浙江省嘉興外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

嘉興外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023學(xué)年第一學(xué)期期中考試高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.存在量詞命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，把存在改為任意，把結(jié)論否定.【詳解】“”的否定是.故選：B.2.設(shè)集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)交集的定義計(jì)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D.3.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)增減的性質(zhì)，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可得答案.【詳解】A選項(xiàng)，為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，故A正確；B選項(xiàng)，是奇函數(shù)，在，上遞減，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，是奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤，．故洗：A4.下列各組函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同，則兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)，可判斷各選項(xiàng).【詳解】A：，，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)；B：，，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)；C：，，兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以是同一函數(shù)；D：，，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù).故選：C.5.設(shè)則的大小關(guān)系是A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】由在區(qū)間是單調(diào)減函數(shù)可知，，又，故選.考點(diǎn)：1.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.函數(shù)值比較大小.6.已知函數(shù)y＝2ax－1＋1(a>0且a≠1)恒過(guò)定點(diǎn)A(m，n)，則m＋n＝（）A.1 B.3C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)型函數(shù)過(guò)定點(diǎn)求解處m點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求值.【詳解】由題意知，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3，故A(1，3)，m＋n＝4,故選：C.7.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出的圖象，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】，的開口向下，對(duì)稱軸為，畫出的圖象如下圖所示，由于區(qū)間上的值域?yàn)?，由圖可知，的取值范圍是.故選：D8.設(shè)正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用可得，根據(jù)基本不等式最值成立條件可得，代入可得關(guān)于的二次函數(shù)，利用單調(diào)性求最值即可.【詳解】由正實(shí)數(shù)，，滿足，．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即最大值是1．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的性質(zhì)和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了最值取得時(shí)等號(hào)成立的條件，屬于中檔題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)，則下列運(yùn)算中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】直接根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)逐一運(yùn)算即可得出答案.【詳解】解：對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：BD.10.若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由不等式性質(zhì)判斷A、C、D，特殊值判斷B即可.【詳解】由，則，即，，故A、C、D正確；當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤.故選：ACD11.下列結(jié)論正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件C.“a，b都是偶數(shù)”是“是偶數(shù)”的充分不必要條件D.“且”是“且”的充分不必要條件【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷A和D；由集合之間的包含關(guān)系可判斷B；由數(shù)的奇偶性可判斷C．【詳解】對(duì)于A：由“”不能推出“，不滿足充分性，由“”可得“”，滿足必要性，所以“”是“”的必要不充分條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由得，則“”可以推導(dǎo)“”，但“”不能推導(dǎo)“”，所以“”是“”的必要不充分條件，故B正確；對(duì)于C：由“，都是偶數(shù)”可以得到“是偶數(shù)”，但當(dāng)“是偶數(shù)”時(shí)，，可能都是奇數(shù)，所以“，都是偶數(shù)”是“是偶數(shù)”的充分不必要條件，故C正確；對(duì)于D：由“且”推導(dǎo)“且”，而而“且”，取，，不滿足“且”，所以“，且”是“且”的充分不必要條件，故D正確.故選：BCD．12.設(shè)，函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】令，得到拋物線的開口向上，對(duì)稱軸的方程為，再根據(jù)和三種情形分類討論，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，令，可得拋物線的開口向上，對(duì)稱軸的方程為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且可得在遞減，在上遞增，且；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得在遞減，在上遞增，且，此時(shí)選項(xiàng)B符合題意；當(dāng)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)另個(gè)零點(diǎn)分別為且，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得在遞減，在上遞增，且，則在遞減，在上遞增，且，此時(shí)選項(xiàng)D符合題意綜上可得，函數(shù)的圖象可能是選項(xiàng)BD.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的解析式識(shí)別函數(shù)的圖象，其中解答中熟記指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及分類討論思想的應(yīng)用.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域是__________【答案】【解析】【分析】根據(jù)解析式的形式，列式求函數(shù)的定義域.【詳解】函數(shù)的定義域，需滿足，解得：且，所以函數(shù)的定義域是.