2022年江蘇省宿遷市高考數(shù)學(xué)押題試卷及答案解析

2022年江蘇省宿遷市高考數(shù)學(xué)押題試卷

本試卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座

位號(hào)和考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼

粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案?答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng)，先畫(huà)掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若集合A={x|x<l},B={x\x<-2},則AC(CRB)=()

A.0B.RC.(-2,1)D.[-2,1)

2.已知向量；=(3,1),b=(1,3),且C+}1(a-Xb),則入的值為()

A.-2B.-1C.1D.2

%2y2

3.已知雙曲線C：---=1(?>0,b>0)的焦距為2遙，點(diǎn)P(2,1)在。的一條漸

a2b2

近線上，則。的方程為()

A./一[=1B.--y2=1

44,

3x23y2x2y2

C.---=1D.---=1

205164

4.(/-1+1)(x+1)6的展開(kāi)式中，的系數(shù)為()

A.5B.6C.7D.15

5.已知圓錐SO的底面半徑為1,若其底面上存在兩點(diǎn)A,B,使得NAS8=90°,則該圓

錐側(cè)面積的最大值為()

A.y/2jiB.2nC.2V2TTD.4H

6.已知函數(shù)/(x)=sin(air+/)(a)>0)在(0,1)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則a)的值可以

是()

A.1B.3C.5D.7

7.己知函數(shù)/(x)=cu?-bx+c,若log3a=3b=c>l,則()

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A.f(a)<f⑹<f(c)B.f(c)<f(b)<f(a)

C.fCb)<f(a)<f(c)D.f(b)<f(c)<f(?)

8.1883年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托提出了三分康托集，亦稱康托爾集.如圖是其構(gòu)造過(guò)程的圖示，

其詳細(xì)構(gòu)造過(guò)程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間[0,1]平均分成三段，去掉中間的一

段，剩下兩個(gè)閉區(qū)間[0,3和l|，1]；第二步，將剩下的兩個(gè)閉區(qū)間分別平均分為二段，

121278

各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：[0,-],[~,-],[~,-],1-,1J；如此不斷的

993399

構(gòu)造下去，最后剩下的各個(gè)區(qū)間段就構(gòu)成了二分康托集.若經(jīng)歷"步構(gòu)造后，翳不屬

2022

于剩下的閉區(qū)間，則〃的最小值是（）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共2（）分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。

9.已知點(diǎn)M在直線/：y-4=上（x-3）上，點(diǎn)N在圓O：x2+y2=9_t,則下列說(shuō)法正確的

是（）

A.點(diǎn)N到/的最大距離為8

B.若/被圓O所截得的弦長(zhǎng)最大，則k=g

7

C.若/為圓O的切線，則攵的取值范圍為{0,—}

24

D.若點(diǎn)M也在圓。上，則O到/的距離的最大值為3

10.設(shè)Zl,Z2為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）

A.若|zi-Z2|=0,則Z1=Z2

B.若|zi|=|z2|,則Z12=Z2?

C.若Zl+Z2>0,則Z2=五

D.若Z1Z2=O,則Z1=O或Z2=O

11.某校高三1班48名物理方向的學(xué)生在一次質(zhì)量檢測(cè)中，語(yǔ)文成績(jī)、數(shù)學(xué)成績(jī)與六科總

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成績(jī)?cè)谌昙?jí)中的排名情況如圖所示,“★”表示的是該班甲、乙、丙三位同學(xué)對(duì)應(yīng)的點(diǎn).從

這次考試的成績(jī)看，下列結(jié)論正確的是()

六科總成績(jī)?cè)谀昙?jí)排名

100200300?0500

六科總成績(jī)?cè)谀昙?jí)排名

A.該班六科總成績(jī)排名前6的同學(xué)語(yǔ)文成績(jī)比數(shù)學(xué)成績(jī)排名更好

B.在語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中，丙同學(xué)的成績(jī)名次更靠前的科目是語(yǔ)文

C.數(shù)學(xué)成績(jī)與六科總成績(jī)的相關(guān)性比語(yǔ)文成績(jī)與六科總成績(jī)的相關(guān)性更強(qiáng)

D.在甲、乙兩人中，其語(yǔ)文成績(jī)名次比其六科總成績(jī)名次靠前的學(xué)生是甲

12.已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)閇0,+8),且滿足/(x)°，當(dāng)x

