塑性力學3課件

第三章應力和應變§3.1應力分析§3.2應變分析塑性力學3§3.1應力分析

一、應力張量及其分解(1)一點的應力狀態(tài)通過一點P的各個面上應力狀況的集合——稱為一點的應力狀態(tài)x面的應力：y面的應力：z面的應力：塑性力學3(2)應力張量一點

的應力狀態(tài)可由九個應力分量來描述，這些分量構成一個二階對稱張量，稱為應力張量。上式中左邊是工程力學的習慣寫法，右邊是彈性力學的習慣寫法定義：寫法：采用張量下標記號的應力寫法把坐標軸x、y、z分別用x1、x2、x3表示，或簡記為xj(j=1,2,3),塑性力學3(3)斜截面上的應力與應力張量的關系在xj坐標系中，考慮一個法線為N的斜平面。N是單位向量，其方向作弦為則這個面上的應力向量SN的三個分量與應力張量之間的關系采用張量下標記號，可簡寫成說明：i）重復出現的下標叫做求和下標，相當于這稱為求和約定；ii）不重復出現的下標i叫做自由下標，可取i=1,2,3；塑性力學3(4)應力張量的分解1.靜水“壓力”：在靜水壓力作用下，應力—應變間服從彈性規(guī)律，且不會屈服、不會產生塑性變形。應力不產生塑性變形的部分產生塑性變形的部分反映靜水“壓力”：2.平均正應力：塑性力學33.應力張量的分解：應力張量可作如下分解：用張量符號表示：其中：或塑性力學3應力球張量——單位球張量——應力球張量，它表示各方向承受相同拉（壓）應力而沒有剪應力的狀態(tài)。應力偏張量——應力偏張量——與單元體的體積變形有關塑性力學3說明：材料進入塑性后，單元體的體積變形是彈性的，只與應力球張量有關；而與形狀改變有關的塑性變形則是由應力偏張量引起的。應力張量的這種分解在塑性力學中有重要意義。塑性力學3二、主應力和應力不變量（1）主應力1.一點的主應力與應力主向若某一斜面上，則該斜面上的正應力稱為該點一個主應力；（2）應力主向主應力所在的平面——稱為主平面；主應力所在平面的法線方向——稱為應力主向；根據主平面的定義，SN與N重合。若SN的大小為，則它在各坐標軸上的投影為代入（3-3）式塑性力學3應有或即將這個行列式展開得到其中塑性力學32.應力張量的不變量當坐標軸方向改變時,應力張量的分量均將改變,但主應力的大小不應隨坐標軸的選取而改變.因此,方程(3-9)的系數的值與坐標軸的取向無關，稱為應力張量的三個不變量。可以證明方程（3-9）有三個實根，即三個主應力當用主應力來表示不變量時塑性力學3應力偏張量Sij顯然也是一種應力狀態(tài)即J1=0的應力狀態(tài)。不難證明，它的主軸方向與應力主軸方向一致，而主值（稱為主偏應力）為：應力偏張量也有三個不變量：

塑性力學3其中應力偏張量的第二不變量今后用得最多。再介紹它的其他幾個表達式：在第四章中將看到，在屈服條件中起重要作用。至于可以注意它有這樣的特點：不管的分量多么大，只要有一個主偏應力為零，就有。這暗示在屈服條件中不可能起決定作用。

說明：塑性力學3三、等斜面上的應力等斜面：通過某點做平面，該平面的法線與三個應力主軸夾角相等八面體面：滿足（3-20）式的面共有八個，構成一個八面體，如圖所示。等斜面常也被叫做八面體面。若八面體面上的應力向量用F8表示，則按（3-3）式有設在這一點取坐標軸與三個應力主軸一致，則等斜面法線的三個方向余弦為塑性力學3八面體面素上的正應力為八面體面素上的剪應力為說明：八面體面上的應力向量可分解為兩個分量：i)垂直于八面體面的分量，即正應力，它與應力球張量有關，或者說與有關；ii)沿八面體面某一切向的分量，即剪應力，與應力偏張量的第二不變量有關。塑性力學3四、等效應力1.定義：如果假定相等的兩個應力狀態(tài)的力學效應相同，那么對一般應力狀態(tài)可以定義：——在塑性力學中稱為應力強度或等效應力注意：這里的“強度”或“等效”都是在意義下衡量的2.等效應力的特點與空間坐標軸的選取無關；各正應力增加或減少同一數值（也就是疊加一個靜水應力狀態(tài)）時數值不變，即與應力球張量無關；

