2021年高考數(shù)學(xué)高分必練考前預(yù)測卷（江蘇專用） 03（解析版）

2020-2021年江蘇高考高分必練考前預(yù)測卷03

數(shù)學(xué)試卷

試卷滿分：150分考試時長：120分鐘

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆

跡清晰.超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.已知集合/={x|-4<x<2},N={X|F一*一6<0},則（）

A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}

C.{x|-2<x<2}D.{%|2<%<3}

【答案】A

【分析】

求得集1>N={x]-2<x<3},結(jié)合集合并集的概念及運算，即可求解.

【詳解】

由題意，集合N={x|f—x—6<0}={尤|-2<x<3},且M={x|—4<x<2},

根據(jù)集合并集的概念及運算，可得MuN={x[T<x<3}.

故選：A.

2.2021年春節(jié)臨近在河北省某地新冠肺炎疫情感染人數(shù)激增，為防控需要，南通市某醫(yī)院呼吸科準備從5

名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中選派3人前往3個隔離點進行核酸檢測采樣工作，則選派的三人中至少有1名女

醫(yī)生的概率為（）

235152

A.—B.—C.—D.一

2814567

【答案】A

【分析】

從8人選3人共有種方法，先的3人中至少有1名女醫(yī)生的有（仁-。；）種方法，然后利用古典概型

的概率公式求解即可

【詳解】

解：由題意得，從5名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中選派3人共有種方法，而選派的三人中至少有1名女醫(yī)生

的有（。；-仁）種方法，

所以所求概率為*=智=亮，

q5628

故選：A

3.下列判斷正確的是（）

A."X<-2"是"In（X+3）<0"的充分不必要條件

B.函數(shù)/(x)=Jx?+9+-/~的最小值為2

>Jx+9

C.當(dāng)時，命題"若a=尸，則sina=sin/?”的逆否命題為真命題

D.命題“Vx>0,2019v+2019>0"的否定是"<0,2O19'il+2019<()w

【答案】C

【分析】

利用充分條件判斷A的正誤；基本不等式判斷8的正誤；命題的真假判斷C的正誤；命題的否定判斷。的

正誤

【詳解】

解：當(dāng)x=T時，xV-2成立，ln（x+3）V0不成立，所以A不正確；

對小)=&+9+/-22,當(dāng)&+9=/-

即+9=1時等號成立,而JX2+9N3,

，r+9\lx+9

所以〃x)=Jf+9+-I!>2,即」1+9+1的最小值不為2,所以8不正確:

Vx+9Vx+9

由三角函數(shù)的性質(zhì)得"若a=4,則sina=sin/?〃正:確，故其逆否命題為真命題，所以C正確;

命題"VxX),2019'+2019>0"的否定是"3x0>0,2019%+2019V0"，所以。不正確，

故選：c.

【點

本題以命題的真假關(guān)系的判斷為載體，主要考查了充分必要條件的判斷，全稱命題與特稱命題的否定及基

本不等式的應(yīng)用等知識的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

222

4.已知雙曲線^——匚=1與橢圓2+;/=1的焦點相同，則該雙曲線的離心率為（）

aa-25

A26,4「3夜n_

332

【答案】A

【分析】

2222

先求得橢圓—+y2=l的焦點坐標，再根據(jù)雙曲線二--匚=1與橢圓上+V=1的焦點相同求得。即

5aa-25

可.

【詳解】

因為橢圓弓+y2=1的焦點坐標為（2,0）,（-2,0）,

所以4=Q+Q—2,

解得a=3，

2

所以雙曲線方程為三-丁=1,

3-

22g

離心率e=—---.

G3

故選：A.

【點睛】

本題主要考查橢圓，雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知非零向量1萬滿足同=2忖，若函數(shù)/（x）=；x3+g同萬區(qū)+1在R上存在極值，則少和5夾

角的取值范圍為（）

【答案】B

【詳解】

設(shè)。和五的夾角為。

0/（x）=gx3+gB|x2+G&+：=R匕存在極值

13r（x）=d+同X+萬3=0有兩個不同的實根，即△=,—41石>0

回司=2網(wǎng)

叫可一8仰cos6>0,即cos6<3

團。w［0,萬］

^\—<0<71

3

故選B

點睛：本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于難題.平面向量數(shù)量

積公式有兩種形式，一是無B=M4cOS。，二是￡石=玉9+”2,主要應(yīng)用以下幾個方面:⑴求向量的

?a-bab

夾角，以^6=麗（此時￡石往往用坐標形式求解）；（2）求投影，￡在加上的投影是下|-；（3）人b

向量垂直則Z.B=O；⑷求向量加￡+怎的模（平方后需求Z石）.

