數(shù)學七年級下學期第11講因式分解

第11講因式分解（核心考點講與練)一．因式分解的意義1、分解因式的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解是兩個或幾個因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項式的表現(xiàn)形式．例如：3、因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗．二．公因式1、定義：多項式ma+mb+mc中，各項都含有一個公共的因式m，因式m叫做這個多項式各項的公因式．2、確定多項式中各項的公因式，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項的相同字母因式（或相同多項式因式）；③定指數(shù)，即各項相同字母因式（或相同多項式因式）的指數(shù)的最低次冪．三．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．2、具體方法：（1）當各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低的．（2）如果多項式的第一項是負的，一般要提出“﹣”號，使括號內的第一項的系數(shù)成為正數(shù)．提出“﹣”號時，多項式的各項都要變號．3、口訣：找準公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶．4、提公因式法基本步驟：（1）找出公因式；（2）提公因式并確定另一個因式：①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；②第二步提公因式并確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；③提完公因式后，另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同．四．因式分解-運用公式法1、如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反．②能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)（或式）的積的2倍．3、要注意公式的綜合應用，分解到每一個因式都不能再分解為止．五．提公因式法與公式法的綜合運用提公因式法與公式法的綜合運用．六、因式分解-分組分解法1、分組分解法一般是針對四項或四項以上多項式的因式分解，分組有兩個目的，一是分組后能出現(xiàn)公因式，二是分組后能應用公式．2、對于常見的四項式，一般的分組分解有兩種形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax+ay+bx+by＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy﹣x2+1﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1＝1﹣（x﹣y）2＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）七．因式分解-十字相乘法等借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．這類二次三項式的特點是：二次項的系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的積；可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解這種方法的關鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1，a2的積a1?a2，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1，c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項b，那么可以直接寫成結果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．八．實數(shù)范圍內分解因式實數(shù)范圍內分解因式是指可以把因式分解到實數(shù)的范圍（可用無理數(shù)的形式來表示），一些式子在有理數(shù)的范圍內無法分解因式，可是在實數(shù)范圍內就可以繼續(xù)分解因式．例如：x2﹣2在有理數(shù)范圍內不能分解，如果把數(shù)的范圍擴大到實數(shù)范圍則可分解x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣）九．因式分解的應用1、利用因式分解解決求值問題．2、利用因式分解解決證明問題．3、利用因式分解簡化計算問題．【規(guī)律方法】因式分解在求代數(shù)式值中的應用1．因式分解是研究代數(shù)式的基礎，通過因式分解將多項式合理變形，是求代數(shù)式值的常用解題方法，具體做法是：根據(jù)題目的特點，先通過因式分解將式子變形，然后再進行整體代入．2．用因式分解的方法將式子變形時，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個代數(shù)式，也可以是其中的一部分．一．因式分解的意義（共3小題）1．（2021秋?萊州市期末）已知多項式ax2+bx+c因式分解的結果為（x﹣1）（x+4），則abc為（）A．12 B．9 C．﹣9 D．﹣12【分析】把多項式乘法展開再根據(jù)對應項系數(shù)相等即可求解．【解答】解：∵（x﹣1）（x+4），＝x2+3x﹣4，＝ax2+bx+c，∴a＝1，b＝3，c＝﹣4．則abc＝﹣12．故選：D．【點評】注意正確計算多項式的乘法運算，然后根據(jù)對應項系數(shù)相等求解是解題的關鍵．