專題04整式的乘法與因式分解突破核心考點【知識梳理解題方法專題過關(guān)】（解析版）

專題04整式的乘法與因式分解突破核心考點【聚焦考點+題型導(dǎo)航】考點一同底數(shù)冪的乘法與逆用考點二冪的乘方運算與逆用考點三積的乘方運算與逆用考點四冪的混合運算考點五單項式乘多項式及多項式乘多項式考點六已知多項式乘積不含某項求字母的值考點七多項式乘多項式與圖形面積考點八求完全平方式中的字母系數(shù)考點九整式四則混合運算及化簡求值考點十乘法公式與幾何圖形考點十一通過對完全平方公式變形求值及求最值考點十二判斷是否是因式分解考點十三已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)考點十四因式分解考點十五因式分解的應(yīng)用【知識梳理+解題方法】一、同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.要點詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.二、冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.三、積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便.如：注意事項（1）底數(shù)可以是任意實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）同底數(shù)冪的乘法時，只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時,指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1，計算時不要遺漏.（3）冪的乘方運算時，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.（4）積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.（5）靈活地雙向應(yīng)用運算性質(zhì)，使運算更加方便、簡潔.（6）帶有負號的冪的運算，要養(yǎng)成先化簡符號的習(xí)慣.四、單項式乘單項式單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.要點詮釋：（1）單項式的乘法法則的實質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結(jié)果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.五、單項式與多項式相乘的運算法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應(yīng)注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.六、多項式與多項式相乘的運算法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)該等于兩個多項式的項數(shù)之積.多項式與多項式相乘的最后結(jié)果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.七、平方差公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.要點詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如八、完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：九、添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.要點詮釋：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.十、補充公式；；；.十一、因式分解把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.要點詮釋：（1）因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.（2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.十二、公因式多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.要點詮釋：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.十三、提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．要點詮釋：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項式各項的公因式.（3）當(dāng)多項式第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出“—”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現(xiàn)錯誤.十四、公式法——平方差公式兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.十五、公式法——完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.【專題過關(guān)+能力提升】考點一同底數(shù)冪的乘法與逆用例題1：（2022·河南平頂山·七年級期末）計算：______．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，進行運算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】此題考查同底數(shù)冪的乘法，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則并熟練計算．例題2：（2022·廣東·高州市第一附屬實驗七年級階段練習(xí)）已知，，則=____【答案】10【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的逆運算可得答案．【詳解】解：，，，故答案為：10．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法的逆運算，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的運算法則．【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖南·新化縣東方文武七年級期中）=________________．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)的乘法進行計算即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪相乘，掌握運算法則是解題關(guān)鍵．2．（2022·湖南省岳陽開發(fā)區(qū)長嶺七年級期中）計算：____________．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法來進行計算求解．【詳解】解：．答案為：．