5.2三角函數(shù)的概念8題型分類

一、三角函數(shù)的概念(1)任意角的三角函數(shù)的定義前提如圖，設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x，y)定義正弦函數(shù)把點P的縱坐標y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即y＝sinα余弦函數(shù)把點P的橫坐標x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即x＝cosα正切函數(shù)把點P的縱坐標與橫坐標的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即eq\f(y,x)＝tanα(x≠0)，以單位圓上點的縱坐標與橫坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，稱為正切函數(shù)三角函數(shù)我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)注：三角函數(shù)的定義(1)三角函數(shù)是一種函數(shù)，它滿足函數(shù)的定義，可以看成是從角的集合(弧度制)到一個比值的集合的對應．(2)三角函數(shù)是用比值來定義的，所以三角函數(shù)的定義域是使比值有意義的角的范圍．(3)三角函數(shù)值的大小與點P(x，y)在角α終邊上的位置無關，只由角α的終邊位置決定，即三角函數(shù)值的大小只與角有關．(2)三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)定義域y＝sinxx∈Ry＝cosxx∈Ry＝tanxx≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)二、三角函數(shù)值的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．三、誘導公式(一)名稱符號語言文字語言誘導公式(一)sin(α＋k·2π)＝sinα(k∈Z)cos(α＋k·2π)＝cosα(k∈Z)tan(α＋k·2π)＝tanα(k∈Z)終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等注：公式一的理解(1)公式一的實質(zhì)：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，即角α的終邊每繞原點旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復出現(xiàn)一次，體現(xiàn)了三角函數(shù)特有的“周而復始”的變化規(guī)律．(2)公式一的結(jié)構(gòu)特征：①左、右為同一三角函數(shù)；②公式左邊的角為α＋k·2π(k∈Z)，右邊的角為α.四、同角三角函數(shù)的基本關系同角三角函數(shù)的基本關系關系式語言敘述平方關系sin2α＋cos2α＝1同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1商數(shù)關系eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切(1)同角三角函數(shù)的基本關系式的變形形式及常用結(jié)論①平方關系變形及常用結(jié)論sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.②商的變形sinα＝tanαcosα，cosα＝eq\f(sinα,tanα).(2)同角三角函數(shù)的基本關系式揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運算規(guī)律，這里“同角”有兩層含義：一是“角相同”，二是對“任意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提下)．關系式成立與角的表達形式無關，如sin23α＋cos23α＝1.(3)sin2α是(sinα)2的簡寫，不能寫成sinα2.(4)約定：教材中給出的三角恒等式，除特別注明的情況外，都是指兩邊都有意義的情況下的恒等式．(5)在使用同角三角函數(shù)關系式時要注意使式子有意義，如式子tan90°＝eq\f(sin90°,cos90°)不成立．(6)在應用平方關系式求sinα或cosα時，其正負號是由角α所在的象限決定的．（一）三角函數(shù)的定義及應用1、任意角的三角函數(shù)的定義如圖，在直角坐標系中，設是一個任意角，終邊上任意一點的坐標為，它與原點的距離為，那么：（1）比值叫做的正弦，記作，即；（2）比值叫做的余弦，記作，即；（3）比值叫做的正切，記作，即．對于確定的值，比值，，分別是唯一一個確定的實數(shù)，所以正弦、余弦、正切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上三種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)．2、利用三角函數(shù)的定義求值的策略已知角α的終邊在直線上求α的三角函數(shù)值時，常用的解題方法有以下兩種：(1)先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后利用三角函數(shù)的定義求出相應的三角函數(shù)值．(2)注意角的終邊為射線，所以應分兩種情況來處理，取射線上任一點(a，b)，則對應角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).提醒：角α是一個任意角，其范圍是使函數(shù)有意義的實數(shù)集．題型1：三角函數(shù)的定義及應用11．（23·24上·眉山·期中）已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】考查三角函數(shù)的定義，利用定義即可得出結(jié)果.