2022年廣西玉林市博白縣高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（附答案詳解）

2022年廣西玉林市博白縣高考數(shù)學(xué)模擬試卷(理科)

1.復(fù)數(shù)z滿足(3-2i)z=13,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知集合4={x|y=ln(x—2)},集合B={y|y=《尸,》>—3},則ZnB=()

A.0B.(2,8)C.(3,8)D.(8,+8)

3.已知命題p：若2工>1,則1cx<2；命題q：Vx>0,lg(x+1)>0.那么下列命題為真

命題的是()

A.pA<7B.pA(-)q)C.(-ip)AqD.(-ip)A(rq)

4.我國(guó)某科研機(jī)構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn)階

段.已知這種新藥在注射停止后的血藥含量c(t)(單位：mg/L)隨著時(shí)間t(單位：h)的變化用

指數(shù)模型c(t)=c°e-kt描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)k=0.1(單位：/ri),剛注射這種新

藥后的初始血藥含量分=2000mg/L,且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于lOOOmg/L

時(shí)才會(huì)對(duì)新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥，則該新藥對(duì)病人有療效的時(shí)長(zhǎng)

大約為(參考數(shù)據(jù)：ln2x0,693,ln3?1.099)()

A.5.32hB.6.23/1C.6.93/iD.7.52/i

5.己知雙曲線C：盤一*1(。>0,匕>0))的焦距為26，且實(shí)軸長(zhǎng)為2,則雙曲線C的漸

近線方程為()

A.y=±1xB.y=±2xC.y=±V5xD.y=±yx

6.將函數(shù)/'(x)=sinx-VScosx圖象上所有點(diǎn)向左平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)

的圖象，若g(x)是奇函數(shù)，則。的最小值是()

aA—12BD，—6JC-6DU--3

7.如圖，在正方體48。。-&8傳1。1中，E,F分別為BC,的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A,E,F作一

截面，該截面將正方體分成上下兩部分，則下部分幾何體的正視圖為()

A.B.C.D.

8.有詩(shī)云：“芍藥乘春寵，何曾羨牡丹.“芍藥不僅觀賞性強(qiáng)，且具有藥.——,——.

用價(jià)值.某地打造了以芍藥為主的花海大世界.其中一片花海是正方形，它

的四個(gè)角的白色部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心、正方形邊長(zhǎng)的一半為半徑產(chǎn)勺產(chǎn)［

的圓弧與正方形的邊所圍成的（如圖所示）,白色部分種植白芍，中間陰影部分?X——I

種植紅芍.倘若你置身此正方形花海之中，則恰好處在紅芍中的概率是（）

A.14B.鴻C(jī).=-lD.2

9.蜚英塔俗稱寶塔，地處江西省南昌市，建于明朝天啟元年（1621年），為中國(guó)傳統(tǒng)的樓閣式

建筑.蜚英塔坐北朝南，磚石結(jié)構(gòu)，平面呈六邊形，是江西省省級(jí)重點(diǎn)保護(hù)文物，已被列為

革命傳統(tǒng)教育基地.某學(xué)生為測(cè)量蜚英塔的高度，如圖，選取了與蜚英塔底部。在同一水平

面上的A,B兩點(diǎn)，測(cè)得4B=35近米，ACAD=45°,ACBD=30°,乙4OB=150。，則蜚英

塔的高度CO是（）

A.30米B.30夕米C.35米D.35迎米

10.直線x+y-4=0平分圓C：/+丫2-2以一26'-5+/=0的周長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)P（-l,-b）作

圓C的一條切線，切點(diǎn)為。，則|PQ|=（）

A.5B.4C.3D.2

11.已知，〃，“都是正整數(shù)，且e"1+Inn<m+n,則（）

A.n>emB.m>emC.n<emD.m>en

12.已知尸2是橢圓真+，=1（。>/?>0）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)「在橢圓上，0?+兩）?布=0,且

\0P+0K\=2b,則橢圓的離心率為（）

aA—3BD，—5C—4D—5

13.已知向量1=（m,2）,b=（3,—1）,若（2五十石）1%,則.

14.離散型隨機(jī)變量6的分布列如表：則實(shí)數(shù)a=；F?）=.