Uog2(3-X),xE[l,2)

22時(shí)，/(x)="(x-2),人為非零常數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)入=-1時(shí)，f(log280)

B.當(dāng)入＞0時(shí)，f(x)在［10,11)單調(diào)遞增

C.當(dāng)入＞-1時(shí)，f(x)在［0,4n］(nGN*)的值域?yàn)椋廴?"”,A2"2］

D.當(dāng)人＞0,且入W1時(shí)，若將函數(shù)g(x)=4號(hào)與/(N)的圖象在［0,2n］(nGN*)的

機(jī)個(gè)交點(diǎn)記為(.Xi,yi)(i=L2,3,…,nt),則￡曙］+y()=n2+X"-I

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三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

sin201

13.若----一-，--則tan8=

COS20+13-------

14.寫(xiě)出一個(gè)滿足/(x-1)為偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增的函數(shù)/(x)=

15.已知拋物線E：y2=4x的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,過(guò)F的直線機(jī)與E交于A,B兩點(diǎn)，AF

的垂直平分線分別交/和x軸于P,。兩點(diǎn).若NAFP=NAF。，則|AB|=.

16.已知三棱錐A-BCD的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，AB=AC=DB=DC,AD=2BC=

4,則球O的表面積的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

17.(10分)在平面四邊形ABCD中，AB=\,BC=3,ZB=60°,ZACD=30°.

(1)若4。=爭(zhēng)求NADC;

(2)若BD=CD,求△ACD的面積.

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18.（12分）體育課程的實(shí)施可以有效地促進(jìn)學(xué)生身體的正常發(fā)育，提高身體的健康水平.某

校對(duì)高一年男生進(jìn)行1000米測(cè)試，經(jīng)對(duì)隨機(jī)抽取的100名學(xué)生的成績(jī)數(shù)據(jù)處理后，得到

如下頻率分布直方圖：

（1）從這100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人測(cè)試成績(jī)都低于60分的概率；

（2）從該校所有高一年男生中任意選取3人，記70分以上的人數(shù)為講求己的分布列和

期望；

（3）從樣本頻率分布直方圖中發(fā)現(xiàn)該校男生的1000米成績(jī)X近似服從N⑺，。2）,已

知樣本方差$2=116.44,高一年男生共有1000人，試預(yù)估該校高一年男生1000米成績(jī)?cè)?/p>

89.2分以上的人數(shù).

附：V116.44x10.8.

若X?N（u，貝o<X<p+。）=0.6826,P（口-2。<X<n+2o）=0.954.

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,、3「。1一1。2-111

19.(12分)已知數(shù)列｛板｝7兩足----?.....=-?

ala2anan

(1)求｛。"｝的通項(xiàng)公式；

(2)在以和或+1(依N*)中插入4個(gè)相同的數(shù)(-1)/'Ie,構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛d)：

1,02,-2,-2,43,3,3,3,04,求｛加｝的前100項(xiàng)和S100.

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20.(12分)如圖，多面體ABCEF中，AB=AC,BFVCE,。為BC的中點(diǎn)，四邊形AQEF

為矩形.

(1)證明：BELCE-,

(2)若AB=2,NBAC=120°,當(dāng)三棱錐E-BC尸的體積最大時(shí)，求二面角A-B尸-E

的余弦值.

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xy

21.(12分)已知橢圓T：—+—=1(a>ft>0)的左、右焦點(diǎn)分別為為，尸2,點(diǎn)M為短

軸的一個(gè)端點(diǎn)，離心率e=竽，△MF1F2的面積S=l.

(1)求橢圓T的方程；

(2)過(guò)為的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，其中A(0,1),另一條過(guò)Q的直線/2交橢圓

于C,。兩點(diǎn)，且點(diǎn)。不與點(diǎn)(0,-1)重合，過(guò)F1作x軸的垂線，分別交直線4。，

BC于點(diǎn)E,G,求證:|EF1|=|F1G|.