【詳解】因為，由三角函數(shù)的定義可知，點為角的終邊與單位圓的交點，所以：.故選：B.12．（23·24·全國·專題練習）已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸非負半軸，若角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，得到的值，進而求得的值，得到答案.【詳解】因為角的終邊過點，且，由三角函數(shù)的定義，可得，，所以.故選：D13．【多選】（23·24上·眉山·期中）已知角的終邊經(jīng)過點，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的概念求解，即可得的值.【詳解】已知角的終邊經(jīng)過點所以，則當時，，此時；當時，，此時；所以的值可能為或.故選：CD.14．（23·24上·九龍坡·期末）已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸，若是角終邊上一點，且，則．【答案】【分析】由三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】根據(jù)正弦值為負數(shù)，判斷角在第三?四象限，再加上橫坐標為正，斷定該角為第四象限角．.故答案為：15．（23·24上·張家口·期中）若，且角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，列出方程，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，所以，，且，所以，.故選：D．16．【多選】（23·24上·遼寧·期末）已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上存兩點，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義列方程可求出的值，從而可求出角的其它三角函數(shù)值.【詳解】因為角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上存兩點，且，所以，所以，由，可知，所以角為第二象限的角，所以，所以，所以A錯誤，B正確，所以，，所以CD正確，故選：BCD17．（23·24上·大理·開學考試）已知角的終邊落在直線上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)得定義求解即可得出結(jié)論.【詳解】設直線上任意一點P的坐標為（），則（O為坐標原點），根據(jù)正弦函數(shù)的定義得：，時，；時，，所以選項D正確，選項A，B，C錯誤，故選：D.（二）判斷三角函數(shù)值的符號1、各三角函數(shù)的值在各象限的符號如圖所示．【說明】（1）對各象限角對應的正弦值、余弦值和正切值來說，第一象限各三角函數(shù)值全都是正號，第二象限只有正弦是正值，第三象限只有正切是正值，第四象限只有余弦是正值．（2）各象限三角函數(shù)值正號規(guī)律：一全二正弦，三切四余弦．2、確定三角函數(shù)值在各象限內(nèi)符號的方法(1)三角函數(shù)值的符號是根據(jù)三角函數(shù)的定義，由各象限內(nèi)的點的坐標的符號得出的．(2)正弦、余弦、正切函數(shù)的符號表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．題型2：判斷三角函數(shù)值的符號21．（23·24上·寶雞·期末）已知為第二象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號求解即可.【詳解】因為為第二象限角，所以，故ABD錯誤，C正確.故選：C22．（23·24上·海淀·期中）若且，則的終邊所在象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)角的終邊的位置與三角函數(shù)值符號的關系可出結(jié)論.【詳解】因為，則的終邊在第三、四象限或軸負半軸上，因為，則的終邊在第一、三象限，因此，的終邊所在象限為第三象限.故選：C.23．（23·24上·齊齊哈爾·期末）“且”是“為第三象限角”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)符號判斷即可.【詳解】充分性：由可知，由可知或，綜上，，即為第三象限角.必要性：若為第三象限角，則且.所以“且”是“為第三象限角”的充要條件.故選：A24．（23·24上·邢臺·期末）“”是“角是第一象限角”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)角所在的象限的正負結(jié)合充分不必要條件的定義即可判斷結(jié)論.【詳解】由同角三角函數(shù)的關系，角是第一象限角或第二象限角，故“”是“角是第一象限角”的必要不充分條件.故選：C25．（23·24上·遼寧·階段練習）若，，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】判斷出、的符號，由此可判斷出角的終邊所在的象限.【詳解】由，，得，，所以是第四象限角.故選:D.26．（23·24上·西城·期中）設是第一象限的角，且，則所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】由的范圍進而得出的范圍，結(jié)合即可得出結(jié)果.【詳解】因為是第一象限的角，所以，所以，即為第一或第三象限角，又因為，即，所以所在的象限是第一象限，故選：A.（三）公式一的應用公式一可以統(tǒng)一寫成f(k·360°＋α)＝f(α)或f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)的形式2、利用它可以把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0到2π角的三角函數(shù)值，即可把負角的三角函數(shù)化為0到2π角的三角函數(shù)，亦可以把大于2π角的三角函數(shù)化為0到2π角的三角函數(shù)，即對角實現(xiàn)負化正、大化小的轉(zhuǎn)化．題型3：公式一的應用31．（23·24上·南昌·階段練習）的值為（

