專題7.4 數(shù)列求和（解析版）備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型突破精練（新高考專用）

第第頁(yè)專題7.4數(shù)列求和題型一倒序相加法題型二分組求和法題型三并項(xiàng)求和法題型四奇偶數(shù)列求和題型五裂項(xiàng)相消法題型六含絕對(duì)值數(shù)列求和題型七數(shù)列求和與不等式題型一 倒序相加法例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．(1)計(jì)算的值．(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)2(2)【分析】（1）直接計(jì)算可得答案；（2）由（1）的計(jì)算結(jié)果，當(dāng)時(shí)，利用倒序相加法可得答案.【詳解】（1）；（2）由題知，當(dāng)時(shí)，，又，兩式相加得，所以，又不符合，所以.例2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知函數(shù)，則__________；數(shù)列滿足，則這個(gè)數(shù)列的前2015項(xiàng)的和等于__________.【答案】/1007.5【分析】根據(jù)，化簡(jiǎn)即可，再利用倒序相加法即可求得答案.【詳解】由，得，所以，設(shè)數(shù)列前項(xiàng)之和為，則，，兩式相加得，所以，即這個(gè)數(shù)列的前2015項(xiàng)的和等于.故答案為：；.練習(xí)1．（2022秋·天津南開(kāi)·高三天津市天津中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，則（

）A．2022 B．2023 C．4044 D．4046【答案】A【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正確答案.【詳解】∵，∴．∵，∴．令，則，兩式相加得，∴．故選:A練習(xí)2．（2022秋·河南漯河·高二漯河高中?？计谀┮阎瘮?shù)，則________.【答案】/【分析】可令，，利用倒序相加法，將角度之和為的兩項(xiàng)結(jié)合（如化簡(jiǎn)整理即可．【詳解】解：，，令，①，②①②得：，，即．故答案為：.練習(xí)3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)，則___________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件得，再利用倒序相加法即可求解.【詳解】由，得，所以，設(shè),,由，得即，于是有，解得，所以.故答案為：.練習(xí)4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則______.【答案】4042【分析】先判斷函數(shù)的對(duì)稱性，然后用倒序相加法求和..【詳解】由，令可得，，且，則，所以，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即由已知，，又兩式相加可得，所以，.故答案為：4042.練習(xí)5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】通過(guò)，將已知倒序相加得出的式子，注意是否滿足即可.【詳解】；時(shí)，，，相加得，所以，又，所以對(duì)一切正整數(shù)，有；題型二 分組求和法例3．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件建立關(guān)于的方程組，然后解出即可得答案；（2）利用分組求和法求出答案即可.【詳解】（1）∵，∴，，解得，∴；（2）由題可知，∴，∴，例4．（2023春·北京海淀·高二北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足，．(1)①求公差；②求數(shù)列的通項(xiàng)公式；③設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得最小的的值；(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)①；②；③，當(dāng)時(shí)，取最小值(2)①；②【分析】（1）①根據(jù)直接求解；②根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得的表達(dá)式；③根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可求得，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得當(dāng)取最小值時(shí)的值；（2）①求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；②利用分組求和法可求得.【詳解】（1）解：①因?yàn)椋?，則；②；③，由二次函數(shù)的基本性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取最小值.（2）解：①因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，所以，；②.練習(xí)6．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春十一高?？计谥校┰O(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用基本量法，即可求解.（2）利用分組求和即可求解.【詳解】（1）解：，解得，；（2）

.練習(xí)7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知的面積為1，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為線段，，的中點(diǎn)，記的面積為；點(diǎn)G，H，I分別為線段，，的中點(diǎn)，記的面積為；…；以此類推，第n次取中點(diǎn)后，得到的三角形面積記為．(1)求，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)相鄰兩個(gè)三角形的面積關(guān)系可得，即可求解通項(xiàng)，（2）先利用并項(xiàng)求和法求得為偶數(shù)的情況的和，再利用所得結(jié)論求得奇數(shù)的情況的和，然后寫成分段形式.【詳解】（1）由題意可知,，...，由此可知，故是以公比為的等比數(shù)列，所以.（2）由得，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故.練習(xí)8．（2023春·北京豐臺(tái)·高三北京市第十二中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則使得成立的n的最小值為（

）A．32 B．33 C．44 D．45【答案】D【分析】分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，得到的通項(xiàng)公式，進(jìn)而分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況求和，解不等式，求出答案.【詳解】①，當(dāng)時(shí)，②，兩式相減得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為4，所以，中，令得，故，故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為4，所以，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，解得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，解得，所以成立的n的最小值為.故選：D練習(xí)9．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，．(1)令，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）計(jì)算，確定，得到證明.（2）計(jì)算，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式結(jié)合分組求和法計(jì)算得到答案.【詳解】（1），則，，故是以首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．（2），故，.練習(xí)10．