2．（2021秋?陽江期末）下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（x﹣y）＝ax﹣ay C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，可得答案．【解答】解：A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），把一個多項式化為幾個整式的積的形式，故此選項符合題意；B、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；C、x2+2x+1＝x（x+2）+1，沒把一個多項式化為幾個整式的積的形式，不是因式分解，故此選項不符合題意；D、（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，是整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了因式分解的意義．掌握因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式是解題關鍵．3．（2021秋?淇縣期末）仔細閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項式x2﹣4x+m有一個因式是（x+3），求另一個因式以及m的值．解：設另一個因式為（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）則x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴．解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一個因式為（x﹣7），m的值為﹣21問題：仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項式2x2+3x﹣k有一個因式是（2x﹣5），求另一個因式以及k的值．【分析】根據(jù)例題中的已知的兩個式子的關系，兩個中二次三項式x2﹣4x+m的二次項系數(shù)是1，因式是（x+3）的一次項系數(shù)也是1，利用待定系數(shù)法求出另一個因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次項系數(shù)是2，因式是（2x﹣5）的一次項系數(shù)是2，則另一個因式的一次項系數(shù)一定是1，利用待定系數(shù)法，就可以求出另一個因式．【解答】解：設另一個因式為（x+a），得：2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a），則2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a∴．解得：a＝4，k＝20．故另一個因式為（x+4），k的值為20．【點評】正確讀懂例題，理解如何利用待定系數(shù)法求解是解本題的關鍵．二．公因式（共2小題）4．（2021秋?沂源縣期末）6x3y2﹣3x2y3分解因式時，應提取的公因式是（）A．3xy B．3x2y C．3x2y3 D．3x2y2【分析】分別找出系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母的最低指數(shù)次冪，即可確定公因式．【解答】解：6x3y2﹣3x2y3＝3x2y2（2x﹣y），因此6x3y2﹣3x2y3的公因式是3x2y2．故選：D．【點評】本題主要考查公因式的確定，找公因式的要點是：（1）公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)；（2）字母取各項都含有的相同字母；（3）相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的．5．（2021春?南京期中）多項式3a2b﹣6a3b各項的公因式是3a2b．【分析】根據(jù)公因式的尋找方法：先確定系數(shù)：最大公約數(shù)，再找同底數(shù)的冪：指數(shù)最低的；即可確定答案．【解答】解：∵3a2b﹣6a3b＝3a2b（1﹣2a），∴公因式為：3a2b．故答案為：3a2b．【點評】此題考查了公因式的確定方法．如果各項是單項式，則先確定系數(shù)：最大公約數(shù)，再找同底數(shù)的冪：指數(shù)最低的；如果各項是多項式，則需要先因式分解．三．因式分解-提公因式法（共4小題）6．（2021春?天寧區(qū)校級月考）因式分解：x（m﹣1）+y（1﹣m）＝（x﹣y）（m﹣1）．【分析】直接將原式變形，進而提取公因式（m﹣1），進而得出答案．【解答】解：原式＝x（m﹣1）﹣y（m﹣1）＝（m﹣1）（x﹣y）．故答案為：（m﹣1）（x﹣y）．【點評】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關鍵．7．（2021秋?啟東市期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝（y﹣z）（2a+3b）．【分析】利用提公因式法分解即可．【解答】解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）＝（y﹣z）（2a+3b）．【點評】本題考查了因式分解﹣提公因式法，熟練掌握因式分解﹣提公因式法是解題的關鍵．8．（2021?高郵市校級模擬）因式分解：3x4﹣9x2＝3x2（x2﹣3）．【分析】提公因式3x2分解因式即可．【解答】解：3x4﹣9x2＝3x2（x2﹣3）．故答案為：3x2（x2﹣3）．【點評】本題主要考查因式分解﹣提公因式法，正確找到公因式是解題的關鍵．9．（2021?江都區(qū)二模）若ab＝2，a+b＝﹣1，則代數(shù)式a2b+ab2的值等于﹣2．