專題23 圓錐曲線與內(nèi)心問題(解析版)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項重難點突破練（新高考專用）

第第頁專題23圓錐曲線與內(nèi)心問題限時：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知點，分別是橢圓：的左、右焦點，點P是橢圓E上的一點，若的內(nèi)心是G，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)點G到各邊的距離為，由，得，

即，由橢圓定義知，，于是，所以橢圓E的離心率.故選：B2．已知、是橢圓的左右焦點，點為上一動點，且，若為的內(nèi)心，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由橢圓的方程可得，，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，可得，而，所以，所以，所以，因為，所以，即．故選：C．3．若橢圓的離心率為，兩個焦點分別為，，為橢圓上異于頂點的任意一點，點是的內(nèi)心，連接并延長交于點，則（

）A．2 B． C．4 D．【解析】

如圖，連接，，設(shè)到軸距離為，到軸距離為，則設(shè)△內(nèi)切圓的半徑為，則，，∴，不妨設(shè)，則，∴，因為橢圓的離心率為，∴，故選：A.4．已知，分別為雙曲線的左?右焦點，且，點P為雙曲線右支上一點，M為的內(nèi)心，若成立，則λ的值為（

）A． B． C．2 D．【解析】因為，所以，即，所以，所以離心率，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，又，所以，即，所以，所以.故選：B.5．已知雙曲線()的左?右焦點分別為為雙曲線上的一點，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（）A． B． C． D．【解析】如下圖示，延長到且，延長到且，所以，即，故是△的重心，即，又，所以，而是的內(nèi)心，則，由，則，故，即.故選：D6．已知雙曲線的左?右焦點分別為，離心率為2，焦點到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于兩點，若分別為與的內(nèi)心，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】由題意，在中，根據(jù)焦點到漸近線的距可得，離心率為2，∴，解得：，∴∴雙曲線的方程為.

記的內(nèi)切圓在邊，，上的切點分別為，則，橫坐標(biāo)相等，，，由，即，得，即，記的橫坐標(biāo)為，則，于是，得，同理內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，故軸.設(shè)直線的傾斜角為，則，（Q為坐標(biāo)原點），在中，，由于直線與的右支交于兩點，且的一條漸近線的斜率為，傾斜角為，∴，即，∴的范圍是.故選：D.7．設(shè)為橢圓上的動點，為橢圓的焦點，為的內(nèi)心，則直線和直線的斜率之積（）A．是定值 B．非定值，但存在最大值C．非定值，但存在最小值 D．非定值，且不存在最值【解析】連接并延長交軸于，則由內(nèi)角平分線定理可得：，，；設(shè)，，，則，，，則，又，則．，則，，，則，直線和直線的斜率之積是定值．故選：A．8．已知雙曲線的左?右焦點分別為，過右焦點的直線與雙曲線的右支交于兩點，若的內(nèi)心分別為，則與面積之和的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由雙曲線方程得：，，則，設(shè)內(nèi)切圓與三邊相切于點，，，，，又，，，設(shè)，則，解得：，即；同理可知：內(nèi)切圓與軸相切于點；分別為的角平分線，，又，∽，則，設(shè)內(nèi)切圓半徑分別為，，，即，，雙曲線的漸近線斜率，直線的傾斜角，，則，，解得：，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；，.故選：A.二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.9．已知，分別為雙曲線的左、右焦點，M為C的右頂點，過的直線與C的右支交于A，B兩點（其中點A在第一象限），設(shè)點P，Q分別為，的內(nèi)心，R，r分別為，內(nèi)切圓的半徑，則（

