2021屆“超級(jí)全能生”高三全國(guó)卷地區(qū)3月聯(lián)考試題（甲卷）數(shù)學(xué)（理）試題【解析版】

2021屆“超級(jí)全能生”高三全國(guó)卷地區(qū)3月聯(lián)考試題(甲

卷)數(shù)學(xué)(理)試題【解析版】

一、單選題

1.已知集合4={也無2-7X-4W0},5=+舊<3},則AD8=()

A.(—2,3)B.(—2,3]C.卜g,2)D.―5[

【答案】D

【分析】先解不等式得到集合4、B,再利用集合的數(shù)軸表示求得4nB.

【詳解】由2_?一7%—440，即(2了+1)(無一4)40,得一3?%44,集合4=-1,4

由兇<3得/<9,即—3<x<3,集合8=(-3,3),

由數(shù)軸表示可得，408=—；,3).

故選：D.

【點(diǎn)睛】一元二次不等式求解要注意不等號(hào)方向及解集端點(diǎn)驗(yàn)證，以避免出錯(cuò)；數(shù)集運(yùn)

算借助數(shù)軸表示更為直觀.

2.復(fù)數(shù)z滿足z+限則|z|=（）

A.5B.2Gc.y/5D.2

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法以及復(fù)數(shù)的乘方化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得|z|.

一6+j_便+，（1+后）_G+4i+舟

則

?1-新一（1一"）0+血廠4

故選：D.

3.已知a=2喝2,0=2喝2,c=（；），則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<h<aD.c<a<h

【答案】B

【分析】由換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷大小關(guān)系.

【詳解】根據(jù)換底公式10g32=：j—log52=-―因?yàn)閗）g,5>log,3>l,

log23log,5''

所以0<logs2<log32<1,故i<2幅2<2幅2<2.

（1

又c=一=2''>2'=2.

所以Z?<a<c

故選：B.

4.二項(xiàng)式［五―a］的展開式中x的系數(shù)為（）

A.-15B.-3C.3D.15

【答案】A

【分析】先寫二項(xiàng)展開式中第什1項(xiàng)的通項(xiàng)公式I”=（_3）'C"沫，再令士產(chǎn)=1解

出廠，代入通項(xiàng)公式求系數(shù)即可.

【詳解】由題意知，二項(xiàng)展開式中第什1項(xiàng)的通項(xiàng)公式

5-3r

(-3)「&丁，r=0,1,2,3,4,5.

5—3r.

令A(yù)——=1得〃=1,

2

所以X的系數(shù)為(―3)LC；=-15.

故選：A.

0X_1

5.函數(shù)/（無）=（丁一3,.三11的圖象大致是（）

【答案】A

【分析】先根據(jù)奇偶性的定義可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)，再利用/(2)>0即可得出.

【詳解】由題知/(x)=(？-3。的定義域?yàn)?7,內(nèi)).

x

因?yàn)閒(-X)=(一萬3+3龍).Je

7+1=/(工)?

所以/(x)是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除選項(xiàng)B；

2.\

又/(2)=2乂e二一＞0,故排除選項(xiàng)C,D.

e+1

故選：A.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；

(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

6.曲線y+1(x20)的一條切線的斜率為1,則該切線的方程為()

B.y=xC.y=x+lD.y=x+2

【答案】C

【分析】由給定函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合斜率值，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出切線方程.

,cosx?er-sinx?excosx-sinx

【詳解】由題得)'=3>設(shè)切點(diǎn)為(毛,%)，

e

則y'lL=cos-%.%sin.%，而拓=l(x2o),則e演=cosx0-sinx0,

令/(x)=ex-cosx+sinx,貝!]f'(x)=ex+sinx+cosx=ex+41sin(x+—),

4

0<x<l時(shí)，f'(x)>0,而應(yīng)1時(shí)，ex>e,sinx+cosx>-V2,f\x)>0,

Vx>0"'(x)>0,1x)在［0,e)上單調(diào)遞增，則/(%)>/(0)=0,

所以方程"。=cos%—sin/只有一個(gè)實(shí)根X。=0,代入原函數(shù)得為=*+1=1，

e

故切點(diǎn)為(0,1)切線斜率為1,所以切線方程為y=x+l.

故選：C.

【點(diǎn)睛】求超越方程的零點(diǎn)，一般是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，借助觀察比對(duì)的思路

解決.

