無(wú)理方程（分層練習(xí)）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)滬教版講解

21.4無(wú)理方程（分層練習(xí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)上海市浦東外國(guó)語(yǔ)學(xué)校東校校考期中）下列方程中，是無(wú)理方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)無(wú)理方程的定義逐個(gè)判斷得結(jié)論．【詳解】解：A、是一元一次方程，B、是分式方程，C、是無(wú)理方程，D、是一元一次方程，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理方程的定義，掌握無(wú)理方程的定義是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）下列方程中，有實(shí)數(shù)根的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可以判斷A；根據(jù)解分式方程的方法和分式方程有意義的條件可以判斷C；利用根的判別式可以判定B、D．【詳解】解：A、∵，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故該選項(xiàng)不符合題意；B、∵，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故該選項(xiàng)不符合題意；C、去分母得，，檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，，∴原方程無(wú)解，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故該選項(xiàng)不符合題意；D、∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查解方程，關(guān)鍵是要牢記各種方程的求解方法及根的判別式，一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是，分式方程的分母不能為0，二次根式具有雙重非負(fù)性．3．（2022春·上海嘉定·八年級(jí)校考期中）下列方程中，有實(shí)數(shù)根的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用高次方程、無(wú)理方程及分式方程的定義分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A．整理得：，故該方程無(wú)解，不符合題意；B．整理得，解得：，符合題意；C．整理得，無(wú)解，不符合題意；D．去分母后得，代入最簡(jiǎn)公分母，故該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了高次方程、無(wú)理方程及分式方程的定義的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定義，難度不大．4．（2022春·上海徐匯·八年級(jí)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是(

