幾何直觀讓數(shù)數(shù)不再為難

幾何直觀，

讓數(shù)數(shù)不再為難

問(wèn)題提出——數(shù)數(shù)如此之難？實(shí)踐研究——數(shù)數(shù)如此,不難。交流提綱問(wèn)題提出問(wèn)題提出——數(shù)數(shù)如此之難？1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

100、200，300，400，500，600，700，……51，52，53，54，55，56，57，58，59，？11,12,13,11,15,16,17,18,19,20,

……

700前面的數(shù)是？比700少1的是600還是699？1000前面的數(shù)是？問(wèn)題提出——數(shù)數(shù)如此之難？幾何直觀是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。實(shí)踐研究實(shí)踐研究——數(shù)數(shù)如此,不難。一、利用實(shí)物直觀，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，留下印象二、替代物直觀，十個(gè)百個(gè)地?cái)?shù)，建立表象三、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀，從左到右地?cái)?shù)，形成抽象四、借助圖形直觀，先平均分再數(shù)，發(fā)展想象一、利用實(shí)物直觀，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，留下印象實(shí)物直觀即實(shí)物層面的幾何直觀，是指以現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際存在物作為參照物，借助其與研究對(duì)象之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行簡(jiǎn)捷、形象的思考，獲得判斷的一種能力。一、利用實(shí)物直觀，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，留下印象一、利用實(shí)物直觀，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，留下印象在一年級(jí)上冊(cè)認(rèn)識(shí)1-10以內(nèi)的數(shù)時(shí)，教材提供了兩只小鳥(niǎo)、兩個(gè)人，都可以用數(shù)字“2”來(lái)表示。學(xué)生再在身邊找一找，通過(guò)點(diǎn)數(shù)同桌兩人、兩把笤帚和兩盆花，留下“2”的實(shí)物數(shù)量印象。接著再想一想，做一做，用兩架飛機(jī)、兩根小棒、兩個(gè)手指或兩個(gè)三角形等來(lái)表示“2”。一、利用實(shí)物直觀，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，留下印象在認(rèn)識(shí)10時(shí)，教材又提供了撥珠子的方法：1，再撥一個(gè)就是2；9，再撥一個(gè)就是10。這里的珠子是一個(gè)一個(gè)數(shù)的，與實(shí)際物品沒(méi)什么太大區(qū)別，仍可以看成是實(shí)物直觀認(rèn)數(shù)階段。然后，在10以內(nèi)數(shù)的比較大小中，仍然堅(jiān)持實(shí)物直觀，利用小松鼠與盤子、勺子、杯子的實(shí)物圖片數(shù)一數(shù)，感受一一對(duì)應(yīng)，感悟數(shù)的大小與多少。一、利用實(shí)物直觀，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，留下印象實(shí)踐研究——數(shù)數(shù)如此,不難。一、利用實(shí)物直觀，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，留下印象二、替代物直觀，十個(gè)百個(gè)地?cái)?shù)，建立表象三、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀，從左到右地?cái)?shù)，形成抽象四、借助圖形直觀，先平均分再數(shù)，發(fā)展想象二、替代物直觀，十個(gè)百個(gè)地?cái)?shù)，建立表象在一年級(jí)上冊(cè)《古人計(jì)數(shù)》一課，對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)由10以內(nèi)的數(shù)擴(kuò)展到20。于是，10根小棒捆成一捆表示10，即10個(gè)一是一個(gè)十，從而認(rèn)識(shí)新的計(jì)數(shù)單位“十”。這里的一根小棒、一捆小棒，就是針對(duì)個(gè)位1、十位10的替代物形式。個(gè)位十位二、替代物直觀，十個(gè)百個(gè)地?cái)?shù)，建立表象在這節(jié)課上，對(duì)應(yīng)著捆小棒，還出現(xiàn)了計(jì)數(shù)器。計(jì)數(shù)器已經(jīng)將數(shù)位的含義明確表示出來(lái)（具有普適性和公共的約定性），這又是一種替代物。計(jì)數(shù)器上用珠子代表數(shù)，個(gè)位上的1個(gè)珠子表示1個(gè)一，十位上的1個(gè)珠子代表1個(gè)十……二、替代物直觀，十個(gè)百個(gè)地?cái)?shù)，建立表象在捆小棒、數(shù)小棒的過(guò)程中，學(xué)生感受著“計(jì)數(shù)單位”的變化；在撥珠子，數(shù)珠子的過(guò)程中，學(xué)生理解著“數(shù)位”的不同。