【點睛】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法的運算法則，理解同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指點數(shù)相加是解答關(guān)鍵．3．（2022·山東·北辛七年級階段練習(xí)）＝_____．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法的計算法則求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法，熟知同底數(shù)冪乘法底數(shù)不變，指數(shù)相加減是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇·江陰市青陽初級七年級階段練習(xí)）已知，的值是_______．【答案】12【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相乘的逆運算，即可求解．【詳解】解：∵，∴．故答案為：12【點睛】本題主要考查了同底數(shù)冪相乘的逆運算，熟練掌握（其中m，n為正整數(shù)）是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇·南師附中新城初中黃山路分校七年級期中）若，，則______．【答案】20【分析】根據(jù)（，是正整數(shù)）可得，再代入，計算即可．【詳解】解：，故答案為：20．【點睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．考點二冪的乘方運算與逆用例題1：（2022·湖南永州·七年級期中）計算______．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方法則求解即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查了冪的運算法則，掌握冪的乘方法則是解本題的關(guān)鍵．例題2：（2022·廣東·佛山市順德區(qū)勒流育賢實驗七年級期中）已知，，則＝（）A．24 B．36 C．48 D．12【答案】D【分析】利用冪的乘方的法則對已知條件進行整理，再利用同底數(shù)冪的乘法的法則對所求的式子進行運算即可．【詳解】解：∵，，∴，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，解答的關(guān)鍵是熟記相應(yīng)的運算法則并靈活運用．【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建·晉江市南僑八年級階段練習(xí)）當(dāng)時，則=_____【答案】64【分析】先將8改成，再用冪的乘方公式將化為，最后將代入計算即可；也可以利用求出m，代入計算．【詳解】解法一：∵，∴．解法二：∵，∴，∴．故答案為：64．【點睛】本題考查冪的乘方公式，掌握冪的乘方公式是解題的關(guān)鍵．由于數(shù)字的特殊性導(dǎo)致m的值可求，但解法一適用范圍更廣更需掌握．2．（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級一模）已知2m＝8n＝4，則m＝_____，2m+3n＝_____．【答案】

2

16【分析】先求得m，n的值，再代入代數(shù)式計算即可．【詳解】∵，，∴，∴，∴，故答案為：2；16．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法和乘方，熟練掌握運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江西撫州·七年級期中）已知：，，則______．【答案】15【分析】利用同底數(shù)冪的乘法法則的逆運算及冪的乘方的法則對式子進行整理，再代入相應(yīng)的值運算即可．【詳解】解：∵，，∴；故答案為：15．【點睛】本題主要考查冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法的逆運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．4．（2021·河北·石家莊市藁城區(qū)尚西八年級階段練習(xí)）已知，，則＝（）A．10 B．5 C．2 D．40【答案】C【分析】逆向運用同底數(shù)冪的乘法法則可得，再根據(jù)冪的乘方運算法則求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方．掌握冪的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．5．（2021·浙江·嵊州市馬寅初初級七年級期中）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪的乘方是逆運算將各數(shù)的底數(shù)變?yōu)橄嗤臄?shù)字，進而比較即可．【詳解】解：∵=962=3124，=3123，=3122，∴a>b>c，故選：A．【點睛】此題考查了冪的乘方的運算法則，熟記法則是解題的關(guān)鍵．考點三積的乘方運算與逆用例題1：（2022·湖南·測試·編輯教研五七年級期末）計算的結(jié)果是（

）A．8x6y2 B．4x6y2 C．4x5y2 D．8x5y2【答案】B【分析】根據(jù)冪的乘方、積的乘方進行運算即可．【詳解】解：．故選B．【點睛】本題主要考查了冪的乘方、積的乘方等知識點，掌握相關(guān)運算法則是解答本題的關(guān)鍵．例題2：（2021·河南·鶴壁市外國語八年級開學(xué)考試）計算：(1)已知，求的值；(2)已知n為正整數(shù)，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由積的乘方公式解題；（2）由積的乘方公式解得，再利用整體代入法解題．(1)解：．(2)原式．【點睛】本題考查積的乘方、冪的乘方等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·安徽·合肥新華實驗七年級期中）計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)積的乘方運算法則，進行計算即可解答．【詳解】解：，故選：D．【點睛】本題考查了積的乘方，熟練掌握積的乘方運算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2021·黑龍江·哈爾濱順邁八年級階段練習(xí)）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則冪的乘方與積的乘方運算法則逐一判斷即可．【詳解】解：A、，故本選項不合題意；B、，故本選項不合題意；C、，故本選項符合題意；D、，故本選項不合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方運算，熟記冪的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇·南京鐘英七年級階段練習(xí)）若（且，m、n是正整數(shù)），則．利用上面結(jié)論解決下面的問題：（1）如果，求x的值；（2）如果，求x的值；（3）若，，用含x的代數(shù)式表示y．