全反號時的數值不變。塑性力學33.空間空間指的是以的九個分量為坐標軸的九維偏應力空間；標志著所考察的偏應力狀態(tài)與材料未受力（或只受靜水應力）狀態(tài)的距離或差別的大小。聯系到（3-17）式，不難看出代表空間的中的廣義距離4.等效剪應力聯系到（3-19）式，可知或也可以定義,剪應力強度或等效剪應力:塑性力學35.八面體剪應力、等效應力和等效剪應力之間的換算關系為：

說明：這些量的引入，使我們有可能把復雜應力狀態(tài)化作“等效”（在意義下等效）的單向應力狀態(tài)，從而有可能對不同應力狀態(tài)的“強度”作出定量的描述和比較。塑性力學3五、三向Mohr圓和Lode應力參數在平面上三點中的任意兩點為直徑端點，可作出三個Mohr圓，如圖3-3.其半徑為：——稱為主剪應力——最大剪應力1.三向Mohr圓塑性力學32.Lode應力參數[分析]由圖3-4可見，若在已知應力狀態(tài)上疊加一個靜水壓力，其效果僅使三個Mohr圓一起沿軸平移一個距離，該距離等于所疊加的靜水應力，并不改變Mohr圓的大小。[結論]

軸的位置與屈服及塑性變形無關，決定屈服與塑性變形的只是Mohr圓本身的大小。塑性力學3若將軸平移到，并使則：移軸后的三向Mohr圓正是描述應力偏張量的三向Mohr圓，如圖所示。M點是P1P2線段的中點Lode在1925年引進的參數塑性力學3Lode應力參數當P2點由P3移向P1時，的變化范圍是：下面三個特殊情況是常用到的：i)

單向拉伸：ii)

純剪切：iii)

單向壓縮：只由P1、P2、P3三點的相對位置決定而與坐標原點的選擇無關，故是描述應力偏張量的一個特征值。綜上所述，OO’表示了一點應力狀態(tài)的球張量部分；而以O’為坐標原點的三向Mohr圓（由和所確定）則表示了應力的偏張量部分。塑性力學3六、應力空間和主應力空間1.應力空間一點的應力張量有九個應力分量，以它們?yōu)榫艂€坐標軸就得到假想的九維應力空間?？紤]到九個應力分量中只有六個是獨立的，所以又可構成一個六維應力空間來描述應力狀態(tài)。一點的應力狀態(tài)可以用九維或六維應力空間中的一個點來表示。2.主應力空間（Haigh-Westergaard空間）它是以為坐標軸的假想的三維空間，這個空間中的一個點，就確定了用主應力所表示的一個應力狀態(tài)。塑性力學32.主應力空間的性質L直線：主應力空間中過原點并坐標軸成等角的直線。

其方程為顯然，L直線上的點代表物體中承受靜水應力的點的狀態(tài)，這樣的應力狀態(tài)將不產生塑性變形。平面：主應力空間中過原點而與L直線垂直的平面。其方程為由于平面上任一點的平均正應力為零，所以平面上的點對應于只有應力偏張量、不引起體積變形的應力狀態(tài)。塑性力學3主應力空間中任意一點P所確定的向量總可以分解為：這樣任意應力狀態(tài)就被分解為兩部分，分別與應力球張量和應力偏張量部分對應。小結物體內一點的應力狀態(tài)用應力張量描述，它又可分解為應力球張量和應力偏張量兩個部分。塑性變形只與應力偏張量有關。三向Mohr應力圓和主應力空間為應力張量的分解提供了幾何形象和數學工具。

塑性力學3這樣取的目的是使構成一個二階對稱張量，即應變張量?！?.2應變分析

一、位移與應變的關系1.Cauchy公式其中與工程剪應變相差一半，即

塑性力學3張量記法:

以記,以記。

記號約定：以下標之間的逗號表示微商如Cauchy公式的張量形式：（3-29）（3-29）式是在小變形條件建立的。塑性力學3二、應變張量的分解應變張量也可以分解為應變球張量和應變偏張量，即（3-31）應變球張量——它與彈性的體積改變部分有關；其中稱為平均正應變應變偏張量——只反映變形中形狀改變的那部分。塑性力學3二、應變張量的不變量應變偏張量的三個不變量用表示：其中分別是主應變和應變偏張量的主值。塑性力學3應變偏張量的分解：塑性力學3三、等效應變和Lode應變參數等斜面（八面體面）上的正應變和剪應變：等效應變和等效剪應變塑性力學3Lode應變參數三個特殊情況為：i)單向拉伸：則=-1.ii)純剪切：