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22.(12分)已知函數(shù)/(x)=(x-zn)sinx+cosx,x6[0,—

(1)當(dāng)mW*時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若m=0,f(x)(x-ii),求

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2022年江蘇省宿遷市高考數(shù)學(xué)押題試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若集合4=國(guó)工<1},B={x[x<-2},則AD(CRB)=()

A.0B.RC.(-2,1)D.[-2,1)

解：?.?集合A={x|x〈l},B={x\x<-2],

.,.CRB={X|X2-2}.

/.AD(CRB)={X|-2^X<1}=[-2,I).

故選：D.

2.已知向量項(xiàng)=(3,1),b=(1,3),且(Z+7)1(a-Afa),則入的值為()

A.-2B.-1C.1D.2

解：?向量(3,1),b=(1,3),且(；+b)_L(a-Ah),

(a+b)*(a—入b)=a2+(1-A)a-b-Xb2=10+(1-入)(3+3)-10A=0.

.?.入=1,

故選：C.

x2y2

3.已知雙曲線a/-於=1(a>0,6>0)的焦距為2b，點(diǎn)P(2,1)在C的一條漸

近線上，則C的方程為()

2

A.7X2i

B.—-y=1

4

3x2更_]X2y2

C.----D.—

205164

x2y2

解：雙曲線C：/-標(biāo)=1(a>0,/?>0)的焦距為2而，點(diǎn)P(2,1)在C的一條漸

近線上,

可得：Va2+b2=V5,并且2人-a=0,

解得a=2,b=\.

12

所求的雙曲線方程為：—-7=1.

4

故選：B.

4.(f-x+l)(x+1)6的展開(kāi)式中/的系數(shù)為()

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A.5B.6C.7D.15

解：用/-x+1中的前2項(xiàng)分別與（x+1）6展開(kāi)式中的5次項(xiàng)、6次項(xiàng)相乘然后相加得

^,Cgjc5,!2-jfCfiX6,!=5x7,

...（?-x+l）（x+1）6的展開(kāi)式中/的系數(shù)為5.

故選：A.

5.已知圓錐SO的底面半徑為1,若其底面上存在兩點(diǎn)4,5,使得/AS8=90°,則該圓

錐側(cè)面積的最大值為（）

A.V2TTB.2nC.2y[2nD.4n

解：因?yàn)閳A錐的軸截面是等腰三角形，其底面上存在兩點(diǎn)A,B,使得NASB=90°,

可知母線1＜仁V2，

1

所以圓錐的側(cè)面積為：-X2TTxZ=n/＜V27T,當(dāng)且僅當(dāng)圓錐的軸截面是等腰直角三角形

時(shí)，側(cè)面積取得最大值.

故選:A.

?TTTC

6.已知函數(shù)/￡）=sin（31+與）（u）＞0）在（0,-）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則3的值可以

是（）

A.1B.3C.5D.7

71

解：f(x)=sin(cox+百),Vx6(0,

2

TTITTT77

A-<^O)4-7，

4424

?.?函數(shù)/(x)=sin(uu+與)(u)>0)在（0,有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

7T+兀-

一2

得>n3

可4

"0)3，解可得，二<c-\-

+7T

2-4-

故選：B.

7.已知函數(shù)/(x)=cu?-bx+c,若log3〃=38=c>l,貝！J()

A./(〃)<f(b)</(c)B.f(c)<f(/?)<f(?)

C./⑹</(a)</(c)D./⑹</(c)</(d)

解：Vlog3?=3z,=c>l,

h>0,c>1,且

又?.?二次函數(shù)/（x）=0?_"+C的對(duì)稱軸為斗=梟滿足ov/vi,

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???二次函數(shù)f（x）=or2-bx+c在（2,4-00）單調(diào)遞增,

2a

???/⑹</(c)</(?),

故選：D.

8.1883年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托提出了三分康托集，亦稱康托爾集.如圖是其構(gòu)造過(guò)程的圖示,

其詳細(xì)構(gòu)造過(guò)程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間［0,1］平均分成三段，去掉中間的一

12

段，剩下兩個(gè)閉區(qū)間［0,?和￡，1］；第二步，將剩下的兩個(gè)閉區(qū)間分別平均分為二段，

121278

各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：［0,-j,［-,［~,1J:如此不斷的

993399

2021

構(gòu)造下去，最后剩下的各個(gè)區(qū)間段就構(gòu)成了二分康托集.若經(jīng)歷〃步構(gòu)造后，一不屬

2022

于剩下的閉區(qū)間，則〃的最小值是（）

解:第一次操作剩下：［0,白，盛，H；

第二次操作剩下：［0,，。，，卷，焉1］;

第三次操作剩下：［0,邦松,如。，分卷，如。，顆彥，芻，康

別蹤1】;

112021

觀察剩余區(qū)間的最后一個(gè)區(qū)間可以寫(xiě)為：口-擊，1］,即［審，1］,要使；不屬于

?3O4U乙乙

剩下的閉區(qū)間，則只需一丁〉二？

解得：3”>2022,

又因?yàn)?7>2187>2022,所以"的最小值是7.

