一種基于herari變換的圖像去噪算法

一種基于herari變換的圖像去噪算法

0系數(shù)圖像去噪中的剪切波方法傳統(tǒng)的小波只能反映信號的零維異構(gòu)體，也就是說，它只能表達(dá)奇怪點(diǎn)的位置和特征，難以表達(dá)圖像的更高維特征。因此,小波變換并不適合圖像的去噪。為了克服小波的局限性,多尺度幾何分析(MultiscaleGeometricAnalysis,MGA)被提出,發(fā)展MGA的目的是為了檢測、表示、處理某些高維空間數(shù)據(jù)。目前人們提出的MGA方法主要包括曲線波(Curvelet)、輪廓波(Contourlet)等。最近Guo和Labate通過具有合成膨脹的仿射系統(tǒng)構(gòu)造了剪切波(Shearlet),它能夠?qū)D像進(jìn)行稀疏表示且產(chǎn)生最優(yōu)逼近。本文提出了一種Shearlet變換分解和重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)方法,并將其運(yùn)用到圖像去噪中。在圖像去噪中應(yīng)用Monte-Carlo方法對子帶系數(shù)進(jìn)行估計,實(shí)現(xiàn)對子帶的收縮去噪。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該方法能夠很好地抑制和去除噪聲,同時也能很好地保留圖像邊緣等細(xì)節(jié)特征。1Shearlet變換理論Shearlet變換最初是由Guo和Labate根據(jù)小波理論衍生而來。當(dāng)維數(shù)n=2時,具有合成膨脹的仿射系統(tǒng)為:MAB(ψ)={ψj,?,k(x)=|detA|j/2ψ(B?Ajx?k)|ΜAB(ψ)={ψj,?,k(x)=|detA|j/2ψ(B?Ajx-k)|j,l∈Z;k∈Z2}(1)其中:ψ∈L2(R2),A和B是2×2可逆矩陣,|detB|=1。如果MAB(ψ)滿足Parseval框架(緊框架),則MAB(ψ)的元素稱為合成小波,其中矩陣A和尺度變換相關(guān)聯(lián),B和保持面積不變的幾何尺度相關(guān)聯(lián)。當(dāng)時,稱為Shearlet。對?ξ=(ξ1,ξ2)∈R^2,ξ1≠0,令ψ?(0)(ξ)=ψ?(0)(ξ1,ξ2)=ψ?1(ξ1)ψ?2(ξ2/ξ1)(2)ψ^(0)(ξ)=ψ^(0)(ξ1,ξ2)=ψ^1(ξ1)ψ^2(ξ2/ξ1)(2)其中:suppψ?1∈[?1/2,?1/16]∪[1/16,1/2],suppψ?2∈[?1,1]。ψ^1∈[-1/2,-1/16]∪[1/16,1/2],suppψ^2∈[-1,1]。假設(shè):且對j≥0,有∑?=?2j2j?1∣∣ψ?2(2jω??)∣∣2=1∑?=-2j2j-1|ψ^2(2jω-?)|2=1;|ω|≤1(4)|ω|≤1(4)可以得到,對任何(ξ1,ξ2)∈D0,有∑j≥0∑?=?2j2j?1∣∣ψ?(0)(ξA?j0B??0)∣∣2=∑j≥0∑?=?2j2j?1∣∣ψ?1(2?2jξ1)∣∣2∣∣ψ?2(2jξ2/ξ1??)∣∣2=1(5)∑j≥0∑?=-2j2j-1|ψ^(0)(ξA0-jB0-?)|2=∑j≥0∑?=-2j2j-1|ψ^1(2-2jξ1)|2|ψ^2(2jξ2/ξ1-?)|2=1(5)其中:D0={(ξ1,ξ2)∈R^2,|ξ1|≥1/8,|ξ2/ξ1|≤1}D0={(ξ1,ξ2)∈R^2,|ξ1|≥1/8,|ξ2/ξ1|≤1}。函數(shù){ψ?ψ^(0)(ξA?j00-jB??00-?)}形成D0的一個剖分,如果圖1(a)所示。由ψ?ψ^1、ψ?ψ^2的支撐條件可以看到函數(shù)ψj,?,k具有以下的頻域支撐:suppψ?(0)j,?,k?{(ξ1,ξ2)|ξ1∈[?22j?1,?22j?4]∪[22j?4,22j?1],|?2?j+ξ2/ξ1|≤2?j}suppψ^j,?,k(0)?{(ξ1,ξ2)|ξ1∈[-22j-1,-22j-4]∪[22j-4,22j-1],|?2-j+ξ2/ξ1|≤2-j}即每個元素ψj,?,k支撐在梯形對上,近似大小為22j×2j,方向沿著斜率為l2-j的直線(見圖1(b))。