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列滿足：，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.【答案】(1)；(2)1024144.【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，分奇偶討論求出的通項(xiàng)公式.（2）利用（1）的結(jié)論，利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解作答.【詳解】（1）數(shù)列滿足：，，，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，因此，即當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，由，得，因此，即當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，.題型三 并項(xiàng)求和法例5．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考三模）已知公差不為零的等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，且是一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前20項(xiàng)的和．【答案】(1)，(2)210【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）利用分組求和法求和即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，所以．因?yàn)槭且粋€(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)，所以．即又，所以所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，（2）由（1）知數(shù)列的前項(xiàng)和所以，數(shù)列的前20項(xiàng)的和為例6．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和.【答案】(1)(2)1012【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及給定的條件求出公差d和；（2）根據(jù)數(shù)列的周期性求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，即解得，所以；（2）由（1）可知，，對(duì)于任意，有，所以，故數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.練習(xí)11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，.(1)求，；(2)令，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系即可聯(lián)立求解，（2）根據(jù)偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)的關(guān)系可得，進(jìn)而根據(jù)分組求和即可.【詳解】（1）由得即，即，又，所以，（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相加可得，得，由于，所以練習(xí)12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，…，是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列前2n項(xiàng)的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意和等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式可得當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證符合該式即可；（2）由（1）可得，，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又，符合上式，∴；（2）由（1）知，，，∴.練習(xí)13．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，由可得出的值，當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，計(jì)算出，然后分為偶數(shù)、為奇數(shù)兩種情況討論，利用分組求和法可求得的表達(dá)式.【詳解】（1）由，得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，整理得，對(duì)任意的，，則，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故（2）由（1）可知，，則，所以，對(duì)任意的，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，.綜上所述，.練習(xí)14．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，求的前100項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由與關(guān)系得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而結(jié)合通項(xiàng)公式求解即可；（2）結(jié)合題意得，，進(jìn)而，再求和即可.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，,，由得當(dāng)時(shí)，遞推得，所以，兩式作差得：，即，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，又因?yàn)?，所以，?shù)列為等差數(shù)列，公差、首項(xiàng)均為，所以.（2）解：由得，，；令，則.練習(xí)15．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足（n≥2，），．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列，再求其通項(xiàng)；（2）利用等比數(shù)列求和公式以及分組求和法得出結(jié)果.【詳解】（1）∵，∴，所以，又，∴是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴，∴．（2）∵，∴，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．綜上．題型四 奇偶數(shù)列求和例7．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量計(jì)算即可求解，（2）由分組求和，結(jié)合等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】（1）由，得所以數(shù)列為等差數(shù)列．所以，得．所以公差．所以．（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)．所以例8．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其公比，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件求出公比，，直接寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）由（1）得，分組求和即可，注意分類討論的思想.【詳解】（1）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，公比為，則，所以，解得，由，可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)；綜上所述：.練習(xí)16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)得到，然后兩式相減得到，最后驗(yàn)證時(shí)是否成立，即可得到；（2）分奇偶項(xiàng)求和，奇數(shù)項(xiàng)用等差數(shù)列求和公式求和，偶數(shù)項(xiàng)用裂項(xiàng)相消的方法求和，最后相加即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，，上述兩式作差可得，因?yàn)闈M足，所以的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，所以?