2022屆高考數(shù)學（文科）必考知識點歸納匯編

必修1數(shù)學知識點（文）符號語言：

第一章、集合與函數(shù)概念圖形語言：

§1.1.1、集合3、相等關(guān)系：

集合的表示方法：4、把不含任何元素的集合叫做空集.記作:。.并規(guī)定：空集合是任何集合的子

列舉法：把集合中的所有元素一一列舉出來，并置于花括號“{花內(nèi)。如:集.

A={a?a2,a3,a????},特點：（1）元素間用“點分開；（素元素不能重復；（3）5、如果集合_A,中含有n個元素/則集合A有二個.子集,、

元素無序；（4）若有較多元素，則可以在清楚顯示規(guī)律后用省略號?！?.1.3、集合間的基本運算4.集合的運算涉及交、并、補集.

描述法：如：{xp（x）}（其中p（x）為元素滿足的條件）。1、并集：由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并

特點：描述法步驟：①在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合的元素的一般符號及取值集.）己作:—AljB-SP：AUB={-v|xeA,iHxeB}

（變化范圍）再畫一豎線。②在豎線后寫出這集合中元素所具有的共同特點，一2、交集:由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的為

般寫成:…反正人,g&）}或以.仙a）}集.記作：即：AtB={x|xeASJCiB}

§1.1.2、集合間的基本關(guān)系3、全集、補集?CuA={x\xeU,SixeU}

1、子集概念：4、基本性質(zhì)：①ACA=A；②AUA=A；③ADB=BriA；④AUB=BUA；

文字語言：對于兩個集合A、B,如果集合A中任意一個元素都是集合B⑤（ACB）nc=An（Bnc）；⑥（AUB）UC=AU（BUC）；⑦AC0=。；⑧AUO=

中的元素，則稱集合A是集合B的子集。記作A=

符號語言：AuBo任取xeA,總有xeB§1.2.1、函數(shù)的概念

圖形語言：1、函數(shù)定義：

傳統(tǒng)定義：設(shè)X、y是某一變化過程中的兩個變量，若對于變量x（在某一

2、真子集概念：

范圍）的任何一個確定的值，依照某個法則，變量y總有唯一確定的值與之對應，

則把變量y叫做變量x的函數(shù)，并把變量x叫做自變量，y叫做因變量，x的取

文字語言：如果集合但存在元素xeB,且xcA,則稱集合A是集

值范圍叫定義域，和x對應的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫值域。

現(xiàn)代定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關(guān)系3使對

合B的真子集.記作：ASB.

于集合A中的任意一個藪x,在集合B中都有惟一確定的數(shù)/（x）和它對應，那么

蟋廣Af8為集合A到集合B的一個集數(shù)，記作：y=/⑸A-eA

①當f(x)是整式時,定義域為R；②當f(x)為分式時,定義域懸使分母不為0

2、函薪三要素:定義域、對應關(guān)系、值域.如果兩個函數(shù)的菽疏相同,并且對

的實數(shù)的集合；③當f(x)是偶次根式時，定義域是使根號內(nèi)的式子為大于或等

應關(guān)系完全一致，則稱這兩個函數(shù)相等.

于0的實數(shù)的集合；④若f(x)為指數(shù)式時，定義域是使底數(shù)不為0的實數(shù)集合;

3、區(qū)間的表示：

⑤由實際問題確定的函數(shù)，定義域受實際問題的約束；⑥復合函數(shù)(由幾個函數(shù)

定義名稱符號數(shù)軸表示

經(jīng)加、減構(gòu)成)的定義域是復合的各基本函數(shù)定義域的交集；⑦含參函數(shù)定義域

{x|aWxWb}閉區(qū)間[a,b]

要注意分類討論。

{x|a<x<b}開區(qū)間(a,b)

3、抽象函數(shù)定義域：①已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],則函數(shù)f(晨x))的定義

{x|aWxVb}半開半閉區(qū)間[a,b)

域是指滿足aWg(x)Wb的x的取值集合；②已知函數(shù)f(g(x))的定義域[a,b]J

{x|aVxWb}半開半閉區(qū)間(a,b]

指的是，要求f(x)的定義域，就是求xe[a,b]時g(x)的值域。

(X|-oo<x<+oo)開區(qū)間(-oo,+oo)

§1.3.1、單調(diào)性與最大(小)值

{xl半開半閉區(qū)間[a,+oo)

1、在定義域的某個區(qū)間D上的任意兩個自變量值X1、X2,當X1VX2時都有f(X|)<f(X2).

