聚焦中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點(diǎn)第33課圓的基本性質(zhì)

第33課圓的基本性質(zhì)

基礎(chǔ)知識題型分類要點(diǎn)梳理題型一圓心角與圓周角基礎(chǔ)自測題型二圓內(nèi)接四邊形題型三垂徑定理及其應(yīng)用易錯(cuò)警示24.勿忘外心在三角形形外知識點(diǎn)索引要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引1.圓的有關(guān)概念

(1)圓：平面上到________的距離等于________的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓．________叫圓心，________

叫半徑，以O(shè)為圓心的圓記作⊙O.(2)弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫________，連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫________，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，直徑是最長的________．定點(diǎn)定長定點(diǎn)定長弧弦弦要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引(3)圓心角：頂點(diǎn)在________，角的兩邊與圓相交的角叫圓心角．(4)圓周角：頂點(diǎn)在________，角的兩邊與圓相交的角叫圓周角．(5)等?。涸赺___________中，能夠完全________的?。畧A心圓上同圓或等圓重合要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引2.圓的有關(guān)性質(zhì)

(1)圓的對稱性：①圓是________圖形，其對稱軸是____________________________．②圓是__________圖形，對稱中心是__________．③旋轉(zhuǎn)不變性，即圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能與原來的圖形重合．軸對稱一條直線中心對稱圓心過圓心的任意要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引(2)垂徑定理及推論：垂徑定理：垂直于弦的直徑__________，并且_________________________．垂徑定理的推論：①平分弦(不是直徑)的直徑________________，并且

_____________________；②弦的垂直平分線____________，并且平分弦所對的兩條?。虎燮椒窒宜鶎Φ囊粭l弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。椒窒宜鶎Φ膬蓷l弧垂直于弦平分弦所對的兩條弧經(jīng)過圓心平分弦要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引(3)弦、弧、圓心角的關(guān)系定理及推論：①弦、弧、圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧________，所對的弦________．②推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)________、

________、________、____________中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．相等相等圓心角兩條弧兩條弦兩條弦心距要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引(4)圓周角定理及推論：圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的________．圓周角定理的推論：①同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧________．②半圓(或直徑)所對的圓周角是________；90°的圓周角所對的弦是________．一半相等直角直徑要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引(5)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系(設(shè)d為點(diǎn)P到圓心的距離，r為圓的半徑)：①點(diǎn)P在圓上_____________；②點(diǎn)P在圓內(nèi)_____________；③點(diǎn)P在圓外_____________．d＝rd<rd>r要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引(6)過三點(diǎn)的圓：①經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)圓．②三角形的外心：經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓；外接圓的圓心叫做三角形的__________；三角形的外心是三邊__________的交點(diǎn)，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．外心中垂線要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引3.與圓相關(guān)的輔助線基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引1.(中考真題-柳州)下列四個(gè)圖中，∠x是圓周角的是(

)C解析由圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角，即可得∠x是圓周角的有C.故選C.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引2.(中考真題-溫州)如圖，已知A、B、C在⊙O上，為優(yōu)弧，下列選項(xiàng)中與∠AOB相等的是(

)A.2∠CB.4∠BC.4∠A D.∠B＋∠CA解析如圖，由圓周角定理可得：∠AOB＝2∠C.故選A.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引3.(中考真題-湖州)如圖，已知AB是△ABC外接圓的直徑，∠A＝

35°，則∠B的度數(shù)是(

)A.35°B.45°C.55°D.65°C解析∵AB是△ABC外接圓的直徑，∴∠C＝90°，∵∠A＝35°，∴∠B＝90°－∠A＝55°.故選C.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引4.(中考真題-臺州)從下列直角三角板與圓弧的位置關(guān)系中，可判斷圓弧為半圓的是(

)B解析∵直徑所對的圓周角等于直角，∴從直角三角板與圓弧的位置關(guān)系中，可判斷圓弧為半圓的是B.故選B.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引5.(中考真題-舟山)如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，且CE＝

2，DE＝8，則AB的長為(

)A.2 B.4C.6 D.8D解析∵CE＝2，DE＝8，∴OB＝5，∴OE＝3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，∴AB＝2BE＝8.故選D.題型一圓心角與圓周角

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引【例1】

(中考真題-株洲)如圖，點(diǎn)A、B、C都在圓O上，如果∠AOB＋∠ACB＝84°，那么∠ACB的大小是________．28°解析∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOB＋∠ACB＝84°，∴3∠ACB＝84°，∴∠ACB＝28°.題型一圓心角與圓周角