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先,將底數(shù)都化為2，再利用同底數(shù)冪的乘除法法則計算；（2）利用積的乘方逆運算解答；（3）利用等式的性質(zhì)及冪的乘方逆運算將式子變形為，，即可得到x與y的關(guān)系式，由此得到答案．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，解得；（2）∵，∴，，，；（3）∵，，∴，，∴，∴．【點睛】此題考查整式的乘法公式：同底數(shù)冪相乘、同底數(shù)冪相除、積的乘方以及冪的乘方的計算法則，熟記法則及其逆運算是解題的關(guān)鍵．4．（2020·吉林·長春市第十七年級期中）已知，，．（1）當(dāng)，時，，．（2）當(dāng)，時，，．（3）觀察（1）和（2）的結(jié)果，可以得出結(jié)論：（n為正整數(shù)）．（4）此性質(zhì)可以用來進行積的乘方運算，反之仍然成立．如，，…．應(yīng)用上述等式，求的值．【答案】（1）-32，-32；（2）1000000，1000000；（3）；（4）-4【分析】（1）分別將，，代入題中計算即可；（2）分別將，代入題中計算即可；（3）根據(jù)（1）（2）中結(jié)論的規(guī)律解題；（4）根據(jù)（3）中結(jié)論，即將轉(zhuǎn)化成，再結(jié)合公式解題即可．【詳解】（1）當(dāng)，時，，．（2）當(dāng)，時，，．（3）（n為正整數(shù)）．

（4）【點睛】本題考查積的乘方及其逆運算，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．考點四冪的混合運算例題：（2022·安徽阜陽·八年級期末）計算:；【答案】0【分析】先計算積的乘方與冪的乘方，再計算同底數(shù)除法，然后計算整式的減法即可得．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了積的乘方與冪的乘方，再計算同底數(shù)除法，等知識點，熟練掌握各運算法則是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·上海市民辦新復(fù)興初級七年級期末）計算：．【答案】0【分析】先根據(jù)冪的乘方計算，計算同底數(shù)冪，最后合并，即可求解．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查了冪的混合運算，熟練掌握相關(guān)冪的運算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)0(2)(3)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方以及合并同類項的計算法則求解即可；（2）根據(jù)冪的乘方和同底數(shù)冪的除法計算法則求解即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法計算法則求解即可．(1)解：；(2)解：；(3)解：．【點睛】本題主要考查了冪的混合運算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．3．（2022·福建·晉江市南僑八年級階段練習(xí)）計算：(1)(2)+【答案】(1)2x4(2)6a8【分析】（1）先計算同底數(shù)冪的乘法，然后合并同類項計算即可；（2）先計算同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方及積的乘方，然后合并同類項計算即可．（1）解：原式；（2）原式．【點睛】題目主要考查整式的加減運算，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方及積的乘方，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．4．（2022·重慶市第十七年級期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)0；(2)．【分析】(1)利用同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則即可求解；(2)利用積的乘方法則、同底數(shù)冪的乘法法則即可求解．(1)解：原式=；(2)解：原式=．【點睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則、積的乘方法則，合并同類項，熟練掌握相應(yīng)的計算法則是解題的關(guān)鍵．5．（2022·全國·七年級）計算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先計算積的乘方，冪的乘方，再合并同類項即可；（2）計算同底數(shù)冪乘法，冪的乘方，積的乘方，合并同類項即可．【詳解】解：（1），=，=，=；（2），，．【點睛】本題考查冪的混合運算，掌握冪的運算法則是解題關(guān)鍵．考點五單項式乘多項式及多項式乘多項式例題1：（2022·江蘇·阜寧縣實驗初級七年級階段練習(xí)）計算的結(jié)果是________．【答案】【分析】直接利用單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，進而得出答案．【詳解】解：=故答案為：【點睛】此題主要考查了單項式乘多項式，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．例題2：（2022·遼寧·沈陽市第一二六七年級階段練習(xí)）計算：．【答案】【分析】根據(jù)多項式乘多項式的法則進行計算即可．【詳解】原式=．【點睛】本題考查多項式乘多項式，掌握多項式乘多項式的法則：先用多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所有的積相加是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建·晉江市南僑八年級階段練習(xí)）計算∶(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)0【分析】（1）直接利用單項式與多項式的乘法法則計算即可；（2）直接利用單項式與多項式的乘法法則計算即可；（3）利用整式的混合運算法則計算即可；（4）利用整式的混合運算法則計算即可；（1）（2）（3）（4）【點睛】本題考查了整式的混合運算，熟記單項式與多項式以及整式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級七年級階段練習(xí)）先化簡，再求值，其中．【答案】4m，【分析】先根據(jù)單項式乘多項式法則進行計算，再合并同類項，最后代入求出答案即可．【詳解】解：，當(dāng)時，原式＝．【點睛】本題考查了整式的化簡求值，能正確根據(jù)整式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運算順序．3．（2021·福建·上杭縣第三八年級階段練習(xí)）計算：【答案】【分析】用單項式乘多項式的法則和多項式乘多項式的法則進行計算即可．【詳解】解：【點睛】本題考查了單項式乘多項式、多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．4．（2022·福建·福州立志八年級期末）計算．【答案】【分析】先利用多項式乘以多項式的法則去掉括號，然后再合并同類項即可求解．【詳解】【點睛】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握多項式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．考點四已知多項式乘積不含某項求字母的值例題：（2022·福建·晉江市南僑八年級階段練習(xí)）如果的結(jié)果中不含x的五次項，那么m的值為（