6Z<JV<4-00}

則f(x)在D上為增函數(shù)。在定義域的某個區(qū)間D上的任意兩個自變量值XI、X2,

{xa<x<+oo)開區(qū)間(a,+oo)

當X|<X2時都有f(X]?f(X2)廁f(x)在D上為減函數(shù)。

(x1-00<x<Z?)半開半閉區(qū)間(-8,b]

注意變形：5二"”(乜)-/(±)]<0=的為減函數(shù)一

{x|-^<x<b]開區(qū)間(-oo,b)

3-8)二/(8)]>0n及岫物函數(shù)一

§1.2.2、函數(shù)的表示法

盛__________<0=/以加通數(shù)二

1、函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.一看

/但)-/()>=f(x)為增函數(shù)

2、常見函數(shù)定義域:(1)求函數(shù)定義域前盡量不要對解析式變形，以免引起定?0

演一馬

義域變化；(2)函數(shù)定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍；求f(x)的

復合函數(shù)單調(diào)性：同性增異性減

定義域做到：

)函數(shù)值域：奇函數(shù)：看定義域中函數(shù)的增減性，把端點值求出來，值域就在

最小值與最大值間；偶函數(shù)：看對稱軸在不在給定區(qū)間中，若在則求出頂點的縱導數(shù).

坐標、兩個端點值，函數(shù)值域就在這三個值的最小值與最大值間；若對稱軸不在3.導數(shù)的幾何意義

給定區(qū)間里，則直接求出兩個端點值，值域就在這兩個端點值間。/(X)在x=處的導數(shù)的幾何意義是,(X)在(.%,/(%))點處的切線的斜率，即在

3、注意函數(shù)單調(diào)性證明的一般格式：(取值、做差、化簡、與0比較)(%,/(%?))處f(x)的切線斜率為r(x()),切線方程為y—/(.%)=r(Xo)(x-x0).

解：設(shè)沖司且再＜工2,則：/(占)-/(工2)=…提示：注意/⑴與廣(飛)的區(qū)別.廣(X)是*的函數(shù)，r(x。)是一個數(shù)，/(々)等

導數(shù)及其應用于函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的導數(shù)r(x)在點X。處的函數(shù)值，即f'(Xo)=f'(x)|x

1.導數(shù)的定義=Xo.

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點X0及其附近有定義，當自變量x在X0處有增量(或稱改變4.常見函數(shù)的導數(shù)公式：

量)Ax,那么函數(shù)y相應的有增量(或稱改變量)Ay,Ay=f(xo+Ax)-f(xo).①C'=o；②a")'="x"T；③(sinx)'=COSX；④(cosx)=-sinx；

比值笠就叫做函數(shù)y=f(x)在xo至IJxo+Ax之間的平均變化率，啜1|

⑤(/)'=優(yōu)Ina；⑥(e，＞=e，；⑦=xlna；⑧""".

=」'(％+?)-/(%)5、導數(shù)運算法則：

△x

(1)[”x)±g(x)]'=r(x)士g'(x)；

如果當Ax—O時，器有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點xo處可導，并把這個極

(2)[〃*"(*)]'=/'(x)g(x)+/(x)g〈x)；

限值叫做函數(shù)f(x)在點XO處的導數(shù)(或稱變化率)，記作f(xo)或y,|x=xo.即f(xo)

hm/(%+")一/(.%)

=△攵叫0

AxAx_^0Ax

6、在某個區(qū)間(“㈤內(nèi)，若r(x)＞°,則函數(shù)y=〃工)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

2.導函數(shù)

若r(X)＜0,則函數(shù)y="X)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點的導數(shù)都存在，就說f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)