6.已知（以―,+1］展開式中的系數(shù)和為32,則該展開式中的常數(shù)項為（）.

A.-40B.81C.80D.121

【答案】B

【分析】

利用賦值法求得。，利用乘法分配律求得展開式中的常數(shù)項.

【詳解】

依題意，由［av—工+1）令x=1得/=32=a=2，

則展開式可化為f2x--+lY=f2爐+1］=Qx+：T）,

Ix）\x）x

所以，求（2%一工+1）展開式的常數(shù)項，即求（2/+%-爐展開式的V的系數(shù)，

5

根據(jù)乘法分配律可知（2/+x-l）展開式中含爐的為：

心.（2白斗（小今［《（—1）2］+［小（2行》（6.打匕（_叨+以./

=120X5-40X5+X5=81X5.

所以/的系數(shù)為81,

即12x—，+1］展開式的常數(shù)項為81.

Ix）

故選：B

【點睛】

本小題主要考查賦值法求參數(shù)，考查展開式中指定項的系數(shù)的計算，屬于中檔題.

7.若隨機變量4~N（3,20192）,且尸641）=262。）.已知產(chǎn)為拋物線>2=4》的焦點，。為原點，

點P是拋物線準線上一動點，若點A在拋物線上，且IA尸1=。，貝！11巳4|+|「。|的最小值為（）

A.V5B.713C.2>/5D.2713

【答案】D

【分析】

根據(jù)已知條件先得到。的值即得到了|AF|的值，再利用拋物線的定義由|AF|的值可得到A點的坐標為

A（4,4）,要求|R41+|P0|的最小值即要在準線上找一點到兩個定點的距離之和最小，最后利用平面幾何

的方法即可求出距離之和的最小值.

【詳解】

???隨機變量J~N（3,2019?）,且P（JW1）=PC>a）,

.J和。關(guān)于x=3對稱，

a=5即I”|=5,

設(shè)A為第一象限中的點，A（x,y）,

???拋物線方程為：y2=4x,尸（1,0）,

|AE|=X+1=5解得x=4即4(4,4),

4(4,4)關(guān)于準線工=一1的對稱點為A'(-6,4),

???根據(jù)對稱性可得：|B4|=|PA|

，IPA|+1PO\=\PA'\+\PO\>\A'0\=J(-6/+42=452=2713

故選：D

【點睛】

本題考查了利用拋物線的定義求解距離，定直線上的動點到兩個定點的距離之和的最小值，關(guān)鍵是利用對

稱性把距離之和最小值轉(zhuǎn)化為三點共線問題，屬于較難題.

8.已知“X)是定義域為(0,+8)的單調(diào)函數(shù)，若對任意的XG(0,+8),都有//(x)+10g,x=4,且

,5_

方程|/(x)-3|=a在區(qū)間(0,3］上有兩解，則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.0<a<lB.a<\C.0<a<lD.a>\

【答案】A

【分析】

根據(jù)函數(shù)/⑺的定義域和單調(diào)函數(shù)，可得必存在唯一的正實數(shù)旭滿足了(幻+叫:=加，.?./(〃?)=4,

結(jié)合/(M+logO=m,可得機=3,所以函數(shù)/⑴=3-1嗚七由方程

33

|/(x)-3|=a在區(qū)間(0,3］上有兩解，則log〕x=。在區(qū)間(0,3］上有兩解，設(shè)

3

g(x)=log|X,作出函數(shù)g(x)在(0,3］上的圖象，結(jié)合圖象，可得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

解:因為函數(shù)/(X)是定義域為(0,+8)的單調(diào)函數(shù)，對于任意的XG(0,+8),

都有/"(x)+logl》］=4

3

所以必存在唯一的正實數(shù)加滿足八無)+log>x=m,.,./(m)=4,

所以/(m)+logim=〃z,可得4+log|m=，"，即log|/n=m—4,所以加=3,

333

所以/(x)+log,X=3,所以函數(shù)/(%)=3-log/,

33

由方程|f(x)—3|=。在區(qū)間(0,3］上有兩解，則log】x=。在區(qū)間(0,3］上有兩解,

3

設(shè)g(x)=log］%，作出函數(shù)g(x)在(0,3］上的圖象,如圖所示，

3

結(jié)合圖象，可得方程|F(x)—3|=a在區(qū)間(0,3］上有兩解，

實數(shù)。滿足0<a?l.