）A．1 B．0 C．-1 D．【答案】B【分析】根據(jù)單項式乘以多項式法則計算，即可求解．【詳解】解：∵結(jié)果中不含x的五次項，∴，解得：．故選：B【點睛】本題主要考查了單項式乘以多項式法則，理解結(jié)果中不含x的五次項，即該項的系數(shù)等于0是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·福建省泉州市培元八年級期中）如果的展開式中不含項，則a的值是（

）A．5 B． C．0 D．【答案】A【分析】先利用整式的乘法展開，然后合并同類項，根據(jù)題意得出，求解即可．【詳解】解：，∵展開式中不含項，∴，解得：a=5，故選A．【點睛】題目主要考查多項式乘以多項式中不含某項求參數(shù)的問題，理解題意，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．2．（2021·廣東·惠州大亞灣區(qū)金澳實驗八年級階段練習(xí)）若x﹣m與x+3的乘積中不含x的一次項，則m的值為（）A．3 B．1 C．0 D．﹣3【答案】A【分析】直接利用多項式乘以多項式運算法則計算，再根據(jù)條件可得3﹣m＝0，再解得出答案．【詳解】解：（x﹣m）（x+3）＝+3x﹣mx﹣3m＝+（3﹣m）x﹣3m，∵乘積中不含x的一次項，∴3﹣m＝0，解得：m＝3，故選：A．【點睛】此題主要考查了多項式乘以多項式運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．3．（2022·河北·安新縣第二七年級階段練習(xí)）已知多項式A＝2x3﹣2mx2+3x﹣1，B＝﹣x3+2x2+nx+6，若A﹣B的結(jié)果中不含x2和x項，則m，n的值為（）A．m＝﹣1，n＝3 B．m＝﹣1，n＝﹣3 C．m＝1，n＝3 D．m＝1，n＝﹣3【答案】A【分析】先計算，令x2和x項的系數(shù)為0，再計算即可．【詳解】∵結(jié)果中不含x2和x項，∴=0，=0，解得：，，故選：A．【點睛】本題考查了多項式的，理解多項式的定義及正確合并同類項是解題的關(guān)鍵．4．（2022·四川·達川區(qū)金華七年級期中）在與的積中，不含有xy項，則a=_____．【答案】3【分析】先將兩多項式相乘，然后將含xy的項進行合并，然后根據(jù)乘積結(jié)果不含有xy項，即xy項系數(shù)為0，即可求出a的值．【詳解】解：(ax+3y)(x-y)==，∵與的積中，不含有xy項，∴3-a=0，∴a=3，故答案為：3．【點睛】本題考查多項式乘以多項式，解題的關(guān)鍵是熟練運用多項式乘以多項式的法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．考點七多項式乘多項式與圖形面積例題：（2022·廣東·深圳市寶安區(qū)中英公學(xué)七年級期中）如圖，操場主席臺前計劃修建一塊凹字形花壇．（單位：米）(1)用含，的整式表示花壇的面積；(2)若，，工程費為元平方米，求建花壇的總工程費為多少元？【答案】(1)花壇的面積是平方米(2)建花壇的總工程費為元【分析】（1）用大長方形的面積減去一個小長方形面積即可；（2）將a和b的值代入（1）中的結(jié)果，求出面積即可．（1）解：（1）==平方米．答：花壇的面積是平方米．（2）當(dāng)，時，===(平方米)（元）答：建花壇的總工程費為14375元．【點睛】本題主要考查了整式的混合運算，熟練掌握整式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·安徽·宿城第一初級七年級期中）如圖，一個長方形中剪下兩個大小相同的正方形（有關(guān)線段的長如圖所示）留下一個“T”型的圖形（陰影部分）(1)用含，的代數(shù)式表示“T”型圖形的面積并化簡．(2)若米，“T”型區(qū)域鋪上價格為每平方米20元的草坪，請計算草坪的造價．【答案】(1)(2)34000元【分析】（1）利用大長方形的面積減去兩個小正方形的面積可得“”型圖形的面積，再根據(jù)整式的乘法與加減法法則進行化簡即可得；（2）根據(jù)米可得米，代入（1）中的結(jié)論可得“”型圖形的面積，再根據(jù)草坪每平方米20元即可得．（1）解：“”型圖形的面積=，答：“”型圖形的面積為．（2）解：由米得：米，則“”型圖形的面積=（平方米），所以草坪的造價為（元），答：草坪的造價為34000元．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式以及合并同類項的應(yīng)用，根據(jù)圖形正確列出代數(shù)式是解題關(guān)鍵．2．（2022·浙江·余姚市舜水七年級期中）如圖，長為，寬為的大長方形被分割成小塊，除陰影部分A，B外，其余塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短一邊長為．(1)由圖可知，每個小長方形較長一邊長為________．（用含的代數(shù)式表示）(2)分別用含，的代數(shù)式表示陰影部分A，B的面積．(3)當(dāng)取何值時，陰影部分A與陰影部分的面積之差與的值無關(guān)？并求出此時陰影部分A與陰影部分的面積之差．【答案】(1)(2)(3)當(dāng)時，陰影部分與陰影部分的面積之差與的值無關(guān)；【分析】（1）由圖形可直接填空；（2）由長方形面積公式結(jié)合圖形即可解答；（3）計算出，即得出當(dāng)時，陰影部分A與陰影部分的面積之差與的值無關(guān)，求出y的值，即得出陰影部分A與陰影部分的面積之差．（1）由圖可知每個小長方形較長一邊長為．故答案為：；（2），．（3），

，

當(dāng)時，陰影部分A與陰影部分的面積之差與的值無關(guān)，解得：．∴．【點睛】本題主要考查列代數(shù)式，整式混合運算的應(yīng)用．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．3．（2022·浙江杭州·七年級期中）如圖所示，有一塊邊長為(3a+b)米和(a+2b)米的長方形土地，現(xiàn)準(zhǔn)備在這塊土地上修建一個長為(2a+b)米，寬為(a+b)米的游泳池，剩余部分修建成休息區(qū)域．(1)請用含a和b的代數(shù)式表示休息區(qū)域的面積；（結(jié)果要化簡）(2)若，，求休息區(qū)域的面積；(3)若游泳池面積和休息區(qū)域的面積相等，且，求此時游泳池的長與寬的比值．【答案】(1)平方米；(2)休息區(qū)域的面積是325平方米；(3)此時游泳池的長與寬的比值是．【分析】（1）根據(jù)圖形可知，休息區(qū)域的面積=長方形土地的面積-游泳池的面積，將數(shù)值代入計算即可；（2）將a=5，b=10代入（1）中化簡后的式子計算即可；（3）根據(jù)游泳池面積和休息區(qū)域面積相等列出方程，進而求解即可．（1）解：由題意可得，休息區(qū)域的面積是：，即休息區(qū)域的面積是：平方米；（2）解：當(dāng)，時，（平方米），即若，，則休息區(qū)域的面積是325平方米；（3）解：由題意可得，，，整理得，，∵，∴，∴，即此時游泳池的長與寬的比值是．【點睛】本題考查整式的混合運算、代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的代數(shù)式，掌握整式的混合運算法則．考點八求完全平方式中的字母系數(shù)例題：（2022·廣西·桂林市雁山七年級期中）若是完全平方式，則k的值為____________．【答案】±6【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征計算即可．【詳解】解：∵是一個完全平方式，∴k＝±23＝±6，故答案為：±6．【點睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·云南·七年級期中）若代數(shù)式是完全平方式，則k等于（