-101

11

Pa

42

15.若正四棱錐P—ABC。內(nèi)接于球0,且底面ABC。過(guò)球心O,球的半徑為4,則該四棱錐

內(nèi)切球的體積為.

16.已知函數(shù)f(x)=>一給出下列結(jié)論：

L-L

①/'(X)是偶函數(shù)；

②/(x)在(0,+8)上是增函數(shù)；

③若t>0,則點(diǎn)(t,f(t))與原點(diǎn)連線的斜率恒為正.

其中正確結(jié)論的序號(hào)為.

17.已知數(shù)列｛即｝的各項(xiàng)均為互不相等的正數(shù)，且的=1,記Sn為數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和，從下

面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立.

①數(shù)列｛即｝是等比數(shù)列；

②數(shù)列｛Sn+1｝是等比數(shù)列；

③=4a3.

18.遵守交通規(guī)則，人人有責(zé),“禮讓行人”是我國(guó)《道路交通安全法》的明文規(guī)定，也是全

國(guó)文明城市測(cè)評(píng)中的重要內(nèi)容.《道路交通安全法》第47條明確規(guī)定：“機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行橫

道時(shí)，應(yīng)當(dāng)減速行駛，遇行人正在通過(guò)人行橫道，應(yīng)當(dāng)停車讓行.機(jī)動(dòng)車行經(jīng)沒(méi)有交通信號(hào)的

道路時(shí)，遇行人橫過(guò)道路，應(yīng)當(dāng)避讓.否則扣3分罰200元”.如表是2021年1至4月份我市

某主干路口監(jiān)控設(shè)備抓拍到的駕駛員不“禮讓行人”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

月份1234

違章駕駛員人數(shù)12510510090

(1)請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)y與月份X之間的回歸直線方程y=bx+a,并預(yù)測(cè)該路口

2021年5月不“禮讓行人”駕駛員的大約人數(shù)(四舍五入)；

(2)交警從這4個(gè)月內(nèi)通過(guò)該路口的駕駛員中隨機(jī)抽查50人，調(diào)查駕駛員不“禮讓行人”行

為與駕齡的關(guān)系，得到如表：

不禮讓行人禮讓行人

駕齡不超過(guò)2年1020

駕齡2年以上812

能否據(jù)此判斷有90%的把握認(rèn)為“禮讓行人”行為與駕齡有關(guān)？

參考公式：匕=￡之心仍-「=空1(步變其

Pg>k)0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

2

K2一(a+b)(cld)(a+)c)(b+d)'其中"-。i力1C1d.

19.如圖，在直三棱柱48。一4出6中，￡>、E分別是棱44卜CQ上的點(diǎn)，AD=QE=基4,

41cl=BiC].

(1)求證：平面DEa1平面AiABBi；

(2)若直線8山與平面ABC所成的角為45。，且必/=四&G，求二面角。-BXE-B的正弦

20.在平面直角坐標(biāo)系xO.y中，點(diǎn)M(0,l),記動(dòng)點(diǎn)P到直線/：y=-2的距離為d,且d=\PM\+1,

設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)直線m交曲線E于A,B兩點(diǎn)，曲線E在點(diǎn)4及點(diǎn)8處的切線相交于點(diǎn)C.設(shè)點(diǎn)C到直線/

的距離為/?,若△ABC的面積為4,求證：存在定點(diǎn)T,使得單恒為定值.

21.已知函數(shù)/(%)=ax+1-%ln%的圖像在％=1處的切線與直線x-y=0平行.

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若V%1，%2e(0,4-00),且%1>%2時(shí),，/(%1)-/(%2)>加(好一好)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

22.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，曲線G的參數(shù)方程為后Z:iK°s,(。為參數(shù))，曲線。2的參數(shù)

方程為二f(t為參數(shù))?已知曲線Q與X，y軸正半軸分別相交于A,8兩點(diǎn).

(1)寫(xiě)出曲線C1的極坐標(biāo)方程，并求出A,B兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

(2)若過(guò)原點(diǎn)O且與直線AB垂直的直線/與曲線G交于尸點(diǎn)，與直線AB交于。點(diǎn)，求線段

P。的長(zhǎng)度.

23.已知m>0,函數(shù)f(%)=2\x-1|-\2x4-?n|的最大值為3.

