聚焦中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點第34課直線與圓的位置關(guān)系

第34課直線與圓的位置關(guān)系

基礎(chǔ)知識題型分類要點梳理題型一判斷直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)自測題型二圓的切線性質(zhì)題型三圓的切線判定易錯警示25.忽視弦與圓心之間的位置關(guān)系

造成漏解知識點索引要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引1.直線和圓的位置關(guān)系

(1)設(shè)r是⊙O的半徑，d是圓心O到直線L的距離．直線和圓的位置圖形公共點個數(shù)圓心到直線距離d與半徑r的關(guān)系公共點名稱直線名稱相交____________交點_____2d<r割線要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引直線和圓的位置圖形公共點個數(shù)圓心到直線距離d與半徑r的關(guān)系公共點名稱直線名稱相切____________切點_____相離

____________無無1d＝r切線0d>r要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引(2)切線的性質(zhì)：①切線的性質(zhì)定理：圓的切線________經(jīng)過切點的半徑．②推論1：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過______．③推論2：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過______．(3)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且________這條半徑的直線是圓的切線．垂直于圓心切點垂直于要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引(4)三角形的內(nèi)切圓：和三角形三邊都________的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是____________________________________，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的

________，內(nèi)切圓的半徑是內(nèi)心到三邊的距離．相切三角形三條內(nèi)心角平分線的交點要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引2.相關(guān)輔助線直線與圓相切的問題，常連接過切點的半徑，得到垂直關(guān)系；或選圓周角，找出等角關(guān)系．如下圖是常添加的輔助線：基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引1.(中考真題-邵陽)如圖，△ABC的邊AC與⊙O相交于C、D兩點，且經(jīng)過圓心O，邊AB與⊙O相切，切點為B.已知∠A＝

30°，則∠C的大小是(

)A.30°B.45°C.60°D.40°基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引解析連接OB，如圖，∵AB與⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，∵∠AOB＝∠C＋∠OBC，且∠C＝∠OBC，基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引1.(中考真題-邵陽)如圖，△ABC的邊AC與⊙O相交于C、D兩點，且經(jīng)過圓心O，邊AB與⊙O相切，切點為B.已知∠A＝

30°，則∠C的大小是(

)A.30°B.45°C.60°D.40°A基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引2.(中考真題-益陽)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為(－3，0)，將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為(

)A.1 B.1或5C.3 D.5B解析當(dāng)⊙P位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時，平移的距離為1；當(dāng)⊙P位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時，平移的距離為5.故選B.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引3.(中考真題-哈爾濱)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O于點D，連接BD，∠C＝40°，則∠ABD的度數(shù)是(

)A.30° B.25°C.20° D.15°解析∵AC是⊙O的切線，∴∠OAC＝90°，∵∠C＝40°，∴∠AOC＝50°，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠BDO，∵∠ABD＋∠BDO＝∠AOC，∴∠ABD＝25°.故選B.B基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引解析由正方形的邊長、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑正好組成一個直角三角形，從而求得它們的長度．∵正方形的邊長為6，∴AB＝3，又∵∠AOB＝45°，∴OB＝3，基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引B基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引5.(中考真題-廣安)如圖，矩形ABCD的長為6，寬為3，點O1為矩形的中心，⊙O2的半徑為1，O1O2⊥AB于點P，O1O2＝6.

若⊙O2繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)360°，在旋轉(zhuǎn)過程中，⊙O2與矩形的邊只有一個公共點的情況一共出現(xiàn)(

)A.3次 B.4次

C.5次 D.6次基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引解析如圖，⊙O2與矩形的邊只有一個公共點的情況一共出現(xiàn)4次．故選B.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引5.(中考真題-廣安)如圖，矩形ABCD的長為6，寬為3，點O1為矩形的中心，⊙O2的半徑為1，O1O2⊥AB于點P，O1O2＝6.

若⊙O2繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)360°，在旋轉(zhuǎn)過程中，⊙O2與矩形的邊只有一個公共點的情況一共出現(xiàn)(

)A.3次 B.4次

C.5次 D.6次B題型一判斷直線與圓的位置關(guān)系題型分類·深度剖析知識點索引【例1】

(中考真題-盤錦)如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC

＝10，D、E分別是AC、AB的中點，則以DE為直徑的圓與

BC的位置關(guān)系是(

)A.相交 B.相切

C.相離 D.無法確定題型一判斷直線與圓的位置關(guān)系題型分類·深度剖析知識點索引解析過點A作AM⊥BC于點M，交DE于點N，∵AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵D、E分別是AC、AB的中點，∴以DE為直徑的圓的半徑為2.5，∵r＝2.5＞2.4，∴以DE為直徑的圓與BC的位置關(guān)系是相交．故選A.題型一判斷直線與圓的位置關(guān)系題型分類·深度剖析知識點索引【例1】