7.某省今年開始實(shí)行新高考改革跟以往高考最大的不同就是取消了文理分科，除了語

文、數(shù)學(xué)、外語三門科目必選外，再從物理、化學(xué)、生物、政治、地理、歷史這6個(gè)科

目中任選3門作為選考科目，甲和乙分別從6科中任選3科，若他倆所選科目都有物

理.其余2科均不同，則甲不選歷史，且乙不選化學(xué)的概率是()

33279

A.------B.-----C.------D.-----

200100400100

【答案】B

【分析】古典概型，利用P='求概率，利用組合分別計(jì)算出〃、，小即可求解.

n

【詳解】從6科中任選3科共C：=2()種不同的方案，兩人分別從6科中任選3科，共

有C；xC；=400種不同的方案.

因?yàn)樗麄兌歼x了物理，其余2科又不同，所以對(duì)甲是否選化學(xué)分成兩類討論：

第1類甲選化學(xué)，甲只需再從生物、地理、政治3門中選1門，有C；=3種方法，乙從

剩余3門中選2門，有=3種方法，所以一共有9種選法；

第2類甲不選化學(xué)，甲又不選歷史，所以他只能從生物、政治、地理3門中選2門，有

2=3種方法，乙只能選剩下的2門，有1種方法，此時(shí)一共有3種選法.

123

綜上所知，滿足要求的選法共有12種，所以所求事件的概率尸=——.

400100

故選：B.

【點(diǎn)睛】利用古典概型的概率公式尸=,m求概率時(shí)，其中的〃、“可以用列舉出來，也

n

可以利用排列組合、計(jì)數(shù)原理求出來.

8.如圖所示的程序輸出的結(jié)果為——，則判斷框中應(yīng)填（）

1023

A.z>10?B.z<10?C.z>9?D.Z>11?

【答案】A

【分析】按照程序框圖運(yùn)行程序，利用裂項(xiàng)相消法求和，可得第〃次循環(huán)

5=1-上^，再代入解方程即可判斷;

2向一1

22

【詳解】解：輸入，=1，5=0,則第1次循環(huán)S=0+——=—,i=l+l=2,繼續(xù)

1x33

循環(huán);

第2次循環(huán)5=心-+/-=1一1+1一,=9,,=2+1=3,繼續(xù)循環(huán)；

1x33x73377

*、-生丑0248,1111114.c,“，皿

第3次循環(huán)S=----1-----1-----=1---1------1------=—,i=3+1=4,繼

1x33x77x1533771515

續(xù)循環(huán),

由此推出第〃次循環(huán)S=l-」+!-4+-一+一一

3372"-1

1J022

令1一一-；—=——，解得〃=9,此時(shí)i=9+l=l(),滿足條件，退出循環(huán)，所以判

2"+i_i1023

斷框中應(yīng)填“i210?”,

故選：A.

9.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S”滿足2S,,一叫,=3〃(“eN)且S3=15,貝！|九=

()

A.10()B.110C.120D.13()

【答案】C

【分析】利用4=5“一S,I判斷出｛可｝為等差數(shù)列，求出公差和首項(xiàng)，直接求出

【詳解】對(duì)于2S?-nan=3?(neN*)：

當(dāng)〃=1時(shí)，2S]-q=3,解得4=3；

2s“一〃。"=3〃①.又當(dāng)〃22時(shí)，2sI—(〃一l)a,I=3(〃一l)②，所以①一②得

(〃一l)anT-(〃-2)a.=3③，當(dāng)〃N3時(shí),(n-2)an_2-(n-3)an_,=3

所以④一③得(?-1)。,一一(〃-2)a“=(〃-2)a?_2-(n-3)(z?_l,

可得2a,i=4+a“_2,所以數(shù)列｛凡｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為因?yàn)?/p>

S3=3%+3d=9+3d=15,解得d=2.又6=3,且易得出=5,%=7，所以

an=2n+l,故50=10x3+，"二x2=120.

故選：C.

【點(diǎn)睛】(1)證明等差(比)數(shù)列的方法：定義法和等差(比)中項(xiàng)法；

(2)數(shù)列求和的方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法.