(團(tuán))求實(shí)數(shù)TH的值;

(團(tuán))若實(shí)數(shù)a,b,c滿足a-2b+c=m,求a?++的最小值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解:由(3—2i)?z=13,得z==3+2i,

故z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(3,2),在第一象限.

故選：A.

先對(duì)z化簡(jiǎn)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：由題意可得：A=(2,+oo),B=(0,8),

?■AC\B=(2,8),

故選：B.

先化簡(jiǎn)，再運(yùn)算即可求解.

本題考查描述法表示集合，集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：命題p：由2*>1可得：%>0,故命題p為假命題，

命題q：因?yàn)閤>0,則x+l>l,所以lg(x+1)>0,故命題q為真命題,

所以選項(xiàng)C為真命題，選項(xiàng)8,C,。為假命題，

故選：C.

先判斷命題"，q的真假，再根據(jù)復(fù)合命題的真值表即可判斷.

本題考查了命題的真假判斷，考查了學(xué)生的理解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

ktolt

【解析】解：由題意得，c(t)=coe-=2OOOe-,

設(shè)該藥在病人體內(nèi)的血藥含量變?yōu)?000mg/L時(shí)需要是時(shí)間為J,

由cG)=2OOOe-oltl>1000,得

故一O.lt2-ln2,tW署*6.93/1.

???該新藥對(duì)病人有療效的時(shí)長(zhǎng)大約為6.93h.

故選：C.

利用已知條件c(t)=Coe*=2OOOe-olt,求解指數(shù)不等式得答案.

本題考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)模型，考查指數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

由雙曲線的截距和實(shí)軸長(zhǎng)可得c,。的值，再由“，b,c之間的關(guān)系可得匕的值，進(jìn)而求出焦點(diǎn)在

x軸的雙曲線的漸近線的方程.

本題考查雙曲線的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：由焦距2的可知c=遍，再由實(shí)軸長(zhǎng)2可知a=1,

所以〃=c2—a?=5—1=4,即b=2,

所以焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線的方程為y=±^x=±2x,

故選：B.

6.【答案】D

【解析】解：函數(shù)/'(%)=sinx-V3cosx=2sin(x-》圖象上的所有點(diǎn)向左平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)

度，得到g(x)=2sin(x+a-),

由于函數(shù)g(x)是奇函數(shù).

所以：a=krt,k&Z,

解得：a=k7r+g,keZ,

由于a>0,

所以：當(dāng)k=0時(shí)，a的最小值為今

故選：D.

首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，把函數(shù)的圖象進(jìn)行平移變換，利用奇函數(shù)的性質(zhì)，求出

。的最小值.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的

運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型.

7.【答案】A

【解析】解：由題意可知，幾何體的圖形如圖，幾何體的正視

圖為平面DCF5,

故選：4

E

判斷幾何體的形狀，然后說(shuō)明正視圖即可.

本題考查幾何體的正視圖的判斷，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則正方形面積為4,

圖中陰影部分的面積為4一苧x4=4-7r,

二所求概率P==1—

故選：A.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,分別求出正方形及陰影部分的面積，再利用幾何概型的概率公式求解即可.

本題考查幾何概型概率的求法，關(guān)鍵是求出陰影部分的面積，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解：設(shè)CD=/i,

在RtAACD中，4c4。=45°,所以4C=CD=九，

在RtABCD中，Z.CBD=30°,所以BD=WCD=血,

在AABD中，由余弦定理知，AB2=AD2+BD2-2AD-BDcos/.ADB,

所以(35或＞=h2+(V3/i)2-2ft-V3h-(-y),解得h=35,

所以蜚英塔的高度CD是35米.

故選：C.

設(shè)CD=/i,易知2D=h，BD=V3h,再在△力BD中，利用余弦定理，可得關(guān)于〃的方程，解之

即可.

本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感和運(yùn)算求解能

力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

【解析】解：圓C：/+y2-2加；一2by-5+/=o的圓心為c(瓦b),半徑為r=7b2+5,

因?yàn)橹本€％+y—4=0平分圓C：%2+y2—2bx—2by-5+爐=0的周長(zhǎng)，

所以直線％+y-4=0經(jīng)過(guò)C(b,b),所以b+h-4=0,故b=2,

由已知P(—1,—2),C(2,2),|PC|="32+42=5,圓的半徑為3,

所以|PQ|二y/PC2-r2=4,

故選：B.