本題考查了對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，綜合性強，難度較大，解題時要認

真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理進行等價轉(zhuǎn)化，本題的解答中根據(jù),"3+1°81幻=4,等價

3

轉(zhuǎn)換求得函數(shù)/(X)的解析式是解答的關(guān)鍵.

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.i是虛數(shù)單位，下列說法中正確的有()

A.若復(fù)數(shù)z滿足z-N=0,則z=0

B.若復(fù)數(shù)Z],Z2滿足k+Z2|=|Z]-Z2|,則平2=0

C.若復(fù)數(shù)z=a+山（aeR）,則z可能是純虛數(shù)

D.若復(fù)數(shù)z滿足z2=3+4i，則z對應(yīng)的點在第一象限或第三象限

【答案】AD

【分析】

A選項，設(shè)出復(fù)數(shù)，根據(jù)共挽復(fù)數(shù)的相關(guān)計算，即可求出結(jié)果；

B選項，舉出反例，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式，即可判斷出結(jié)果：

C選項，根據(jù)純虛數(shù)的定義，可判斷出結(jié)果；

D選項，設(shè)出復(fù)數(shù)，根據(jù)題中條件，求出復(fù)數(shù)，由幾何意義，即可判斷出結(jié)果.

【詳解】

A選項，設(shè)2="+勿'（4,/?6/?）,則其共馳復(fù)數(shù)為z=a-〃（a,Z?eR）,

則2?2=。2+尸=0,所以。=人=0，即z=0；A正確;

B選項,若Z1=l,z2=i,滿足匕+Z2I=匕-z2］,但z/2=z?不為0：B錯;

C選項，若復(fù)數(shù)z=a+ai（acR）表示純虛數(shù)，需要實部為0,即。=0,但此時復(fù)數(shù)z=0表示實數(shù)，故C

錯；

D選項，設(shè)2=。+初（。力€/?）,則z?=（a+bi）2=/+2。次一。之=3+4i,

a2-b2=3a=2ci=-2

所以《,,解得〈人1或則z=2+i或z=-2-i,

2ab=4b=-l

所以其對應(yīng)的點分別為（2,1）或（-2,-1）,所以對應(yīng)點的在第一象限或第三象限；D正確.

故選：AD.

10.已知/（X）=1-2COS2（0X+|O3>O）,下面結(jié)論正確的是（）

A.若f（xi）=l,y（X2）=-l,且I內(nèi)一對的最小值為“，則3=2

B.存在3回（1,3）,使得Hx）的圖象向右平移1個單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱

O

4147

C.若/（x）在［0,2m上恰有7個零點，則3的取值范圍是［力，二）

2424

D.若刎在［-f,勺上單調(diào)遞增，則3的取值范圍是（0,1］

643

【答案】BCD

【分析】

由二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)式，然后根據(jù)正弦定理的性質(zhì)周期性、奇偶性、零點、單調(diào)性分別判斷

各選項.

【詳解】

2萬）

由題意/(x)=-cos|2cox+=sin+—

I6

277i

A.題意說明函數(shù)相鄰兩個最值的橫坐標之差為），周期為2%,2。=丁=1,大，A錯?：

2?2

B./（X）的圖象向右平移?個單位長度后得到的圖象解析式是

6

/\（萬、"）.「C（1-20）%1-工/、.（.7r\.

g（x）=sin2cox\+—=sm2Gx+--------,°=2H寸，gw=sin4x=-cos4x,是

ll6」I2J

偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，B正確;

TCJC冗

C.XI［0,2汨時，2?yx+—w—,4。乃+—，/(幻在［0,2萬］上有7個零點，則7%W4勿"+—＜8乃，解

6L66J6

4147

得—＜。＜—，C正確;

2424

7171

2①x+—>——

(、2,又0>0,故解得02

＞於）在產(chǎn)苧上單調(diào)遞增，則<69W—，D止確.

c7171,式3

26yx—+—<—

462

故選：BCD.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查正弦型函數(shù)的周期性、奇偶性、零點、單調(diào)性，考查二倍角公式、

誘導(dǎo)公式等，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，運算求解能力.