故選:A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。

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9.已知點(diǎn)M在直線/：y-4=Z(x-3)上，點(diǎn)N在圓0：，+/=9上，則下列說(shuō)法正確的

是()

A.點(diǎn)N到/的最大距離為8

B.若/被圓。所截得的弦長(zhǎng)最大，則k=g

7

C.若/為圓。的切線，則人的取值范圍為｛0,—)

24

D.若點(diǎn)例也在圓。上，則。到/的距離的最大值為3

解：直線/：廠4=&(x-3)恒過(guò)定點(diǎn)。(3,4),當(dāng)O。，/時(shí)，圓心。到直線/的距離

最大，

最大距離為J(3-0)2+(4-0/=5,故N到直線/的最大距離為5+3=8,故A正確；

/被圓。所截得的弦長(zhǎng)最大時(shí)，則/過(guò)圓。的圓心O,所以0-4=/(0-3),解得A=小

故B正確：

若/為圓。的切線，-7==3f解得女=￡,故C錯(cuò)誤；

若點(diǎn)M也在圓。上，則圓O與直線/有公共點(diǎn)，當(dāng)直線/與圓相切時(shí)，圓心到直線的距

離為圓的半徑3,

所以。到/的距離的最大值為3,故。正確.

故選：ABD.

10.設(shè)Zl,Z2為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是()

A.若|zi-z2|=0,則zi=z2

B.若|zi|=|z2|,則Z/=Z22

C.若Zl+Z2>0,則Z2=毛

D.若Z1Z2=O,則Zl=0或Z2=0

解：對(duì)于4,設(shè)zi=a+bi,a,bWR,Z2=c+di,c,d€R,

V|zi-z2|-0,/.|zi-Z2|=4(a—c)2+(b—d)2=0,

?小一廠?，?力廣：，，Z1=Z2,故A正確；

3—d=01b=d

對(duì)于8,令zi=LZ2=i,

則|zi|=|z2|=l,此時(shí)Zi2Hz2?,故3錯(cuò)誤；

對(duì)于C,令zi=l+i,Z2=-i,

則Zl+z2=l>0，此時(shí)Z2#Z1,故C錯(cuò)誤；

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對(duì)于￡>,設(shè)zi=a+Z?i,a,匕6R,z2—c+di,c,d€R,

貝!1ziz2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i—0,

.(ac—bd=0.(ac=bd.2acd,b2cd>

??Ld+hC=O''Aad=-bc'-~~>

若c=d=O,則42cd=-b2cd成立，此時(shí)z2=0,

若c=0,dWO,由知Z?=O,由〃d=-/?c知，〃=O,此時(shí)zi=0,

同理可知：當(dāng)cWO時(shí)，dWO,由〃2cd=-82cd,得/=-廿，

.??4=b=O,此時(shí)Z1=O,

綜上，若Z1Z2=0,則Z1=O或Z2=0,故。正確.

故選：AD.

11.某校高三1班48名物理方向的學(xué)生在一次質(zhì)量檢測(cè)中，語(yǔ)文成績(jī)、數(shù)學(xué)成績(jī)與六科總

成績(jī)?cè)谌昙?jí)中的排名情況如圖所示,“★”表示的是該班甲、乙、丙三位同學(xué)對(duì)應(yīng)的點(diǎn).從

這次考試的成績(jī)看，下列結(jié)論正確的是()

六科總成績(jī)?cè)谀昙?jí)排名

O

5。。，

六科總成績(jī)?cè)谀昙?jí)排名

A.該班六科總成績(jī)排名前6的同學(xué)語(yǔ)文成績(jī)比數(shù)學(xué)成績(jī)排名更好

B.在語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中，丙同學(xué)的成績(jī)名次更靠前的科目是語(yǔ)文

