大學(xué)《概率論》課件第四節(jié) 條件概率與事件的相互獨立性

目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機事件及其運算概率的定義及其性質(zhì)等可能概型條件概率與事件的相互獨立性全概率公式與貝葉斯公式目錄/Contents1.4條件概率與事件的相互獨立性一、條件概率二、事件的相互獨立性三、伯努利概型甲乙兩臺車床加工同一種機械零件，質(zhì)量表如下：正品數(shù)次品數(shù)

合計甲車床35540乙車床501060總計8515100一、條件概率

從這100個零件中任取一個，求下列事件的概率：引例1.1.引例(1)取出的一個為正品；(2)取出的一個為甲車床加工的零件；(3)取出的一個為甲車床加工的正品；(4)已知取出的一個為甲車床加工的零件，其為正品.ABABC(1)(2)(3)解一、條件概率1001585總計601050乙車床40535甲車床

合計次品數(shù)正品數(shù)解附加條件BA(4)(1)取出的一個為正品；(2)取出的一個為甲車床加工的零件；(3)取出的一個為甲車床加工的正品；(4)已知取出的一個為甲車床加工的零件，其為正品.ABABC1001585總計601050乙車床40535甲車床

合計次品數(shù)正品數(shù)一、條件概率

注.BA

這是巧合嗎？不是.一、條件概率

定義

設(shè)A，B是同一樣本空間中的兩個事件，且P(B)>0,則稱為事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率.注.①樣本空間縮減法；2.條件概率的定義②用定義.一、條件概率

(1)求在有3個小孩的家庭中，至少有一個女孩的概率(設(shè)男孩與女孩是等可能的).解例1男女123樣本點總數(shù)：23.一、條件概率

在有3個小孩的家庭中，已知至少有1個女孩，求該家庭至少有1個男孩的概率.(2)解一、條件概率

設(shè)A=“能活20歲以上”的事件;

B=“能活25歲以上”的事件,則有

某種動物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物,問它能活到25歲以上的概率是多少?例2一、條件概率

解3.條件概率的性質(zhì)(2)規(guī)范性：(3)可列可加性：(4)對立事件的條件概率：一、條件概率

4.乘法公式推廣：意義：兩事件積的概率等于其中的某一事件的概率乘以另一事件在前一事件已發(fā)生的條件下的條件概率.一、條件概率

一般地，設(shè)則推廣：證:一、條件概率

從100件產(chǎn)品（其中有5件次品）中，無放回地抽取兩件，問第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少?例3

設(shè)A=“第一次取到正品”;B=“第二次取到次品由于第一次取到正品后不放回，因此，第二次是在99件中（不合格品仍是5件）任取一件，所以故由乘法公式即得解一、條件概率

某人忘記電話號碼的最后一個數(shù)字，因而任意例4地按最后一個數(shù)，試求：(1)不超過四次能打通電話的概率；設(shè)Ai=“第

i次能打通電話”，i=1,2,3,4(1)設(shè)A=“不超過四次能打通電話”，則A=A1∪A2∪A3∪A4故解一、條件概率

設(shè)B=“已知最后一個數(shù)字是偶數(shù)，不超過三次能B=B1∪B2∪B3故

某人忘記電話號碼的最后一個數(shù)字，因而任意地按最后一個數(shù)，試求：(2)若已知最后一個數(shù)字是偶數(shù)，則不超過三次能打通電話的概率是多少？

設(shè)Bi=“已知最后一個數(shù)字是偶數(shù)，第

i

次能打通電話”，i

=1,2,3打通電話”，則例4一、條件概率

解1、兩個事件的獨立性一般地，這意味著：事件B的發(fā)生對事件A發(fā)生的概率有影響.然而，在有些情形下又會出現(xiàn)：二、事件的獨立性則有引例二、事件的獨立性2.定義(兩個事件的獨立性)二、事件的獨立性注：

獨立與互斥的關(guān)系兩事件相互獨立兩事件互斥例如二者之間沒有必然聯(lián)系兩事件相互獨立兩事件互斥.二、事件的獨立性11又如：兩事件相互獨立.兩事件互斥可以證明：

特殊地，A與B

獨立

A與B

不互斥或A與B

互斥

A與B

不獨立二、事件的獨立性定理（相互獨立的充要條件）二、事件的獨立性定理

二、事件的獨立性定理二、事件的獨立性甲,乙兩人同時向敵人炮擊,已知甲擊中敵機的概率解設(shè)A={甲擊中敵機}B={乙擊中敵機}C={敵機被擊中}依題設(shè),例5為0.6,乙擊中敵機的概率為0.5,求敵機被擊中的概率.

由于甲，乙同時射擊，甲擊中敵機并不影響乙擊中敵機的可能性，所以A與B獨立.二、事件的獨立性（1）

三事件相互獨立定義2、多個事件的獨立性二、事件的獨立性

設(shè)A1，A2，…，An為n個事件，若對于任意k(2≤k≤n),及1≤i1<i

2<···<i

k≤n

，有（2）n

個事件的相互獨立性定義

特別地，設(shè)A1，A2，…，An為n個事件，若對于任意兩個事件都相互獨立，則稱A1，A2，…，An兩兩獨立.注.