）A．點M在直線PQ上 B．點M在直線PQ的左側(cè)C． D．【解析】先證明一個結(jié)論：焦點在x軸上的雙曲線焦點三角形的內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)為.過的直線與C的右支交于A，B兩點，設(shè)點P為的內(nèi)心，設(shè)圓P與的切點分別為，則，則，解之得則切點的坐標(biāo)為.切點與雙曲線C的右頂點M重合，則圓P與x軸的切點為雙曲線C的右頂點M，同理可得圓Q與x軸的切點為雙曲線C的右頂點M.則直線的方程為，雙曲線C的右頂點M的坐標(biāo)為，則點M在直線PQ上.則選項A判斷正確；選項B判斷錯誤；選項C：.判斷正確；選項D：由直線的方程為，可得.判斷正確.故選：ACD10．已知橢圓：的左、右焦點分別為，右頂點為A，點M為橢圓上一點，點I是的內(nèi)心，延長MI交線段于N，拋物線（其中c為橢圓下的半焦距）與橢圓交于B，C兩點，若四邊形是菱形，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．橢圓的離心率是C．的最小值為 D．的值為【解析】對于A，因為橢圓的左、右焦點分別為，右頂點為A，則，，，，因為拋物線（其中c為橢圓下的半焦距）與橢圓交于B，C兩點，所以由橢圓與拋物線的對稱性可得，兩點關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)，，，因為四邊形是菱形，所以的中點是的中點，所以由中點坐標(biāo)公式得，則，將代入拋物線方程得，，所以，則，所以，故A正確；對于B，由選項A得，再代入橢圓方程得，化簡得，則，故，所以，故B錯誤；對于C，由選項B得，所以，則，所以，不妨設(shè)，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，即時，等號成立，所以的最小值為，故C正確；對于D，連接和，如圖，因為的內(nèi)心為，所以為的平分線，則有，同理：，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵點是利用橢圓與拋物線的對稱性，可設(shè)的坐標(biāo)，再由菱形的性質(zhì)與中點坐標(biāo)公式推得，從而求得的值，由此得解.11．已知雙曲線的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，點是雙曲線的右支上一點，且三角形為正三角形（為坐標(biāo)原點），記，的斜率分別為，，設(shè)為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，則下列說法正確的是（

）A． B．雙曲線的離心率為C． D．【解析】因為為正三角形，所以，所以，所以，故A正確將點坐標(biāo)代入雙曲線方程可得，即，即，即，即，設(shè)（），則，解之得：或（舍），所以，所以，故B正確，，故C錯誤，，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，，，，，所以，即，故D正確故選：ABD12．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過且傾斜角為的直線交雙曲線C的右支于A，B兩點，I為的內(nèi)心，O為坐標(biāo)原點，則下列結(jié)論成立的是（

）A．若C的離心率，則的取值范圍是B．若且，則C的離心率C．若C的離心率，則D．過作，垂足為P，若I的橫坐標(biāo)為m，則【解析】對于選項A，當(dāng)時，雙曲線的漸近線方程為，其傾斜角分別為，，因為過且傾斜角為的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，所以的取值范圍是，故A錯誤．對于選項B，由雙曲線的定義可知，又，故，，由，得，所以，連接，則，由得，在中，由余弦定理得，得，故，故B正確．對于選項C，因為C的離心率，所以，設(shè)的內(nèi)切圓I的半徑為r，則，故C正確．對于選項D，設(shè)，因為，AP為的平分線，所以為等腰三角形，，，則，在中，OP為中位線，所以．設(shè)的內(nèi)切圓I與，，相切的切點分別為D，N，M，則，又所以，，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知雙曲線的中心在原點，右頂點為，點在雙曲線的右支上，點到直線的距離為1．當(dāng)時，的內(nèi)心恰好是點，則雙曲線的方程．【解析】當(dāng)時，，由于點到直線的距離為，所以直線的斜率，因為點為的內(nèi)心，故是雙曲線上關(guān)于軸對稱的兩點，所以軸，不妨設(shè)直線交軸于點，則，所以點的坐標(biāo)為，所以兩點的橫坐標(biāo)均為，把代入直線的方程：，得，所以兩點的坐標(biāo)分別為：，設(shè)雙曲線方程為：，把點的坐標(biāo)代入方程得到，所以雙曲線方程為：.14．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P是C在第一象限上的一點，且直線的斜率為，點B為的內(nèi)心，直線PB交x軸于點A，且，則雙曲線C的漸近線方程為．【解析】如圖所示，設(shè)內(nèi)切圓與的三邊分別相切于三點，過P作軸于M點，因為，，，又由雙曲線定義得，即，由，故，即點橫坐標(biāo)為，因為直線的斜率為，所以，，又因為，所以，故直線的方程為，令，可得，即，因為，且，所以，故，可得，，在中，由余弦定理得，即，化簡得，即，解得，或（舍去），所以，故雙曲線C的漸近線方程為或．故答案為：或．15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，M是雙曲線C右支上一點，記的重心為G，內(nèi)心為I．若，則雙曲線C的離心率為．【解析】如圖，連接MG，MI并延長，與分別交于點O，D，設(shè)雙曲線C的焦距為2c，由題意，得，因為，且G為重心，則，所以，因為I為的內(nèi)心，所以MD為的平分線，所以，所以，又，所以，，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則M到x軸的距離為3r，因為，，所以，所以，所以雙曲線C的離心率．16．已知，分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，點為的內(nèi)心，若，則的面積為．【解析】延長交軸于點，設(shè)，則，，因此，，得，因此．設(shè)，，則內(nèi)切圓的半徑．又，所以，即．因為，所以，（橢圓的定義的應(yīng)用）由，可得，即，所以，故，（角平分線定理：三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例）因此，，由余弦定理得，因此，所以，故的面積為．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知橢圓的左、右焦點分別為，其離心率是，為橢圓上異于長軸端點的一點，，設(shè)的內(nèi)心為，且．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知直線過定點，若橢圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，求直線斜率的取值范圍．【解析】（Ⅰ）因為的內(nèi)心為，且，所以，又因為，所以，即橢圓的方程為.（Ⅱ）（ⅰ）由題意當(dāng)時，顯然合題意；（ⅱ）當(dāng)時，設(shè)直線，中點是，由，得，由得，