)A．是二項(xiàng)方程 B．是二元二次方程C．是分式方程 D．是無(wú)理方程【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)方程：形如;無(wú)理方程:根式方程就是根號(hào)下含有未知數(shù)的方程.二元二次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是二的整式方程；分式方程：是指分母里含有未知數(shù)的有理方程，依次判斷即可．【詳解】解：A、沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，不符合題意；B、符合二元二次方程的定義，符合題意；C、分母中無(wú)未知量，不符合分式方程的定義，不符合題意；D、根號(hào)下無(wú)未知量，不符合無(wú)理方程的定義，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了各類方程的定義，熟記二項(xiàng)方程，二元二次方程，分式方程，無(wú)理方程的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·上海靜安·八年級(jí)校考期中）下列關(guān)于的方程中，一定有實(shí)數(shù)解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先解答選項(xiàng)中的各個(gè)方程，即可判斷那個(gè)選項(xiàng)中的方程一定有實(shí)數(shù)解，從而可以解答本題．【詳解】解：∵，∴無(wú)解，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；∵，得，∴，則Δ＝，故此方程無(wú)解，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；∵，∴Δ＝，∴一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)C正確；∵，解得，x＝1，而x＝1時(shí)，x?1＝0，故此分式方程無(wú)解，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)理方程、根的判別式、分式方程的解，解題的關(guān)鍵是明確無(wú)理方程根號(hào)里面的數(shù)或式子大于等于0，根的判別式△0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，分式方程的解要使得原分式方程有意義．二、填空題6．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）方程的根為_(kāi)_______．【答案】【分析】此題需要把方程兩邊平方去根號(hào)后求解，然后把求出的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：方程兩邊平方得：3-x=4，x=-1，檢驗(yàn)：當(dāng)x=-1時(shí)，原方程左邊=2，右邊=2，∴x=-1是原方程的根；故答案為：x=-1．【點(diǎn)睛】此題主要考查無(wú)理方程，在解無(wú)理方程最常用的辦法利用平方轉(zhuǎn)換為有理方程或者換元法解方程，此題用的是平方法，但要進(jìn)行檢驗(yàn)．7．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)?？茧A段練習(xí)）方程的解是__________.【答案】【分析】根據(jù)解無(wú)理方程的方法可以解答此方程，注意無(wú)理方程要檢驗(yàn)．【詳解】解：∵,∴3-2x=x2，∴x2+2x-3=0，∴（x+3）（x-1）=0，解得，x1=-3，x2=1，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x=1時(shí)，原方程無(wú)意義，當(dāng)x=-3時(shí)，原方程有意義，故原方程的根是x=-3，故答案為x=-3．【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)理方程，解答本題的關(guān)鍵是明確解無(wú)理方程的方法．8．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）若，則________．【答案】4【分析】設(shè)，將原方程變形，進(jìn)而解一元二次方程即可求得的值，進(jìn)而求得的值．【詳解】設(shè)，原方程為：即解得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理方程，換元法是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)?？计谥校┓匠蹋▁3）0的解是_____．【答案】【分析】先根據(jù)可得或，求出的值，再代入方程進(jìn)行檢驗(yàn)即可得．【詳解】解：，或，解得或，當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，舍去，則方程的解為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解無(wú)理方程，注意被開(kāi)方數(shù)必須大于或等于0，求此類方程的解必須滿足這一條件．三、解答題10．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）x2﹣8x﹣8﹣x＝0．【答案】x=【分析】令t=，則x2-8x-8=4t2-3x2，代入原方程，得4t2-3x2-xt=0，所以t1=x，t2=x，然后分兩種情況分別解方程即可．【詳解】解：令t=，則，則，代入原方程，得，，，∴或，∴t1=x，t2=x，當(dāng)t1=x時(shí)，=x，x2-2x-2=x2，16x2-32x-32=9x2，7x2-32x-32=0，∴x1=（舍去），x2=，當(dāng)t2=x時(shí)，=x，x2-2x-2=x2，-2x-2=0，∴x=-1（舍去）．∴原方程的解為x=．【點(diǎn)睛】本題考查了解無(wú)理方程，利用整體思想令t=，整體換元是解題的關(guān)鍵．11．（2022春·上海楊浦·八年級(jí)?？