）A．－ B．C．－ D．【答案】D【分析】，利用誘導公式一化簡即可得解.【詳解】故選：D.32．（23·24·湖南·課時練習）求值：．【答案】【分析】利用誘導公式及特殊角的三角函數(shù)計算可得；【詳解】解：33．（23·24上·全國·課前預習）計算下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】利用誘導公式化簡，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算可得；【詳解】（1）解：；（2）解：34．（23·24·全國·課前預習）求下列各式的值：(1)cos＋tan；(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.【答案】(1)(2)【分析】三角函數(shù)誘導公式的一個很大作用是把一個角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為某個相關銳角的三角函數(shù)值，以便于化簡或求值.【詳解】（1）cos＋tan（2）sin＋tan＋cos故答案為：(1)；(2)（四）三角函數(shù)求值1、求三角函數(shù)值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解當角θ的范圍不確定且涉及開方時，常因三角函數(shù)值的符號問題而對角θ分區(qū)間(象限)討論．題型4：三角函數(shù)求值41．（23·24·全國·課堂例題）已知是第二象限角，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函數(shù)的平方關系求解.【詳解】解：因為是第二象限角，所以，又，所以．故選：A42．（23·24上·濟南·階段練習）若，且為第三象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由同角三角函數(shù)間的基本關系即可求解．【詳解】∵，且為第三象限角，∴，∴．故選:D．43．（23·24·全國·課堂例題）已知是第二象限角，且，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方法一由三角函數(shù)的基本關系式求解；方法二利用三角函數(shù)的定義求解.【詳解】解：方法一

∵為第二象限角，∴，∴．方法二∵，∴角終邊上一點的坐標為，則．故選：D44．（23·24上·曲靖·階段練習）若是第四象限的角，且，則.【答案】【分析】根據(jù)求出，再求.【詳解】因為是第四象限的角，且，所以，所以.故答案為：45．（23·24上·全國·課時練習）若，則.【答案】2【分析】由已知條件結(jié)合求出，再由可求得答案.【詳解】由，得，因為，所以，化簡得，得，解得，所以，所以，故答案為：2（五）sinα±cosα，sinαcosα的應用1、sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三個式子中，已知其中一個，可以利用平方關系求其他兩個，即“知一求二”．2、sinθ±cosθ的符號的判定方法sinθ－cosθ的符號的判定方法：由三角函數(shù)的定義知，當θ的終邊落在直線y＝x上時，sinθ＝cosθ，即sinθ－cosθ＝0，當θ的終邊落在直線y＝x的上半平面區(qū)域內(nèi)時，sinθ>cosθ，即sinθ－cosθ>0；當θ的終邊落在直線y＝x的下半平面區(qū)域內(nèi)時，sinθ<cosθ，即sinθ－cosθ<0，如圖①所示．同理可得sinθ＋cosθ的符號如圖②所示．題型5：sinα±cosα，sinαcosα的應用51．（23·24·全國·課堂例題）已知，，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)已知條件及同角三角函數(shù)的平方關系即可求解；（2）利用（1）的結(jié)論及完全平方公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關系即可求解；（3）利用（2）的結(jié)論及平方差公式即可求解.【詳解】（1）∵，∴,即，∴，∴．（2）由（1）知，，，又，∴，，∴，∴．（3）∵，，∴．52．【多選】（23·24上·德州·階段練習）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對A，由平方法求得的符號，結(jié)合角的范圍即可判斷；對BCD，結(jié)合平方關系及角的范圍即可求解判斷.【詳解】對A，，∵，則，∴，∴，A對；對BCD，∵，，聯(lián)立可解得，，BD對，C錯.故選：ABD.53．（23·24·全國·專題練習）已知.(1)求sinθcosθ的值；(2)求sin3θ＋cos3θ的值．【答案】(1)－.(2)【分析】（1）將等式兩邊平方，結(jié)合即可求解；（2）利用立方和公式，將已知代入即可.【詳解】（1）由已知，兩邊平方得.因為，所以.（2）由立方和公式.54．【多選】（23·24上·上饒·階段練習）（多選）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先利用題給條件求得的值，進而得到的范圍，的值和的值.【詳解】由可得，，則，即解之得或,又，則，故，則選項B判斷正確；由，可得為第四象限角，又，則，則選項A判斷錯誤；，則選項C判斷錯誤；，則選項D判斷正確.故選：BD55．（23·24上·南通·期中）已知與是方程的兩個根，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關系及同角三角函數(shù)基本關系式求解．【詳解】與是方程的兩個根，，兩邊平方得：，，得．即．故選：D．56．（23·24上·山東·階段練習）如圖是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中較小的內(nèi)角為，大正方形的面積是1，小正方形的面積是.①的值為；②的值為.