7、求函數(shù)y=*x)的極值的方法是:解方程/'(力句.當rw=°時：

可導，其導數(shù)也是(a,b)內(nèi)的函數(shù)，又叫f(x)的導函數(shù)，記作F(x)或y，，導函數(shù)

⑴如果在超附近的左側(cè)ra)＞°,右側(cè)"“＜0,那么是極大值；

也稱為導數(shù).函數(shù)f(x)的導函數(shù)f(x)當x=x(＞時的函數(shù)值F(xo)就是f(x)在xo處的

⑵如果在“。附近的左側(cè)/‘(力＜°,右側(cè)廣(力＞°,那么〃％)是極小值.

8、求函數(shù)v=〃x）在W向上的最大值與最小值的步驟是：1.整式不等式（高次不等式）的解法

⑴求函數(shù)y=〃x）在（“幼內(nèi)的極值；穿根法（零點分段法）

（2）將函數(shù)）'=/（x）的各極值與端點處的函數(shù)值〃“），"6）比較，其中最大的求解不等式：a0x"+0ix"，+a?x"-+?,,+a”>0（<0）（a（）>0）

一個是最大值，最小的一個是最小值.解法：①將不等式化為84飛）&-整）…（x-X"）>0（<0）形式，并將各因式x的系

§1.3.2、奇偶性數(shù)化“+（為了統(tǒng)一方便）

1、偶函數(shù)：①定義域關(guān)于原點對稱；②二fgh③偶函數(shù)圖象關(guān)于蜉軸對②求根，并將根按從小到大的在數(shù)軸上從左到右的表示出來；

稱；④對稱軸兩惻單調(diào)性相反。③由右上方穿線（即從右向左、從上往下：偶次根穿而不過，奇次根一穿而過）,

2、奇函數(shù)：①定義域關(guān)于原點對稱；②，（-'）=二八0；③奇函數(shù)圖象關(guān)于原點經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點（為什么？）；

軸對稱;④對稱點兩側(cè)單調(diào)性相同；⑤若定義域為R,則有f（0）=0.④若不等式（X的系數(shù)化“+”后）是“>0”，則找“線”在X軸上方的區(qū)間；若

不等式是“<人、，則找“線”在X軸下方的區(qū)間./

3、反函數(shù)的求法：①反解出x（用y來表示x）；②對換x、y；③寫出反函數(shù)的

定義域。（原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義

域）

補充：

不等式的性質(zhì)：

①a>%=b<a;…②a>b,。>c=>a>c.

@a>b=>a+c>b+ci^ia>b,c>O^>ac>bc>__a>b,c<0=ac<be;_

^）a>b,c>d=>a+ob+da>b>0,od>0=>aobd;

⑦a>6>0=a">b"（neN,〃>1）.（自右向左正負相間）

⑧a>b>0=%>^（"eN,n>l）一例題：求解不等式*+D（X-2）（X+5）<0的解集。

（x+6）（x-4）

含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

解：略

(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)盤>0。/(蟲(%)>0；盤200[少?綜)2°

g(x)g(x)

例題：求解不等式：

X

一元二次不等式的求解：

解：略

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

例題：求不等式上21的解集。

x+1

②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)解的討論.

3.含絕對值不等式的解法：

基本形式：

①型如:|XIfg3NQ)的不等式的解集為L{xIvx<a}

②型如:lx|>a(a>0)的不等式的解集為:{x\x<-a^>a]

變型：

\ax+b\<c(c>0)型的不等式的解集可以由{/1-c<ar+b<c]解得上、其中一&包%+!?<￡等

價于不等式組(辦+'<c在解-c<ax+b〈c得注意a的符號

[ax+b>-c

\ax+4>c(c>0)型的不等式的解法可以由{x\ax+b>c,或or+b<-c}來解?

③對于含有兩個或兩個以上的絕對值的不等式：用“零點分區(qū)間法”分類討論來

解.

④絕對值不等式解法中常用幾何法：即根據(jù)絕對值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方

法解題.