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引探究提高當(dāng)圖中出現(xiàn)同弧或等弧時(shí)，常?？紤]到弧所對的圓周角或圓心角，“一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半”，通過弧把角聯(lián)系起來．本題主要考查圓周角定理，關(guān)鍵在于找出兩個(gè)角之間的關(guān)系，利用代換的方法求解．題型一圓心角與圓周角

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引變式訓(xùn)練1

(中考真題-菏澤)如圖，在△ABC中，∠A＝25°，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則的度數(shù)為________．題型一圓心角與圓周角

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引變式訓(xùn)練1

(中考真題-菏澤)如圖，在△ABC中，∠A＝25°，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則的度數(shù)為________．解析連接CD，∵∠A＝25°，∠ACB＝90°，∴∠B＝65°，∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠BCD＝50°，∴的度數(shù)為50°.50°題型二圓內(nèi)接四邊形

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引【例2】

(中考真題-龍東)直徑為10cm的⊙O中，弦AB＝5cm，則弦AB所對的圓周角是_____________．30°或150°解析連接OA、OB，∵⊙O的直徑為10cm，AB＝5cm，∴AB＝OB＝OA，∴∠AOB＝60°∴∠C＝30°，∴∠D＝180°－30°＝150°，∴弦AB所對的圓周角是30°或150°.題型二圓內(nèi)接四邊形

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引探究提高在很多沒有給定圖形的問題中，常常不能根據(jù)題目的條件把圖形確定下來，因此會導(dǎo)致解的不唯一性，這種題一題多解，必須分類討論．本題中，弦所對的圓周角不是唯一的，圓周角的頂點(diǎn)可能在優(yōu)弧上，也可能在劣弧上，依據(jù)“圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”，這兩個(gè)角互補(bǔ)．題型二圓內(nèi)接四邊形

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引變式訓(xùn)練2

(1)(中考真題-安徽)如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，

O點(diǎn)在∠D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則∠OAD

＋∠OCD＝________．題型二圓內(nèi)接四邊形

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引解析根據(jù)同圓中同弧所對的圓周角是圓心角的一半，則∠AOC＝2∠ADC，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴∠B＝∠AOC，∵圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，∴∠B＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，連接OD，∵OA＝OD，OD＝OC，∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC，∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°.題型二圓內(nèi)接四邊形

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引變式訓(xùn)練2

(1)(中考真題-安徽)如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，

O點(diǎn)在∠D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則∠OAD

＋∠OCD＝________．60°題型二圓內(nèi)接四邊形

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引(2)(中考真題-廈門)如圖，已知A、B、C、D是⊙O上的四點(diǎn)，延長DC、AB相交于點(diǎn)E，若BC＝BE，求證：△ADE是等腰三角形．證明∵A、D、C、B四點(diǎn)共圓，∴∠A＝∠BCE，∵BC＝BE，∴∠BCE＝∠E，∴∠A＝∠E，∴AD＝DE，∴△ADE是等腰三角形．題型三垂徑定理及其應(yīng)用

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引【例3】

(中考真題-南寧)在直徑為200cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖．若油面的寬AB＝160cm，則油的最大深度為(

)A.40cm

B.60cmC.80cm

D.100cm題型三垂徑定理及其應(yīng)用

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引解析連接OA，過點(diǎn)O作OE⊥AB，交AB于點(diǎn)M，∵直徑為200，AB＝160，∴OA＝OE＝100，AM＝80，∴ME＝OE－OM＝100－60＝40(cm)．故選A.題型三垂徑定理及其應(yīng)用

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引【例3】

(中考真題-南寧)在直徑為200cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖．若油面的寬AB＝160cm，則油的最大深度為(

)A.40cm

B.60cmC.80cm

D.100cmA題型三垂徑定理及其應(yīng)用

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引探究提高這是一道實(shí)際問題，關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．由于管道是圓形的，因此可以把水面寬度看作弦長，從而利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理、方程思想來求解．本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．題型三垂徑定理及其應(yīng)用

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引變式訓(xùn)練3

(中考真題-紹興)紹興市著名的橋鄉(xiāng)，如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，橋拱半徑OC為5m，則水面寬AB為(

)A.4mB.5mC.6mD.8mD解析連接OA，∵橋拱半徑OC為5，∴OA＝5，∵CD＝8，∴OD＝8－5＝3，∴AB＝2AD＝2×4＝8(m)．故選D.題型分類·深度剖析易錯(cuò)警示系列易錯(cuò)警示系列24勿忘外心在三角形形外知識點(diǎn)索引試題△ABC內(nèi)接于半徑為r的⊙O，且BC>AB>AC，OD⊥BC題型分類·深度剖析易錯(cuò)警示系列知識點(diǎn)索引學(xué)生答案展示

解當(dāng)