故答案為：14.設(shè)函數(shù)，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的知識(shí)求得正確答案.【詳解】，.故答案為：15.函數(shù)是冪函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)=_______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，令m2﹣m﹣1=1，求出m的值，再判斷m是否滿足冪函數(shù)當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)為減函數(shù)即可．【詳解】解：∵冪函數(shù)，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1；又x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）為減函數(shù)，∴當(dāng)m=2時(shí)，m2+m﹣3=3，冪函數(shù)為y=x3，不滿足題意；當(dāng)m=﹣1時(shí)，m2+m﹣3=0，冪函數(shù)為y=x﹣3，滿足題意；綜上，m=﹣1，故答案為﹣1【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的定義與圖像性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是求出符合題意的m值．16.如果定義在上的函數(shù)，對(duì)任意都有，則稱函數(shù)為“函數(shù)”，給出下列函數(shù)，其中是“函數(shù)”的有_____________（填序號(hào)）①②③④【答案】①④．【解析】【分析】不等式等價(jià)為，即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．【詳解】對(duì)于任意的不等實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，不等式等價(jià)為恒成立，即函數(shù)是定義在上的增函數(shù)；①在上單調(diào)遞增，符合題意；②在上單調(diào)遞減，不合題意；③在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不合題意；④在上單調(diào)遞增，符合題意；故答案為：①④．四、解答題：本題共6小題，共70分．第17題10分，其他每題12分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.設(shè)全集為R，，．（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)并集的定義即可求解；（2）先求出，再根據(jù)交集的定義即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】∵，，∴．【小問(wèn)2詳解】∵，∴．18.計(jì)算下列各式：（1）；（2）【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)計(jì)算問(wèn)題，按照分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）含有字母的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，同樣按照分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】原式【小問(wèn)2詳解】原式原式.19.已知函數(shù)，.（1）在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；（2）定義函數(shù)，分別用函數(shù)圖像法和解析法表示函數(shù)，并寫出的單調(diào)區(qū)間和值域（不需要證明）.【答案】（1）圖象見詳解；（2）答案見詳解．【解析】【分析】（1）直接畫圖即可；（2）根據(jù)函數(shù)的定義作出圖象，結(jié)合圖象寫出單調(diào)區(qū)間與值域．【詳解】（1）如圖所示：（2）函數(shù)的圖象如下：解析式為函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為和；單調(diào)減區(qū)間為和；值域?yàn)椋?0.定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)在上的解析式；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值是1，最小值是22【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，合理設(shè)出變量，即可求解函數(shù)在上的解析式；（2）由（1）可得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，進(jìn)而求解函數(shù)的最大值與最小值.【詳解】:上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，其中根據(jù)題意，令函數(shù)的奇偶性求得函數(shù)的解析式，得出函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題好解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.21.佩戴口罩能起到一定預(yù)防新冠肺炎的作用，某科技企業(yè)為了滿足口罩的需求，決定開發(fā)生產(chǎn)口罩的新機(jī)器.生產(chǎn)這種機(jī)器的月固定成本為萬(wàn)元，每生產(chǎn)臺(tái)，另需投入成本（萬(wàn)元），當(dāng)月產(chǎn)量不足70臺(tái)時(shí)，（萬(wàn)元）；當(dāng)月產(chǎn)量不小于70臺(tái)時(shí)，（萬(wàn)元）.若每臺(tái)機(jī)器售價(jià)萬(wàn)元，且該機(jī)器能全部賣完.（1）求月利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于月產(chǎn)量（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；（2）月產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)能獲得最大月利潤(rùn)？并求出其利潤(rùn).【答案】（1）；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為臺(tái)時(shí)，該企業(yè)能獲得最大月利潤(rùn)，其利潤(rùn)為萬(wàn)元.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意分別列出當(dāng)及時(shí)，關(guān)于的解析式即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算當(dāng)時(shí)，的最大值，根據(jù)基本不等式求解當(dāng)時(shí)的最大值，然后比較得出最值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，取最大值萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)綜上所述，當(dāng)月產(chǎn)量為臺(tái)時(shí)，該企業(yè)能獲得最大月利潤(rùn)，其利潤(rùn)為萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，考查基本不等式的實(shí)際應(yīng)用，難度一般.解答時(shí)，根據(jù)題目條件列出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.22.已知函數(shù)為定義在R上奇函數(shù).（1）求a的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；（3）若關(guān)于x的不等式有解，求t的取值范圍.【答案】（1）；（2）在R上單調(diào)遞增，證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義得到，利用指數(shù)冪的運(yùn)算化簡(jiǎn)可求得的值；（2）先取，然后將通分化簡(jiǎn)分解因式，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性