初二數(shù)學(xué)第28講：全等三角形 （含答案）

全等三角形概念和性質(zhì)1、知識(shí)與能力：理解全等三角形及相關(guān)概念，能夠從圖形中尋找全等三角形，探索并掌握全等三角形的性質(zhì)，能夠利用性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。2、過(guò)程與方法：在探索全等三角形性質(zhì)的過(guò)程中，體會(huì)研究問(wèn)題的方法，感受圖形變化途徑。3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力、歸納總結(jié)能力和應(yīng)用意識(shí)。1.全等形（1）定義：能夠________的兩個(gè)圖形叫做全等形。理解要點(diǎn)：圖形的全等與他們的位置無(wú)關(guān)，只要滿足能夠完全重合即可；而完全重合包含兩層意思：圖形的________、________；全等形的周長(zhǎng)、面積分別相等，但周長(zhǎng)或面積相等的兩個(gè)圖形不一定全等。（2）幾種常用全等變換的方式：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)。2.全等三角形及相關(guān)的概念（1）全等三角形的定義：能夠________的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。（2）全等三角形對(duì)應(yīng)元素：把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，①對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：重合的頂點(diǎn)；②對(duì)應(yīng)邊：重合的邊；③對(duì)應(yīng)角：重合的角。（3）全等三角形的表示方法：兩個(gè)三角形全等用符號(hào)“≌”來(lái)表示，如圖所示△ABC≌△DEF。符號(hào)“≌”的含義：“∽”表示_______，“=”表示________，合起來(lái)就是形狀相同，大小也相等，這就是全等。（4）全等三角形的書寫：①字母順序確定法：根據(jù)書寫規(guī)范，按照對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角，如△CAB≌FDE,則AB與__、AC與__、BC與__是對(duì)應(yīng)邊，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F時(shí)對(duì)應(yīng)角；②圖形位置確定法：公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊，公共角一定是對(duì)應(yīng)角，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；③圖形大小確定法：兩個(gè)全等三角形的最大的邊（角）是________，最小的邊（角）是對(duì)應(yīng)邊（角）。（5）對(duì)應(yīng)邊（角）與對(duì)邊（角）的區(qū)別：對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角是對(duì)兩個(gè)三角形而言的，指兩條邊，兩個(gè)角的關(guān)系；而對(duì)邊、對(duì)角是指一個(gè)三角形的邊和角的________。對(duì)邊是與對(duì)角相對(duì)的邊，對(duì)角是與邊相對(duì)的角。易錯(cuò)提示：記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，字母順序不能隨意書寫。3.全等三角形的性質(zhì)性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。還具備：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)角平分線相等；全等三角形的_________、_________。易錯(cuò)提示：周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，面積相等的兩個(gè)三角形也不一定全等。參考答案1.完全重合形狀相同大小相等2.完全重合形狀相同大小相等DEDFEF對(duì)應(yīng)邊（角）位置關(guān)系3.周長(zhǎng)相等面積也相等1.全等三角形對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)角相等【例1】如圖是“人”字形屋梁，AB＝AC．現(xiàn)在要在水平橫梁BC上立一根垂直的支柱支撐屋梁，工人師傅取BC的中點(diǎn)D，然后在A，D之間豎支柱AD．那么這根AD符合“垂直”的要求嗎？為什么？【解析】AD⊥BC符合要求，理由如下：∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠ADB＝∠ADC.又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC．練1.如圖所示，已知：A，C，F(xiàn)，D四點(diǎn)在同一直線上，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，求證：AB∥DE.【解析】先根據(jù)SSS證明兩三角形全等，由三角形全等的性質(zhì)得出：∠A＝∠D，即可證明AB∥DE．證明：∵AF＝DC，∴AF－CF＝DC－CF．∴AC＝DF．在△ABC與△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）．∴∠A＝∠D．∴AB∥DE．練2.已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，求證：∠C＝∠A.【解析】連接BD，在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SSS）．∴∠C＝∠A．練3.