①由，得，所以在直線上，即，所以

②①②得，所以且．綜合（ⅰ）（ⅱ）即直線斜率的取值范圍是．18．已知橢圓C：，直線與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，為其左、右焦點，P為橢圓C上任一點，的重心為G，內(nèi)心為I，且．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線與橢圓C交于不同的兩點A、B，且線段AB的垂直平分線過定點，求實數(shù)k的取值范圍．【解析】（1）設(shè)，則，設(shè)，則由，可得，∵，∴∴，即，∵直線y與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切∴，∴，∴橢圓的方程為；（2）設(shè)，則直線方程代入橢圓方程可得，由，可得，即，∵，∴，∴線段AB的中點R的坐標(biāo)為，∵線段AB的垂直平分線的方程為，R在直線上，∴，∴m，∴，∴，∴或．19．已知是圓：上的動點，點，直線與圓的另一個交點為，點在直線上，，動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若過點的直線與曲線相交于，兩點，且，都在軸上方，問：在軸上是否存在定點，使得的內(nèi)心在一條定直線上?請你給出結(jié)論并證明.【解析】（1）圓的圓心為，半徑，因為，所以，又因為，所以，所以，所以點在以，為焦點，為實軸長的雙曲線上，設(shè)雙曲線的方程為，則，.所以，，又不可能在軸上，所以曲線的方程為.

（2）在軸上存在定點，使得的內(nèi)心在一條定直線上.證明如下：由條件可設(shè)：.代入，得，設(shè)，，則，得，所以所以，取，則又，都在軸上方，所以的平分線為定直線，所以在軸上存在定點，使得的內(nèi)心在定直線上.20．已知橢圓，直線與以原點為圓心，以橢圓的短半軸為半徑的圓相切，為其左右焦點，為橢圓上的任意一點，的重心為，內(nèi)心為，且,（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知為橢圓上的左頂點，直線過右焦點與橢圓交于兩點，若的斜率滿足，求直線的方程．【解析】（Ⅰ）設(shè)，，則又，，，，故．又直線與以原點為圓心，以橢圓的短半軸為半徑的圓相切，，，．．（Ⅱ）若直線斜率不存在，顯然不合題意；則直線的斜率存在．設(shè)直線為，直線和橢圓交于，．將代入中得到：,依題意：,由韋達(dá)定理可知：又而從而求得,故所求直線的方程為：，即21．已知點是雙曲線的左、右焦點，是右支上一點，的周長為，為的內(nèi)心，且滿足.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過的直線與雙曲線的右支交于兩點，與軸交于點，滿足（其中），求的取值范圍.【解析】（1）設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由題意.所以，因為的周長為，所以，所以，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題知，直線斜率存在且不為，可設(shè)其方程為，，聯(lián)立，整理得因為直線與雙曲線右支交于兩點，則有，解得，所以，因為，所以，所以，即，同理，所以，①②兩式相除得.因為，當(dāng)與漸近線平行時，，此時，因為與雙曲線右支交于兩點，所以，.所以，所以，即的取值范圍為.22．已知橢圓的右焦點為，點A，B在橢圓C上，點到直線的距離為，且的內(nèi)心恰好是點D．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方