由條件求出參數(shù)b,再根據(jù)切線的性質(zhì)|PQ|.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

11.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閑*71+Inn<m+n,所以e771—m<n-Inn=eInn—Inn,令/'(%)=ex—x,(x>

0)，

所以f'(x)=/一120,故/(x)在0,+8)上單調(diào)遞增，

由已知得fOn)</(Inn),

故TH<Inn,因?yàn)橄?，“都是正整?shù)，BPem<n.

故選：A.

根據(jù)題意得e7n-m</皿一Irm,構(gòu)造函數(shù)/(x)=e*-x,(x20)求解即可.

本題考查導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.【答案】A

【解析】解：如圖，設(shè)線段PF2的中點(diǎn)為M,

???點(diǎn)P在橢圓上,。？+理)?訊=0,且|赤+兩|=2b,

???OM1PF2,\PO\=\OF2\=\OFT\=c,\OM\=b,

連接PA，可得△P&Fz為直角三角形，且|PFi|=2\OM\=2b,

\PF2\=2a-2b,

在直角三角形PF1F2中，由|P&E+仍尸2/=|&尸2|2,

即可得(26)2+(2a—2b產(chǎn)=(2c)2,整理可得3b=2a,

故選：A.

設(shè)線段PF2的中點(diǎn)為M,可得△P&F2為直角三角形，且|PF/=2\0M\=2b,\PF2\=2a-2b,

在直角三角形P&F2中，利用勾股定理可得3b=2a,即可求解.

本題考查了橢圓的性質(zhì)與定義，考查了運(yùn)算能力、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

13.【答案】-1

【解析】解：?.?向量五=(犯2),『=(3,-1),(2a+b)lb,

2

A(2a+b')-b=2a-b+b=2(3m-2)+10=0,

則m=-1,

故答案為：-1.

由題意，利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，計(jì)

算求得m的值.

本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，屬

于基礎(chǔ)題.

14.【答案】公

【解析】解：由分布列的性質(zhì)可知，l+a+l=l,解得a=3，

111

F(f)=-lx-+0+lx-=-.

故答案為：

根據(jù)已知條件，結(jié)合分布列的性質(zhì)，以及期望公式，即可求解.

本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，以及期望公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】64M3)-5)

【解析】解：因?yàn)檎睦忮FP-4BCD內(nèi)接于球O,且底面ABCO過(guò)球心。，球的半徑為4,

所以。4=OB=OC=OD=OP=4,

所以4B=BC=CD=DA=PA=PB=PC=PD=4近，

2

所以正四棱雉P-ABCD的表面積為S=4xyx(4立產(chǎn)+(472)=3273+32,

正四棱雉P-48co的體積為V=1x(4V2)2x4=早

設(shè)正四棱雉P-ABCD內(nèi)切球的半徑為r,則

=1(32百+32)r=竽，

解得r=2(b一1),

所以該四棱錐內(nèi)切球的體積為^?！?=?兀*[2(V3-I)]3=處等也,

故答案為：弛耍2.

利用等體積法可求出四棱錐內(nèi)切球的半徑，從而可求出其體積.

本題考查內(nèi)切球的體積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.【答案】①③

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)7。)=忐7,依次分析3個(gè)命題：

對(duì)于①，/。)=尹%，必有2、一2―力0,解可得x#0,即函數(shù)的定義域?yàn)?｝,

又由/'(-X)==2匕-*=f(X),則/'(")為偶函數(shù)，①正確：

對(duì)于②，/'(2)=<忑=當(dāng)>1，f(10)=cl鄴io<1，則/(%)在(0,+8)上不是增函數(shù)，②錯(cuò)

2—24—T2—2

4

誤；

對(duì)于③，〃%)=環(huán)3,若t>0,有2，-2T>0,必有f(t)=￡三>0,

則點(diǎn)(t,f(t))與原點(diǎn)連線的斜率k=空/>0,③正確：

故答案為：①③.

根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的解析式，依次分析三個(gè)命題是否正確，即可得答案.