11.如圖所示，在棱長為1的正方體ABC。一A4GR中，M,N分別為棱44,的中點，則以下四

個結(jié)論正確的是（）

A.B\CHMN

B.B|C_L平面MNG

c.A到直線MN的距離為逑

4

3

D.過MN作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為g)

【答案】ACD

【分析】

山AQ//8c可得判斷AB,利用ADJMN,求出距離可判斷C,山對稱性得過M/V作該

正方體外接球的截面，所得截面的面枳的最小的圓是以MN所在弦為直徑的圓，圓心為MN中點尸，求出

圓面積斷D.

【詳解】

正方體中，\DHB.C,而M,N分別為棱4。，的中點，則MN//AQ,所以B、C〃MN,A正確，

B錯誤；

設(shè)AA與AD,MN分別交于點E,F,則J.A。，AR1MN,

由M,N分別為棱AA，0A的中點，知尸是中點，=C正確；

44

正方體外接球球心是正方體對角線交點0，山對稱性知過MN作該正方體外接球的截面，所得截面的面積

最小的圓是以MN所在的弦為直徑的截面圓，即截面圓圓心為產(chǎn)，

0D\=B,D\F=立,cos/O"=4=*=也

'214BD、63

222

OF=D.F+D.O-2D.F-D.OcosZFD,O=2_+2-2x-x—x—,

1644238

3333

截面圓半徑為r,則/。/2=——=_,面積為S=?「2=—",。正確.

14888

故選：ACD.

A\

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查正方體中的平行與垂直，考查球的截面圓問題.特殊的幾何圖形如正方體、正四面

體等幾何體中有許多直線、平面間的平行與垂直關(guān)系，我們必須掌握，并能應(yīng)用，在判斷D時，利用正方

體的對稱性是解題的關(guān)鍵.這樣可得到面積最小的截面圓的直徑是MN所在的弦，從而求得半徑長.

sinx+1

12.已知函數(shù)/（無）=；,則下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)/（力在（0,兀）上單調(diào)遞減

B.函數(shù)/（X）在（-兀,0）上有極小值

c.方程〃力=；在（-兀,0）上只有一個實根

1COSX.f兀c)(c兀)

D.方程/(x)=上有兩個實根

【答案】ABD

【分析】

求得函數(shù)7（力的導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)/（%）的單調(diào)性，可判定A,由函數(shù)/（%）的單調(diào)性和極值的概念，可判

定B,利用函數(shù)/（X）的單調(diào)性，極值、端點的函數(shù)值，可判定C；將非常的解轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的

個數(shù)，結(jié)合圖象，可判定D,即可得到答案.

【詳解】

由題意，函數(shù)/（x）=w’：+!，可得/（犬）=竺二^」，

ee

當(dāng)了'（尢）>。，即cosx—sinx-1>0,所以cos（x+^）>,

TT37r37r7t

所以2左乃H——<x-\---<24）+——,keZ,解得2女乃<x<2k兀，kGZ,

4442

rr34

當(dāng)k=0時，---vx<0；當(dāng)左=1時，—<x<2萬,

22

當(dāng)了'（x）v。，即cosx—sinx-1<0,所以cos（x+^）<,

5437rTt7i

所以24萬----<x-\----<2kiT——,kwZ,解得2人1一2萬<x<2k兀，&eZ,

4442

TT37r

當(dāng)左=0時.，-2萬<x<——；當(dāng)％=1時，0<x<——，

22

所以當(dāng)XG（0,萬）時,/'（X）<OJ（X）單調(diào)遞減,所以A正確；

又因為當(dāng)xe（一肛—萬）時,/'（x）<0,當(dāng)xe（-5,0）時,/'（力>0,

所以/（X）在x=-］出取得極小值，所以B正確；

TT1

因為/（一4）=才"（一,）=0"（0）=1，所以〃無）=5在（一肛0）上不只有一個實數(shù)根，所以C不正確;

Ed—工口,/\1cosxsinx+11cosx

因為方程〃月==+-----,即nn---=—+-----,

exeex

sinxcosx

o即rt———=-----所以tanx=J,

exxx

正切函數(shù)丁=1@門％在一g,0u0,］為單調(diào)遞增函數(shù),

又由函數(shù)丁=H，可得用=￡（=1）

XX

當(dāng)xe（-?|,oj和XG（0,l）時，y<0,當(dāng)xe0,時，y>0,

且當(dāng)X€（一］,O）時，>=4<0,作出兩函數(shù)的大致圖象，如圖所示，

由圖象可得，當(dāng)》€(wěn)（-5,0）口（0,3）,函數(shù)了=1211%與）,=《的圖象有兩個交點,

所以D正確.