10.筒車是我們古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用

圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖所示，已知筒車的半徑為4m,筒車轉(zhuǎn)輪的中心。到

水面的距離為2m,筒車沿逆時(shí)針方向以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，規(guī)定：盛水筒/對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)尸從水中浮現(xiàn)(即凡時(shí)的位置)時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，且以水輪的圓心。為坐標(biāo)原點(diǎn),

過點(diǎn)。的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,設(shè)盛水筒M從點(diǎn)外運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P

時(shí)經(jīng)過的時(shí)間為f(單位：s),且此時(shí)點(diǎn)p距離水面的高度為〃(單位：米)，筒車經(jīng)

過6s第一次到達(dá)最高點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）

A.當(dāng)￡=16s時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)匕重合

B.當(dāng)fe[51,65]時(shí),〃一直在增大

C.當(dāng)fw（O,5O）時(shí)，盛水筒有5次經(jīng)過水平面

D.當(dāng)[=50時(shí)，點(diǎn)P在最低點(diǎn)

【答案】c

【分析】由題意，設(shè)N《Qx=e（一易知sine=-3,從而求得。，由“

TT

從點(diǎn)兄運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)經(jīng)過的時(shí)間為，（單位：S）,得到NxOP=a--,再由經(jīng)過6s

6

TTTT

第一次到達(dá)最高點(diǎn)，令6。--二一求得函數(shù)解析式再逐項(xiàng)判斷.

62

【詳解】設(shè)/43=9（一、<0<0）,依題意sin°=-；.又—擻<夕<0,所以

jrjr（兀、

（p=一—.又AxOP=cot一一,圓。的半徑為4,所以P點(diǎn)滿足y=4sin初一二,

6616J

TTTTJT\7171\

當(dāng)，=6時(shí)，6G---=—,解得G=—,所以y=4sin不，一二，故

629\96）

（兀乃、27r=1Q

/z=4sin--Z--+2.該函數(shù)最小正周期為兀~,所以當(dāng)，=18s時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)

196J-

4重合，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

TTTTTTTC

令2k兀一±-t-士&2k兀+以也eZ）,解得18Z—3W/W18k+6/eZ）,當(dāng)

2962

%=3時(shí)，51<r<60,又因?yàn)閇51,65]0[51,60],所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

令〃=45皿仔”一看）+2=0,即sinK"-?｝一g,所以

TTTTTTTTTT/TT

一t一一=2k7T一一（ZEZ）或一?/一一二2攵?+——（keZ）,解得％=184或

966966

f=18Z+12（ZeZ）.又te（O,5O）,所以f可以取的值為12,18,30,36,48,

此時(shí)盛水筒有5次經(jīng)過水平面，選項(xiàng)C正確；

（jr冗\(yùn)977r

當(dāng)才=50時(shí):/2=4sin-x50--+2=4sin--+2^-2,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

196）18

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.討論三角函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)先把函數(shù)式化成y=Asin@x+p）3＞0）的

形式.

2TC

2.函數(shù)丁=4$畝（0）X+9）和y=Acos（①x+p）的最小正周期為/二］一F,y=lan（G%+9）的

最小正周期為丁=時(shí).

3.對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、對(duì)稱性、最值等）可以通過換元的方法令r

=cox+（p,將其轉(zhuǎn)化為研究y=sinI的性質(zhì).

22

11.已知點(diǎn)月、乃是橢圓與+*=1（。＞。＞。）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)/，是橢圓上位于第

一象限內(nèi)的一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P與△P66的內(nèi)切圓圓心/的直線交x軸于點(diǎn)。，且

可=2匝，則該橢圓的離心率為（）

【答案】A

S4PF\Q_四=固

【分析】由題意可知PQ為/6尸工的角平分線，推導(dǎo)出可

S*Q|P可同

得出\P品I\=|能P用‘品\PI\|「居|'利用比例關(guān)系可得出\P局I\二a

再結(jié)合可=2匝可

求得橢圓的離心率的值.

【詳解】如圖，連接陰、IF2,/是百用的內(nèi)心，可得陰、分別是NP6E和

NPF再的角平分線,

由于經(jīng)過點(diǎn)P與的內(nèi)切圓圓心/的直線交X軸于點(diǎn)。,

則PQ為6的角平分線，則。到直線P6、尸鳥的距離相等，

SAPF'Q=四=固后悵可/P"」P用\PI\JP^\

同理可得同一廂T同一西'