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求證：∠A＋∠D＝180°.【解析】證明：連接AC，在△ADC與△CBA中，∴△ADC≌△CBA（SSS），∴∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°．【例2】如圖，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，則∠EAC的度數(shù)為（）A．40° B．35°C．30°D．25°【解析】：∵∠B=80°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-80°-30°=70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE=∠BAC=70°，∴∠EAC=∠DAE-∠DAC，=70°-35°，=35°．答案：B練4.如圖，若△ABC≌△AEF，則對(duì)于結(jié)論：（1）AC=AF；（2）∠FAB=∠EAB；（3）EF=BC；（4）∠EAB=∠FAC．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【解析】∵△ABC≌△AEF，∴AC=AF，EF=BC，∠EAF=∠BAC，故（1）（3）正確，∴∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，即∠EAB=∠FAC，故（4）正確，只有AF平分∠BAC時(shí)，∠FAB=∠EAB正確，故（2）錯(cuò)誤．綜上所述，正確的是（1）（3）（4）共3個(gè)．答案：C【例3】.如果△ABC≌△ADC，AB=AD，∠B=70°，BC=3cm，那么∠D=______，DC=________．【解析】：∵△ABC≌△ADC，∴∠D=∠B=70°，DC=BC=3cm．答案：70°；3cm練5.如圖，如果△ABC≌△DEF，△DEF周長(zhǎng)是32cm，DE=9cm，EF=13cm，∠E=∠B，則AC=____cm.【解析】：DF=32-DE-EF=10cm．∵△ABC≌△DEF，∠E=∠B，∴AC=DF=10cm．練6．（2014秋?淶水縣期末）如圖，AB與CD交于點(diǎn)O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，則∠D的度數(shù)為（）A．50°B.30°C．80°D．100°【解析】利用SAS可證明△AOD≌△COB，則∠D=∠B=30°．解：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS），∴∠D=∠B=30°．故選B．【例4】如圖，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠BEA=135°，求∠C的度數(shù)?！窘馕觥浚骸摺鱋AD≌△OBC，∴∠C=∠D，∠OBC=∠OAD，∵∠0=65°，∴∠OBC=180°-65°-∠C=115°-∠C，在四邊形AOBE中，∠O+∠OBC+∠BEA+∠OAD=360°，∴65°+115°-∠C+135°+115°-∠C=360°，解得∠C=35°答案：∠C=35°練7.如圖，已知△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度數(shù)和EC的長(zhǎng)．【解析】：∵∠A=30°，∠B=50°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-50°=100°，∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE=∠ACB=100°，EF=BC，∴EF-CF=BC-CF，即EC=BF，∵BF=2，∴EC=2．答案：∠DFE=100°；EC=2．【例5】(2015涼山州一中月考)若△ABC≌△DEF，△ABC的周長(zhǎng)為100，AB=30，EF=25，則AC=（）A、55B、45C、30D、25【解析】三角形全等的性質(zhì)：周長(zhǎng)相等，對(duì)應(yīng)邊相等?！摺鰽BC≌△DEF∴EF=BC=25∴AC=100-AB-BC=45答案：B練8.（2015鷹潭一中月考）如圖，△ABC≌△ADE，且∠EAB＝120°，∠B＝30°，∠CAD＝10°，∠CFD=______°【解析】∵△ABC≌△ADE∴∠DAE=∠BAC=(120o-10o)/2=55o∴∠CFA=180o-30o-10o-55o=95o∴∠CFD=180o-∠CFA=85o答案：85o總結(jié)：全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，三角形內(nèi)角和180o的性質(zhì)，互為補(bǔ)角的兩個(gè)角和為180o.【例6】（2014湖北新縣大王鎮(zhèn)中學(xué)期中）如圖，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=30°，則∠ADC的度數(shù)為（）A.160°B．110°C．140°D．120°【解析】∵△ABD≌△CBD∴∠ABD=∠CBD=30o∵∠A=80°∴∠C=80o∴∠ADC=360o-30o-80o-80o=170o練9.如圖：△ABC≌△DEF，請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，寫出x=___________．【解析】∵△ABC≌△DEF∴∠E=∠B=50o答案：50o練10.（2015鎮(zhèn)江楓葉國(guó)際學(xué)校月考）如圖，已知△ABC≌△DEF,∠A=55°，∠E=50°，BC=10，CE=7，則∠D=；∠2=；CF=.【解析】∵△ABC≌△DEF∴∠D=∠A=55o∠1=180o-∠D-∠E=75oEF=BC∴CF=EF-CE=3答案：55o75o31．（2014-2015北京七中第一學(xué)期期中）如圖,已知△ABC的六個(gè)元素,則甲、乙、丙三個(gè)三角形中和△ABC全等的圖形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙2.