故選：ABD.

【點睛】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）的方法：

（1）當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時，解不等式/'（力＞0或/'（力＜0,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)方程/'（x）=0可解時，解出方程的實根，依據(jù)實根把函數(shù)的定義域劃分為幾個區(qū)間，確定各區(qū)間

/'（X）的符號，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)的方程、不等式都不可解，根據(jù)r（x）結(jié)構(gòu)特征，利用圖像與性質(zhì)確定r（x）的符號,

從而確定單調(diào)區(qū)間.

三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.在四棱錐P—A5C。中，Q4，面A8CO,四邊形ABCD是邊長為2的正方形，且E4W.若點E、F

分別為AB,AD的中點，則直線族被四棱錐P-ABCD的外接球所截得的線段長為.

【答案】V6

【分析】

根據(jù)PAL面ABC。,四邊形ABC。是正方形，易得外接球的球心。為PC的中點，取EF的中點G,根據(jù)

—=^=—.得到GO_LPC,然后利用圓的弦長公式求解.

ACOC2^22

【詳解】

如圖所示:

因為PA，面ABCD,四邊形ABCO是正方形,

所以APAC,APBC,APDC均為以PC為斜邊的直角三角形,

所以外接球的球心。為PC的中點,

則/?=」「。=」」抬2+4。2=6,

22

取EF的中點G,

1'2&E

因為￡￡_辿_邁GC

AC~2422'OCV3-T

,r,,PCGC

,則AEIC?AGOC，

ACOC

所以GO_LPC,

所以球心到直線的距離為d=GO=yjGC2-OC2=—

2

所以/=2,六_/=底,

所以所截得的線段長為幾，

故答案為：瓜.

14.設(shè)向量a=(%,y),1=(工2，%)，^a-b^xxx2-yxy2,若圓C:/+J-4x+8y=0上的任意三

點A，A,4,且44,44,則|可‘魄'+網(wǎng)■??。莸淖畲笾凳?

【答案】64

【分析】

設(shè)出A，4,4三點坐標，由A4得出A4為直徑，故得到關(guān)系式罰+工3=4,弘+%=-8，代

入國?%+福?砥］中得到其值為4昆+2%|，禾擁圓的參數(shù)方程設(shè)出點人坐標代入4k+2引中，

利用輔助角公式求最值即可.

【詳解】

整理圓的方程可得(X—2)2+(y+4)2=20

故圓心為(2,T),半徑為2君

設(shè)A(%,y),A2(x2，y2)，A(w，y3)，山AA?_L&&可得44為圓的直徑

由此可得玉+七=4,M+%=-8

則國?區(qū)+區(qū)?砥I=|卒2-乂%+馬當(dāng)一％M|T&+F)/-(％+%)%|=4昆+2y21

又%)在圓上

設(shè)W=2+275cos0,y2=-4+275sin0,0&R

x2+2y2=2+2>/^cose+2(T+2\/^sin61)=-6+2V5(cos6^+2sin^)=-6+10sin(e+e),6eR

故4卜+2對的最大值為4(6+10)=64

故答案為：64

15.幾何學(xué)中有兩件瑰寶，一個是勾股定理，一個是黃金分割，其中頂角為36。的等腰三角形被稱為“黃金

三角形如圖，已知五角星是由5個“黃金三角形”與1個正五邊形組成，且06=1二1.記陰影部分的

AC2

面積為S1,正五邊形的面積為邑，則要=.

A

【答案】A/5

【分析】

求出五邊形的內(nèi)角，結(jié)合三角形的面積公式求出黃金三角形的面積，通過轉(zhuǎn)換，將正五邊形面積轉(zhuǎn)化為大

S.