本題考查命題真假的判斷，涉及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：當(dāng)①③=②時(shí)，

已知數(shù)列｛冊(cè)｝是等比數(shù)列，a5=4a3.

設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為4,又％=1,

所以%=qn-1,

因?yàn)檑?4。3，所以q4=4q2,根據(jù)題意可知q>0,所以解得q=2,

所以Sn=套=2'_1,

所以cin-qn-1,且S]+1=2,

所以數(shù)列｛Sn+1｝是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.

當(dāng)①②=③時(shí)，

已知數(shù)列｛即｝是等比數(shù)列，數(shù)列｛Sn+1｝是等比數(shù)列.

設(shè)數(shù)列5｝的公比為q,又仰=1,根據(jù)題意"1,所以an=qi%=段’

所以%+1=皆工，Sn+1=2?,S2+1="M=q+2,S3+1=空F，

2

因?yàn)閿?shù)列卜4+1｝是等比數(shù)列，所以(S2+I)=(Si+1)(S3+1),

即(q+2)2=2(學(xué)了)，

化解得q3-3q2+2q=0,即q(q-2)(q-1)=0,根據(jù)題意q>0且q#1,所以得q=2,

從而=24=16?4a3=4X22=16,所以有=4a3.

當(dāng)②③》①時(shí)，

己知數(shù)列｛S^+1｝是等比數(shù)列，&=4a3.

因?yàn)?為數(shù)列｛廝｝的前〃項(xiàng)和，且即=1,所以S1+1=2,

設(shè)數(shù)列｛S"+l｝的公比為公

根據(jù)題意有q>。且q*1,所以％+1=(S[+l)qn-1=

n-1n2n2

當(dāng)n>2時(shí)，an=Sn_1-Sn-i=0+1)-(5n-i+D=2<7-2q-=2(g-l)q~,

又因?yàn)?4a3,所以2(q-l)q3=8(q-l)q,

又qrl,所以有q2=%又q>。，所以q=2,

所以得%=2(q—l)qn~2=2"T(n>2),

當(dāng)n=l時(shí)，由上式得的=1,這與已知的=1相一致，

所以數(shù)列｛6｝是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.

【解析】當(dāng)①③=②時(shí)，利用數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果；

當(dāng)①②=③時(shí)，利用數(shù)列的前w項(xiàng)和公式的應(yīng)用求出結(jié)果；

當(dāng)②③=①時(shí)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力,

屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：⑴由表中數(shù)據(jù)知，I+2：3+4=.

-125+105+100+90cl

y=------1------=105,

所以b=暹電「啰=995-1050-

^^二T，

必辭f%

所以a=y-bx=105-(-11)x|=132.5,

故所求回歸直線方程為y=-llx+132.5,

令x=5,則y=-11x5+132.5=77.5=78人，

所以預(yù)測(cè)該路口5月份不“禮讓行人”的駕駛員大約人數(shù)為78人.

(2)由表中數(shù)據(jù)得K2=9%黑湍)-023<2.706,

根據(jù)統(tǒng)計(jì)知，沒(méi)有90%的把握認(rèn)為“禮讓行人”行為與駕齡有關(guān).

【解析】(1)求解回歸直線方程的相關(guān)系數(shù)，得到回歸直線方程，代入x=5,求解預(yù)報(bào)值即可。

(2)求解即可判斷是否有90%的把握認(rèn)為“禮讓行人”行為與駕齡有關(guān).