(2014-2015北京市第三十一中第一學(xué)期期中考試)如圖所示，QUOTEa,b,c分別表示△ABC的三邊長(zhǎng)，則下面與△ABC一定全等的三角形是（）AABCD3.(2014-2015北京市第四十四中學(xué)第一學(xué)期期中)如圖，△ABC≌△CDA，∠BAC＝85°，∠B＝65°，則∠CAD度數(shù)為（）A.30°B.65°C.40°D.85°ＤＤＣＡＢ4.如圖所示，△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，則∠D的對(duì)應(yīng)角是_______，圖中相等的線段有___________．5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（-3，0），B（0，2），△OA′B′≌△OAB，A′在x軸上，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是__________．6.已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面積為18cm2，則EF邊上的高的長(zhǎng)是____cm．7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在點(diǎn)E，使△ACE和△ACB全等，寫出所有滿足條件的E點(diǎn)的坐標(biāo)___________．8.如圖，△ABC≌△DCB，AC與BD相交于點(diǎn)E，若∠A=∠D=80°，∠ABC=60°，則∠BEC等于___________.一、選擇題1.（2015太原一中月考）如圖1，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，則∠ACA′的度數(shù)為（）A.20°B．30°C．35°D．40°2．（2014銅仁地區(qū)五中期末）如圖2，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，則DE的長(zhǎng)是（）A.5B.4C.3D.23.（2014黑龍江齊齊哈爾一中期末）如圖3，在△ABC中，D、E分別是邊AC、BC上的點(diǎn)，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數(shù)為（）A.15°B．20°C．25°D．30°圖1圖2圖34.（2014-2015北京市第四十一中學(xué)第一學(xué)期期中）已知：如圖，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，則AB的對(duì)應(yīng)邊是（）A．DBB．BC C．CD D．AD圖4圖55．已知：如圖，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，則AB的對(duì)應(yīng)邊是（）A．DB B．BCC．CD D．AD二、填空題6．（2014-2015北京市第四十一中學(xué)第一學(xué)期期中）如圖6，已知△ABE≌△DCE，AE＝2cm，BE＝1.5cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°圖67.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊_____，對(duì)應(yīng)角_____，這是全等三角形的重要性質(zhì)．8．如果ΔABC≌ΔDEF，則AB的對(duì)應(yīng)邊是_____，AC的對(duì)應(yīng)邊是_____，∠C的對(duì)應(yīng)角是_____，∠DEF的對(duì)應(yīng)角是_____．圖99．如圖9所示，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，則∠A＝_____，∠ABC＝_____（2）如果AC＝DB，請(qǐng)指出其他的對(duì)應(yīng)邊_____；（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，請(qǐng)指出所有的對(duì)應(yīng)邊_____，對(duì)應(yīng)角_____．圖1010．如圖10，已知△ABE≌△DCE，AE＝2cm，BE＝1.5cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．11．一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，_____變化了，但__________都沒(méi)有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形。12．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）①全等三角形的周長(zhǎng)相等②全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等③全等三角形的面積相等④面積相等的兩個(gè)三角形全等A．4 B．3 C．2 D．113．如圖13，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）A．6 B．5 C．4 D．無(wú)法確定圖13圖14圖1514．如圖14，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是對(duì)應(yīng)角，則∠EAC等于（）A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC15．如圖15，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，則∠EAC的度數(shù)為（）A．40° B．35° C．30° D．25°二、填空題16．如圖16，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC翻折180°形成的若