计谀┙夥匠蹋骸敬鸢浮縳=3【分析】可把不帶根號(hào)的式子整理到一邊，兩邊平方，化為整式方程求解．【詳解】解：整理得，兩邊平方得，，解得：或．經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)理方程的求法，注意無(wú)理方程需驗(yàn)根．12．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)期中）解方程：．【答案】x=4【分析】化為有理方程，再解出有理方程，最后檢驗(yàn)即可得答案．【詳解】解：由得：，兩邊平方得：4x-16=16+x2-8x，解得x=4或x=8，當(dāng)x=4時(shí)，左邊=，右邊=4，∴左邊=右邊，∴x=4是原方程的解，當(dāng)x=8時(shí)，左邊=，右邊=4，∴左邊≠右邊，∴x=8不是原方程的解，∴x=4．【點(diǎn)睛】本題考查解無(wú)理方程，將無(wú)理方程化為有理方程是解題的關(guān)鍵，容易漏掉檢驗(yàn)．13．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）﹣＝1．【答案】x=13【分析】將原方程變形為，兩邊平方，化簡(jiǎn)后，兩邊繼續(xù)平方，轉(zhuǎn)化為整式方程，利用因式分解解方程即可，最后檢驗(yàn)．【詳解】解：原方程變形為：，兩邊平方得：，化簡(jiǎn)得：，兩邊平方得：x2-10x+25=4（x+3），化簡(jiǎn)得：x2-14x+13=0，∴（x-13）（x-1）=0，∴x-13=0或x-1=0，解得：x=13或1，檢驗(yàn)：當(dāng)x=13時(shí)，左邊=右邊；當(dāng)x=1時(shí)，左邊≠右邊；∴原方程的解為x=13．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理方程，無(wú)理方程最常用的解題方法就是兩邊分別平方，將無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，無(wú)理方程注意要檢驗(yàn)．14．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）下面是小明同學(xué)解無(wú)理方程3﹣＝x的過(guò)程：原方程可變形為3﹣x＝……（第一步）兩邊平方，得3﹣x＝2x﹣3……（第二步）整理，得﹣3x＝6……（第三步）解得x＝2……（第四步）檢驗(yàn)：把x＝2分別代入原方程的兩邊，左邊＝3﹣＝2，右邊＝2，左邊＝右邊，可知x＝2是原方程的解．……（第五步）所以，原方程的解是x＝2．……（第六步）請(qǐng)閱讀上述小明的解題過(guò)程，并完成下列問(wèn)題：（1）以上小明的解題過(guò)程中，從第步開(kāi)始出錯(cuò)；（2）請(qǐng)完成正確求解方程3﹣＝x的過(guò)程．【答案】（1）二；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）移項(xiàng)后兩邊平方即可；（2）先移項(xiàng)，再兩邊平方，求出方程的解，最后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：（1）以上小明的解題過(guò)程中，從第二步開(kāi)始出錯(cuò)，故答案為：二；（2），移項(xiàng)，得，兩邊平方，得（3-x）2=2x-3，整理得：x2-8x+12=0，解得：x1=2，x2=6，經(jīng)檢驗(yàn)：x=2是原方程的解，x=6不是原方程的解，所以原方程的解是x=2．【點(diǎn)睛】本題考查了解無(wú)理方程，能把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關(guān)鍵．【能力提升】一、單選題1．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)?？计谥校┫铝蟹匠讨?，有實(shí)數(shù)解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】移項(xiàng)后得出，根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性即可判斷選項(xiàng)A；方程兩邊都乘得出，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)二次根式有意義的條件得出且，求出，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷選項(xiàng)C；方程兩邊平方得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷選項(xiàng)D．【詳解】解：A：，，不論為何值，，不能為負(fù)數(shù)，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；B：，方程兩邊都乘，得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，是增根，即原分式方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；C：，要使有意義，必須且，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)不是原方程的解，即原方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；D：，方程兩邊平方，得，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程的解，即原方程的解是，，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解無(wú)理方程，解分式方程和二次根式有意義的條件等知識(shí)點(diǎn)，能把解無(wú)理方程轉(zhuǎn)化成有理方程和能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．2．（2022春·上海浦東新·八年級(jí)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（