孩子們會(huì)發(fā)現(xiàn)每次都是先按10以內(nèi)的點(diǎn)數(shù)，每數(shù)10根就可以捆成一捆，變成1個(gè)新的十，累加到原來(lái)的十位上，然后再點(diǎn)數(shù)……依此類推，直至數(shù)出結(jié)果。孩子們?cè)綌?shù)越明白，只要弄清數(shù)的“單位”和相應(yīng)的“個(gè)數(shù)”即可，十進(jìn)位置制也就逐漸開(kāi)始建立。10個(gè)一一個(gè)十二、替代物直觀，十個(gè)百個(gè)地?cái)?shù)，建立表象二、替代物直觀，十個(gè)百個(gè)地?cái)?shù)，建立表象等到一年級(jí)下冊(cè)認(rèn)識(shí)了“百”后，二年級(jí)下冊(cè)第三單元《生活中的大數(shù)》中，學(xué)生將認(rèn)識(shí)新的計(jì)數(shù)單位“千”和“萬(wàn)”。這時(shí)再用小棒作為替代物，就顯得力不從心了，于是替代物換成了小方塊。其實(shí)，孩子們?cè)缇褪煜ば》綁K了。在一年下冊(cè)第三單元《生活中的數(shù)》中，第二課時(shí)《數(shù)一數(shù)》教材呈現(xiàn)了“10個(gè)小方塊是一條”的數(shù)法，學(xué)生一條一條地?cái)?shù)，也就是10個(gè)10個(gè)數(shù)下去，知道“九十九個(gè)再添1個(gè)就是一百個(gè)”，從而認(rèn)識(shí)到“10個(gè)十是一百”。二、替代物直觀，十個(gè)百個(gè)地?cái)?shù)，建立表象二、替代物直觀，十個(gè)百個(gè)地?cái)?shù)，建立表象400個(gè)600個(gè)1000個(gè)10000個(gè)一共有多少個(gè)小方塊？在第一課時(shí)《數(shù)一數(shù)（一）》中，教材先帶領(lǐng)學(xué)生回顧原有認(rèn)知“一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)10個(gè)是1條”，接著，“一條一條地?cái)?shù)，數(shù)10條是一片，一片共有100個(gè)”。再接著數(shù)下去，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)“一片一片地?cái)?shù)，數(shù)10片就是10個(gè)100，也就是一個(gè)大正方體里有1000個(gè)小正方體”，即“10個(gè)一百是一千”。二、替代物直觀，十個(gè)百個(gè)地?cái)?shù)，建立表象一個(gè)10個(gè)一是一個(gè)十10個(gè)十是一百10個(gè)百是一千二、替代物直觀，十個(gè)百個(gè)地?cái)?shù)，建立表象在第二課時(shí)《數(shù)一數(shù)（二）》中，學(xué)生根據(jù)一個(gè)大正方體是1000個(gè)小方塊的認(rèn)知，繼續(xù)數(shù)下去，一千、二千、三千……九千、一萬(wàn)，又認(rèn)識(shí)了“10個(gè)一千是一萬(wàn)”。教材還特別安排了“9999再添1個(gè)是一萬(wàn)”的內(nèi)容，借助不同數(shù)位的珠子，直觀認(rèn)識(shí)一萬(wàn)。接著在直觀的基礎(chǔ)上，學(xué)生從九千八百八十七開(kāi)始，一個(gè)一個(gè)數(shù)到一萬(wàn)。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，每個(gè)數(shù)位上“滿十”后，都要在前一位上添上一個(gè)單位，然后接著數(shù)下去。二、替代物直觀，十個(gè)百個(gè)地?cái)?shù)，建立表象到四年級(jí)上冊(cè)《認(rèn)識(shí)更大的數(shù)》時(shí)，再一次借助數(shù)方塊的直觀呈現(xiàn)，認(rèn)識(shí)了新的數(shù)位及計(jì)數(shù)單位，加上第二課時(shí)的學(xué)習(xí)，完善了數(shù)位順序表的學(xué)習(xí)，完成了整數(shù)的認(rèn)識(shí)，十進(jìn)位置制基本建立起來(lái)。二、替代物直觀，十個(gè)百個(gè)地?cái)?shù)，建立表象實(shí)踐研究——數(shù)數(shù)如此,不難。一、利用實(shí)物直觀，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，留下印象二、替代物直觀，十個(gè)百個(gè)地?cái)?shù)，建立表象三、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀，從左到右地?cái)?shù)，形成抽象四、借助圖形直觀，先平均分再數(shù)，發(fā)展想象三、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀，從左到右地?cái)?shù)，形成抽象簡(jiǎn)約符號(hào)直觀，即簡(jiǎn)約符號(hào)層面的幾何直觀，是在實(shí)物直觀的基礎(chǔ)上，進(jìn)行一定程度的抽象所形成的半符號(hào)化的直觀。三、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀，從左到右地?cái)?shù)，形成抽象在一年級(jí)的加減法內(nèi)容中出現(xiàn)的“毛毛蟲(chóng)”就是數(shù)線的原型。學(xué)生可以“一個(gè)一個(gè)”去數(shù)，但是順序是一定的，都是“從左到右，越來(lái)越大”；二年級(jí)加減法中，已經(jīng)逐步抽象成“線”