【答案】/【分析】根據(jù)直角三角形的內(nèi)角及斜邊長表示出兩直角邊長，作差即可得出小正方形邊長，再由同角三角函數(shù)的基本關系求解.【詳解】因為大正方形的面積是1，所以大正方形邊長為1，則直角三角形中較短直角邊長為，較長的直角邊為，所以小正方形的邊長為，又小正方形的面積是，所以小正方形邊長為，故；因為，所以，又，，所以，所以.故答案為：；（六）齊次式求值1、已知，可以求或的值，將分子分母同除以或，化成關于的式子，從而達到求值的目的.2、對于的求值，可看成分母是1，利用進行代替后分子分母同時除以,得到關于的式子，從而可以求值.3、不是已知的情況，可以先利用同角三角函數(shù)的基本關系式求得的值，然后利用齊次式的方法求解.4、齊次式的化切求值問題，體現(xiàn)了數(shù)學運算的核心素養(yǎng).題型6：利用齊次式化簡或求值61．（23·24上·自貢·期中）已知，求下列各式的值.(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得，將要求的表達式轉(zhuǎn)化只含的形式，由此求得表達式的值.（2）利用“”的代換的方法求得表達式的值.【詳解】（1）由于，所以，所以.（2）.62．（23·24·全國·課堂例題）已知，則（1）；（2）；（3）．【答案】【分析】（1）分子分母同時除以，將所求式子轉(zhuǎn)化為只含的形式，由此求得正確答案.（2）分子分母同時除以，將所求式子轉(zhuǎn)化為只含的形式，由此求得正確答案.（3）先除以“1”，也即除以，再分子分母同時除以，將所求式子轉(zhuǎn)化為只含的形式，由此求得正確答案.【詳解】（1）分子分母同時除以得：（2）分子分母同時除以得：．（3）.故答案為：；；63．（23·24上·吉林·階段練習）已知，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求.的值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)可得，解方程并結(jié)合角的范圍求得；（2）利用弦化切，將化為，可得答案；（3）利用，將化為，繼而化為，求得答案.【詳解】（1）由得，解得或，因為，故，則；（2）；（3）.64．（23·24上·達州·期中）已知(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）將條件等式變形，用正切表示，求得的值；（2）首先利用，將原式寫成齊次分式的形式，再利用正切表示，即可化簡求值.【詳解】（1）由，得，即．（2）因為，所以.65．（23·24上·商洛·階段練習）已知，求下列各式值．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先化弦為切得到，進而得到；（2）變形后，結(jié)合（1）中所求的得到答案.【詳解】（1）的分子和分母同除以得，解得，故；（2）.66．（23·24·全國·課時練習）已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用“1”的代換及弦切互化可求.（2）利用“1”的代換及弦切互化可求三角函數(shù)式的值.【詳解】（1）解法一：∵，，∴，分子分母同時除以，得，即，解得．解法二：∵，∴，即，∴∴．（2）∵，∴．（七）利用同角三角函數(shù)關系式化簡與證明1、三角函數(shù)式化簡的常用方法(1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達到化簡的目的．(2)對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的．(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達到化簡的目的．2、證明三角恒等式常用的方法(1)從左向右推導或從右向左推導，一般由繁到簡．(2)左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個式子．(3)化異為同法，即針對題設與結(jié)論間的差異，有針對地進行變形，以消除差異．(4)變更命題法，如要證明eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，可證ad＝bc，或證eq\f(d,b)＝eq\f(c,a)等．(5)比較法，即設法證明“左邊－右邊＝0”或“eq\f(左邊,右邊)＝1”．題型7：三角函數(shù)式的化簡71．（23·24·全國·課堂例題）化簡：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系式進行化簡，從而求得正確答案.（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系式、三角函數(shù)的符號等知識進行化簡，從而求得正確答案.【詳解】（1）原式．（2）因為，所以．原式．72．（23·24·全國·課時練習）若，化簡：．【答案】【分析】由可得出，且，再利用同角三角函數(shù)的平方關系可化簡所求代數(shù)式.【詳解】解：因為，則，且，原式．73．（23·24·全國·課時練習）化簡下列各式：(1)；(2)（其中是第二象限角）.