+CT＝12，在Rt△BFT中，∵∠T＝90°，∴BF=TF2②如圖2中，連接AF，取AB的中點(diǎn)T，連接TG．∵CA＝CB，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝90°，∴∠ACF＝∠BCD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF＝∠CBD＝45°，AF＝BD，∵∠CAB＝45°，∴∠BAF＝90°，即AF⊥AB，∵AT＝TB，BG＝GF，∴TG∥AF，∴TG⊥AB，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是Rt△ABC斜邊的中線，運(yùn)動(dòng)的路徑的長為42．（2）①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)G在直線EF上時(shí)，過點(diǎn)D作DJ⊥AC于J，設(shè)AJ＝DJ＝x，則EJ＝3﹣x，∵∠DJE＝∠C＝∠DEB＝90°，∴∠DEJ+∠CEB＝90°，∠CEB+∠CBE＝90°，∴∠DEJ＝∠CBE，∴△DEJ∽△EBC，∴DJEC∴x5∴x=15∴AJ＝DJ=15∴AD=2AJ=②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)G在直線DF上時(shí)，AD=2AE＝32③如圖3﹣3中，當(dāng)點(diǎn)G在直線DE上時(shí)，過點(diǎn)F作FT⊥CA交CA的延長線于T，根點(diǎn)G作GK⊥AC于K，過點(diǎn)D作DJ⊥AC于J．設(shè)FT＝AT＝x．∵GK∥FT∥BC，GF＝GB，∴TK＝KC，∴GK=8+x2TK＝KC∴EK＝5-8+x∵∠T＝∠GKE＝∠FEG＝90°，∴∠FET+∠GEK＝90°，∠GEK+∠EGK＝90°，∴∠FET＝∠EGK，∴△FET∽△EGK，∴FTEK∴x2-x整理得：2x2+9x﹣6＝0，解得x=-6+1294∴TF=-6+1294，同法可證：∠FET＝∠EDJ，∵∠T＝∠DJE＝90°，EF＝ED，∴△FET≌△EDJ（AAS），∴DJ＝ET=6+∴AD=2DJ=④如圖3﹣4中，當(dāng)點(diǎn)G在直線DF上時(shí)，點(diǎn)D與B重合，此時(shí)AD＝82，綜上所述，滿足條件的AD的值為15213或32或62+8．（2020?黃巖區(qū)模擬）圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形ABCD表示該車的后備箱，在打開后備箱的過程中，箱蓋ADE可以繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為70°時(shí)，箱蓋ADE落在AD′E′的位置（如圖2所示）．已知AD＝60厘米，DC＝40厘米，求點(diǎn)D'到BC的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）【分析】過點(diǎn)D'作D'G⊥BC于G，交AD于H，則∠AHD′＝90°，HG＝CD＝40．由題意可知，AD'＝AD＝60，∠DAD'＝70°．解直角△AD′H，利用正弦函數(shù)定義求出D'H＝AD'?sin∠DAD'≈56.4厘米，那么D′G＝D′H+HG≈96.4．【解析】如圖2，過點(diǎn)D'作D'G⊥BC于G，交AD于H，則∠AHD′＝90°，HG＝CD＝40．由題意可知，AD'＝AD＝60，∠DAD'＝70°．在直角△AD′H中，∵∠AHD′＝90°，∴D'H＝AD'?sin∠DAD'≈60×0.94＝56.4（厘米），∴D′G＝D′H+HG≈56.4+40＝96.4（厘米）．答：點(diǎn)D'到BC的距離約為96.4厘米．9．（2020?新昌縣模擬）如圖，以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將線段AB按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α得到線段，連結(jié)A′B′，連接AA'，BB'．（1）比較∠OAA′與∠OBB′的大小，并說明理由．（2）當(dāng)α＝45°時(shí)，若OA＝3，OB＝4，請(qǐng)你編制一個(gè)計(jì)算題（不標(biāo)注新的字母），并解答．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AOA′＝∠BOB′＝α，AO＝A′O，BO＝B′O，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【解析】（1）∠OAA′＝∠OBB′，理由：∵將線段AB按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α得到線段，∴∠AOA′＝∠BOB′＝α，AO＝A′O，BO＝B′O，∴∠OAA′=12（180°﹣α），∠OBB′=12（∴∠OAA′＝∠OBB′；（2）當(dāng)α＝45°時(shí)，若OA＝3，OB＝4，求線段AB掃過的圖形的面積，解：∵α＝45°，∴∠AOA′＝∠BOB′＝45°，∵OA＝3，OB＝4，∴線段AB掃過的圖形的面積＝S扇形BOB′+S△AOB﹣S扇形AOA′﹣S△AOB＝S扇形BOB′﹣S扇形AOA′=45?π×410．（2020?柯橋區(qū)模擬）如圖①是一個(gè)小箱子ABCDE放在桌面MN上的示意圖，BC這部分可彎曲，在彎曲時(shí)形成一段圓弧，設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，線段AB，CD均與圓弧相切，點(diǎn)B，C分別為切點(diǎn)，小箱子蓋面CD與桌面MN平行，此時(shí)CD距離桌面14cm，已知AB的長10cm，CD的長為25.2cm．（1）如圖①，求弧BC的長度（結(jié)果保留π）．（2）如圖②，若小箱子ABCDE打開后弧BC所對(duì)的圓心角度數(shù)為60°，求小箱子頂端D到桌面MN的距離DH（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73【分析】（1）根據(jù)線段AB，CD均與圓弧相切，CD距離桌面14cm，AB的長為10cm，可得半徑OC為4cm．再根據(jù)弧長公式即可求得弧BC的長度；（2）過點(diǎn)C作CP⊥DH于點(diǎn)P，作CG⊥OB于G，得矩形CGQP，則CP∥OB，得∠OCP＝∠BOC＝60°，根據(jù)弧長公式求出半徑，進(jìn)而可求CG的長，即可求得D到桌面AM的距離．【解析】（1）如圖①，∵線段AB，CD均與圓弧相切，∴OB⊥AB，OC⊥CD，∴CD∥OB∥AM，∴∠BOC＝∠OCD＝90°．∵CD距離桌面14cm，AB的長為10cm，∴半徑OC為4cm．∴弧BC的長度為90×π×4180=2π（（2）如圖②，過點(diǎn)C作CP⊥DH于點(diǎn)P，作CG⊥OB于G，得矩形CGQP，則CP∥OB．