【分析】原式提取公因式，把ab與a+b整體代入計算即可求出值．【解答】解：∵ab＝2，a+b＝﹣1，∴原式＝ab（a+b）＝2×（﹣1）＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】此題考查了因式分解﹣提公因式法，以及代數(shù)式求值，熟練掌握提公因式的方法是解本題的關鍵．四．因式分解-運用公式法（共4小題）10．（2021春?樂亭縣期末）下列各式能用公式法因式分解的是（）A．﹣x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．4x2+4xy﹣y2 D．x2+xy+y2【分析】根據(jù)平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，進行分析即可．【解答】解：A、﹣x2+y2可以用平方差分解，故此選項符合題意；B、﹣x2﹣y2不能用平方差分解，故此選項不符合題意；C、4x2+4xy﹣y2不能用完全平方分解，故此選項不符合題意；D、x2+xy+y2不能用完全平方分解，故此選項不符合題意；故選：A．【點評】此題主要考查了公式法分解因式，關鍵是掌握平方差公式和完全平方公式．11．（2021?宜興市模擬）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2【分析】能用平方差公式分解因式的式子必須是兩平方項的差．【解答】解：A．x2+4y2兩項的符號相同，不能用平方差公式分解因式；B．﹣x2+4y2是2y與x的平方的差，能用平方差公式分解因式；C．x2﹣2y+1是三項不能用平方差公式分解因式；D．﹣x2﹣4y2兩項的符號相同，不能用平方差公式分解因式．故選：B．【點評】本題考查了平方差公式分解因式，熟記平方差公式結構是解題的關鍵．12．（2021春?遵化市期末）我們所學的多項式因分解的方法主要有：①提公因式法；②平方差公式法；③完全平方公式法．現(xiàn)將多項式（x﹣y）3+4（y﹣x）進行因式分解，使用的方法有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式得出答案．【解答】解：（x﹣y）3+4（y﹣x）＝（x﹣y）3﹣4（x﹣y）＝（x﹣y）[（x﹣y）2﹣4]＝（x﹣y）（x﹣y+2）（x﹣y﹣2），故將多項式（x﹣y）3+4（y﹣x）進行因式分解，使用的方法有：①提公因式法；②平方差公式法；故選：A．【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用乘法公式是解題關鍵．13．（2021秋?朝天區(qū)期末）分解因式：a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2．【分析】利用完全平方公式即可進行因式分解．【解答】解：原式＝a2﹣2×a×2b+（2b）2＝（a﹣2b）2，故答案為：（a﹣2b）2．【點評】本題考查應用公式法分解因式，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2是正確解答的關鍵．五．提公因式法與公式法的綜合運用（共2小題）14．（2021秋?綠園區(qū)期末）因式分解：（1）4m2﹣36；（2）2a2b﹣8ab2+8b3．【分析】（1）直接提取公因式4，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接提取公因式2b，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）原式＝4（m2﹣9）＝4（m+3）（m﹣3）；（2）原式＝2b（a2﹣4ab+4b2）＝2b（a﹣2b）2．【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運用乘法公式是解題關鍵．15．（2021秋?通州區(qū)期末）分解因式：（1）2x2﹣8y2；（2）4+12（m﹣1）+9（m﹣1）2．【分析】（1）先提公因式，再逆用平方差公式．（2）逆用完全平方公式，再進行化簡．【解答】解：（1）2x2﹣8y2＝2（x2﹣4y2）＝2（x+2y）（x﹣2y）．（2）4+12（m﹣1）+9（m﹣1）2＝[2+3（m﹣1）]2＝（3m﹣1）2．【點評】本題主要考查因式分解，熟練掌握提公因式法、公式法進行因式分解是解決本題的關鍵．六．因式分解-分組分解法（共3小題）16．（2018春?玄武區(qū)校級期中）因式分解（1）m2（x﹣2）+m（2﹣x）（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）；（3）（x2+y2）2﹣4x2y2；（4）x3+x2y﹣xy2﹣y3．【分析】（1）先提公因式，再提公因式即可；（2）利用完全平方公式進行因式分解；（3）先利用平方差公式變形，再利用完全平方公式進行因式分解；（4）先利用分組分解法進行因式分解，再利用平方差公式進行因式分解．【解答】解：（1）m2（x﹣2）+m（2﹣x）＝m2（x﹣2）﹣m（x﹣2）＝（x﹣2）（m2﹣m）＝m（x﹣2）（m﹣1）；（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）＝（x+y）2﹣4（x+y）+4＝（x+y﹣2）2；（3）（x2+y2）2﹣4x2y2＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）＝（x+y）2（x﹣y）2；（4）x3+x2y﹣xy2﹣y3＝x2（x+y）﹣y2（x+y）＝（x+y）（x2﹣y2）＝（x+y）2（x﹣y）．【點評】本題考查的是因式分解，掌握提公因式法、完全平方公式、平方差公式進行因式分解的一般步驟是解題的關鍵．17．（2017秋?臨西縣期末）閱讀下面的文字與例題．將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．