所以數(shù)列的前20項(xiàng)和為.練習(xí)17．（2023春·全國(guó)·高三期中）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意先求出，再根據(jù)，得，從而可得，再利用構(gòu)造法求出的通項(xiàng)，從而可得的通項(xiàng)公式；（2）分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，再結(jié)合分組求和法即可得解.【詳解】（1），得，因?yàn)椋?，解得，由，得，又，故，所以，即，所以，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，則，故，所以；（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，綜上所述，.練習(xí)18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則______．【答案】【分析】令，然后由條件可得，然后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后可算出答案.【詳解】令，因?yàn)椋?，所以，，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為8，公比為2的等比數(shù)列，所以，即，所以，故答案為：練習(xí)19．（2023春·北京·高三北京五十五中?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，（），，（）(2)【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；對(duì)于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，先求出遞推公式，從而得到的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和的方法可求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，所以，（）；對(duì)于數(shù)列，由已知，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，

，兩式相減，得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，得，（）.（2）由（1）可得設(shè),所以練習(xí)20．（2023春·浙江杭州·高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)期中）（多選）已知數(shù)列滿足，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)直接由遞推關(guān)系式即可求出；B選項(xiàng)由即可判斷；C選項(xiàng)由即可判斷；D選項(xiàng)由分組求和及等比數(shù)列求和公式即可判斷.【詳解】，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于，有，兩式相加，得，則，故選項(xiàng)B正確；由，知，則，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由偶數(shù)項(xiàng)均為，可得為偶數(shù)時(shí)，，則，則，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.題型五 裂項(xiàng)相消法例9．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，數(shù)列前項(xiàng)積為.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）求得數(shù)列的公差，由此求得.利用求得.（2）利用裂項(xiàng)相消求和法求得.【詳解】（1）是等差數(shù)列，，即：，又，，.又，當(dāng)時(shí)，，符合上式，.（2）由（1）可得：，.例10．（河南省TOP二十名校2023屆高三猜題大聯(lián)考（二）數(shù)學(xué)（文科）試題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組求解；（2）對(duì)裂項(xiàng)，用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）設(shè)的公差為，首項(xiàng)為，因?yàn)樗越獾盟?（2）由題設(shè)，所以當(dāng)時(shí)，，將上式累加可得：，又，則.又，也適合上式，故.練習(xí)21．（2023春·河南南陽(yáng)·高三鎮(zhèn)平縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列的前2022項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列的前2022項(xiàng)的和為：.故選：D練習(xí)22．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列.從下面三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）①；②；③.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差得到，當(dāng)時(shí)兩邊同除，即可得到為常數(shù)數(shù)列，從而求出，即可證明；（2）設(shè)的公差為，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到方程，求出，即可求出的通項(xiàng)，再根據(jù)所選條件，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，即，?dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，所以，即，所以，當(dāng)時(shí)上述式子恒成立，當(dāng)時(shí)兩邊同除可得，即，所以為常數(shù)數(shù)列，即，所以，即，當(dāng)時(shí)上述也成立，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.（2）設(shè)的公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，解得，所以；若選①，則，所以.若選②，則，所以.若選③，則，所以.練習(xí)23．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┮阎?xiàng)數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義可證等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得;（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和法可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.（2）,所以.練習(xí)24．（2023春·河南南陽(yáng)·高三鎮(zhèn)平縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求通項(xiàng)公式；（2）先根據(jù)求出，再把拆項(xiàng)為，然后求和．【詳解】（1）∵，，當(dāng)時(shí)，，∴．由，，兩式相減可得：．∴，又．∴是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴．（2）因?yàn)?，，所?練習(xí)25．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和，設(shè)，若對(duì)任意恒成立，則的最小值是___________.【答案】1【分析】利用，得出，即可判斷數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，因此，，，，根據(jù)，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，不等式且恒成立，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意知，，且，則當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以，而，即，又，解得，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，因此，則，，，數(shù)列是單調(diào)遞增的，，而數(shù)列是單調(diào)遞減的，，因?yàn)椋坏仁胶愠闪?