SgQ歸周\QF2\

由比例關(guān)系性質(zhì)可知回=但生闿=皿四一2=

由比例關(guān)M可知閣m+代0閨同

2cc

一一c|/Q|1

又因?yàn)槭?=2/。，所以橢圓的離心率0=—=焉=7，

上a\PI\2

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

(1)定義法：通過已知條件列出方程組，求得a、C的值，根據(jù)離心率的定義求解離

心率e的值；

(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于。、。的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解;

(3)特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.

ex

"一e(x'D是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù),

12.已知函數(shù)/(x)=〈

ax2+8x-6(x<1)

g(x)=xi(alnx+l)+x'-e,當(dāng)xNl時(shí)，/(x)Ng(x)恒成立，則。的取值范圍是

()

A.[—4,0)B.[-4,-2]C.[-4,—c]D.[―e,—2]

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)/(X)是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則每一段都為增函數(shù)，且％=1

的右側(cè)的函數(shù)值不小于左側(cè)函數(shù)值求得“的范圍，再根據(jù)xNl時(shí)，/(x)Ng(x)恒成

立，轉(zhuǎn)化為4111%4/<1-一%—1恒成立求解.

【詳解】令2a)=C-e,則/(x)=e'(x「)20,所以z(x)在[1,+8)上遞增,

因?yàn)楹瘮?shù)/(*)=｛三一式*'1)是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

ax2+8x-6(x<l)

a<Q

4

所以｛---21,

a

a+2<0

解得T<a<—2.

又當(dāng)時(shí)，/(x)Ng。)恒成立，

即----e>xe~}(6zlnx+l)4-x'-e,即〃111%〈1一2"—%—1，

x

當(dāng)x=l時(shí)，e-2N0,顯然成立；

x，/x][,一?"x]e-—X]

當(dāng)尢>1時(shí)，化簡(jiǎn)可得

InxInxInx

令〃(尤)=ex-x+1,則"(x)=e"-1,當(dāng)x>0時(shí)，/(%)>0,當(dāng)xv0時(shí)，/(%)v0,

所以當(dāng)x=0時(shí)，/i(x)取得最小值0,所以〃(x)=e-x+l>。，即e一％+1，

x-\nx——1x—e[nx+]—x—1

x

所以￡------->=-e,當(dāng)且僅當(dāng)x—elnx=0,

InxInx

即x=e時(shí)等號(hào)成立，所以。4―e.

綜上可知TWa?-e.

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒(能)成立問題的解法：

若/(龍)在區(qū)間D上有最值，則

(1)恒成立：Vxe￡),/(%)>0=/(%)“而>0；Vxe￡),/(x)<0o/(x)ma'<0；

⑵能成立：3xeD,/(x)>0<=>/(x)mix>0；3xeD,/(x)<0?>/(-^)min<0.

若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：a>/(x)(或a</(x)),則

(1)恒成立：a>/(x)oa>/(x)皿；a<f(x)^a<f(x\y.n；

(2)能成立：a>/(x)<=>iz>/(x)m.n；a</(x)oa</(x)1rax.

二、填空題

13.已知向量1=(1,1),5=則|2三+3匕=.

【答案】V26

【分析】直接利用坐標(biāo)運(yùn)算求出21+3日，再求模.

【詳解】???5=(1/)，瓦=(一1,1),

2G+35=(2,2)+(-3,3)=(-1,5),

.?.忸+3同=后.

故答案為：V26.

14.已知等比數(shù)列｛4｝的公比4=2,前〃項(xiàng)積為T.，若7；=白，則與=.

【答案】1

【分析】根據(jù)［=+，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得出，進(jìn)而求得處，然后由求

解

【詳解】因?yàn)椤?%?%?/=W=，

解得%=1.

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得%=4/=：x23=1,

O

所以《=%a203a4a5a6070noi)=(ala9)?(a2a8)???(%4)?%=a；=1.

故答案為：1

22

15.已知的，工分別是雙曲線C：I—與=1(a>0,Z?>0)的左、右焦點(diǎn)，過4

a2b~

的直線/與雙曲線的右支交于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P,若為耳的重心，

則該雙曲線的離心率為.

1+小

【答案】

2

【分析】先由為△耳P6的重心，求出P("a),代入得到關(guān)于abc的齊次式,

求出離心率.

b_m+c-c

aa

【詳解】設(shè)p(〃〃)，6(-c,o),￡(c,o),則由重心坐標(biāo)公式可得:〃+：+0解

3:-3-

m=b

得4

n=a

.,.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為伍,a).

