專題02 公式法、因式分解法解一元二次方程和根與系數(shù)的關(guān)系壓軸題六種模型全攻略（原卷版）

專題02公式法、因式分解法解一元二次方程和根與系數(shù)的關(guān)系壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一公式法解一元二次方程的解法】 1【考點(diǎn)二根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】 4【考點(diǎn)三根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】 6【考點(diǎn)四因式分解法解一元二次方程的解法】 9【考點(diǎn)五換元法解一元二次方程】 12【考點(diǎn)六一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】 15【過關(guān)檢測(cè)】 19【典型例題】【考點(diǎn)一公式法解一元二次方程的解法】【例題1】（2023秋·吉林白山·九年級(jí)?？计谀┙夥匠蹋海咀兪?-1】（2023秋·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：．【變式1-2】（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：．【變式1-3】（2023秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）按要求解下列方程：(1)用配方法解方程：；(2)用公式法解方程：．【變式1-4】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【考點(diǎn)二根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】【例題2】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（

）A． B． C． D．【變式2-1】（2023·河南商丘·校考三模）一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．無實(shí)數(shù)根 D．無法確定【變式2-2】（2023·河南三門峽·統(tǒng)考一模）一元二次方程的根的情況（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【變式2-3】（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測(cè)）已知一元二次方程，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則方程沒有實(shí)數(shù)根B．當(dāng)且方程存在實(shí)數(shù)根時(shí)，兩根一定互為相反數(shù)C．若，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【考點(diǎn)三根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】【例題3】（2023·安徽宿州·?？家荒＃┤絷P(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為________．【變式3-1】（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為______．【變式3-2】（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是______．【變式3-3】（2023·安徽蚌埠·校考一模）若關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則整數(shù)k的最小值為___________．【變式3-4】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，求m的最小值．【變式3-5】（2023春·浙江杭州·八年級(jí)杭州市采荷中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)判別方程根的情況，并說明理由．(2)設(shè)該一元二次方程的兩根為a，b，且a，b是矩形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)．【考點(diǎn)四因式分解法解一元二次方程的解法】【例題4】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)校聯(lián)考期中）解方程：．【變式4-1】（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）解方程：(1)；(2)．【變式4-2】（2023春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【變式4-3】（2023春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┯煤线m的方法解方程：(1)；(2)．【變式4-4】（2023春·浙江寧波·八年級(jí)寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）解方程：(1)(2)【考點(diǎn)五換元法解一元二次方程】【例題5】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）實(shí)數(shù)滿足方程，則的值等于（

）A． B． C．或 D．或【變式5-1】（2023秋·廣西河池·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或3【變式5-2】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）若，則______．【變式5-3】（2023春·安徽亳州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料，解答問題.解方程：.解：把視為一個(gè)整體，設(shè)，則原方程可化為．解得：，，或，，．以上方法就叫換元法，達(dá)到簡(jiǎn)化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請(qǐng)仿照材料解決下列問題：(1)解方程；(2)已知，求的值.【考點(diǎn)六一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】【例題6】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知是一元二次方程的兩根，則的值是______．【變式6-1】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）若、為的兩根，則的值為______．【變式6-2】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）設(shè)一元二次方程的兩根分別是、，計(jì)算____________．【變式6-3】（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a，b滿足，，且，則的值為___．【變式6-4】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，是方程的兩根，則的值為__________．【變式6-5】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)校考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求k的值．【變式6-6】（2023春·浙江·八年級(jí)期末）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)若為正整數(shù)，求的值；(2)若滿足，求的值．【過關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校╆P(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．不能確定2．（2023·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考二模）方程的兩個(gè)根是（

）A． B． C． D．3．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)校考期中）若一元二次方程有解，則m的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且4．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的方程的兩實(shí)根為，若，則m的值為（

）A． B． C．或3 D．或15．（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）對(duì)于實(shí)數(shù)、定義運(yùn)算“”為，例如，則關(guān)于的方程的根的情況，下列說法正確的是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根 D．無法確定二、填空題6．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）方程的根為______________．7．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）一元二次方程根的判別式的值是_________．8．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）設(shè)，是方程的兩個(gè)根，則___________．9．（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是______．10．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，第三邊的長(zhǎng)為一元二次方程的一個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為____．三、解答題11．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）解方程：．12．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)深圳市福田區(qū)石廈學(xué)校?？奸_學(xué)考試）解方程：(1)(2)．13．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．14．（2023·北京·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若m為正整數(shù)，求此時(shí)方程的根．15．（20