）A． B．8 C．16 D．【答案】D【分析】先根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項即可確定k的值．【詳解】解：∵，∴kx=±2×8x,解得k=±16．故選：D．【點睛】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項確定出這兩個數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江·義烏市賓王七年級期中）若多項式x2﹣4x+m是一個完全平方式，則m的值為_____．【答案】4【分析】先根據(jù)乘積二倍項確定出這兩個數(shù)是x和-2，再根據(jù)完全平方公式求解即可．【詳解】解：∵-4x=2×(-2)x，∴這兩個數(shù)是x和-2，∴．故答案為：4．【點睛】本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個完全平方式．此題解題的關(guān)鍵是利用乘積項來確定這兩個數(shù)．3．（2022·安徽·合肥市第四十五橡樹灣校區(qū)七年級期中）若是關(guān)于的完全平方式，則______．【答案】或【分析】根據(jù)完全平方式逆運用，可知，由此即可求得m的值．【詳解】解：，，，或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查的是完全平方公式的運用，解題重點是靈活運用公式，注意兩種情況．4．（2022·山東煙臺·八年級期中）關(guān)于的二次三項式是完全平方式，則的值是______________．【答案】2或0##0或2【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征解答即可．【詳解】解：∵關(guān)于的二次三項式是一個完全平方式，∴∴，∴或，故答案為：2或0．【點睛】本題考查了完全平方式的知識，屬于?？碱}型，熟知完全平方式的結(jié)構(gòu)特征，是解題關(guān)鍵．考點九乘法公式化簡運算例題1：（2022·安徽·合肥市第四十五橡樹灣校區(qū)七年級期中）下列整式乘法中，能用平方差公式簡便計算的有（

）（1）（2）（3）（4）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】根據(jù)平方差公式為兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的積，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：能用平方差公式計算的有；，則能用平方差公式簡便計算的有個．故選：B．【點睛】本題考查了平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．例題2：（2022·湖南邵陽·七年級期末）計算：【答案】【分析】首先根據(jù)完全平方公式及單項式乘以多項式法則運算，再去括號，最后合并同類項，即可求得．【詳解】解：【點睛】本題考查了完全平方公式，單項式乘以多項式法則，解本題的關(guān)鍵在注意去括號時符號的變化．完全平方公式：．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川樂山·八年級期末）化簡：【答案】【分析】根據(jù)平方差公式求解即可．【詳解】解：【點睛】此題考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式的運用．2．（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級七年級階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中x＝1，y＝2；【答案】，-15【分析】根據(jù)平方差公式即可進行化簡，再代入x，y求值即可．【詳解】解：原式===，當(dāng)時，原式===．【點睛】此題主要考查整式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟知平方差公式的運用．3．（2022·河南平頂山·七年級期末）運用整式乘法公式先化簡，再求值．其中，a＝－2，b＝1．【答案】，-15【分析】先根據(jù)平方差公式去括號，再合并同類項，然后把a、b的值代入化簡后的式子進行計算，即可解答．【詳解】解：

，當(dāng)a=-2，b＝1時，原式．【點睛】本題考查了整式的混合運算一化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式并準(zhǔn)確熟練地進行計算．4．（2022·江蘇·南京市第一泰山分校七年級階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中x=-1，y=2．【答案】，3．【分析】根據(jù)完全平方公式和平方差公式可以化簡題目中的式子，然后將x、y的值代入化簡后的式子即可解答本題．【詳解】解：，當(dāng)x=-1，y=2時，原式．【點睛】本題考查整式的混合運算-化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確整式的化簡求值的方法．5．（2021·湖南·長沙岳麓八年級階段練習(xí)）整式化簡：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】(1)首先根據(jù)完全平方公式及平方差公式、單項式乘以多項式法則進行運算，再合并同類項即可求得結(jié)果；(2)首先根據(jù)平方差公式及完全平方公式進行計算，再根據(jù)完全平方公式及合并同類項法則進行運算，即可求得結(jié)果．（1）解：（2）解：【點睛】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握和運用各運算法則是解決本題的關(guān)鍵．6．（2022·黑龍江大慶·七年級期末）先化簡，再求值：(1)，其中，；(2)，其中，．【答案】(1)原式，當(dāng)，時，原式(2)原式2ab，當(dāng)a=，b=-1時，原式1【分析】（1）先算括號內(nèi)的乘法，合并同類項，算除法，最后代入求出即可．（2）首先利用多項式除以單項式的運算法則以及平方差公式對原式進行化簡，然后去括號得到最簡式，再將，代入最簡式計算即可求解．（1）===．當(dāng)，時，原式．（2）==．當(dāng)，時，原式1．【點睛】本題考查了整式的混合運算和求值的應(yīng)用，多項式除以單項式以及平方差公式，正確根據(jù)運算法則進行化簡是解題的關(guān)鍵．考點十乘法公式與幾何圖形例題1：（2022·江西·撫州市實驗七年級階段練習(xí)）乘法公式的探究及應(yīng)用．