2023-2024學年遼寧省沈陽市實驗中學重點高中聯(lián)合體高三上學期期中考試 數(shù)學（解析版）

2023-2024學年度（上）聯(lián)合體高三期中檢測數(shù)學（滿分：150分考試時間：120分鐘）審題人：22中學張海麗注意事項：1.答題時，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號.3.答非選擇題時，必須使用黑色墨水筆或黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上，寫在試題卷、草稿紙上無效.4.考試結束后，將試題卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若全集，，則（）A. B. C. D.3.已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A.21 B.18 C.14 D.124.若，，，則（）A. B. C. D.5.已知單位向量，，且，則（）A B. C. D.6.已知直線是曲線的一條切線，則實數(shù)（）A.2 B.1 C. D.7.已知為銳角，且，則（）A. B. C. D.8.已知定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)是偶函數(shù)，當時，有，則（）A. B.2 C. D.10二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9已知向量，，則（）A. B.向量，的夾角為C. D.向量與垂直10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）AB.C.點是函數(shù)圖象的一個對稱中心D.直線是函數(shù)圖象的對稱軸11.若函數(shù)f(x)＝3x－x3在區(qū)間(a2－12，a)上有最小值，則實數(shù)a的可能取值是（）A.0 B.1 C.2 D.312.已知正實數(shù)x，y滿足，則（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若命題“，”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是________.14.已知在中，角，，的對邊分別為，，，若向量，，且，則角的度數(shù)為________.15.已知等比數(shù)列中，，則滿足成立的最大正整數(shù)的值為_________．16.已知偶函數(shù)是在上連續(xù)的可導函數(shù)，當時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為______．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù).（1）求最大值及相應的取值；（2）若把的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，求在上的單調(diào)遞增區(qū)間.18.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.（1）求角；（2）若，求的面積.19.已知是公差不為的等差數(shù)列的前項和，是與的等比中項，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知，求數(shù)列的前項和.20.某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)臺的收入函數(shù)為（單位：元），其成本函數(shù)為（單位：元），利潤是收入與成本之差．（1）求利潤函數(shù)及利潤函數(shù)的最大值；（2）為了促銷，如果每月還需投入500元的宣傳費用，設每臺產(chǎn)品的利潤為，求的最大值及此時的值．21.設函數(shù)，其中，曲線在點處切線方程為.（1）確定，的值；（2）若過點可作曲線的三條不同切線，求的取值范圍.22.已知函數(shù).（1）當時，證明：；（2）若關于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.

2023-2024學年度（上）聯(lián)合體高三期中檢測數(shù)學（滿分：150分考試時間：120分鐘）審題人：22中學張海麗注意事項：1.答題時，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號.3.答非選擇題時，必須使用黑色墨水筆或黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上，寫在試題卷、草稿紙上無效.4.考試結束后，將試題卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1.復數(shù)在復平面內(nèi)對應點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】按照復數(shù)的定義展開即可.【詳解】，所以該復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，在第二象限故選：B.2.若全集，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合補集的定義計算求解即可.【詳解】,.故選：A.3.已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A.21 B.18 C.14 D.12【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，，，可求值.【詳解】等差數(shù)列中，，得，則.故選：C4.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到，，即可求解.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，又由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以.故選：D.5.已知單位向量，，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量垂直，可得其數(shù)量積為0，進而可求出，根據(jù)向量的夾角公式即可求出其夾角.【詳解】因為，所以即，又因為向量，為單位向量，所以，所以，所以，故選：A6.已知直線是曲線的一條切線，則實數(shù)（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用切線的斜率，求解切點坐標，代入切線方程求解即可．【詳解】曲線，可得，直線是曲線的一條切線，設切點橫坐標為：，則切點縱坐標為，則，解得，.故選：D．7.已知為銳角，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由求出，從而可求得，然后再利用正切的二倍角公式求出，再利用兩角差的正切公式可求得結果.【詳解】因為銳角，所以.由可得，則，又，故，故選：A.8.已知定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)是偶函數(shù)，當時，有，則（）A. B.2 C. D.10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結合可得為周期函數(shù)，且周期為4，進而根據(jù)周期即可求解.【詳解】由于為偶函數(shù)，所以，故，又，所以，因此，進而可得，所以為周期函數(shù)，且周期為4，，故選：B二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知向量，，則（）A. B.向量，的夾角為C. D.向量與垂直【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算分別求解向量的數(shù)量積，模，夾角，驗證向量垂直，逐項判斷即可得結論.