）A．是分式方程 B．是二元二次方程組C．是無(wú)理方程 D．是二項(xiàng)方程【答案】B【分析】分別根據(jù)一元二次方程的定義、二元二次方程組的定義、分式方程的定義、二項(xiàng)方程的定義逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、是一元二次方程，則此項(xiàng)不符合題意；B、是二元二次方程組，則此項(xiàng)符合題意；C、是分式方程，則此項(xiàng)不符合題意；D、不是二項(xiàng)方程，則此項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理方程、高次方程、分式方程，較難的是二項(xiàng)方程的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握二項(xiàng)方程的定義：如果一元次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另一邊是零，那么這樣的方程就叫做二項(xiàng)方程．3．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)上海市市西初級(jí)中學(xué)校考期中）在下列方程中，無(wú)實(shí)數(shù)根的方程有（

）①；

②；

③；④；

⑤；

⑥．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】分別根據(jù)無(wú)理方程，一元二次方程，分式方程的求解方法求解判斷即可．【詳解】解：①∵，∴，∴方程無(wú)解，即沒(méi)有實(shí)數(shù)根，符合題意；②∵，，∴，∴且，方程無(wú)解，即沒(méi)有實(shí)數(shù)根，符合題意；③∵，∴，即，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；④∵，，∴，∴，∴，∴方程有實(shí)數(shù)根，不符合題意；⑤∵，∴，∴，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，符合題意；⑥兩邊同時(shí)乘以得：，∴，∴，∴，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，，∴原方程無(wú)實(shí)數(shù)解，符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理方程，一元二次方程，分式方程，熟知相關(guān)方程的解法是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)上海同濟(jì)大學(xué)附屬存志學(xué)校校考期中）方程的解為_(kāi)_______．【答案】x=【分析】先方程兩邊同時(shí)除以2，再直接開(kāi)方求解即可．【詳解】解：2x4=18x4=9x2=3x=故答案為：x=【點(diǎn)睛】本題考查解高次方程，掌握直接開(kāi)方法求解方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）有兩個(gè)正方形紙片，較大紙片的面積比較小紙片的面積大28，較大紙片的邊長(zhǎng)比較小紙片的邊長(zhǎng)大2，若設(shè)較大紙片的面積為x，按題意可列方程為_(kāi)_____．【答案】x-(-2)2=28【分析】若設(shè)較大紙片的面積為x，則則較大紙片的邊長(zhǎng)為，所以較小紙片的邊長(zhǎng)(-2)，從而可表示出小正方形的面積，以較大紙片的面積比較小紙片的面積大28，為等量關(guān)系，即可列出方程．【詳解】解：設(shè)較大紙片的面積為x，則較大紙片的邊長(zhǎng)為，所以較小紙片的邊長(zhǎng)(-2)，根據(jù)題意，得x-(-2)2=28，故答案為：x-(-2)2=28．【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)理聽(tīng)?wèi)?yīng)用，根據(jù)大正方形的面積，表示出大正方形的邊長(zhǎng)，從而得到小正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）方程的根為_(kāi)___．【答案】【分析】方程兩邊同時(shí)平方，得到一個(gè)一元二次方程，解出x的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可得出結(jié)果．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)平方得：，∴，即，∴x1=x2=1，經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是原方程的根，故答案為：x=1．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理方程求解，先平方得到一元二次方程求解再驗(yàn)證根，掌握基本概念和解法是解題的關(guān)鍵．三、解答題7．（2022春·上海徐匯·八年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：．【答案】【分析】先移項(xiàng)，再兩邊平方，再整理為一元二次方程的一般形式，解一元二次方程，再檢驗(yàn)即可．【詳解】解：，移項(xiàng)得：兩邊平方得：整理得：解得：經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的增根，是方程的根，∴方程的根為【點(diǎn)睛】本題考查的是無(wú)理方程的解法，掌握“解無(wú)理方程的方法與步驟”是解本題的關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是不注意檢驗(yàn)．8．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)?？计谥校┙夥匠蹋骸敬鸢浮縳=10【分析】先將無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再解一元二次方程，并檢驗(yàn)即可．【詳解】解：原方程可化為(x-10)(x-2)=0x1=10，x2=-2經(jīng)檢驗(yàn)x=10是原方程的解，∴原方程的解為x=10．【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)理方程的解法，解題關(guān)鍵是將無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程．9．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）求直角坐標(biāo)平面內(nèi)到的距離都等于15的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（9，3）或（-9，3）【分析】設(shè)滿足題意的點(diǎn)為A（x，y），再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式列方程組，解方程即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)．【詳解】解：設(shè)滿足題意的點(diǎn)為A（x，y），由題意得，，解得，或，經(jīng)檢驗(yàn)，兩組都是方程組的解，所以A（9，3）或A（-9，3）．答：直角坐標(biāo)平面內(nèi)到的距離都等于15的點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，3）或（-9，3）．【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系，無(wú)理方程的應(yīng)用，掌握兩點(diǎn)距離公式列方程組是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·上海·八年級(jí)上海市張江集團(tuán)中學(xué)?？计谀┙夥匠蹋骸敬鸢浮繜o(wú)解【分析】首先兩個(gè)二次根式要有意義，則可得滿足條件的x不存在，因而方程無(wú)解．【詳解】由題意知：，即，此不等式組無(wú)解，所以原方程無(wú)解．【點(diǎn)睛】本題考查了解無(wú)理方程，解含二次根式的無(wú)理方程時(shí)，先考慮被開(kāi)方數(shù)非負(fù)，確定x的取值范圍，再通過(guò)兩邊平方，化無(wú)理方程為有理方程．11．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）閱讀下列材料，解決問(wèn)題：求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解，求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想﹣轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知．用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程例如：一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通過(guò)因式分解把它轉(zhuǎn)化為x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）方程x3﹣6x2﹣16x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝；（2）用“轉(zhuǎn)化”的思想求方程（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2的解；（3）應(yīng)用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長(zhǎng)AD＝8m，寬AB＝3m，小華把一根長(zhǎng)為10m的繩子的一瑞固定在點(diǎn)B，沿草坪邊沿BA，AD走到點(diǎn)P處，把長(zhǎng)繩PB段拉直并固定在點(diǎn)P，然后沿草坪邊沿PD、DC走到點(diǎn)C處，把長(zhǎng)繩剩下的一段拉直，長(zhǎng)繩的另一端恰好落在點(diǎn)C．求AP的長(zhǎng)．【答案】（1）﹣2，8；（2）x1＝﹣2，x2＝1，x3＝，x4＝2；（3）4米【分析】（1）因式分解多項(xiàng)式，然后得結(jié)論；（2）分析方程的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