(1)如圖1，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個矩形，如圖2，通過比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到整式乘法公式：；(2)運用你所得到的乘法公式，計算或化簡下列各題：①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．【答案】(1)（a+b）（a﹣b）＝(2)①9996②【分析】（1）根據(jù)圖1與圖2面積相等，則可列出等式即可得出答案；（2）應(yīng)用平方差公式進行計算即可．（1）解：大的正方形邊長為a，面積為，小正方形邊長為b，面積為，∵圖1陰影部分的面積為大的正方形面積減去小的正方形面積，∴圖1陰影部分面積＝，圖2陰影部分面積＝（a+b）（a﹣b），∵圖1的陰影部分與圖2面積相等，∴（a+b）（a﹣b）＝，故答案為：（a+b）（a﹣b）＝；（2）①102×98＝（100+2）（100﹣2）＝＝10000﹣4＝9996；②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）＝[（2m﹣3）+n）][（2m﹣3）﹣n]＝＝．【點睛】本題主要考查平方差的幾何背景的應(yīng)用，根據(jù)題意運用平方差公式計算是解決本題的關(guān)鍵例題2：（2021·寧夏·永寧縣回民高級七年級期中）如圖a是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪力均分成園塊小長方形，然后接圖b的形狀拼成一個正方形．(1)圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于多少？(2)求出圖b中陰影部分的面積_______．(3)觀察圖b你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：，，．(4)根據(jù)（3）圖中的等量關(guān)系，解決如下問題：若，，則_______．【答案】(1)m-n(2)或(3)(4)29【分析】（1）根據(jù)題意可得圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于長為m，寬為n的長方形的長寬之差，即可求解；（2）根據(jù)圖b中的陰影部分的正方形面積等于大正方形的面積減去4個長方形的面積或圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于m-n，即可求解；（3）由（2）寫出等量關(guān)系，即可求解；（4）根據(jù)（3）中的結(jié)論可得，再把，代入，即可求解．（1）解：（1）圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于長為m，寬為n的長方形的長寬之差，即m-n；（2）解：圖b中的陰影部分的正方形面積等于大正方形的面積減去4個長方形的面積，即；圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于m-n，所有其面積為；故答案為：或（3）解：由（2）得：；（4）解：由（3）得：當(dāng)a+b=7，ab=5時，，故答案為：29【點睛】本題考查了完全平方公式與圖形之間的關(guān)系，從幾何的圖形來解釋完全平方公式的意義，解此類題目的關(guān)鍵是正確的分析圖形，找到組成圖形的各個部分，并用面積的兩種求法作為相等關(guān)系列式子．【變式訓(xùn)練】1．（2022·吉林吉林·八年級期末）（1）如圖1，若大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，則陰影部分的面積是；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2的一個矩形，則它長為；寬為；面積為．（2）由（1）可以得到一個公式：．（3）利用你得到的公式計算：．【答案】（1），a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）＝（a+b）（a﹣b）；（3）1【分析】（1）由圖形所示，由正方形、長方形的面積公式可得此題結(jié)果；（2）由（1）結(jié)果可得等式＝（a+b）（a﹣b）；（3）由（2）結(jié)論＝（a+b）（a﹣b），可得＝1．【詳解】解：（1）由題意得，圖形中陰影部分的面積是；圖2的長為a+b，寬為a﹣b，其面積（a+b）（a﹣b）；故答案為：，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）結(jié)果可得等式＝（a+b）（a﹣b），故答案為：＝（a+b）（a﹣b）；；（3）由（2）題結(jié)果＝（a+b）（a﹣b），可得【點睛】此題考查了平方差公式幾何背景的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能用不同整式表示出圖形面積，并能運用所得結(jié)論進行計算．2．（2022·陜西渭南·七年級期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．(1)【探究】通過觀察比較圖2與圖1中的陰影部分面積，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）(2)【應(yīng)用】請應(yīng)用這個公式完成下列各題：①已知，2m＋n＝4，則2m－n的值為______；②計算：；(3)【拓展】計算：．【答案】(1)(2)①3；②(3)5050【分析】（1）將兩個圖中陰影部分面積分別表示出來，建立等式即可；（2）①利用平方差公式得出，代入求值即可；②利用平方差公式進行計算；（3）利用平方差公式將寫成（100+99）×（100-99），以此類推，然后化簡求值．（1）圖1中陰影部分面積，圖2中陰影部分面積，所以，得到乘法公式故答案為（2）解：①∵，2m＋n＝4，∴故答案為：3②=（3）=（100+99）×（100-99）+（98+97）×（98-97）+…+（4+3）×（4-3）+（2+1）×（2-1）=199+195+…+7+3=5050．【點睛】本題考查平方差公式的應(yīng)用．熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．3．（2021·浙江·嵊州市馬寅初初級七年級期中）數(shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了若干個如圖1的三種紙片，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是長為、寬為的長方形，并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．(1)觀察圖2，請你寫出下列三個代數(shù)式：，，之間的等量關(guān)系；(2)若要拼出一個面積為的矩形，則需要號卡片1張，號卡片2張，號卡片________張．(3)根據(jù)（1）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：，，求的值；②已知，求的值．【答案】(1)；(2)3；(3)①ab的值為7；②x-2020=±3【分析】（1）用兩種方法表示拼成的大正方形的面積，即可得出，，三者的關(guān)系；（2）計算（a+2b）（a+b）的結(jié)果為，因此需要A號卡片1張，B號卡片2張，C號卡片3張；（3）①根據(jù)題（1）公式計算即可；②令a=x-2020，從而得到a+1=x-2019，a-1=x-2021，代入計算即可．