本題考查回歸直線方程的求法與應(yīng)用，獨(dú)立檢驗(yàn)思想的應(yīng)用，是中檔題。

19.【答案】證明：(1)取A/1中點(diǎn)01，A8中點(diǎn)O,

連。10交OB1于F,連EROiG，則0/〃&D,

v。1尸="道=DA=C1E,

???。/〃。述且0/=C[E,

。傳出尸是平行四邊形，

???OiCJ/EF,

AxCr=BQ,

???01cl-L

又平面為BlGJ?平面4BlBA,交線為4/1，01C1U平面

A01GJL平面4/184,

EF_L平面4出84

又EFu平面DEB1，

(2)由(1)知,OC,OB,。。1兩兩垂直,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

取上一點(diǎn)M,使=DA,連AM,

則又MB_L平面ABC,

因?yàn)楫?dāng)。與平面ABC所成角為NAMB,

AAMAB=45°,

AB=BM=^2BB^

不妨設(shè)=3,

則AB=2,AD=C1E—=y/2A1C1=2,

：,G=B1C1=y/2f:，OC=1,

4(0,—1,0),0(0,fl),E(l,0,2),81(0,1,3),C(l,0,0),

說(shuō)=(1,1,1),西=(0,2,2),

設(shè)平面DEB1的法向量為沆=(%,y,z),

[DE-m=0.(x+y+z=0(y——z

{DBI-m=0，*'(2y+2z=0?(x=0

取y=l,得沆=(0,1,-1),

平面BBiE的一個(gè)法向量7?==(1J,0),

cos(m,n)=沅五_]_1

|m||n|-V2xV2-2,

??二面角。-B1E-B的平面角的正弦值為JI]=f.

【解析】本題主要考查面面垂直的判定與性質(zhì)，空間向量及其應(yīng)用，二面角的相關(guān)計(jì)算等知識(shí),

屬于中等題.

(1)由題意首先證得線面垂直，然后結(jié)合面面垂直的判斷定理證明面面垂直即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求得半平面的法向量，然后求得二面角的余弦值，最后利用同角三角函

數(shù)基本關(guān)系確定二面角的正弦值即可.

20.【答案】解：(1)由題意可知P到定點(diǎn)M的距離與P到直線y=-1的距離相等,

P的軌跡是拋物線且與=1，P=2,

曲線E的方程為x-2=4y；

22

(2)證明：設(shè)直線m的方程為y=kx+m,A(xlf^),B(x2,y),

聯(lián)立消去y整理得，x2-4kx-4m=0,A=16k24-16m>0,

所以戶+"2=4匕

U1x2=

由y="http://=

???切線AC的方程為y=芟Q—/)+[=—苧①

BC方程為y=：x-苧，②

聯(lián)立①②得血/x=3+乃產(chǎn)1一冷),

.?.和=警=2與=表空-3=竿=-皿，

即C(2k,—m),

設(shè)A8的中點(diǎn)為NQo，yo)，

???x0=-2k,

ACN1%軸,

22

N(2k,2k24-m),C(2k,—rn),CN=2k+2m,|xt—x2\=4Vfc4-m,

4k2+m24(l-7n)+m2

???/!=2-m,存在定點(diǎn)7(0,0)使得早=2-m

2—m2—m

【解析】(1)由P到定點(diǎn)M的距離與P到直線y=-1的距離相等結(jié)合拋物線的定義得出曲線E的

方程;

(2)設(shè)直線，〃的方程為y=kx+rn,由韋達(dá)定理以及導(dǎo)數(shù)得出切線AC,BC的方程，并聯(lián)立得出點(diǎn)

C坐標(biāo)以及/i=2—m,由三角形面積公式得出1+加=1,進(jìn)而存在定點(diǎn)7(0,0)使得早=1.

本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題以及圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由/(x)=QX+1-％lnx,得/'(%)=a—1-Inx,

則((1)=Q_1,

由切線與直線式一y=0平行，可得=即a=2,

???/(%)=2%4-1—xlnx,則/'(%)=1—Inx,

由/(%)>0,得1—In%>0,即0<xVe,由/'(%)<0,得1—In%<0,即%>e,

???/(%)在(0,e)上單調(diào)遞增，在?+8)上單調(diào)遞減；

若有好-抬,

(2)vx1>x2,V%i，x2W(0,4-oo),f(%[)-/(x2)>mm

即有f(%i)-mxl>f3)一根底恒成立，設(shè)g(%)=/(x)-mx2,

???g(%)=/(%)-Tn/在(0,+8)上為增函數(shù)，即有g(shù)'(x)=1-Inx-2mx>0對(duì)％>0恒成立，

可得2m<3”在x>。恒成立，令/i(x)=W竺，得"(x)=與土，

當(dāng)九'(%)=0,得x=e2,則九(%)在(0,92)上單調(diào)遞減，在(e?,+8)上單調(diào)遞增，

九⑶在x=e2處取得極小值，且為最小值一去，可得2小式一白，即巾<—表.

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(一8,-表].

【解析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用/"'(l)=a—l=1,即可求得a值，可得f'(x)=1—lnx,

再由尸