求銳角三角函數(shù)值的常用方法及應(yīng)用(教師版)

求銳角三角函數(shù)值的常用方法及應(yīng)用一、知識(shí)要點(diǎn)：（一）銳角三角函數(shù)定義：在中，，設(shè)，，，則有：，，（二）同角三角函數(shù)的關(guān)系1.平方關(guān)系：：(三)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：（四）特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°1二、求銳角三角函數(shù)值的常用方法（一）運(yùn)用定義求銳角三角函數(shù)值例1.在中，的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足，則的值為___________．【分析】由，可得，求解，證明，再利用正弦的定義求解即可．解：∵，∴，∴，∴，，，解得：，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，算術(shù)平方根，絕對(duì)值，偶次方的非負(fù)性，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，銳角的正弦的含義，證明是解本題的關(guān)鍵．例2.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則（

）A． B． C． D．解：∵大正方形的面積是25，小正方形面積是1，∴大正方形的邊長(zhǎng)，小正方形的邊長(zhǎng)，∵，∴，在中，，∴，解得（負(fù)值舍去）∴．故選A．例3.如圖，在頂角為的等腰中，，若過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，則，根據(jù)圖形計(jì)算______分析：此題可設(shè)，由已知可求出CD和AD，那么也能求出BD=ABAD，從而求出tan∠BCD的值.解：由已知設(shè)，∵∠A=30°，CD⊥AB，∴CD=AC=x，則AD2=AC2CD2=（2x）2x2=3x2，∴AD=x，∴BD=ABAD=2xx=（2）x，∴tan∠BCD=．例4.如圖，在△ABC中，DC平分∠ACB，于點(diǎn)D，，若，，則tan∠CBD的值為_____．【解析】由DC平分∠ACB，易證，然后依次求出BE、BC、CD的長(zhǎng)即可根據(jù)求解．延長(zhǎng)BD交AC于E，∵DC平分∠ACB，，∴，∴，，又，∴，∵，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、正切，根據(jù)DC平分∠ACB，看出是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．例5.已知在由10個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，、如圖所示，則____________．解：連接DE，如圖所示：在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，∴∠α=30°，同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．又∵∠AEC=60°，∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則AE=2a，DE=2×sin60°?a=a，∴tan（α+β）==．故答案為：．（二）巧設(shè)參數(shù)求銳角三角函數(shù)值例1.在△ABC中，，，則等于()A.B.C.D.解：設(shè)所對(duì)的邊分別為，，不妨設(shè)，由勾股定理得到，故選：B.例2.如圖，在中，是高，是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，則的值是．解：過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，，∴，，，∵，，∴∽，∴，即，∴，∵∠B＝∠B，∠BHC＝∠BDA，∴∽，∴，即，∴，∵FG∥CH，∴∽，∴，即，∴，∴，【答案】．（三）利用等角轉(zhuǎn)換求銳角三角函數(shù)值例1.如圖，在中，，AC=BC=4，將折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處，EF為折痕，若AE＝3，則sin∠BFD的值為_______．解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴∠A=∠B，由折疊的性質(zhì)得到：△AEF≌△DEF，∴∠EDF=∠A，∴∠EDF=∠B，∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°，∴∠CDE=∠BFD．又∵AE=DE=3，∴CE=43=1，∴在直角△ECD中，sin∠CDE=；故答案是：．例2.如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)P，則的正弦值為（

）A．B．C．D．解：取格點(diǎn)，連接、，設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則，，，∵，，∴，∴，在中，，由題意知，，∴，∴，∴，故選：.例3.如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，將沿折疊得到，交于點(diǎn)．若，則__________．解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，∵平分交于點(diǎn)，∴,∴∴∵折疊，∴，∴,又∵∴∴∴∵，，則，∴∴，，∵設(shè)，，則，則，∵∴在中，在中，∴即；解得：∴，則∴故答案為：．（四）利用構(gòu)造（直角三角形）法求銳角三角函數(shù)值（Ⅰ）化斜三角形為直角三角形求銳角三角函數(shù)值例1.在中,,,，則解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，過(guò)作，交的延長(zhǎng)于點(diǎn)，，在，，根據(jù)勾股定理得在中，根據(jù)勾股定理得則例2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和點(diǎn)，則等于________.分析：過(guò)A作AC⊥x軸于C，利用A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）可得到OC=2，AC=1，利用勾股定理可計(jì)算出OA，然后根據(jù)正弦的定義即可得到sin∠AOB的值．解：如圖，過(guò)A作AC⊥x軸于C，∵A點(diǎn)坐標(biāo)（2，1），∴OC=2，AC=1，∴OA=，∴sin∠AOB=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦的定義：在直角三角形中，一個(gè)銳角的正弦等于這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值．也考查了點(diǎn)的坐標(biāo)與勾股定理．（Ⅱ）利用網(wǎng)格構(gòu)建直角三角形求銳角三角函數(shù)值例1.如圖所示的網(wǎng)格是邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格，，，是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則____?！痉治觥孔鰽D⊥BC于D點(diǎn)，在Rt△ABD中根據(jù)余弦的定義求解即可．【詳解】如圖，作AD⊥BC于D點(diǎn)，則△ABD為直角三角形，其中，AD=3，BD=4，由勾股定理可得AB=5，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求余弦值，根據(jù)余弦的定義構(gòu)造合適的直角三角形是解題關(guān)鍵．例2.如圖，點(diǎn)A，B，C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin∠BAC等于（）A．B．C．D．【解析】根據(jù)題意，做出合適的輔助線，然后根據(jù)勾股定理的逆定理，可以得到△ACD的形狀，從而可以求得sin∠BAC的值．解：連接CD，點(diǎn)D在格點(diǎn)上，如右圖所示：設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，則CDa，ACa，AD2a，∴CD2+AD2＝（a）2+（2a）2＝（a）2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，∴sin∠BAC＝sin∠CAD，故選：A．本題考查解直角三角形、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是判斷出△ACD的形狀．例3.如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則的值是（）A、 B、 C、 D、解：延長(zhǎng)到，連接，如圖：，，，故選C解析：延長(zhǎng)到，連接，由網(wǎng)格可得，即得，可求出答案。（五）利用同角三角函數(shù)關(guān)系求銳角三角函數(shù)值例1.若為銳角，，求的值．分析：要求的值，必須利用銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系找出