:點(diǎn)P在曲線C上，

二M■一勺=1，b4-a4~a2b2■

a2b2

*?*€——(e>1),I.c=ea,

a

CT+h2=c2=e2a2，

：.b2=(e2-l)a2,

A(e2-l)2-l=e2-l,

.-./-3e2+l=0.解得e?=過二5或e2=三正(舍),

22

.1+V5

??e=-------.

2

故答案為：上芭

2

【點(diǎn)睛】求橢圓(雙曲線)離心率的一般思路：根據(jù)題目的條件，找到a、氏c?的關(guān)系,

消去6,構(gòu)造離心率e的方程或(不等式)即可求出離心率.

16.如圖圓錐內(nèi)的球。與圓錐的側(cè)面與底面都相切，且球的半徑為1,則圓錐側(cè)面積的

最小值為.

A

【答案】(3+2揚(yáng)萬

【分析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為X,SO=y,根據(jù)題意得到一=工二，而圓錐的側(cè)

y-1

M+(y+l)2轉(zhuǎn)化為4郎+篝，最后利用換元

面積S-7T-X-SA-7TX

y-i

法求解最小值即可.

【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為x,SO=y,

設(shè)球與側(cè)面相切于點(diǎn)C,在用A5co中，SC=[y2T

COsc

因?yàn)锳S?AS。小則.=的

即LJ)J,所以

xy+iy-i

在MASAO]中，SA=7x2+(y+l)2=y+i

+(y+i)一，

故圓錐的側(cè)面積S=萬?x?SA=萬/吐+(y+1)?

\y-i

3

y+iy+ly+l,,(y+l)2](y+1)

=??」/+(y+l)2=71J~7~r+(y+l)2—71

(y—1)2

令》一1=，，/〉o,則y+l=/+2,

(￡+2)2](/+2)3j+34(3+2揚(yáng)萬

故S=/

271/+

2

當(dāng)且僅當(dāng)「=—,即「=夜，y=0+l時(shí)，取等號(hào)，所以圓錐側(cè)面積S的最小值為

(3+2揚(yáng)乃.

【一題多解】

解法一：設(shè)NASQ|=e,在MA5co中,

so=-^~,sc=—.

sin0tan8

因?yàn)锳SCO?ASO|A,

1

COSC1mnf)

則=即777=*,

01ASO、0]A1?]

sin。

ci八“sinO+1CAsinO+1

所以?A=---------,SA=-----------------

cos。sin夕cos。

于是圓錐的側(cè)面積

sin6+1sinO+1(sin6+1)?sin6+1

S=;rQ]A.SA=萬?----------------=7T-------------------=71------------------------

cos。sincos。sin^-cos~0sin^-(1-sin0)

令sin6+l=/,則sin6=/-l(l<fv2),則

S=7T=(3+2揚(yáng)萬

(1)(2T)

2

當(dāng)且僅當(dāng)f=：,即「=夜時(shí)取等號(hào)，所以圓錐側(cè)面積S的最小值為(3+2&)乃.

解法二：設(shè)S0=〃，AC\=BOi=r.

ASOC~ASAO,,且OC=OQ=1,

.PCAO,

"~SO~~SA

1_r

即片1+(用)2，

：〃

/.h,r=Jgr2-+---(h--+--l-)72，廣2=--+1-，

Yn-1

圓錐的側(cè)面積

S=分力/+(/z+l)2-Tir-hr-兀戶h=7ih?:士；=〃[萬一1++3j>%(20+3)

當(dāng)且僅當(dāng)h=6+l時(shí)等號(hào)成立，故圓錐側(cè)面積S的最小值為(3+28)萬.

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的內(nèi)切球、圓錐中相關(guān)量的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力、空間想象

能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象核心素養(yǎng).

三、解答題

17.已知等腰AABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,b=c,。是AC的

中點(diǎn).

(1)若cosNBDC=也,sin/A5O=巫，CO=1,求AABC的面積S；

48

(2)若AABC的面積S等于2,求BO的最小值.

【答案】(1)—；(2)6

2

【分析】(1)利用NA=N6OC—NA8O和三角恒等變換，求得sinA,再利用三角

形的面積公式即可求解：

(2)利用三角形的面積公式建立AB與sinA的關(guān)系，再利用余弦定理表示出BD，最

后利用輔助角公式即可求解.

【詳解】解：(1)在AABO中，ZA=ABDC-ZABD.