（1）大正方形的面積可以表示為：，或表示為：；因此有；（2）∵，∴需要A號卡片1張，B號卡片2張，C號卡片3張，故答案為：3；（3）①∵，∴25=11+2ab,∴ab=7，即ab的值為7；②令a=x-2020，∴x-2019=[x-（2020-1）]=x-2020+1=a+1，x-2021=[x-（2020+1）]=x-2020-1=a-1，∵，∴，解得．∴，∴x-2020=±3．【點睛】本題考查完全平方公式的意義和應(yīng)用，用不同的方法表示面積是得出等量關(guān)系的關(guān)鍵．4．（2022·河南·鄭州外國語經(jīng)開校區(qū)七年級階段練習(xí)）一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．(1)自主探究：如果用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積，從而發(fā)現(xiàn)一個等量關(guān)系是_____．(2)知識運用：若x﹣y=5，xy=6，則=_____．(3)知識遷移：設(shè)A=，B=x+2y﹣3，化簡的結(jié)果．(4)知識延伸：若，代數(shù)式（2021﹣m）（m﹣2022）=_____．【答案】(1)(2)49(3)(4)－4【分析】（1）陰影部分是邊長為的正方形，根據(jù)正方形的面積公式可得面積為，陰影部分也可以看作邊長為的大正方形面積減去4個長為，寬為的長方形的面積，即為，于是可得等式；（2）由（1）得，代入計算即可；（3）化簡結(jié)果為，再代入計算即可；（4）設(shè)，，則，，由可求出的值，即可得出答案．（1）解：圖2中的陰影部分是邊長為的正方形，因此面積為，圖2的陰影部分也可以看作邊長為的大正方形面積減去4個長為，寬為的長方形的面積，即為，所以有：，故答案為：；（2）由（1）得，當(dāng)，，則，故答案為：49；（3），，原式；（4）設(shè)，，則，，，，，即，故答案為：．【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，多項式乘以多項式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式變形是解決問題的前提．考點十一通過對完全平方公式變形求值及最值例題1：（2021·湖南·衡陽市第十七八年級期中）已知a﹣b＝5，ab＝3，求代數(shù)式的值．【答案】37【分析】利用完全平方公式的變形求解即可．【詳解】解：∵a﹣b＝5，ab＝3，∴，∴．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，熟知完全平方公式是解題的關(guān)鍵．例題2：（2022·河北承德·八年級期末）閱讀下面的材料并解答后面的問題：在學(xué)了整式的乘法公式后，小明問：能求出的最小值嗎？如果能，其最小值是多少？小麗：能．求解過程如下：因為，因為，所以，即的最小值是3．問題：(1)小麗的求解過程正確嗎？(2)你能否求出的最小值？如果能，寫出你的求解過程；(3)求的最大值．【答案】(1)小麗的求解過程正確；(2)的最小值為，過程見解析(3)的最大值為【分析】（1）將式子的一部分利用完全平方公式，寫成平方加上一個數(shù)的形式，根據(jù)平方的非負性即可求解；（2）根據(jù)（1）的方法即可求解；（3）根據(jù)（1）的方法即可求解．（1）小麗的求解過程正確；（2）我能出的最小值為，，，的最小值為；（3）解：∵，∴的最大值為7．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式，平方的非負性，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東·萬杰朝陽七年級階段練習(xí)）已知a+b=5，ab=4，(1)求a2+b2的值(2)求（a-b）2的值【答案】(1)17(2)9【分析】（1）直接利用完全平方公式將原式變形進而得出答案；（2）直接利用完全平方公式將原式變形進而得出答案．（1）解：∵，，∴，∴，∴；（2）∵，，∴．【點睛】此題主要考查了完全平方公式，正確應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵．2．（2021·黑龍江·大慶市大同區(qū)同祥七年級期中）閱讀：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．已知a+b＝6，ab＝2，請你根據(jù)上述解題思路求下列各式的值．(1)a2+b2；(2)a2﹣ab+b2．【答案】(1)32(2)30【分析】（1）結(jié)合題意，，代入即可得出答案；（2）由（1）可知，，ab＝2，代入即可得出答案．（1）解：∵a+b＝6，ab＝2，∴；（2）解：由（1）可知，，ab＝2，∴．【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，結(jié)合條件對完全平方公式變形是本題的關(guān)鍵．3．（2022·陜西省西咸新區(qū)秦漢七年級階段練習(xí)）我們知道，所以代數(shù)式的最小值為學(xué)習(xí)了多項式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用來求一些多項式的最小值．例如，求的最小值問題．解：，又，，的最小值為．請應(yīng)用上述思想方法，解決下列問題：(1)探究：____________；(2)求的最小值．(3)比較代數(shù)式：與的大?。敬鸢浮?1)-2；1(2)-2(3)【分析】（1）根據(jù)完全平方式的特征求解．（2）利用完全平方公式變形，再求最值．（3）作差后利用完全平方公式變形，再比較大小．（1）解：﹣4x+5＝﹣4x+4+1＝．故答案為：﹣2，1．（2）2+4x＝2（+2x+1﹣1）＝，∵≥0，∴≥﹣2，∴當(dāng)x+1＝0即x＝﹣1時，原式有最小值＝0﹣2＝﹣2．即的最小值是﹣2．（3）－＝﹣2x+1+1＝，∵≥0，∴+1＞0，∴＞2x﹣3．【點睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，正確變形，充分利用平方的非負性是求解本題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇·靖江市實驗七年級期中）上數(shù)學(xué)課時，王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運用后，要求同學(xué)們運用所學(xué)知識解答：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣2時，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴當(dāng)（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題(1)知識再現(xiàn)：當(dāng)x＝____時，代數(shù)式的最小值是_____；(2)知識運用：若，當(dāng)x＝____時，y有最____值（填“大”或“小”），這個值是____；(3)知識拓展：若，求y+2x的最小值．【答案】(1)－3，－21；(2)3，大，6；(3)【分析】（1）利用完全平方公式對代數(shù)式變形，然后根據(jù)偶次方的非負性可得答案；（2）利用完全平方公式對變形，然后根據(jù)可得答案；（3）移項可得，利用完全平方公式對變形，然后根據(jù)偶次方的非負性可得答案．