∴∠OCP＝∠BOC＝60°．∵∠OCD＝90°，∴∠PCD＝30°，∴DP=12CD=12×25.2∵弧BC的長度為2πcm，∴2π=60π?OB∴OB＝OC＝6cm，∴CG＝OC?sin60°＝6×32=33≈∴DH＝DP+CG+AB＝12.6+5.2+10＝27.8（cm）．故頂端D到桌面MN的距離是27.8cm．11．（2020?椒江區(qū)模擬）如圖，在四邊形ADBC中，BA平分∠DBC，且∠BDA＝∠BAC＝90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接DE交AB于點(diǎn)F．（1）求證：AB2＝BD?BC；（2）當(dāng)∠DBA＝30°時(shí)，求BFBA（3）是否存在點(diǎn)F，使F是AB的三等分點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出∠DBA的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）求∠BDE的最大值．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠DBA＝∠ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）如圖1，連接AE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AE=12BC，得到AE＝BE，推出BD∥AE，設(shè)BC＝2x，則AE＝EC＝AC＝x，由勾股定理得，AB=（3）①當(dāng)BFAE=21時(shí)．求得BDAE=2，即BD＝2②當(dāng)BFEA=12時(shí)；如圖1所示，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BDAE=BFAF=12，設(shè)BD＝x，則AE＝2x，BC＝4x，根據(jù)∠BDA＝（4）如圖2，連接AE，過點(diǎn)A作AM⊥BC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AD＝AM，當(dāng)AM與AE重合時(shí)，AM最大，也就是AD最大，即AD的最大值為AE的長度．根據(jù)平行線的性質(zhì)健康得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵BA平分∠DBC，∴∠DBA＝∠ABC，又∵∠BDA＝∠BAC＝90°，∴△ABD∽△CBA，∴ABBD∴AB2＝BD?BC；（2）如圖1，連接AE，∵∠BAC＝90°，E為BC的中點(diǎn)，∴AE=12∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∴∠2＝∠3，∵BA平分∠DBC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BD∥AE，∴△BDF∽△AEF，設(shè)BC＝2x，則AE＝EC＝AC＝x，由勾股定理得，AB=3x∵∠1＝30°，∴AD=12AB=32x，∴BFAF∴BFAB（3）①當(dāng)BFAE則BDAE=2，即BD＝2AE＝∵BD＜BC，∴BFAE②當(dāng)BFEA=12時(shí)；由（2）得BD∥AE，∵△BDF∽△AEF，∴BDAE設(shè)BD＝x，則AE＝2x，BC＝4x，∵AB2＝BD?BC，∴AB2＝x?4x＝4x2，∴AB＝2x，∵∠BDA＝90°，AB＝2BD，∴∠DBA＝60°；（4）如圖2，連接AE，過點(diǎn)A作AM⊥BC，∵BA平分∠DBA，AD⊥BD，AM⊥BC，∴AD＝AM，∵當(dāng)AM與AE重合時(shí)，AM最大，也就是AD最大，即AD的最大值為AE的長度．∴∠DEA＝45°，又∵BD∥AE，∴∠BDE＝∠DEA＝45°，∴∠BDE的最大值為45°．12．（2020?鄧州市一模）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一直線上．填空：①線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為BD＝CE；②∠BEC＝60°．（2）【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，點(diǎn)B，D，E在同一直線上．請(qǐng)判斷線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系及∠BEC的度數(shù)，并給出證明．（3）【解決問題】如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，點(diǎn)D在AB邊上，DE⊥AC于點(diǎn)E，AE＝3．將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE所在直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)C到直線DE的距離是多少？（要求畫出示意圖并直接寫出答案）【分析】（1）首先根據(jù)△ACB和△DAE均為等邊三角形，可得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，據(jù)此判斷出∠BAD＝∠CAE，然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ABD≌△ACE，即可判斷出BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，進(jìn)而判斷出∠BEC的度數(shù)為60°即可；（2）首先根據(jù)△ACB和△ADE均為等腰直角三角形，可得AC＝BC，DE＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，進(jìn)而利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（3）分兩種情形分別求解即可解決問題．【解析】（1）①∵△ACB和△ADE均為等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，∵點(diǎn)B，D，E在同一直線上，∴∠ADB＝180﹣60＝120°，∴∠AEC＝120°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°，綜上，可得∠AEB的度數(shù)為60°；線段BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系是：BD＝CE．②∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°；故答案為：BD＝CE；60；（2）∵△ACB和△AED均為等腰直角三角形，∴AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵AE∴△BAD∽△CAE，∴∠AEC＝∠ADB＝180°﹣45°＝135°，∴∠BEC＝135°﹣90°＝45°，∴BD∴BD=2CE（3）如圖3中，∵AEB＝∠ACB＝90°，∴A，B，C，E四點(diǎn)共圓，∴∠CEB＝∠CAB＝30°，∠ABD＝∠ACE，∵∠FAE＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴ECBD=ACAB∴EC=32在Rt△ADE中，∵DE=3，∠DAE＝30∴AE=3DE＝3∴BE=AB∴BD＝BE﹣DE＝4-3∴CE=32BD＝2∵∠BEC＝30°，∴點(diǎn)C到直線DE的距離等于CE?sin30°=3如圖4中，當(dāng)D，EB在同一直線上時(shí)，同法可知BD＝DE+EB＝4+3，CE=32BD＝點(diǎn)C到直線DE的距離等于CE?sin30°=3綜上所述，點(diǎn)C到直線DE的距離等于3±13．（2020?豐臺(tái)區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連結(jié)CD并延長交AB于點(diǎn)F，連結(jié)BD，CE．（1）求證：△ACE≌△ABD；（2）當(dāng)CF⊥AB時(shí)，∠ADB＝140°，求∠ECD的度數(shù)．【分析】（1）由“SAS”可證△ACE≌△ABD；（2）由等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求∠BDF＝70°，即可得∠ABD＝20°，由全等三角形的性質(zhì)可得∠ACE＝20°，即可求解．【解析】（1）∵△ABC是等邊三角形∴AC＝AB，∠CAB＝60°∵將線段AD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE∴AE＝AD，∠EAD＝∠CAB＝60°∴∠EAC＝∠DAB，且AC＝AB，AE＝AD∴△ACE≌△ABD（SAS）（2）∵CF⊥AB，AC＝BC∴DF垂直平分AB，∠ACF=12∠ACB＝∴AD＝DB，且DF⊥AB∴∠ADF＝∠BDF=12∠ADB＝∴∠ABD＝20°∵△ACE≌△ABD∴∠ABD＝∠ACE＝20°∴∠ECD＝∠ACE+∠ACF＝50°14．（2020?黃巖區(qū)模擬）已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA＝6，點(diǎn)D是射線OM上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE，設(shè)OD＝m．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△CDE的形狀是等邊三角形．（2）探究證明如圖2，當(dāng)6＜m＜10時(shí)，△BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出△BDE周長的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）解決問題是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE＝60°，DC＝EC，即可得到結(jié)論；（2）當(dāng)6＜m＜10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE＝AD，于是得到C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE＝CD，由垂線段最短得到當(dāng)CD⊥AB時(shí)，△BDE的周長最小，于是得到結(jié)論；（3）存在，①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D，B，E不能構(gòu)成三角形，②當(dāng)0≤m＜6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，求得∠BED＝90°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DEB＝60°，求得∠CEB＝30°，求得OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2＝m③當(dāng)6＜m＜10時(shí)，此時(shí)不存在；④當(dāng)m＞10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DBE＝60°，求得∠BDE＞60°，于是得到m＝14．【解析】（1）證明：∵將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等邊三角形；故答案為：等邊；（2）存在，當(dāng)6＜t＜10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等邊三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂線段最短可知，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，△BDE的周長最小，此時(shí)，CD＝23，∴△BDE的最小周長＝CD+4＝23+4（3）存在，①∵當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D，B，E不能構(gòu)成三角形，∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，不符合題意，②當(dāng)0≤m＜6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等邊三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴m＝2；③當(dāng)6＜m＜10時(shí)，由∠DBE＝120°＞90°，∴此時(shí)不存在；④當(dāng)m＞10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，從而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴m＝14，綜上所述：當(dāng)m＝2或14時(shí)，以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．15．（2020?河南模擬）某校八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在研究等腰直角三角形與圖形變換時(shí)，作了如下研究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為腰作等腰直角三角形DAF，使∠DAF＝90°，連接CF．