。孩子們又會(huì)發(fā)現(xiàn)，每段數(shù)線不但可以表示整十、整百的數(shù)，也可以表示普通的數(shù)，只是在同一條數(shù)線里，不同的數(shù)對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度也應(yīng)該是不同的。三、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀，從左到右地?cái)?shù)，形成抽象到了二年下冊(cè)第三單元《生活中的大數(shù)》第四課時(shí)《比一比》一課中，開(kāi)始利用數(shù)線進(jìn)行數(shù)的比較。這里的數(shù)線已經(jīng)抽象出格子，也就是一定的“單位”

。在1題中，每個(gè)格子表示的就是100元，在第2題中，每個(gè)格子代表1000。借助這個(gè)直觀的數(shù)線圖，學(xué)生能夠標(biāo)出3200的大致位置，不但知道3200比3000大，比4000小，在3000與4000之間，還能感受3200離3000更近些。三、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀，從左到右地?cái)?shù)，形成抽象35003200學(xué)生對(duì)數(shù)的抽象認(rèn)知對(duì)建立和豐富數(shù)感非常重要，直接影響著后續(xù)的運(yùn)算等內(nèi)容的學(xué)習(xí)。四年級(jí)上冊(cè)第一單元《認(rèn)識(shí)更大的數(shù)》第五課時(shí)《近似數(shù)》中，這里的近似數(shù)“2萬(wàn)”是如何得到的？三、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀，從左到右地?cái)?shù)，形成抽象從圖上直觀地看出，18000在1萬(wàn)和2萬(wàn)之間，離1萬(wàn)有8個(gè)格子，離2萬(wàn)只有兩個(gè)格子，離2萬(wàn)近，所以可以把18000近似地看成2萬(wàn)。在學(xué)生數(shù)格子的同時(shí)，還會(huì)發(fā)現(xiàn)1萬(wàn)和2萬(wàn)之間的數(shù)是分成“兩隊(duì)”的，比15000小的數(shù)，零頭舍去，可以近似地看成1萬(wàn)；比15000大的數(shù)，其中比1萬(wàn)多出來(lái)的部分又接近新的1萬(wàn)，這樣就可以近似地看成2萬(wàn)。其實(shí)，學(xué)生通過(guò)這樣的幾何直觀，已經(jīng)能自己總結(jié)“四舍五入”了。三、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀，從左到右地?cái)?shù)，形成抽象那15000正好在中間，怎么辦？在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上，教師可以合作者的身份介入：為了交流方便，我們統(tǒng)一規(guī)定“夠五就入”。那1萬(wàn)是不是“吃虧”了？愛(ài)動(dòng)腦筋的孩子們馬上會(huì)想到，把數(shù)線接著畫下去，1萬(wàn)的左邊，不是還有從5000起的5000個(gè)數(shù)也可以近似地看成1萬(wàn)嗎，而2萬(wàn)右邊的數(shù)卻只能數(shù)到24999，25000已經(jīng)大約是3萬(wàn)了?？磥?lái)，四舍五入還是很公平滴！三、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀，從左到右地?cái)?shù)，形成抽象150001萬(wàn)2萬(wàn)5000250001499924999實(shí)踐研究——數(shù)數(shù)如此,不難。一、利用實(shí)物直觀，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，留下印象二、替代物直觀，十個(gè)百個(gè)地?cái)?shù)，建立表象三、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀，從左到右地?cái)?shù)，形成抽象四、借助圖形直觀，先平均分再數(shù)，發(fā)展想象四、借助圖形直觀，先平均分再數(shù)，發(fā)展想象圖形直觀是以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀。在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)和小數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，幾何直觀也得到了很好的滲透和體現(xiàn)，這里多是圖形直觀。。四、借助圖形直觀，先平均分再數(shù)，發(fā)展想象四、借助圖形直觀，先平均分再數(shù)，發(fā)展想象三年下冊(cè)第六單元《認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)》第一課時(shí)《分一分（一）》中，學(xué)生會(huì)怎樣表示一半呢？除了實(shí)物表示外，學(xué)生會(huì)想到畫圖來(lái)表示，其中就會(huì)有圓、長(zhǎng)方形等學(xué)生認(rèn)識(shí)的一些幾何圖形。在知道一半可以用表示后，嘗試涂出一些圖形的。多數(shù)學(xué)生會(huì)借助第二單元?jiǎng)倓倢W(xué)習(xí)的軸對(duì)稱來(lái)解決問(wèn)題，畫出這個(gè)圖形的對(duì)稱軸，恰好把圖形平均分成兩份，其中的一份就是這個(gè)圖形的二分之一。接著，學(xué)生用紙（正方形、長(zhǎng)方形、圓形的都可以）動(dòng)手折一折，得到了以外的新的分?jǐn)?shù)。在第一課時(shí)的試一試中，學(xué)生用同樣的一張正方形紙分別折出這張紙的。直觀認(rèn)知中，沖突產(chǎn)生了：涂色部分形狀不同，都是這張紙的嗎？這時(shí)直觀背后的思考指向了數(shù)學(xué)的本質(zhì)：這幾種涂法因?yàn)槠骄值姆椒ú煌酝可糠值男螤钜膊煌?，但都是把一張紙平均分?份，涂上了其中的一份，就是這張紙的。四、借助圖形直觀，先平均分再數(shù)，發(fā)展想象四、借助圖形直觀，先平均分再數(shù)，發(fā)展想象教材呈現(xiàn)了一個(gè)“分?jǐn)?shù)墻”，學(xué)生獨(dú)立填一填，然后觀察中想一想，他們有好多發(fā)現(xiàn)呢！越往下分，份數(shù)越多，每份就越??；1里面有2個(gè)，有3個(gè)，……；9個(gè)，10個(gè)，……，都是1；平均分成幾份，每份就是幾分之一；分母越大，分?jǐn)?shù)單位越小，反之，分母越小，分?jǐn)?shù)單位就越大；……我們?cè)倏葱?shù)的認(rèn)識(shí)，是基于分?jǐn)?shù)與整數(shù)的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，借助圖形在“平均分”中進(jìn)行的。在四年級(jí)下冊(cè)第一單元《小數(shù)的意義與加減法》中，教材用了三課時(shí)來(lái)認(rèn)識(shí)小數(shù)的意義。四、借助圖形直觀，先平均分再數(shù)，發(fā)展想象四、借助圖形直觀，先平均分再數(shù)，發(fā)展想象小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)，所以把一個(gè)正方形看成“1”，平均分成10份，其中的一份是，也可以表示為0.1；把“1”平均分成100份，其中的1份就是，也可以表示為0.01；……在數(shù)數(shù)的過(guò)程中，學(xué)生認(rèn)識(shí)了0.1、0.01、0.001等新的“計(jì)數(shù)單位”，也逐步建立起“1個(gè)正方形是1”“1條是0.1”“1小格是0.01”的模型。為了幫助學(xué)生完善數(shù)位順序表，理解小數(shù)的計(jì)數(shù)單位也是“滿十進(jìn)一”，教材仍然借助了直觀的幾何圖形，1個(gè)小方格是0.01，10個(gè)0.01就是“1條”，也就是1個(gè)0.1，10個(gè)0.1就是“1”。至此，數(shù)位順序表在整數(shù)基礎(chǔ)上又得以補(bǔ)充和完善，十進(jìn)位置制更加深入人心。四、借助圖形直觀，先平均分再數(shù)，發(fā)展想象到六年級(jí)下冊(cè)總復(fù)習(xí)時(shí)，所有學(xué)過(guò)的數(shù)都能在數(shù)線上呈現(xiàn)出來(lái)，一條基本的“數(shù)軸”已經(jīng)建立起來(lái)。四、借助圖形直觀，先平均分再數(shù)，發(fā)展想象到這里，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)數(shù)中哪有什么彎要拐哩！它們不過(guò)是一條向兩端無(wú)限延長(zhǎng)的直線上的一個(gè)一個(gè)“節(jié)點(diǎn)”而已。只要弄清了數(shù)的“計(jì)數(shù)單位”和相應(yīng)“個(gè)數(shù)”，就會(huì)柳暗花明，