三角形減兩個黃金三角形的面積，從而可求出心

【詳解】

3x1Rf)0

解：設(shè)BC=x,AC=y,則五邊形的內(nèi)角為「一=108。，則NABC=72°,

1心"-_/sin36°BCsinA_sin36°_V5-1

則三角形S=-4

2.....2ACsinZABC-sin720-2

<J八/m.』/ng_(x+?sinl08o(x+y)2sin72°

^△DHE~2

22

(x+y)~sin7205)Jsin36。

則S=S&DHE_2S=1__口--------/9sin36°3=55=---------

21

22

(x+?sin72c

2

-ysin36°](\2sin7202,,,BCx5/5—1

U而白2_2--11X

5y之sin36。5(y)sin3605AC72

2

222(6+1r2=2月6—=6

所以邑=2xx________—_______

S,5V5-1510(x/5-0510(A/5-1)5

則3

故答案為：卮

【點睛】

關(guān)鍵點睛：

本題的關(guān)鍵有兩個，一是借助于三角形的面積公式和轉(zhuǎn)化的思想，用表示3，52,

二是結(jié)合正弦定理可得四維=叵口，從而可求出

sin7202Si

°----,x<Oj~Lx。一2°、

16.已知函數(shù)/(X)=jx+2,若關(guān)于x的方程/(x)="有6個不同的根，則實數(shù)k的取

/(x-l)+l,x>0

值范圍是.(用集合或區(qū)間表示)

10§、

【答案】

亍5

【分析】

方程/(幻=履行6個不同的根，等價于y=f(x)與y=履的圖象有6個交點，作出〃元)的圖象，數(shù)形結(jié)

合可求得.

【詳解】

關(guān)于X的方程/(X)=依有6個不同的根，等價于y=/(X)與y=履的圖象有6個交點，

-2

/、----,x<-2

因為“力打x+2,

/(x-l)+l,x>0

2

所以若0<xKl,則一1<X—1W0,則/(x)=/(x—l)+l=--+1；

x+1

若1<X42,則則/(x)"(D+l=—+2；

X

2

若2<xW3,則則/(x)=/(x—1)+1=--+3

X-1

2

若3<xW4,則2<x—143,則/(X)=/(X1)+1=+4

x—2

則/（x）=/（x—1）+1=3+5；

若4<x<5,則3<x-lV4,

x-3

作出〃X）的圖象如圖，與圖中。4、。8類似，分析。與點（1,2）、（2,3）、（5,8）、（6,9）、（7,10）

的連線可知，當(dāng)當(dāng)104A8時，y=/（x）與y=奴的圖象有6個交點，所以k的取值范圍是y,1|.

7575）

108

故答案為:

T5

方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象,

利用數(shù)形結(jié)合的方法求解

五、解答題（本大題共6小題，共70.0分）

17.已知數(shù)列｛%｝中，q=1,&=3,其前”項和S“滿足S,用+S,I=2S,,+2（〃N2,〃GN*）.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若%=%+2%,求數(shù)列也｝的前n項和T?.

【答案】(1)??=2n-l；(2)T=/+2(4I).

"3

【分析】

(1)由S“與?！钡年P(guān)系得出數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，從而易得其通項公式；

(2)用分組求和法求得和1.

【詳解】

解：⑴由題意得s?+i-S?=5?-5?_,+2(〃>2),

即an+i-an=2(n>2),

又。2=3-1=2,所以a“+i=2,(〃>1)

所以數(shù)列｛4,｝是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列，

所以4=2"-1；

2-1

(2)bn=an+2冊=(2〃-1)+2"=(2〃-1"x4"

所以7；=口+3+5+…+(2〃-l)]+gx(4+42+43+…+4")=/+l^^^Zl).

【點睛】

本題考查求等差數(shù)列的通項公式，裂項相消法求和.數(shù)列求和的常用方法：

設(shè)數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，｛2｝是等比數(shù)列，

(1)公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和：

(2)錯位相減法：數(shù)列｛《/“｝的前n項和應(yīng)用錯位相減法；

1.

(3)裂項相消法；數(shù)列｛r------｝(k為常數(shù)，?！肮?)的前〃項和用裂項相消法；

a*.

(4)分組(并項)求和法：數(shù)列｛〃%+4〃｝用分組求和法，如果數(shù)列中的項出現(xiàn)正負相間等特征時可能

用并項求和法;

(5)倒序相加法：滿足a,“+a“_,”=A(A為常數(shù))的數(shù)列，需用倒序相加法求和.

msAccqi

18.在AABC中，角A,B,。所對的邊分別為“，b,C,已知一_+^_=一,且6=2.

ac2

(1)證明：tz+c>4；

(2)若448。的周長為2+30，求其面積S.

【答案】(1)證明見解析；(2)叵.

2

【分析】

(1)解法一：用正弦定理化邊為角，得到sin2B=sinAsinC，再變成。2=比：，運用基本不等式可證明

解法二：用余弦定理化角為邊，得到關(guān)系式〃=ac，再用基本不等式求解即可.