【詳解】對A，，，，故A錯誤；對B，，又，向量，的夾角為，故B正確；對C，，，故C錯誤；對D，，，故D正確.故選：BD.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.點是函數(shù)圖象的一個對稱中心D.直線是函數(shù)圖象的對稱軸【答案】ACD【解析】【分析】A選項，根據(jù)圖象得到函數(shù)最小正周期，進而得到；B選項，將代入解析式，求出；C選項，，C正確；D選項，計算出，故D正確.【詳解】A選項，設的最小的正周期為，由圖象可知，，解得，因為，所以，A正確；B選項，將代入中得，，故，即，因為，所以只有當時，滿足要求，故，B錯誤；C選項，，故，故點是函數(shù)圖象的一個對稱中心，C正確；D選項，，故直線是函數(shù)圖象的對稱軸，D正確.故選：ACD11.若函數(shù)f(x)＝3x－x3在區(qū)間(a2－12，a)上有最小值，則實數(shù)a的可能取值是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】ABC【解析】【分析】先求得函數(shù)的極小值點，再根據(jù)函數(shù)f(x)＝3x－x3在區(qū)間(a2－12，a)上有最小值求解.【詳解】解：因為函數(shù)f(x)＝3x－x3，所以，令，得，當或時，，當時，，所以當時，取得極小值，則，解得，又因為在上遞減，且，所以，綜上：，所以實數(shù)a的可能取值是0，1，2故選：ABC12.已知正實數(shù)x，y滿足，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式可知，，即，所以選項A正確；而可判斷B錯誤；將展開并結合可知C錯誤；觀察D項分母可知，利用基本不等式“1”的妙用求最值，即可知D正確.【詳解】對于A，基本不等式可知，即，所以，即；當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，根據(jù)不等式，當且僅當時，等號成立；所以B錯誤；對于C，，當且僅當時，等號成立；故C錯誤；對于D，根據(jù)，觀察分母可知為定值，則，當且僅當時，等號成立；故D正確.故選：AD.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若命題“，”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】，即轉化為，恒成立，只需即可得解.【詳解】由題意，為真命題，即，恒成立，令，，對稱軸為，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，結合對稱性可得，即可，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.已知在中，角，，的對邊分別為，，，若向量，，且，則角的度數(shù)為________.【答案】【解析】【分析】由向量共線的坐標運算和余弦定理求解.【詳解】向量，，由，有，即，由余弦定理，，由，則有.故答案為：15.已知等比數(shù)列中，，則滿足成立的最大正整數(shù)的值為_________．【答案】4【解析】【分析】求出等比數(shù)列的公比和首項，得出數(shù)列是等比數(shù)列，并求出其首項，公比和前項和，即可求出使不等式成立的最大正整數(shù)的值.【詳解】由題意，，在等比數(shù)列中，，設公比為，∴，解得：，∴，∵，∴數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，∴，∴當時，，即，解得：，∴最大正整數(shù)的值為，故答案為：4.16.已知偶函數(shù)是在上連續(xù)的可導函數(shù)，當時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為______．【答案】2【解析】【分析】由題意，方程等價于，令，，求導得函數(shù)的單調(diào)性，再結合奇偶性畫出函數(shù)的大致圖象，由圖可得答案．【詳解】解：顯然不是的零點，∴方程等價于，令，，則，∴當時，，則在上單調(diào)遞增，∵為偶函數(shù)，∴為奇函數(shù)，∴在上單調(diào)遞增，由圖象可知與有兩個交點，故函數(shù)的零點個數(shù)為2，故答案為：2．【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)問題，解題關鍵是將等價于，構造函數(shù)，，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，畫出大致圖象，借助圖象解出答案．本題考查了學生的轉化與化歸能力，考查了數(shù)形結合思想，屬于中檔題．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù).（1）求的最大值及相應的取值；（2）若把的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，求在上的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）時，取得最大值.（2）【解析】【分析】（1）化簡函數(shù)，然后結合三角函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)最值；（2）根據(jù)“左加右減”平移函數(shù)圖像，然后整體代入求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；小問1詳解】因為所以當，即時，取得最大值.【小問2詳解】，由，得:，取得：在上的單調(diào)遞增區(qū)間為18.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.（1）求角；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平方關系可求得，，進而結合兩角和的余弦公式即可求解；（2）根據(jù)正弦定理可得、的值，進而結合面積公式即可求解.【小問1詳解】因為，所以，，又，所以，即，所以，所以，又，故.【小問2詳解】由正弦定理得，即，所以，，所以的面積為.19.已知是公差不為的等差數(shù)列的前項和，是與的等比中項，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等比中項及等差數(shù)列通項公式列方程得，由等差數(shù)列前n項和可得，進而求基本量，寫出通項公式即可；（2）應用錯位相減法、等比數(shù)列前n項和公式求.【小問1詳解】設數(shù)列的公差為d，由是與的等比中項，則，所以，且，整理得①，又，整理得②，由①②解得，，所以.【小問2詳解】由（1）知，，則，所以兩式相減得，所以.20.某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)臺的收入函數(shù)為（單位：元），其成本函數(shù)為（單位：元），利潤是收入與成本之差．（1）求利潤函數(shù)及利潤函數(shù)的最大值；（2）為了促銷，如果每月還需投入500元的宣傳費用，設每臺產(chǎn)品的利潤為，求的最大值及此時的值．【答案】（1）利潤函數(shù)，最大值為（元）（2）當臺時，每臺產(chǎn)品的利潤取到最大值1900元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到的解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得的最大值；（2）根據(jù)題意得到的解析式，再利用基本不等式即可得解.【小問1詳解】由題意知，，易得的對稱軸為，所以當或時，取得最大值為（元）．所以利潤函數(shù)，最大值為（元）；【小問2詳解】依題意，得（元）.當且僅當時等號成立，即時，等號成立．所以當臺時，每臺產(chǎn)品的利潤取得最大值元．21.設函數(shù)，其中，曲線在點處的切線方程為.（1）確定，的值；（2）若過點可作曲線的三條不同切線，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)切線方程可知，進而求出（2）先設出切點，再寫出切線的方