C.數(shù)學(xué)成績(jī)與六科總成績(jī)的相關(guān)性比語(yǔ)文成績(jī)與六科總成績(jī)的相關(guān)性更強(qiáng)

第14頁(yè)共26頁(yè)

D.在甲、乙兩人中，其語(yǔ)文成績(jī)名次比其六科總成績(jī)名次靠前的學(xué)生是甲

解：A：由圖可得，該班六科總成績(jī)排名前的同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)比語(yǔ)文成績(jī)排名更好，故A

錯(cuò)誤；

B：由右圖可得丙同學(xué)的總成績(jī)排在班上倒數(shù)第三名,其語(yǔ)文成績(jī)排在250到300名之間，

從左圖可得其數(shù)學(xué)成績(jī)排在400名左右，故8正確；

C：數(shù)學(xué)成績(jī)與六科總成績(jī)的相關(guān)性比語(yǔ)文成績(jī)與六科總成績(jī)的相關(guān)性更強(qiáng)，因?yàn)橛覉D的

點(diǎn)的分布較左圖更分散，故C正確；

D：由左圖可得甲的總成績(jī)排在班上第7名，年級(jí)名次100多一點(diǎn)，

對(duì)應(yīng)到右圖可得，其語(yǔ)文成績(jī)排在年級(jí)近100名，故甲的語(yǔ)文成績(jī)名次比其六科總成績(jī)

名次靠前；

由左圖可得甲的總成績(jī)排在班上第27名，年級(jí)名次接近250名，

對(duì)應(yīng)到右圖可得，其語(yǔ)文成績(jī)排在年級(jí)250名之后，故乙的語(yǔ)文成績(jī)名次比其六科總成

績(jī)名次靠后，故。正確；

故選：BCD.

12.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8),且滿足/(x)=(2%-1,1)，當(dāng)x

vlog2(3-x),xe［1,2)

22時(shí)，/(x)="(x-2),人為非零常數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是()

1

A.當(dāng)人=-1時(shí)，f(log280)

B.當(dāng)人＞0時(shí)，/(x)在［10,11)單調(diào)遞增

C.當(dāng)人〉-1時(shí)，f(x)在［0,4n］(nGN*)的值域?yàn)椋廴?"一1,A2"2］

D.當(dāng)人＞0,且入#1時(shí)，若將函數(shù)g(x)=4守與/(刀)的圖象在［0,2n］(nGN*)的

，"個(gè)交點(diǎn)記為Qxi,yi)(z=1,2,3,…，tn),則2胃i(Xi+y()=n2+Art-1

解：對(duì)于A,當(dāng)入=-1時(shí)，/(x)=-/(x-2),則/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

當(dāng)冗22時(shí)，f(x+4)=f(x),f(x+2)=(x),

/。。&80)=f(log2S0-4)=f(log2^=f(log21+2)=-f(log21)=一⑵。吟-

1)=_,+1=-/,A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,當(dāng)人＞0時(shí)，/(%)在［0,1)上的單調(diào)性與在［2",2n+l)(nGN*)的單調(diào)性相同，

V/(%)在［0,1)上單調(diào)遞增，在［10,11)上單調(diào)遞增，B正確；

第15頁(yè)共26頁(yè)

對(duì)于C,由/(x)=V(X-2)得：/(x+4)=W(x+2)=入2f(x),

依次類推可得:f(x+8)=A7(x),f(x+12)=入/(x),…，

則/(x+4")=A2V(x)；

VA<-1,：.f(x)在[0,1]和4n+l](n6N*)上單調(diào)遞增，在[4〃-3,4n-1]

(〃6N*)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x€[0,4/?](〃€N*)時(shí)，

f(x)min=f(4n-1)=22S-i)/(4n-1-4(n-1))=於⑺-。/■⑶=A2n-y(l)=A271-1,

n2n2

f(.x)max=/(4n-3)=M(T)/(4n-3-4(n-1))==A-,

：.f(x)在[0,4n](nGN*)上的值域?yàn)閇入21,A2"-2],C正確;

對(duì)于D,由圖象可知：g(x)=4號(hào)與/(x)的圖象在[0,2n](nGN*)有〃個(gè)交點(diǎn)，且

xi=2i-1,

y(=A1-1(t=1,2,3,…，n),

?.?入＞0且入#1,.??數(shù)列㈤是等差數(shù)列，數(shù)列切｝是等比數(shù)歹IJ,

Xi+Sill%=n(l+,n―J=D錯(cuò)誤;

2JI=IQ+%)=C%

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

若SE29=工1

13.則tan0=-.