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用誘導公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關系可求得結(jié)果；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關系化簡可得結(jié)果.【詳解】（1）解：.（2）解：為第二象限角，則，，則.74．（23·24上·哈爾濱·階段練習）（1）化簡；（2）化簡，其中是第三象限角．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)角所在象限確定三角函數(shù)的符號，化簡表達式，求出最簡結(jié)果．（2）利用平方關系，以及三角函數(shù)在象限的符號，去掉根號和絕對值符號，化簡即可．【詳解】（1）原式，∵，∴原式;（2）由題可得，，，∴原式．題型8：證明三角恒等式81．（23·24·全國·專題練習）求證：sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α【答案】證明見解析【分析】利用同角三角函數(shù)平方關系進行證明，利用等式左邊完全平方公式變形，計算得到結(jié)果與右邊相等【詳解】證明：左邊＝（sin2α+cos2α）2﹣2sin2αcos2α＝1﹣2sin2αcos2α＝右邊，則sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α．82．（23·24·全國·課時練習）求證：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）（2）利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關系、平方關系，將等式左側(cè)化簡，證明結(jié)論即可.【詳解】（1）.所以原式成立.（2）.所以原式成立.83．（23·24·全國·專題練習）求證：(1)＝；(2)【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）將左邊化為，進而結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關系進行證明；（2）用立方和公式與完全平方公式并結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關系將式子化簡.【詳解】（1）左邊==右邊.（2）左邊==右邊.94．（23·24·全國·課時練習）求證：(1)(2)【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關系進行轉(zhuǎn)化證明即可．（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關系進行轉(zhuǎn)化證明即可．【詳解】（1）左邊右邊.即證.（2）左邊右邊.即證：.一、單選題1．（23·24上·全國·課時練習）已知角的終邊上一點的坐標為，則角的最小正值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合正切函數(shù)的定義進行求解即可.【詳解】因為角終邊上一點的坐標為，所以有，因為，所以角是第四象限角，所以角的最小正值為，故選：D2．（23·24上·全國·課時練習）當x為第二象限角時，（

）A．1 B．0C．2 D．－2【答案】C【分析】根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的正負性進行求解即可.【詳解】因為是第二象限角，所以，故選：C3．（23·24上·南陽·階段練習）若，，則的終邊在（

）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、三象限或在x軸的非負半軸上D．第二、四象限或在x軸上【答案】D【分析】根據(jù)題意得到是第四象限或x軸正半軸，結(jié)合角的表示方法，進求得所在的象限，得到答案.【詳解】因為，可得，則是第一、四象限或x軸正半軸，又因為，可得，則是二、四象限或x軸，所以是第四象限或x軸正半軸，所以，可得，令，可得，則在二象限或x軸負半軸；令，可得，則在四象限或x軸正半軸，綜上可得，的終邊在第二、四象限或在x軸上.故選：D.4．（23·24上·遵義·期中）若，，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】A【分析】根據(jù)題意切化弦得到，，進而判斷角所在象限.【詳解】由，，得，，所以是第一象限角.故選：A.5．（23·24上·廣東·期末）已知為第二或第三象限角，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角所在的象限，可判斷出三角函數(shù)值的符號，從而可判斷出選項.【詳解】若角為第二象限角，則，此時；若角為第三象限角，則，此時；所以當為第二或第三象限角時，.故選：A.6．（23·24上·長壽·期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導公式計算即可.【詳解】.故選：A.7．（23·24上·菏澤·期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)誘導公式，即可求解.【詳解】.故選：A．8．（23·24上·宜賓·期中）已知，其中，的值為（

