(完整版)小學(xué)奧數(shù)-容斥原理(教師版)(可編輯修改word版)

容斥原理森林中住著很多動(dòng)物，據(jù)說獅子大王派仙鶴去統(tǒng)計(jì)鳥類的種數(shù)，蝙蝠跑過去對(duì)仙鶴說；“我有8060140139部分重復(fù)交叉）時(shí)，應(yīng)把重復(fù)計(jì)數(shù)的部分排除掉。由此我們得到逐步排除法（容斥原理）：計(jì)數(shù)部分有重復(fù)時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中減去重復(fù)部分。容斥原理1如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B兩類，那么，A類B類元素個(gè)數(shù)總和=屬于A類元素個(gè)數(shù)+屬于B類元素個(gè)數(shù)—既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)。即A∪B=A+B-A∩B容斥原理2如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類和B類和C類元素個(gè)數(shù)總和=A類元素個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)+C類元素個(gè)數(shù)—既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)—既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)—既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)+既是A類又是B類而且是C類的元素個(gè)數(shù)。即A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C容斥原理1【例1】★一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數(shù)都是滿分，那么這個(gè)班至少有一門得滿分的同學(xué)有多少人？【解析】依題意，被計(jì)數(shù)的事物有語、數(shù)得滿分兩類，“數(shù)學(xué)得滿分”稱為“A類元素”，“語文得滿分”稱為“B類元素”，“語、數(shù)都是滿分”稱為“既是A類又是B類的元素”，“至少有一門得滿分的同學(xué)”稱為“A類和B類元素個(gè)數(shù)”的總和。15+12-4=23【小試牛刀】電視臺(tái)向100人調(diào)查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，其中11人兩個(gè)頻道都看過。兩個(gè)頻道都沒看過的有多少人？【解析】100-(62+34-11)=15【例2】★一個(gè)班有學(xué)生48人，每人至少參加跑步、跳高兩項(xiàng)比賽中的一項(xiàng)。已知參加跑步的有37人，參加跳高的有40人，請(qǐng)問：這兩項(xiàng)比賽都參加的學(xué)生有多少人？【解析】?jī)身?xiàng)比賽都參加的學(xué)生人數(shù)，就是參加跑步人數(shù)、參加跳高人數(shù)重復(fù)的部分，排除掉重復(fù)部分，所得的就是全體參賽人數(shù)，也就是全班學(xué)生人數(shù)。40-（48－37）=29人?！拘≡嚺５丁课迥昙?jí)96名學(xué)生都訂了報(bào)紙，有64人訂了少年報(bào)，有48人訂了小學(xué)生報(bào)。兩種報(bào)紙都訂的有多少人？6448種報(bào)刊都訂的人數(shù)。顯然，兩種報(bào)刊都訂的人數(shù)被統(tǒng)計(jì)了兩次：64＋48=11296=1616【例3】★★實(shí)驗(yàn)小學(xué)各年級(jí)都參加的一次書法比賽中，四年級(jí)與五年級(jí)共有20人獲獎(jiǎng)，在獲獎(jiǎng)?wù)咧杏?6人不是四年級(jí)的，有12人不是五年級(jí)的。該校書法比賽獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)是多少人？【解析】由“16：16“1216＋1220（16＋12－20）÷2=4書法比賽獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)是4＋20=24人?！纠?】★★五一小學(xué)舉行小學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中24名運(yùn)動(dòng)員不是六年級(jí)的，28名運(yùn)動(dòng)員不是五年級(jí)的，已知五、六年級(jí)運(yùn)動(dòng)員共有32名，求五、六年級(jí)和中低年級(jí)運(yùn)動(dòng)員各有多少名？【解析】（24+28-32）÷2=10【例5】★在100個(gè)外語教師中，懂英語的有75人，懂日語的有45人，其中必然有既懂英語又懂日語的老師。問：只懂英語的老師有多少人？