3

(2)用余弦定理求出C0S8=一，再用三角形面積公式求解即可.

4

【詳解】

(1)解法一：由己知及正弦定理，得常+素=焉

,,cosAcosCcosAsinC+cosCsinAsin(A+C)sin8

因為-----+——==-------：--------------=------：——=------；—

sinAsinesmAsinCsmAsincsinAsinc

sinB1,

所以————=—―-，sirrB=sinAsinC

smAsincsinB

由正弦定理得。2=ac,即ac=4.q+c22ylac=4.

?222>22i

解法二：由已知及余弦定理，得少+c__q+=j_,得。。=勸=4，

2abc2abc2

所以a+c22\[ac=4.

(2)因為AABC的周長為2+3&，所以a+c=3j5，

因為〃=a2+c2-2ac-cosB=(a+c)2-lac-2ac-cosB

又因為ac=4,所以COS3=9得sinB=也.

44

所以SARr='acsinB=2sinB=-

"BC22

【點睛】

在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一

般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理.應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用.解

決三角形問題時，注意角的限制范圍.

19.某電子公司新開發(fā)一電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個系統(tǒng)G有2n-1個電子元件組成，各個電子元件能

正常工作的概率均為P，且每個電子元件能否正常工作相互獨立.若系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工

作，則系統(tǒng)G可以正常工作，否則就需維修.

(1)當(dāng)〃=2,〃=；時，若該電子產(chǎn)品由3個系統(tǒng)G組成，每個系統(tǒng)的維修所需費用為500元，設(shè)占為該

電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)所需的總費用，求4的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)為提高系統(tǒng)G正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個功能完全一樣的電子元件，每個新元件正常工作的

概率均為P，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)C可以正常工作，問p滿足什么條件

時，可以提高整個系統(tǒng)G的正常工作概率？

【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為750：(2)

【分析】

(1)由題知當(dāng)〃=2時個系統(tǒng)需要維修的概率為+(g、3

=-，進而得電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)個

72

數(shù)X滿足J=500X,再根據(jù)二項分布求解即可;

2k-\

(2)設(shè)2%—1個元件組成的系統(tǒng)正常工作的概率為p*,進而得Pk=Z,再分三種情

i=k

況(見解析)討論進而求解P.>。時的情況即可得答案.

【詳解】

(1)當(dāng)〃=2時.，一個系統(tǒng)有3個電子元件，則?個系統(tǒng)需要維修的概率為C；+=-.設(shè)X為

2

該電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)個數(shù)，則*~8(3,；［,<=500X,

國PC=500Z)=P(X=Q=C：［g)(；)#=0,1,2,，

回4的分布列為:

g050010001500

233]_

p

8888

0E(^)=500x3xi=750.

(2)記2A-1個元件組成的系統(tǒng)正常工作的概率為A.

2Z-1個元件中有i個正常工作的概率為p'(1-p)2",，

2k-\

因此系統(tǒng)工常工作的概率Pk=ZGip'a-p)2"j.

i=k

在2人一1個元件組成的系統(tǒng)中增加兩個元件得到2左+1個元件組成的系統(tǒng)，則新系統(tǒng)正常工作可分為下列情

形：

(a)原系統(tǒng)中至少女+1個元件正常工作，概率為0-%一"。一P)i；

(b)原系統(tǒng)中恰有左個元件正常工作，且新增的兩個元件至少有1個正常工作，

概率為口—a—P)2]ckpk(y-p)k-'；

(c)原系統(tǒng)中恰有4-1個元件正常工作，且新增的兩個元件均正常工作，

概率為/堞溫plQ-p)".

所以或P)[C3/(I-P)I+P「C3/(I-P廣,

因此，

A+I-Pk=PP/PJ(1-P),+[1-(1-P)](1-P廣-或一”(1一P廣

="(1一〃)七工(2〃一1)，

故當(dāng)l>p>；時，P*單調(diào)增加，增加兩個元件后，能提高系統(tǒng)的可靠性.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)概率的問題，涉及到的知識點有獨立重復(fù)試驗，二項分布，分布列與期望，概率加法公

式，考查運算求解能力，分析數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)的能力，是中檔題.本題第二問解題的關(guān)鍵在于求他22-1個元

2^-1

件組成的系統(tǒng)正常工作的概率為P*=XC；jP'(l-P)2i-