(中考真題-盤錦)如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC

＝10，D、E分別是AC、AB的中點，則以DE為直徑的圓與

BC的位置關(guān)系是(

)A.相交 B.相切

C.相離 D.無法確定A題型一判斷直線與圓的位置關(guān)系題型分類·深度剖析知識點索引探究提高根據(jù)圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系作判斷，d>r直線與圓相離；d＝r直線與圓相切；d<r直線與圓相交．本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，利用中位線定理比較出BC到圓心的距離與半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型一判斷直線與圓的位置關(guān)系題型分類·深度剖析知識點索引變式訓(xùn)練1

(中考真題-德州)如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC

為5cm，D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O、AB的交點，P

為AB延長線上一點，且PC＝PE.(1)求AC、AD的長；

(2)試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．題型一判斷直線與圓的位置關(guān)系題型分類·深度剖析知識點索引解

(1)①如圖1，連接BD，∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，②∵CD平分∠ACB，∴AD＝BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形，題型一判斷直線與圓的位置關(guān)系題型分類·深度剖析知識點索引(2)直線PC與⊙O相切．理由如下：連接OC，如圖2，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC，∵∠PEC＝∠OAC＋∠ACE，CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB，∴∠PCB＝∠DCA，∵∠ACB＝90°，∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠OCB＋∠OCA＝∠ACB＝90°，∴OC⊥PC，∴直線PC與⊙O相切．題型二圓的切線性質(zhì)

題型分類·深度剖析知識點索引【例

2】

(中考真題-揚州)如圖，⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點D，與直角邊AC相交于E、F兩點，連接DE，已知∠B

＝30°，⊙O的半徑為12，弧DE的長度為4π.(1)求證：DE∥BC；

(2)若AF＝CE，求線段BC的長度．題型二圓的切線性質(zhì)

題型分類·深度剖析知識點索引解

(1)證明：連接OD、OE，∵OD是⊙O的切線，∴OD⊥AB，∴∠ODA＝90°，又∵弧DE的長度為4π，∴△ODE是等邊三角形，∴∠ODE＝60°，∴∠EDA＝30°，∴∠B＝∠EDA，∴DE∥BC.題型二圓的切線性質(zhì)

題型分類·深度剖析知識點索引(2)連接FD，∵DE∥BC，∴∠DEF＝90°，∴FD是⊙O的直徑，又∵AF＝CE，∴AE＝CF，∴BC＝60.題型二圓的切線性質(zhì)

題型分類·深度剖析知識點索引探究提高遇到切點，通常作的輔助線是連接圓心和切點，這樣運用切線的性質(zhì)，構(gòu)造出直角三角形，再進(jìn)一步解答．記?。河汕芯€聯(lián)想到直角，從而充實題中的已知條件．本題考查了勾股定理以及圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于90°的圓周角對的弦是直徑這一性質(zhì)的靈活運用．題型二圓的切線性質(zhì)

題型分類·深度剖析知識點索引變式訓(xùn)練2

(中考真題-麗水)如圖，AB為⊙O的直徑，EF切⊙O于點D，過點B作BH⊥EF于點H，交⊙O于點C，連接BD.(1)求證：BD平分∠ABH；

(2)如果AB＝12，BC＝8，求圓心O到BC的距離．題型二圓的切線性質(zhì)

題型分類·深度剖析知識點索引解

(1)證明：連接OD，∵EF是⊙O的切線，∴OD⊥EF，又∵BH⊥EF，∴OD∥BH，∴∠ODB＝∠DBH，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠OBD＝∠DBH，∴BD平分∠ABH.題型三圓的切線判定

題型分類·深度剖析知識點索引【例3】

(中考真題-新疆)如圖，AB是⊙O的直徑，點F、C是⊙O上兩點，且，連接AC、AF，過點C作

CD⊥AF交AF延長線于點D，垂足為D.(1)求證：CD是⊙O的切線；

(2)若CD＝2，求⊙O的半徑．題型三圓的切線判定

題型分類·深度剖析知識點索引解

(1)證明：連接OC，如圖，∵，∴∠FAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠FAC＝∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線．∵，題型三圓的切線判定

題型分類·深度剖析知識點索引(2)連接BC，如圖，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴AB＝2BC＝8，∴⊙O的半徑為4.題型三圓的切線判定

題型分類·深度剖析知識點索引探究提高要證明過圓上已知點的直線是圓的切線時，只需連接圓心和這點，再證過已知點的半徑垂直于這條直線即可．當(dāng)已知條件中給出直線與圓有公共點時，只要證明圓心與公共點的連線垂直于這條直線，就可以判定直線與圓相切，連接圓心和公共點是常作的輔助線．本題考查了切線的判定定理，也考查了圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．題型三圓的切線判定

題型分類·深度剖析知識點索引變式訓(xùn)練3

(中考真題-東營)如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O

上一點，若∠BAC＝∠CAM，過點C作直線l垂直于射線AM，垂足為點D.(1)試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若直線l與AB的延長線相交于點E，⊙O的半徑為