（1）解：，∵，∴時，代數(shù)式的值最小，最小值為－21，即當(dāng)x＝－3時，代數(shù)式可取最小值－21，故答案為：－3，－21；（2），∵，∴當(dāng)時，代數(shù)式的值最大，最大值為6，即當(dāng)x＝3時，y有最大值6．故答案為：3，大，6；（3）∵，∴，∵，，∴當(dāng)時，的值最小，最小值為，即當(dāng)x＝時，y+2x的最小值為．【點睛】本題考查了偶次方的非負性，完全平方公式的應(yīng)用，靈活運用完全平方公式進行變形是解答本題的關(guān)鍵．考點十二判斷是否是因式分解例題：（2021·福建省泉州市培元八年級期中）下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，判斷求解即可．【詳解】解：A、右邊不是積的形式，故本選項錯誤，不符合題意；B、右邊不是積的形式，故本選項錯誤，不符合題意；C、，故本項錯誤，不符合題意；D、是因式分解，故本選項正確，符合題意．故選：D．【點睛】此題考查因式分解的定義．解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建·尤溪縣坂面八年級期末）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1C．x+2＝x（1+） D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）【答案】D【分析】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，依據(jù)分解因式的定義進行判斷即可．【詳解】解：A．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；B．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；C．等式的右邊不是幾個整式的積的形式，即從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；D．從左到右的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了因式分解的定義，解題時注意因式分解與整式乘法是相反的過程，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解是兩個或幾個因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項式的表現(xiàn)形式．2．（2022·江蘇宿遷·七年級期末）下列等式從左到右的變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，可得答案．【詳解】解：A．是因式分解，運用了提公因式法，符合題意；B．是整式的乘法運算，不符合題意；C．不是因式分解，右邊不是乘積的形式，不符合題意，D．左邊是單項式，不是因式分解，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了因式分解的定義，把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式．掌握因式分解的定義是解題的關(guān)鍵．考點十三已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)例題：（2021·河北·石家莊市藁城區(qū)尚西八年級階段練習(xí)）把多項式因式分解得(x+3)(x+2)，則m＝_____．【答案】5【分析】把（x+3）（x+2）展開，利用多項式相等的條件即可求出m的值．【詳解】解：∵＝（x+3）（x+2）＝，∴m＝5，故答案為：5．【點睛】本題考查多項式乘多項式，熟練掌握多項式乘多項式的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河北保定·八年級期末）若多項式因式分解為，則________．【答案】3【分析】先根據(jù)多項式乘以多項式法則進行計算，再根據(jù)已知條件求出a即可．【詳解】解：,∵多項式因式分解為，∴a＝3，故答案為：3．【點睛】本題考查了多項式乘法和因式分解，熟知因式分解和整式乘法互為逆運算是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江舟山·七年級期末）已知二次三項式分解后有一個因式為，則______．【答案】6【分析】設(shè)另一個因式為（x+n），根據(jù)多項式乘多項式運算法則可得二元一次方程組，求解即可．【詳解】解：設(shè)另一個因式為（x+n），得x2-5x+m=（x-2）（x+n），則x2-5x+m=x2+（n-2）x-2n．∴，解得．∴m的值為6．故答案為：6．【點睛】本題考查了因式分解，多項式乘多項式，解二元一次方程組等知識點，能得出關(guān)于m、n的方程組是解此題的關(guān)鍵．考點十四因式分解例題1：（2022·黑龍江大慶·八年級期末）因式分解：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式mn，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可；（2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可．（1）解：；（2）解：．【點睛】此題考查因式分解．熟練掌握因式分解的步驟和方法是關(guān)鍵．注意因式分解一定要分解到每一個因式不能再分解為止．例題2：（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）因式分解：【答案】【分析】首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可．【詳解】解：．【點睛】此題考查了因式分解，熟練掌握提取公因式和十字相乘法是本題的關(guān)鍵．例題3：（2022·廣東·南山實驗教育集團八年級期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多項式只用上述方法就無法分解，如，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了．過程為：．這種分解因式的方法叫分組分解法．請利用這種方法分解因式．【答案】【分析】把前三項分為一組，最后一項單獨作為一組，然后利用平方差公式進行分解即可解答．【詳解】解：．【點睛】本題考查了因式分解分組分解法，公因式，因式分解運用公式法，合理進行分組是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇宿遷·七年級期末）因式分解(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）提取公因數(shù)后利用平方差公式分解因式；（2）先用平方差公式，再結(jié)合完全平方公式分解因式；（1）解：原式=（2）原式=【點睛】本題主要考查平方差公式和完全平方公式的靈活運用，熟記公式是解題關(guān)鍵．2．（2021·河南·鶴壁市淇濱八年級階段練習(xí)）分解因式：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可；（3）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．（1）解：．（2）解：．（3）解：．【點睛】本題主要考查了分解因式，熟練掌握平方差公式和完全平方公式，是解題的關(guān)