由cosNBOC="sinZABD=-

48

得sin/8OC=巫，cosNABO=述,

48

所以sinA=sin(ZBDC-/ABD)

=sinNBDC,cosZABD-cosZBDCsinZABD

71457272714幣

---x---------x----=---

48484

因?yàn)锳6=2￡>C=2,所以三角形ABC的面積

S=-/1B^CsinA=-x2x2x—=—

2242

11,

(2)S=-AB-AC-sinA=-sinA=

22

,4

所以G=——，

sinA

所以4O2=(_LAB]=_1_

(2JsinA

在AABD中,

由余弦定理得

BD1=AB-+AD2-2AB-40cosA=+———4c°sA5-4cosA

sinAsinAsinAsinA

4

即BD2sinA+4cosA=\JBD4+\6sin(A+0)=5、其中tan夕=

又sin(A+(p)=/:<1,

yJBD4+i6

即JB￡>4+1625,

解得B。2，所以B￡＞的最小值為乖）.

【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理及三角形的面積公式、三角恒等變換，考查運(yùn)算求解能力,

考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

18.如圖，在四棱錐七一ABC。中，ADYBE,AD//BC,BC^2AD,EA=AB,

BC=2,AC=2叵,ZACB=45°.

（1）證明；平面BCE_L平面ABE；

（2）若E4LCZ）,點(diǎn)F在EC上,且即△反,求二面角A——。的大小.

2

【答案】（1）證明見解析；（2）

【分析】（1）利用已知條件及勾股定理的逆定理證得BC_L平面A3E,再利用面面垂直

的判定定理即可得證；

（2）由（1）易得平面ABCO,建立合適的空間直角坐標(biāo)系，并分別求得平面ABF

和平面BDF的一個(gè)法向量即可利用向量法求解二面角的大小.

【詳解】(1)因?yàn)锳D//BC,所以BC工BE,

在AA6c中，由余弦定理得：

AB=y/AC2+BC2-2AC-BC-cosZACB

=J(2揚(yáng)2+22—2x275x2x等=2，

因?yàn)锳B2+BC2=AC2,所以BC_LAB,

又ABCBE=B,所以3CJ_平面ABE,

又6Cu平面BCE,所以平面BCEJ?平面43E；

(2)由(1)可知E4J_BC,

又EA上CD,BCcCD=C,

所以EAL平面A8QD,

故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，ABAE所在直線分別為x，＞，z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

則40,0,0),8(0,2,0),0(1,0,0),C(2,2,0),E(0,0,2),

AB=(0,2,0),DB=(-1,2,0),EC=(2,2,-2),

因?yàn)榉?■!■或，

2

所以點(diǎn)F(LU),而=(1,一1,1),

設(shè)平面ABF的法向量為機(jī)=(x,y,z),

m-AB=02y=0

則《即《

m-BF=0x-y+z=0

令z=l,則x=—1,故加=(一1,0,1)，

同理，設(shè)平面BD尸的法向量為］=(x',y',z'),

易得1=(2,1,-1),

m-n

所以cos〈加,〃〉=

|/n|-|n|V2xy/62，

易知二面角A—3下一D為銳角,

7T

所以二面角A—斯一。的大小為三.

6

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用向量法求二面角的步驟：

1.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別設(shè)出兩個(gè)平面的法向量，，=（X，M，zj,

々=（々，乂，Z2）:

2.求出平面內(nèi)線段所在直線的向量式（每個(gè)平面求出兩個(gè)向量）；

3.利用法向量垂直平面，即垂直平面內(nèi)所有直線，建立方程組求解可得法向量，然后根

據(jù)向量夾角公式計(jì)算二面角的余弦值即可.

19.已知拋物線。：>2=2內(nèi)（〃>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（2,l）是拋物線內(nèi)一點(diǎn)，若

該拋物線上存在點(diǎn)￡,使得+有最小值3.

（I）求拋物線。的方程；

（II）設(shè)直線/：2x—y+4=0,點(diǎn)3是/與）'軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作與/平行的真線4，

過點(diǎn)A的動(dòng)直線12與拋物線C相交于P,Q兩盤，直線PB,QB分別交直線《于點(diǎn)M,

N,證明：|AM|=|4V|.

【答案】（I）y2=4x；（II）證明見解析.