1COS20+13一3一

sin2012sin0cos6

解:=tan0,即tan0=g,

cos26+l32COS20

故答案為：

14.寫(xiě)出一個(gè)滿足/(x-1)為偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增的函數(shù)f(x)=(x+1)

2

解：根據(jù)題意，若/(無(wú)-1)為偶函數(shù),則函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線工=-1對(duì)稱,

第16頁(yè)共26頁(yè)

又由/（尤）在（0,+8）單調(diào)遞增，可以考查對(duì)稱軸為x=-1,開(kāi)口向上的二次函數(shù),

則滿足題意的函數(shù)可以為/（X）=（X+1）2,

故答案為：（X+1）2.

15.已知拋物線E：b=4x的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,過(guò)F的直線機(jī)與E交于A,B兩點(diǎn)，AF

16

的垂直平分線分別交/和x軸于尸，。兩點(diǎn).若NAFP=NAFQ,則|"|=_可_.

解：因?yàn)镻Q垂直平分AF,ZAFP=ZAFQ,

所以PA=PF=FQ.

在四邊形以。尸中，對(duì)角線A尸與PQ垂直,

所以四邊形附。尸是菱形，

由拋物線的定義可知：AF=PA,

所以PA=AF=PF,

所以AAP尸為等邊三角形，

所以NAFP=60°,

故NAPP=N4尸0=60°,

2x216

所以|AB|=2P

sin2z.AFQ（亨）2

故答案為：

16.已知三棱錐A-BCQ的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，AB=AC=DB=DC,AD=2BC=

4,則球O的表面積的最小值為16Tt

解：取BC、40的中點(diǎn)E和凡

連接AE、DE、BF、CF,

如圖所示:

第17頁(yè)共26頁(yè)

由于AB=8。，AC^DC,BC=BC,

所以△ABC四△OBC,

所以AE=QE,

故EF為AO的垂直平分線，

同理，E尸為BC的垂直平分線，

所以球心0在直線EF上，設(shè)其半徑為R,

所以償:裝線,故心2,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)。為AO的中點(diǎn)時(shí)，R=2,

此時(shí)球0的表面積取得最小值，

最小值為4?TT*7?2=167t.

故答案為：16ir.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

17.(10分)在平面四邊形ABCQ中，AB=\,BC=3,ZB=60°,ZACD=30°.

(1)若ZD=孽，求/AOC：

(2)若BD=CD,求△ACD的面積.

解：(1)在△ABC中，由余弦定理有4C2=4B2+BC2-2XABXBCXCOSNB=1+9-2X1

X3xJ=7,

：.AC=V7,

ADACyp7

在△AC。中，由正弦定理有一~—=-―,.-.4-=-~~—＞解得sin/AOC=

Sinz-ACDsinZ.ADC-sinz.ADC

2

V3

三，

第18頁(yè)共26頁(yè)

V0°<ZADC<150°,AZADC=60Q或/AOC=120°；

AC2+BC2-AB29+7-15

（2）在△ABC中，由余弦定理有cos/ACB=

2ACxBC—-2x77x3-W

V3

.,.sin/ACB=

2/71

5V3

AcosZBCD=cos(NACB+30°)=cos/4CBcos30°-sin/ACBsin30°x

2772

V31V3

277X2=V7,

在△5CQ中，由余弦定理有5D2=CQ2+3C2-2X5CXCQXCOSN3C。，,:BD=CD,

：.9-6CDx=(),CD=

.。1pry2117V3

??S^ACD=2XV7x2x2=g?