由上面的討論,得到:{ψ(0)j,?,kj,?,k(0)(x)=23j/2ψ(0)(Bl0Aj00jx-k)|j≥0,-2j≤l≤2j-1,k∈Z2}(6)是L2(D0)∨={f∈L2(R2)|suppf^?D0}的一個Parseval框架。同樣可以構(gòu)造一個L2(D1)∨的Parseval框架,其中D1是垂直錐D1={(ξ1,ξ2)∈R^2||ξ2|≥1/8,|ξ1/ξ2|≤1}D1={(ξ1,ξ2)∈R^2||ξ2|≥1/8,|ξ1/ξ2|≤1},令,且ψ(1)由式(7)給定:ψ?(1)(ξ)=ψ?(1)(ξ1,ξ2)=ψ?1(ξ2)ψ?2(ξ1/ξ2)(7)ψ^(1)(ξ)=ψ^(1)(ξ1,ξ2)=ψ^1(ξ2)ψ^2(ξ1/ξ2)(7)則集合:{ψ(1)j,?,kj,?,k(1)(x)=23j/2ψ(1)(Bl1Aj11jx-k)|j≥0,-2j≤l≤2j-1,k∈Z2}(8)是L2(D1)∨的Parseval框架。2高頻系數(shù)的圖像去噪Shearlet變換的分解由以下兩步構(gòu)成,多尺度剖分和方向局部化。1)多尺度剖分。用Haar小波對圖像進(jìn)行分解。對于圖像f,分別得到低頻系數(shù)f′j和各個尺度下的高頻系數(shù)f0,f1,…,fj(j為分解的尺度)。2)方向局部化。為了得到不同方向的高頻分量,對各個尺度下的高頻系數(shù)采用帶方向和尺度變化的窗函數(shù)進(jìn)行剖分,如圖1(a)所示。對每個尺度上的高頻系數(shù)的D0和D1區(qū)域分別選擇2j+1+1個窗函數(shù)W,使得滿足∑d=01∑?=?2j2j∣∣W(d)j,?(ξ1,ξ2)∣∣2=1∑d=01∑?=-2j2j|Wj,?(d)(ξ1,ξ2)|2=1圖2給出了本文j=0和j=1尺度下兩個窗函數(shù)的例子。Shearlet變換重構(gòu)算法包括以下幾步。1)子帶重構(gòu)。將分解得到的Shearlet系數(shù)進(jìn)行方向局部化的反變換,于是不同尺度下的子帶分別重構(gòu)可以得到Δf0,Δf1,Δf2…,將其相加即可得到重構(gòu)后的高頻系數(shù)f′2。2)圖像重構(gòu)。對分解后的低頻系數(shù)f′j與重構(gòu)后的高頻系數(shù)f′2按位置進(jìn)行合成,從而可以得到重構(gòu)后的圖像f′。綜上所述,本文提出的基于Shearlet變換的圖像去噪算法如下。1)對含噪圖像進(jìn)行Shearlet變換分解,得到低頻系數(shù)和各個尺度的高頻系數(shù)。2)用Monte-Carlo方法先估計各尺度子帶的噪聲方差,然后對各尺度的高頻系數(shù)進(jìn)行閾值處理,硬閾值函數(shù)定義為(其中λ=3σ):從而得到去噪后的高頻系數(shù)。3)將去噪后的高頻系數(shù)和分解得到的低頻系數(shù)進(jìn)行Shearlet變換圖像重構(gòu),得到去噪后的圖像。3圖像進(jìn)行去噪實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)采用512×512(8位)的Lena、Barbara、Peppers、Goldhill4幅圖像加入不同的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差Noisy為例進(jìn)行仿真,分別應(yīng)用小波去噪(WT)、Curvelet去噪(CURT)、Contourlet去噪(CONT),以及本文算法進(jìn)行去噪,結(jié)果如表1所示。圖3～4為利用各算法對含噪圖像進(jìn)行去噪的結(jié)果。由于小波變換對圖像的非稀疏表示,使得小波域閾值收縮丟失了部分圖像特征,去噪后的圖像趨于平滑(見圖3(c))。Contourlet變換中的LP分解和DFB都有下采樣操作,使得Contourlet變換不具有平移不變性,從而在進(jìn)行圖像去噪時會引入偽Gibbs視覺誤差,雖然能較好地保持圖像邊緣信息,但圖像的主觀質(zhì)量有所下降(見圖3(d))。Curvelet變換進(jìn)行去噪能夠獲得很好的去噪效果,該方法能有效地去除噪聲,但往往會“過扼殺”Curvelet系數(shù),導(dǎo)致在消除噪聲的同時丟失了圖像的部分細(xì)節(jié),圖像出現(xiàn)模糊(見圖3(e))。Shearlet變換能夠?qū)D像進(jìn)行稀疏表示且產(chǎn)生最優(yōu)逼近,因此本文算法可以獲得較好的去噪效果(見圖3(f))。從表1