2.分式不等式的解法

例題:求解不等式|x-2El

(12標準化：移項通分化為3>0(或幺立<0)；△包20(或3W0)的形式,

g(x)g(x)g(x)........sM解：略

例題:求解不等式：|x-2|+|x+3區(qū)10

解：零點分類討論法：----------1----------------x|-U<<2

由圖像可知原不等式的解集為:x

-3

分別令x-2=0和x+3=0

4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實根的分布常借助二次函數(shù)圖像來分析:

解得：x=-3和x=2

設(shè)ax2+bx+c=O的兩根為a、p,f(x)=ax?+bx+c,那么:

在數(shù)軸上，-3和2就把數(shù)軸分成了三部分，如右上圖

A>0

①當XV-3時，(去絕對值符號)原不等式化為：①若兩根都大于0,即a>0,夕>0,則有<a+￡>0

>0

[-(x-2)-(x+3)V10

<2=>——<<v<-3

[x<-3一公2

i[x<-3

②當-3<xV2時，(去絕對值符號)原不等式化為：

f-3<x<2f-3<x<2--

(=>-3<x<2

[-(x-2)+(x+3)<10[xeR△>0

②若兩根都小于0,即a<0/<0,則有.-A<o

2a

/(0)>0

令〃x)=k-2|+|x+3|

-2x-1(x<-3)

則有：/(x)=-5(-3<x<2)

2x+l(x>2)

在直角坐標系中作出此分段函數(shù)及7(X)

A>0(一)由B確定：

b

則有2a?若B>(),則Ar+By+C>0上小」'L線Av+By+C=0上方的區(qū)域;Av+Bv+C<0表小

人">0

./(n)>0鰻Ar+By+C=0下方的區(qū)域.

②若BvO,則Ar+By+C>0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域；Ax+By+C<0表示

直線Ar+Bv+C=0上方的區(qū)域.

（二）由A的符號來確定：

先把x的系數(shù)A化為正后，看不等號方向：

①若是號，則Ax+By+C>0所表示的區(qū)域為直線1:Ar+By+C=O的右邊部分。

②若是“V”號，則Ax+By+C<0所表示的區(qū)域為直線1：Ax+By+C=O的左邊部分。

（三）確定不等式組所表示區(qū)域的步驟：

常由根的分布情況來求解出現(xiàn)在a、b、c位置上的參數(shù)①畫線：畫出不等式所對應的方程所表示的直線

例如：若方程V-2（"?+1）工+〃/-2〃7-3=0有兩個正實數(shù)根，求"?的取值范圍。②定測：由上面（一）（二）來確定

A>04("?+1尸一4(，1-2，"-3)20m>-\③求交：取出滿足各個不等式所表示的區(qū)域的公共部分。

解：由①型得，a+￡>0=2(m+1)>0=>rn>-1=>w>3

5、均值不等式：設(shè)a、b是兩個正數(shù)，則上吆稱為正數(shù)a、8的算術(shù)平均數(shù)，而

a^J3>0-3>0機<一1,或"7>3

nr-2

所以方程有兩個正實數(shù)根時，機>3。稱為正數(shù)4、8的幾何平均數(shù).

又如：方程Y-x+M-l=0的一根大于1,另一根小于1,求小的范圍。6常用的基本不等式：①+嚏竺叵空秋速訪V美包（。方eR）i…

解：因為有兩個不同的根，所以由

⑧疑《（等）（。>0,6>0）1^與^^（亨）（a,beR）.

△>0J(-l)2-4(w2-1)>0一<m<——,,

/(1)<0[i2-l+/?r-1<0=<2-------2=>-!</??<!

-1<m<\7、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有：

5簡單線性規(guī)劃：不等式Ai+Bv+C>0或Ar+By+C<0所表示的區(qū)域

⑴若x+產(chǎn)s（和為定值），貝U當x=y時，積？取得最大值⑵若到”（積為

定值)，則當X=MJ0X+y取得最小值2m.(一正、二定、三相等)

第二章、基本初等函數(shù)(I)

§2.1.1、指數(shù)與指數(shù)塞的運算

1、一般地，如果x"=a,那么x叫做a的"次方根。其中

定RR

2、當"為奇數(shù)時,而”;當”為偶數(shù)時，^?二問”.