7545因此，75＋45=120100207520：75－20=55【小試牛刀】40人都在做加試的兩道題，并且至少做對(duì)了其中的一題。已知做對(duì)第一題的有30人，做對(duì)第二題的有21人。只做對(duì)第一題的有多少人？【解析】19人【例6】★★在1至1000這1000個(gè)自然數(shù)中，能被5或11整除的自然數(shù)一共有多少個(gè)？11590511511511511【解析】能被5整除的自然數(shù)有多少個(gè)？1000÷5=200 有200個(gè)能被11整除的自然數(shù)有多少個(gè)？1000÷11=90……10 有90個(gè)既能被5整除又能被11整除的自然數(shù)有多少個(gè)1000÷55=18……10 有18個(gè)。所以能被5或11整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)是：200+90－18=272個(gè)。】 60名同學(xué)面向老師站成一橫排老師先讓同學(xué)們從左到右按照1234、……、5960的順序依次報(bào)數(shù)再讓報(bào)數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)接著又讓報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)。請(qǐng)問：現(xiàn)在面向老師的學(xué)生還有多少名？【解析】160，4，646：60÷12=5：60－（15+10－5）=40有5個(gè)，所以面向老師的學(xué)生還有40+5=45個(gè)?！纠?】★★★有一根長(zhǎng)是240厘米的繩子，從一端開始每隔4厘米作一個(gè)記號(hào)，同時(shí)每隔6厘米也作一個(gè)記號(hào)，然后將標(biāo)有記號(hào)的地方剪斷，請(qǐng)問：繩子一共被剪成了多少段？【解析】2404：240÷4－1=596米作一個(gè)記號(hào)，這樣一共有：240÷6－1=3912重復(fù)了：240÷12－1=19個(gè)記號(hào)。因此繩子上共有記號(hào)數(shù)是：59+39－19=79，所以繩子一共被剪成了79+1=80段。容斥原理28★★2815131446既參加跳又參加投擲項(xiàng)目的有5人，三種項(xiàng)目都參加的有2人，試說明，這個(gè)報(bào)名表有誤。15+13+14-4-6-5+2=29實(shí)際參加人數(shù)不符，所以這個(gè)報(bào)名表有誤?！拘≡嚺５丁?某校六（1）班有學(xué)生45人，每人在暑假里都參加體育訓(xùn)練隊(duì)，其中參加足球隊(duì)的有25人，參加排球隊(duì)的有22人，參加游泳隊(duì)的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問：三項(xiàng)都參加的有多少人？【解析】參加足球隊(duì)的人數(shù)25人為A類元素，參加排球隊(duì)人數(shù)22人為B類元素，參加游泳隊(duì)的人數(shù)24人為C類元素，既是A類又是B類的為足球排球都參加的12人，既是B類又C類的為足球游泳都參加的9人，既是C類又是A類的為排球游泳都參加的8人，三項(xiàng)都參加的是A類B類C類的總和設(shè)為X。注意：這個(gè)題說的每人都參加了體育訓(xùn)練隊(duì)，所以這個(gè)班的總?cè)藬?shù)既為A類B類和C類的總和。25+22+24-12-9-8+X=45解得X=3【例9】★★★從1至1000這1000個(gè)自然數(shù)中，不能被3、5、7中任何一個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)一共有多少個(gè)？【解析】能被3整除的自然數(shù)有多少個(gè)1000÷3=333……1 有333個(gè)能被5整除的自然數(shù)有多少個(gè)？1000÷5=200 有200個(gè)能被7整除的自然數(shù)有多少個(gè)？1000÷7=142……6 有142個(gè)既能被3整除又能被5整除的自然數(shù)有多少個(gè)1000÷15=66……10 有66個(gè)。既能被3整除又能被7整除的自然數(shù)有多少個(gè)1000÷21=47……13 有47個(gè)。既能被5整除又能被7整除的自然數(shù)有多少個(gè)1000÷35=28……20 有28個(gè)。能同時(shí)被3、5、7整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)有多少個(gè)1000÷（3×5×7）=9……55 有9個(gè)。3、5、7333+200+142－（66+47+28）+9=457所以不能被3、5、7中任何一個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)一共有：1000－543=457【小試牛刀】分母是1001的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)一共有多少個(gè)？【解析】這一題實(shí)際上就是找分子中不能與1001進(jìn)行約分的數(shù)。