【分析】（I）利用拋物線定義得|瓦1=|叫，其中點(diǎn)。為點(diǎn)E在準(zhǔn)線上的射影，再

根據(jù)拋物線定義得出|AE|+|E￡>|的最小值的表達(dá)式，從而求出。的值，即可求解；

（II）由已知條件可求出直線4的方程，再設(shè)出直線4的方程并代入拋物線。中化簡(jiǎn)求

出P,。兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而設(shè)出直線依，并與直線4聯(lián)立求出XM，同理

可得XN，從而可得山+%的表達(dá)式，化簡(jiǎn)可得XM+XN=2XA,即可得證\AM\=|AN|.

【詳解】（I）如圖，過點(diǎn)E作拋物線C準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)。.

根據(jù)拋物線定義得|石月=|￡力，

于是|隹|+|￡目=|因+|即，

顯然當(dāng)A,E，。三點(diǎn)共線時(shí)，|AE|+|即有最小值2+日，

所以2+3=3,解得〃=2,

2

所以拋物線。的方程為V=4x.

(H)證明：直線/:2x—y+4=0,令x=0,得y=4,

所以點(diǎn)3(0,4).

因?yàn)橹本€4平行于直線/：2x-y+4=0,

且過點(diǎn)4(2,1),

所以直線4：2x_y_3=0.

設(shè)直線12：工一2=1y-1)并代入拋物線。的方程消去》得產(chǎn)一旬，+4，-8=0,

△=16(*一/+2)>0.

設(shè)點(diǎn)P&,y),Q(X2，y2),

由韋達(dá)定理得X+%=今，yt-y2=4/-8,

V.—4

易得直線=—X+4,

玉

v.—4

直線。=---x+4.

無2

y—4

y=———x+4,

聯(lián)立J玉

2x-y-3=0,

7?+2T）

解得與

2%1—y+4（2,-l）y+8—2t

7（/y2+2-r）

同理可得XR

（21）%+8-21

7（＜y|+2-?）?7（/y,+2-/）

所以與+4

（2—）y+8—2f（2r-l）^2+8-2z

2f⑵-1萬「必+［（8-2f）f+⑵-1）（2—）］（必+%）+2（2-f）（8-2。x7

⑵-I）?y?%+（2fT）（8-2f）（）1+%）+（8-2f）~

4/一4r+8，

----------=4.

r-r+2

因?yàn)閤.=2,

所以X“+XN=2尤.，即A是MN的中點(diǎn),

所以|AM|=|4V|.

【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)

系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系;

(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn),

可直接使用公式|AB|=x+x2+p,若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式.

20.甲、乙、丙三人參加學(xué)?！霸┘文耆A”競(jìng)答游戲，活動(dòng)的規(guī)則為：甲、乙、丙三人

先分別坐在圓桌的A,B,C三點(diǎn)，第一輪從甲開始通過擲骰子決定甲的競(jìng)答對(duì)手,

如果點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，則按逆時(shí)針選擇乙，如果是偶數(shù)，則按順時(shí)針選丙，下一輪由上一輪

擲骰子選中的對(duì)手繼續(xù)通過擲骰子決定竟答對(duì)手，如果點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)按逆時(shí)針選對(duì)手，點(diǎn)

2

數(shù)是偶數(shù)按順時(shí)針選對(duì)手，已知每場(chǎng)競(jìng)答甲對(duì)乙、甲對(duì)丙、乙對(duì)丙獲勝的概率分別為1,

二且甲、乙、丙之間競(jìng)答互不影響，各輪游戲亦互不影響，比賽中某選手累計(jì)獲

32

勝場(chǎng)數(shù)達(dá)到2場(chǎng)，游戲結(jié)束，該選手為晉級(jí)選手.

（1）求比賽進(jìn)行了3場(chǎng)且甲晉級(jí)的概率;

（2）當(dāng)比賽進(jìn)行了3場(chǎng)后結(jié)束，記甲獲勝的場(chǎng)數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）（2）分布列見解析；期望為住.

6144

【分析】（1）根據(jù)題意分別求出每一類情況的概率，再利用互斥事件概率加法公式即可

求解；（2）由題意可知X的所有可能取值為0,1，2,利用獨(dú)立事件與互斥事件的概

率公式求出對(duì)應(yīng)的概率即可求出分布列與數(shù)學(xué)期望.