）A．－ B．－ C． D．【答案】A【分析】利用平方關系計算的值，并根據(jù)角的象限判斷符號即可.【詳解】因為為第四象限角，所以.故選：A.9．（23·24上·全國·課時練習）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)平方關系和角的范圍可構(gòu)造方程求得，進而得到，由同角三角函數(shù)商數(shù)關系可求得結(jié)果.【詳解】由得：，，解得：或，又，，即，，.故選：C.10．（23·24上·菏澤·期末）“為第一象限角”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)正切函數(shù)在各個象限的符號，結(jié)合充分條件、必要條件的概念，即可得出答案.【詳解】若為第一象限角則必有；反之，若，則為第一或第三象限角.故選：A.11．（23·24·全國·課堂例題）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關系式先求得，進而求得.【詳解】依題意，，，整理得，解得（舍去）或．∵，．故選：A12．（23·24上·上饒·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用同角三角函數(shù)的關系式的變換求出結(jié)果．【詳解】因為，平方得，又故，則．故選：B.13．（23·24上·靜安·期中）若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函數(shù)的定義判斷的符號，結(jié)合同角三角函數(shù)關系式，化簡即可得出答案.【詳解】因為，則，，所以.故選：A.14．（23·24上·銅梁·期末）計算的值為（

）A．1 B．1C． D．【答案】B【分析】利用平方關系化簡即可.【詳解】解：因為，.故選：B.15．（23·24上·綿陽·模擬預測）化簡得（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用求出，第一個根號分子分母同時乘以，第二個根號分子分母同時乘以，結(jié)合平方關系即可得到．【詳解】，，故選：A16．（23·24上·九江·期末）化簡：（是第二、三象限角）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關系式化簡所求表達式，由此得出正確選項．【詳解】．當是第二、第三象限角時，原式．故選：C．17．（23·24上·遼寧·期中）若是互不相等的銳角，則四個數(shù)值中，大于的個數(shù)最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用基本不等式得，從而可判斷四個數(shù)值不可能均大于，再結(jié)合特例可得四個數(shù)值中大于的個數(shù)的最大值．【詳解】因為是銳角，所以均為正數(shù)，由基本不等式有，，，，將上面各式相加得，因為是互不相等的銳角，故，故不可能均大于．取，，則，，故四個數(shù)值中大于的個數(shù)的最大值為3，故選：C．18．（23·24上·渭南·階段練習）設是第二象限角，為其終邊上的一點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由任意角的三角函數(shù)定義即可求解【詳解】因為為其終邊上的一點，且，所以，解得，因為是第二象限角，所以，故選：C19．（23·24·全國·專題練習）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，若是角終邊上一點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到方程，解得即可.【詳解】解：因為，是角終邊上一點，所以，由三角函數(shù)的定義，得，解得（正值舍去）.故選：B20．（23·24上·滄州·階段練習）已知為第二象限的角，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)所在的象限，可以定的符號【詳解】因為為第二象限角，所以所以故選：A21．（北京市房山區(qū)20222023學年高一下學期期中學業(yè)水平調(diào)研數(shù)學試題）若且，則角所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的正負，確定角所在的象限.【詳解】，則角在第三，四象限，，則角在第二，四象限，所以滿足且，角在第四象限.故選：D22．（23·24上·宜春·階段練習）已知，則（