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①CF與BC的位置關(guān)系為CF⊥BC；②CF，DC，BC之間的數(shù)量關(guān)系為BC＝DC+CF（直接寫出結(jié)論）；（2）數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，（1）中的①、②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明．（3）拓展延伸如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，將△DAF沿線段DF翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，連接CE，若已知4CD＝BC，AC＝22，請(qǐng)求出線段CE的長．【分析】（1）①由∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的角的性質(zhì)可得到結(jié)論．（3）過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M如圖3所示，想辦法證明△ADH≌△DEM（AAS），推出EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，推出CM＝EM＝3，即可解決問題；【解析】（1）①等腰直角△ADF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△DAB與△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAF∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即BC⊥CF；②△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∵BC＝BD+CD，∴BC＝CF+CD；故答案為：垂直，BC＝CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，結(jié)論：CD＝CF+BC．理由如下：∵等腰直角△ADF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△DAB與△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAF∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ABD＝∠ACF，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，∴CF⊥BC．∵CD＝DB+BC，DB＝CF，∴CD＝CF+BC．（3）解：過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M如圖3所示：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝22，∴BC=2AB＝4，AH＝BH＝CH=12BC∴CD=14BC＝∴DH＝CH+CD＝3，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD＝DE，∠ADE＝90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四邊形CMEN是矩形，∴NE＝CM，EM＝CN，∵∠AHD＝∠ADC＝∠EMD＝90°，∴∠ADH+∠EDM＝∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠ADH＝∠DEM，在△ADH與△DEM中，∠ADH=∴△ADH≌△DEM（AAS），∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，∴CM＝EM＝3，∴CE=EM216．（2020?拱墅區(qū)模擬）如圖1，已知O為正方形ABCD的中心，分別延長OA到點(diǎn)F，OD到點(diǎn)E，使OF＝2OA，OE＝2OD，連結(jié)EF，將△FOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到△F′OE′（如圖2）．（1）探究AE'與BF'的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（2）當(dāng)α＝30°時(shí)，求證：△AOE'為直角三角形．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)不變量找到相等的角和線段，證得△E′AO≌△F′BO后即可證得結(jié)論；（2）利用已知角，得出∠GAE′＝∠GE′A＝30°，從而證明直角三角形．【解答】（1）證明：∵O為正方形ABCD的中心，∴OA＝OD，∵OF＝2OA，OE＝2OD，∴OE＝OF，∵將△EOF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到△E′OF′，∴OE′＝OF′，∵∠F′OB＝∠E′OA，OA＝OB，在△E′AO和△F′BO中，OE'∴△E′AO≌△F′BO（SAS），∴AE′＝BF′；（2）證明：∵取OE′中點(diǎn)G，連接AG，∵∠AOD＝90°，α＝30°，∴∠E′OA＝90°﹣α＝60°，∵OE′＝2OA，∴OA＝OG，∴∠E′OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°，∴AG＝GE′，∴∠GAE′＝∠GE′A＝30°，∴∠E′AO＝90°，∴△AOE′為直角三角形．17．（2020?營口模擬）把兩個(gè)全等的等腰直角三角板△ABC和△EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合．現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖2）．在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形的形狀和大小不變，可以得到角的度數(shù)沒有變化，進(jìn)一步可以得到∠BGF＝∠BGE，得證△BGH≌△CGK，全等三角形的面積相等，則四邊形CHGK的面積等于△BGC的面積，所以四邊形CHGK的面積不變．【解析】在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH＝CK，四邊形CHGK的面積不變．證明：∵△ABC為等腰直角三角形，G（O）為其斜邊中點(diǎn)，∴CG＝BG，CG⊥AB，且S△BCG=12S△∴∠ACG＝∠B＝45°．∵∠BGH與∠CGK均為旋轉(zhuǎn)角，∴∠BGH＝∠CGK．在△BGH和△CGK中，∠∴△BGH≌△CGK．