【詳解】解：（1）甲贏兩場(chǎng)，分下面三種情況

①第一場(chǎng)甲勝，第二場(chǎng)無甲，第三場(chǎng)甲勝

.右.12111111121

概率為：—X—X—X—X—+—X—X—X—X—=—

232232322318

②第一場(chǎng)甲輸，二三場(chǎng)均勝

1112(1211)121—121111

概率為:

2323(2323J2323(2323)18

③第一場(chǎng)甲勝，第二場(chǎng)輸，第三場(chǎng)勝

1211(1211)1112(1211)1

概率為:

2323(2323J2323(2323J18

由互斥事件的概率加法公式可知：比賽進(jìn)行了3場(chǎng)且甲晉級(jí)的概率為:

（2）依題意X的所有可能取值為0，1,2

由（1）知P（X=2）=:,

當(dāng)比賽進(jìn)行了3場(chǎng)后結(jié)束，甲獲勝的場(chǎng)數(shù)為X=0時(shí),

分兩種情況:

3場(chǎng)比賽中甲參加/1場(chǎng)，輸了，概率為：-X—x—x—x—F—x—x—x—x—=—

232222322216

3場(chǎng)比賽中甲參加了2場(chǎng)，都輸了，概率為：

1111121211111

—X—X—X—X—X——F—X—X—X—X—X—=——

23222323222336

3場(chǎng)比賽甲都參加且都輸?shù)羰遣豢赡艿?，否則兩場(chǎng)比賽打不到3場(chǎng).

1113

、1636144'

131_107

故P(X=1)=1—P(X=O)—P(X=2)=1---

1446-L44'

故X的分布列為

X012

13107

P

1441446

=0x旦+1」07.1155

則E(X)_i_7XZ—

1441446144

【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解

能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

21.已知函數(shù)/（x）=（l+x）ln（l+x）-or2__（2a+l）x,aeR.

（1）若/（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求”的最小值；

（2）若/（X）有兩個(gè)極值點(diǎn)分別是不，x2,證明：X[+x2＞——2.

【答案】（1），-;（2）證明見解析.

2e

【分析】（1）利用函數(shù)“力在定義域內(nèi)是減函數(shù)等價(jià)于r（x）wo在（t+8）上恒成

立，參變分離后，即可求。的最小值；

（2）令?yuàn)y無）=口（尤）,利用導(dǎo)數(shù)可求得〃（x）的單調(diào)性；令

〃2（》）=;/（彳）-〃（工一2一8）卜〉[--1）,可求得加（x）＞0,得到加（x）單調(diào)遞增，

可得力（工2）＞"[2—x2,置換為〃（X1）〉。（一一？一4），由〃（x）在—lj

上的單調(diào)性可得自變量的大小關(guān)系，從而證得結(jié)論.

【詳解】⑴/（力定義域?yàn)椋?1,+8），/'（x）=ln（l+x）—2a（x+l）,

?.?/（6在定義域內(nèi)是減函數(shù)，，/'（月40在（-1,+0））上恒成立，

即ln(l+x)-2a(x+l)〈O,:.2a2"(1+:,

1+x

令g(x)JMl+x),則g，(x)=l：n(l『,令g，(?=(),解得：x=e-l,

.1當(dāng)xe(-l,e-l)時(shí)，g<x)>0；當(dāng)xe(e-l,+oo)時(shí)，g'(x)<0；

.?依(同在(-1,6-1)上單調(diào)遞增，在(e-l,+o>)上單調(diào)遞減，

???g(x)a=g(eT)=：，，2aZg(x)a=j解得：a>j~,

??a的最小值為—.

⑵由(1)知：若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則。<4-；

令/z(x)=/"(%)=In(l+x)-2a(x+l),則2〃=-

令"(x)=0,解得：x=—-1,

.,.當(dāng)1,^----“時(shí)，/Z'(X)>O;當(dāng)XG[----1,+8)時(shí)，

???/l(X)在1―1,《一”上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

不妨設(shè)為<赴，則一1<%<-----1<x；

2a2

令=/1(%)-/2(--2-x

-1

加(x)在上單調(diào)遞增，/.m(x)>wfy——1J=0,

z?z(x2)=/z(x2)-|-2-x2|>0,Bp/z(x2)>/?|—-2-X2

又〃(X)=〃(9)=0，*,*^(-^i)>/if--2-x2j,

1?111?

x)>-------,/.-1<—1-x<------1，

2a-Ia92a

又玉￡（一1'^—j1人（￡）在（一—1）上單調(diào)遞增,

%|>—2—