）A． B． C． D．5【答案】D【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系將弦化切，再代入即可.【詳解】解：因為，所以.故選：D23．（23·24上·貴陽·階段練習）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把已知的等式平方得到，再化簡代入即得解.【詳解】由，所以，∴，所以.故選：A．24．（23·24上·長沙·階段練習）已知，且，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將已知等式兩邊平方，利用三角函數(shù)的基本關系求得的值，結(jié)合的范圍確定與的正負，再利用完全平方公式及三角函數(shù)的基本關系可求得的值.【詳解】因為，兩邊平方得，故，所以與導號，又因為，所以，，所以.故選：C.25．（23·24上·株洲·階段練習）已知,則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)基本關系,分子分母同時除以,將弦化切,代入求解即可.【詳解】,.故選:A.26．（23·24上·渭南·期末）已知是角終邊上一點，且，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，可判斷點位于第二象限，利用正弦函數(shù)的定義列方程求解即可.【詳解】解：因為是角終邊上一點，，故點位于第二象限，所以，，整理得：，因為，所以.故選：D.27．（23·24上·湖北·期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關系求得的值.【詳解】因為，則.故選：D.28．（23·24上·西安·階段練習）已知角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)角的終邊經(jīng)過點，求得，根據(jù)同角的三角函數(shù)關系化簡，代入求值，可得答案.【詳解】由角的終邊經(jīng)過點，則，故，故選:C.二、多選題29．（23·24上·江西·開學考試）若角的終邊經(jīng)過點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是第二象限角 B．是鈍角C． D．點在第二象限【答案】AC【分析】根據(jù)點的坐標、象限角，三角函數(shù)的定義等知識確定正確答案.【詳解】由點在第二象限，可得是第二象限角，但不一定是鈍角，A正確，B錯誤；，C正確；由，，則點在第四象限，D錯誤.故選：AC30．（23·24上·襄陽·期末）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】對兩邊平方得，結(jié)合的范圍得到，AD正確；結(jié)合同角三角函數(shù)平方關系得到正弦和余弦值，進而求出正切值，BC錯誤.【詳解】，兩邊平方得：，解得：，D正確；故異號，因為，所以，A正確；因為，結(jié)合，得到，解得：，故，BC錯誤.故選：AD31．（23·24上·沈陽·階段練習）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】應用關系求得，進而確定角的范圍，并求出、，即可判斷各項正誤.【詳解】，故①，由，則，故，A對；將①聯(lián)立，可得或（舍），所以，故，，B、D對，C錯.故選：ABD32．（23·24·全國·課時練習）已知，則下列式子成立的是（

）A． B．C． D．E．【答案】DE【解析】方程化簡得到，對比選項得到答案.【詳解】∵，∴整理得，∴，即，即∴DE正確．故選：【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關系，意在考查學生的計算能力.三、填空題33．（23·24上·齊齊哈爾·期末）已知，則的值為.【答案】/【分析】去分母，然后兩邊平方化簡可得.【詳解】由得，兩邊平方得，整理得.故答案為：34．（23·24上·贛州·期末）已知角終邊經(jīng)過點，則．【答案】3【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義求解即可；【詳解】已知角終邊經(jīng)過點，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知：，所以故答案為：3.35．（23·24上·北京·階段練習）已知是第三象限角，則的值為.【答案】【分析】由條件解出的值即可.【詳解】由可知，由在第三象限，可知，則，代入解得，則.故答案為：36．（23·24上·日照·階段練習）已知、是關于的方程的兩根，則的值是________.【答案】【分析】根據(jù)韋達定理求得，，平方后利用結(jié)合判別式求得的值，由代入的值即可求得結(jié)果.【詳解】∵、是方程的兩根，∴，.∴，整理得，即.∴或.又、為實根，∴.即，∴不合題意，舍去.故.∴.故答案為：.37．（23·24上·丹東·期末）已知，且是第三象限的角，則．【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合同角三角關系分析運算，注意三角函數(shù)值符號判斷.【詳解】因為，則，解得，又因為，且是第三象限的角，則，所以.故答案為：.38．（23·24上·寧波·開學考試）已知，與是關于x的一元二次方程的兩根，則的值為.【答案】【分析】由已知結(jié)合根與系數(shù)的關系求得，進一步求得，聯(lián)立求得，的值，得