二、事件的獨立性設(shè)袋中有4個乒乓球，其中1個涂有白色，1個例6涂有紅色，1個涂有藍色，1個涂有白、紅、藍三種顏色.今從袋中任取一乒乓球，記A=“取出的球涂有白色”B=“取出的球涂有紅色”C=“取出的球涂有藍色”試證事件A，B，C兩兩相互獨立，但三者不相互獨立.證又有故二、事件的獨立性即事件A，B相互獨立.類似可證，事件A，C相互獨立，事件B，C相互獨立.但而所以事件A，B，C不相互獨立.二、事件的獨立性兩個結(jié)論二、事件的獨立性n個獨立事件和的概率公式:設(shè)事件相互獨立,則即n個獨立事件至少有一個發(fā)生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積.

結(jié)論的應(yīng)用二、事件的獨立性若設(shè)n個獨立事件A1,

A2,

…,An發(fā)生的概率分別為類似可以得出：p1,

p2,

…,pn，則事件A1,

A2,

…,An中至少有一個發(fā)生的概率為事件A1,

A2,

…,An中至少有一個不發(fā)生的概率為二、事件的獨立性若每個人血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%,假設(shè)解則例7每個人血清中是否含有肝炎病毒相互獨立，混合100個人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率.而依題設(shè)，二、事件的獨立性用高射炮射擊飛機，如果每門高射炮擊中飛機的解在同時射擊時，事件B1和B2是相互獨立的，故有例8概率是0.6，試問：（1）兩門高射炮同時進行射擊，飛機被擊中的概率是多少？故(1)二、事件的獨立性（2）若有一架敵機入侵，需要多少門高射炮同時射擊才能以99%的概率命中敵機？解令n是以99%的概率擊中敵機所需高射炮的門數(shù)，故由上面的討論可知若有一架敵機入侵，至少需要6門高射炮同時射擊.(2)用高射炮射擊飛機，如果每門高射炮擊中飛機的例8概率是0.6，試問：二、事件的獨立性則稱這n次重復(fù)試驗為n重伯努利試驗.若n

次重復(fù)試驗具有下列特點：1.n

重伯努利(Bernoulli)試驗1)每次試驗的可能結(jié)果只有兩個：A或2)各次試驗的結(jié)果相互獨立，(在各次試驗中p是常數(shù)，保持不變）三、伯努利概型實例3在相同的條件下獨立射擊n次，每次射擊時觀察是否命中目標就是n重伯努利試驗.實例1

拋一枚硬幣觀察得到正面或反面.若將硬幣拋n次,就是n重伯努利試驗.實例2

拋一顆骰子n次,觀察是否“出現(xiàn)

1點”,

就是

n重伯努利試驗.實例4在產(chǎn)品抽樣調(diào)查中，有放回抽取n次，觀察出現(xiàn)正品還是次品就是n重伯努利試驗.三、伯努利概型2.伯努利概型定理

如果在伯努利試驗中，事件A出現(xiàn)的概率為p(0<p<1),則在n次試驗中，A恰好出現(xiàn)k

次的概率為：利用上述關(guān)系式討論事件概率的數(shù)學(xué)模型稱為伯努利概型，又稱為二項概型.三、伯努利概型推導(dǎo)如下：且兩兩互不相容.三、伯努利概型解由二項概型有，例9某車間有5臺某型號的機床，每臺機床由于種種原因（如裝、卸工件，更換刀具等）時常需要停車.設(shè)各臺機床停車或開車是相互獨立的.若每臺機床在任一時刻處于停車狀態(tài)的概率為1/3.試求在任一個時刻，(1)恰有一臺機床處于停車狀態(tài)的概率；設(shè)A=“任一時刻任一臺機床處于停車狀態(tài)”三、伯努利概型(2)至少有一臺機床處于停車狀態(tài)的概率；(2)設(shè)B=“至少有一臺機床處于停車狀態(tài)”某車間有5臺某型號的機床，每臺機床由于種種原因（如裝、卸工件，更換刀具等）時常需要停車.設(shè)各臺機床停車或開車是相互獨立的.若每臺機床在任一時刻處于停車狀態(tài)的概率為1/3.試求在任一個時刻，例9解三、伯努利概型(3)至多有一臺機床處于停車狀態(tài)的概率；(3)設(shè)C=“至多有一臺機床處于停車狀態(tài)”，則解某車間有5臺某型號的機床，每臺機床由于種種原因（如裝、卸工件，更換刀具等）時常需要停車.設(shè)各臺機床停車或開車是相互獨立的.若每臺機床在任一時刻處于停車狀態(tài)的概率為1/3.試求在任一個時刻，例9三、伯努利概型經(jīng)計算得練習(