，則，不等式且恒成立，因此且，即有，又，所以的最小值是1.故答案為：1題型六 含絕對(duì)值數(shù)列求和例11．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正項(xiàng)數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意因式分解可得，即，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解；（2）分和兩種情況去絕對(duì)值符號(hào)，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】（1）由，得，因?yàn)?，所以，又，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；（2），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，.例12．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）等差數(shù)列中，是它的前n項(xiàng)的和，且滿足.則的最大值為_(kāi)_________；數(shù)列的前n項(xiàng)和__________.【答案】【分析】由已知得，進(jìn)而求通項(xiàng)，根據(jù)的正負(fù)，即可確定取得最大值時(shí)的值，進(jìn)而可求；由已知得是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，由，得時(shí)，時(shí)，，由此分類能求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】∵，設(shè)等差數(shù)列的公差為，∴，∴.∴＝.∴當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為.又因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為，，設(shè)的前n項(xiàng)和為當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因此故答案為：；.練習(xí)26．（2022秋·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么滿足的整數(shù)k的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．【答案】2【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，去絕對(duì)值符號(hào)，對(duì)進(jìn)行討論，進(jìn)而求得的表達(dá)式，解方程即可求得結(jié)果．【詳解】∵，∴若，則，∴與矛盾，∴，∴，解得或，∴滿足的整數(shù)，5，即整數(shù)k的個(gè)數(shù)為2，故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的和，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，去絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．練習(xí)27．（2023春·高三課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則（

）A．150 B．162 C．180 D．210【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得到數(shù)列單調(diào)性，再根據(jù)大小關(guān)系去掉絕對(duì)值符號(hào)得到答案.【詳解】由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞增.所以====162.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列求和，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力，確定數(shù)列單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.練習(xí)28．（2022·高三課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，若，則數(shù)列的前100項(xiàng)和（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，求出，再判斷出數(shù)列各項(xiàng)符號(hào)后，去掉絕對(duì)值可求得結(jié)果.【詳解】∵，∴.又∵數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，∴，可得.易得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴數(shù)列的前100項(xiàng)和.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)通項(xiàng)公式判斷出各項(xiàng)符號(hào)，去掉絕對(duì)值符號(hào)求解是解題關(guān)鍵.練習(xí)29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，設(shè)，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，證明數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列即可求解；（2）結(jié)合（1）得，再分和兩種情況討論求解即可.【詳解】（1）解：由，得，兩式相減，得，所以，即.又因?yàn)闀r(shí)，，所以，因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以.（2）解：由（1）得，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，綜上，練習(xí)30．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．578 B．579C．580 D．581【答案】B【分析】由的關(guān)系得出通項(xiàng)公式，再討論，兩種情況，結(jié)合求和公式得出.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，不成立.故得到.令，則，解得，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故：，.故選：B.題型七 數(shù)列求和與不等式例13．（2023春·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求出結(jié)果.【詳解】數(shù)列滿足，①當(dāng)時(shí)，，②①②得，，故，則，則，由于恒成立，故，整理得：，因隨的增加而減小，所以當(dāng)時(shí)，最大，且為，即.故選：D例14．（河南省開(kāi)封市等2地學(xué)校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期普高聯(lián)考測(cè)評(píng)（六）理科數(shù)學(xué)試題）數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列得，利用裂項(xiàng)求和可得，結(jié)合不等式的性質(zhì)代入求解即可得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，所以，則，所以，則，不等式整理得，當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，顯然不滿足不等式；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，顯然滿足不等式；且當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，則不等式恒成立；故當(dāng)不等式成立時(shí)的最小值為9.故選：B.練習(xí)31．（2023春·北京·高三北京四中?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)求使不等式成立的最小正整數(shù)的值.