-a(a<0)義

,nw域

3、規(guī)定：U)a=一(?>0ym,neN\m>1)；(2)a-=—7(^>0)j—

值y>0

4、運算性質(zhì)：

域

⑴〃"二eQ)(同底數(shù)‘質(zhì)相乘底數(shù)不變指數(shù)相加)；

性圖像恒過(0,1),即x=0時，y=l俳奇非偶函數(shù)

@(/y=ae(a>o,r,seQ);(塞的乘方底數(shù)不變指數(shù)相乘)

質(zhì)在R上是增函數(shù)，當x<0時，在R上是減函數(shù)，當x<0

⑶(ab)'=arb'(a>0,b>0,re0).

0<y<l；當x>0時，y>l時,y>l；當x>0時，0<y<lo

§2.2.1、對數(shù)與對數(shù)運算

1>a*=N=log?N=x;（對數(shù)式與指數(shù)式的轉(zhuǎn)換）

§2.1.2、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

2-.a"，"*=a.3、log?1=0,log?a=i.

1、指數(shù)函數(shù)；y=a、(a>0,a*l)

4、當a>0,a/l,M>0,N>0時：

①log“（MN）=log,,M+log,,Nj

@log“傳卜bg“M-log,,Nj

@log“AT="k>g“M.

像

5、換底公式二1%6=警2_(。>0,?！?gt;0).時，y<0；當x>l時，y>0時，y>0；當x>l時，y<0?

§2.3、幕函數(shù)

6、logub=—5-?(a>0,o#\.b>O,b*i).

log"

§2.22、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、對數(shù)函數(shù)：y=log.Ma>0,”*l)

a>l0<a<l

y、y=logax(1<a)t>

Iy=logax

1(0<a<l)§3.1.1、方程的根與函數(shù)的零點

10)

01>=

圖/

一__2函數(shù)y=f(x)的圖象與土軸有交點

像(1,0)

___1?函數(shù)y=/(x)有零點.

2、性質(zhì)：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且

有()"⑸<0,那么，函數(shù)y=/tr)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在ce(a㈤&使得

定x>0x>0/(c)=0,.這個￡也就是方程/(x)=0的根.

義

域

fl'l.R§3.1.2、用二分法求方程的近似解

域1、掌握二分法.

性圖像恒過(1,0),即x=1時，y=0；非奇非偶函數(shù)§3.2.1、幾類不同增長的函數(shù)模型

質(zhì)在R上是增函數(shù)，當0<x<l在R上是減函數(shù)，當0<x<l§3.2.2、函數(shù)模型的應用舉例

1、解決問題的常規(guī)方法：先畫散點圖，再用適當?shù)暮瘮?shù)擬合，最后檢驗.第二章：點、直線、平面之間的位置關(guān)系

必修2數(shù)學知識點

1、空間幾何體的三視圖和直觀圖

正視圖：得出原圖的長、高；側(cè)視圖：得出原圖的長、寬；俯視圖：得出原

圖的長、寬。點、線、面的關(guān)系:

把光山一點向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點；把在圖形語言符號語言備

文字語言

一束平行光線照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。注

元

?AA素

點A在直線a±（或直線a過點A）Awa與

集

、空間幾何體的表面積與體積

3合

⑴圓柱側(cè)面積；5=2萬?r-/間

raM點A在直線a外（或直線a不經(jīng)過?.A的

關(guān)

aA^a

點A）系

⑵圓錐側(cè)面積:SM

點A在平面。上（或平面。經(jīng)過點

A"

A）

⑶圓臺側(cè)面積:=^rl+^RIA?

%/

⑷體積公式:

點A在平面。外（或平面。不經(jīng)過

k=S?；%體=34;A后。

點A）

%體=；卜上+鄧上?S、+Sr

⑸球的表面積和體積：S球=4成2,唳=g成二

直線a在平面。內(nèi)（或平面a經(jīng)過/a——u/a"

直線a）圖形語言:

_______a

/a_____/

直線a在平面。外（或直線a與平

a<za2、公理2：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該

面a不相交）