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的數(shù)。由容斥原理知:在1—1001中,能被7或11或13整除的數(shù)有(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(個(gè)),從而不能被7、11或13整除的數(shù)有1001-281=720(個(gè)).也就是說,分母為1001的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)有720個(gè).10★★ABCDOEFG9ABDAFDACDADABAD×AB÷2=15×8÷2=60（平方厘米。陰影部分面積=（ABDACD）－（AFDDEFG）=（60+60）-（60-9）=69（平方厘米?！拘≡嚺５丁咳鐖D所示，AB、C分別是面積為1228、16的三張不同形狀的紙片，它們重疊38ABB與C的公共部分的面積分別為8、7，AB、C這三張紙片的公共部分為3．求A與C公共部分的面積是多少？【解析】設(shè)A與C公共部分的面積為x，由包含與排除原理可得：⑴先“包含”：把圖形A、B、C的面積相加：12281656，那么每?jī)蓚€(gè)圖形的公共部分的面積都重復(fù)計(jì)算了1次，因此要排除掉．⑵再“排除”：5687x，這樣一來，三個(gè)圖形的公共部分被全部減掉，因此還要再補(bǔ)回．5687x35687x338x6．11】★★1208590706246215X120-85-90-70+62+46+X-21=5，X=43，43-21=22容斥原理中的最值問題【例12★★★10030盆，7580903個(gè)人澆過的花最少有多少盆？330455060100307070好被3個(gè)人澆過的花最少，這就是簡(jiǎn)單的容斥原理了，恰好被3個(gè)人澆過的花最少有45506014015盆．100786858人都澆過的花最少有多少盆?46=3268-46=2258-32-22=4【小試牛刀】例題中恰好被1個(gè)人澆過的花最多有多少盆？【解析】1002752.751430701552.21次，說明需要一些370355212727353421人。這個(gè)學(xué)校共有多少名教師？【解析】把懂英語和懂日語的人數(shù)加起來得35＋34=69人，但是，兩種語言都懂的21人被統(tǒng)計(jì)過兩次，應(yīng)該從69里去掉一個(gè)21才能得出這個(gè)地區(qū)外語教師的總?cè)藬?shù)：69－21=48人。1015【解析】（102-82）×5-12×8=172（平方厘米）10043進(jìn)了32次，王剛和李立一共投進(jìn)了46次，王剛投進(jìn)了多少次？【解析】100-43=5732+46=78進(jìn)的次數(shù)，就是王剛投進(jìn)的次數(shù)，列式為78-57=21次，所以王剛投進(jìn)了21次。182218182020218+20=3822238-22=1616÷2=83211（4）班的學(xué)生中喜歡音樂或美術(shù)的一共有多少人？【解析】通過你自己畫圖，觀察圖可以看出：32+27－11=48人，就表示五（4）班的學(xué)生中喜歡音樂或美術(shù)的一共的人數(shù)。答：五（4）班的學(xué)生中喜歡音樂或美術(shù)的一共有48人。502830，請(qǐng)問：這個(gè)班這兩項(xiàng)活動(dòng)都參加的有多少人？【解析】30+28=5850，58－50=88385385=5×7×1138557775511357753511557385整除的數(shù)有1個(gè)；最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240個(gè)。102518【解析】A，B25101518153人，因此這三人只能是第一題錯(cuò)，第二題也錯(cuò)，即兩道題都錯(cuò)的有3人。1200423、51200421002668[2004/5]=4006334，10[2004/10]=200，15[2004/15]=133，302、3、52004-1002-668-400+334+200+133-66=535（“[]”表示對(duì)[]內(nèi)的數(shù)取整.）5014181850-18=321432-14=183131-18=13一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)12厘米，寬8厘米，另一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)10厘米，寬6厘米，它們中間重疊的部分是一個(gè)邊長(zhǎng)4厘米的正方形，求這個(gè)組合圖形的面積．【解析】?jī)蓚€(gè)長(zhǎng)方形如圖擺放時(shí)出現(xiàn)了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長(zhǎng)為4厘米的中各被計(jì)算了一次，而實(shí)際上這部分只需計(jì)算一次就可以了．所以，組合圖形的面積長(zhǎng)方形面積之和重疊部分．于是，組合圖形的面積12810644140(平方厘米)．250838625