18.（12分）體育課程的實(shí)施可以有效地促進(jìn)學(xué)生身體的正常發(fā)育，提高身體的健康水平.某

校對(duì)高一年男生進(jìn)行1000米測(cè)試，經(jīng)對(duì)隨機(jī)抽取的100名學(xué)生的成績(jī)數(shù)據(jù)處理后，得到

如下頻率分布直方圖：

（1）從這100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人測(cè)試成績(jī)都低于60分的概率；

（2）從該校所有高一年男生中任意選取3人，記70分以上的人數(shù)為卻求己的分布列和

期望；

（3）從樣本頻率分布直方圖中發(fā)現(xiàn)該校男生的1000米成績(jī)X近似服從N（2。2）,已

知樣本方差S2=116.44,高一年男生共有1000人，試預(yù)估該校高一年男生1000米成績(jī)?cè)?/p>

89.2分以上的人數(shù).

附：V116.44?10.8.

若X?N（p,。2）,則p（p-。<X<[i+o）=0.6826,P（p-2。<X<\i+2o）=0.954.

第19頁(yè)共26頁(yè)

c乙i

故兩人測(cè)試成績(jī)都低于60分的概率為魯=7—.

隨01650

(2)從該校所有高一年男生中任意取1人,其成績(jī)70分以上的概率為(0.04+0.022+0.018)

X10=0.8,

若70分以上的人數(shù)為《，貝心?B(3,0.8),

3

故=0)=Cj*0.2=0.008,P(f=1)=廢0.22*08=0.096,

P代=2)=CfO.21X0.82=0.384,

=3)=磴0.83=0.512.

故？的分布列為：

0123

P0.0080.0960.3840.512

E⑴=3X0.8=24

(3)由頻率分布直方圖可得，

(1=10X(45X0.001+55X0.002+65X0.017+75X0.04+85X0.022+95X0.018)=78.4,

故P(X>89.2)=P(X>78.4+10.8)=1一。產(chǎn)6=0J587,

故預(yù)估該校高一年男生1000米成績(jī)?cè)?9.2分以上的人數(shù)為0.1587X1000^159.

19.(12分)已知數(shù)列｛。”｝滿足巴—■—...——=—.

(1)求｛“”｝的通項(xiàng)公式;

第20頁(yè)共26頁(yè)

k

(2)在以和以+1(依N*)中插入攵個(gè)相同的數(shù)(-1)+'?k,構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛b〃｝：a\9

1,02,-2,-2,03,3,3,3,44,…，求｛加｝的前100項(xiàng)和5100.

解：(1)二?數(shù)列｛斯｝滿足巴一~--—~-...an=—,

Q，2QnQn

...及22時(shí)，上.心.….嗎二=工，相除可得：幺二=」_x~,

QiQ2a?i—1^n-iQ?ia?i1

化為:Cln~On-1=1>

〃=1時(shí)，ai=-，解得m=2.

Q]

數(shù)列｛“”)是等差數(shù)列，公差為1,首項(xiàng)為2.

??。〃=2+(〃-1)=〃+l.

(2)在以和tu+i(依N*)中插入，個(gè)相同的數(shù)(-1)"'，匕構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛加｝:ai,

1,。2,-2,-2,。3,3,3,3,。4,…，ak,(-1)*1?匕…，(-1)好人火,ak+\,其

項(xiàng)數(shù)為Z+1+(1+2+…+Z)=(卜+1)(*+1)2100,解得％N13.

13x14

%=12時(shí)，到以+1項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為：—^―=91,其后面還有9項(xiàng)，為13,13,13,13,13,

13,13,13,13.

即2,1,3,-2,-2,4,3,3,3,5,…，14,13,13,13,13,13,13,13,13,

13.

,｛bn]的前100項(xiàng)和5100=2+1+3-2-2+4+3+3+3+5+…

+14+13+13+13+13+13+13+13+13+13

=(2+3+…+14)+1-2X2+3X3-4X4+-+11X11-12X12+13X9

22222

=112S(|±14)+12,22+32_4+—+9-10+ll-12+13X9

=104+(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+…+(9-10)(9+10)+(11-12)(11+12)+117

=104-(1+2+―+9+10+11+12)+117

=^^12x(1+12)

=143.

20.(12分)如圖，多面體A8CEF中，AB=AC,BFVCE,。為BC的中點(diǎn)，四邊形A￡>￡F

為矩形.

(1)證明：BELCE；

(2)若AB=2,/BAC=120°,當(dāng)三棱錐E-BC尸的體積最大時(shí)，求二面角A-B尸-E

第21頁(yè)共26頁(yè)

的余弦值.

證明：（1）.四邊形4OE廣為矩形，.'.ADA.DE,

又AB=AC,。為BC中點(diǎn)，

:.AD1BC,

,:BC,。氏平面BCE,BCC\DE=D,二4。，平面BCE,

"."AD//EF,

.*.EF_L平面BCE,

又CEu平面BCE,

：.EF1CE,

'：BFLCE,BFCEF=F,BF,EFu平面BEF,

.?.CE_L平面BEF,

又BEu平面BEF,

：.BE1CE.

解：（2）；AB=AC=2,NBAC=120°,：.AD=EF=^AB=1,BC=2BD=2V3,

由（1）知：EFX^FffiBCE,

1111

22

:，VE-BCF=VF-BCE=￡BCE-EF=^BE-CE-EF=^BE-CE<―（BE+CF）=

^BC2=1（當(dāng)且僅當(dāng)BE=CE=通時(shí)取等號(hào)），

即BE=CE時(shí)，三棱錐E-BCF的體積最大，

又D為BC中點(diǎn),J.EDLBC,

則以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DB,品為x,y,z軸可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

第22頁(yè)共26頁(yè)

F

則4（1,0,0）,B（0,遮,0）,F（l,0,A/3）,C（0,一百，0）,E（0,0,遮）,

：.AF=（0,0,回AB=（-1,W，0）,CE=（0,痘,A/3）,

由(1)知：CE_L平面BEE.?.平面BEF的一個(gè)法向量為港=(0,百，回

設(shè)平面A8F的法向量蔡=(x,y,z),

則":一8'一°,令y=l,解得：x=V3,z=0,

,AB-n=—x+V3y=0

：.n=（V3,1,0）,

.CEn/3/2

..cos{CE,n）=-~—=-r=---T-,

\CE\\n\46x24

由圖形可知：二面角A-BF-E為鈍二面角，

二面角A-BF-E的余弦值為一字.

%2y2

21.(12分)已知橢圓T：—4-77=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Ei,F2,點(diǎn)M為短

軸的一個(gè)端點(diǎn)，離心率0=孝，△MF1F2的面積S=l.

(1)求橢圓T的方程；

(2)過(guò)尸1的直線/1交橢圓于A,B兩點(diǎn)，其中4(0,),另一條過(guò)F\的直線b交橢圓

于C,D兩點(diǎn),且點(diǎn)。不與點(diǎn)(0,-1)重合，過(guò)F1作x軸的垂線，分別交直線AO,

BC于點(diǎn)E,G,求證：|EF1|=|F1G|.

2bx2c=1

【解答】解：(1)由題意可得，解得a=VL6=c=l,

a~~2

222

'<a=b+c

x2

故橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程為=+/=1；

2

(2)證明：當(dāng)/2與x軸垂直時(shí)，C,。兩點(diǎn)與G,E點(diǎn)重合，

第23頁(yè)共26頁(yè)

由橢圓的對(duì)稱性知，|EFi|=|FiG|,

當(dāng)/2不與X軸垂直時(shí)，設(shè)/2的方程為＞=%（x+l）C（xi,y\）,D（X2,J2）（”

2-1）,

y—k（x+1）

聯(lián)立方程,消去y可得：（1+2必）/+4FX+2F-2=0,

(-0---+U/"-=1

2k-2

則Xi+犯=

由已知可得直線AD的方程為y-1=與二x,

令x=-1,得點(diǎn)E的坐標(biāo)為yE="2?2+1,

x2

把”=%（也+1）代入上式得：y=（工2+?（1―1）,

由于11過(guò)點(diǎn)尸（-1,0）,A（0,1）,故直線/i的方程為y=x+l,

代入橢圓的方程可得8（空，-1）,

則可得直線BC的方程為）7=3（%+當(dāng)，

令x=-l,得點(diǎn)G的坐標(biāo)為yG=磊宗，

把（加+1）代入上式可得yG=鳴?髭1）,

(上+1)(1-k)(xi+l)(/c-l)(1-粗2巧寶+3(勺+)2)+4]

X2(3X1+4)

把XI+%2以及XIX2的關(guān)系式代入2XI上2+3(xi+A?)+4,

BP2x+3x+4=0,即yE+yG=0,