例如：（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）試用上述方法分解因式a2+ab+2ac+bc+c2＝（a+c）（a+b+c）．【分析】首先將原式重新分組再利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出即可．【解答】解：a2+ab+2ac+bc+c2＝（a+c）2+b（a+c）＝（a+c+b）（a+c）．故答案為：（a+c+b）（a+c）．【點評】此題主要考查了分組分解法因式分解，正確分組得出是解題關鍵．18．（2021春?金壇區(qū)期末）因式分解：4x2﹣y2﹣2y﹣1＝（2x+y+1）（2x﹣y﹣1）．【分析】先給后三項加上一個負括號，利用完全平方公式，再利用平方差公式分解．【解答】解：4x2﹣y2﹣2y﹣1＝4x2﹣（y2+2y+1）＝（2x）2﹣（y+1）2＝（2x+y+1）（2x﹣y﹣1）．故答案為：（2x+y+1）（2x﹣y﹣1）．【點評】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法并合理分組是解決本題的關鍵．七．因式分解-十字相乘法等（共5小題）19．（2021秋?淮陽區(qū)期末）甲乙兩人完成因式分解x2+ax+b時，甲看錯了a的值，分解的結果是（x+6）（x﹣2），乙看錯了b的值，分解的結果為（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正確的結果為（x﹣6）（x+2）．【分析】根據(jù)甲、乙看錯的情況下得出a、b的值，進而再利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：因式分解x2+ax+b時，∵甲看錯了a的值，分解的結果是（x+6）（x﹣2），∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，又∵乙看錯了b的值，分解的結果為（x﹣8）（x+4），∴a＝﹣8+4＝﹣4，∴原二次三項式為x2﹣4x﹣12，因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），故答案為：（x﹣6）（x+2）．【點評】本題考查十字相乘法進行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的關鍵．20．（2020秋?虹口區(qū)期末）分解因式：2a2﹣a﹣6＝（2a+3）（a﹣2）．【分析】原式利用十字相乘法分解即可．【解答】解：原式＝（2a+3）（a﹣2）．故答案為：（2a+3）（a﹣2）．【點評】此題考查了因式分解﹣十字相乘法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．21．（2021春?玄武區(qū)校級期中）分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2；（2）（4m2+9）2﹣144m2；（3）x2﹣xy+4x﹣4y；（4）（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2．【分析】（1）先提取公因式，再根據(jù)完全平方公式分解即可；（2）先根據(jù)平方差公式進行分解，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可；（3）先分組，再提取公因式即可；（4）先根據(jù)十字相乘法分解因式，再根據(jù)平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）3ax2+6axy+3ay2＝3a（x2+2xy+y2）＝3a（x+y）2；（2）（4m2+9）2﹣144m2；＝（4m2+9+12m）（4m2+9﹣12m）＝（2m+3）2（2m﹣3）2；（3）x2﹣xy+4x﹣4y＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）＝x（x﹣y）+4（x﹣y）＝（x﹣y）（x+4）；（4）（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2＝（x2﹣3+2）（x2﹣3﹣1）＝（x2﹣1）（x2﹣4）＝（x+1）（x﹣1）（x+2）（x﹣2）．【點評】本題考查了分解因式，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分組分解法等．22．（2021春?濟陽區(qū)期末）閱讀下列材料：整體思想是數(shù)學解題中常見的一種思想方法：下面是某同學對多項式（x2+2x）（x2+2x+2）+1進行因式分解的過程．將“x2+2x”看成一個整體，令x2+2x＝y(tǒng)，則原式＝y(tǒng)2+2y+1＝（y+1）2再將“y”還原即可．解：設x2+2x＝y(tǒng)．原式＝y(tǒng)（y+2）+1（第一步）＝y(tǒng)2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2+2x+1）2（第四步）．問題：（1）①該同學因式分解的結果不正確，請直接寫出正確的結果（x+1）4；②根據(jù)材料1，請你模仿以上方法嘗試對多項式（x2﹣6x+8）（x2﹣6x+10）+1進行因式分解；（2）根據(jù)材料1，請你模仿以上方法嘗試計算：（1﹣2﹣3﹣…﹣2020）×（2+3+…+2021）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2021）×（2+3+…+2020）．【分析】（1）①最后再利用完全平方公式將結果分解到不能分解為止；②根據(jù)材料，用換元法進行分解因式；（2）設1﹣2﹣3﹣…﹣2020＝y(tǒng)，則原式＝2021（y+2+3+…+2020），再將y代入即可求解．【解答】解：（1）①設x2+2x＝y(tǒng)．原式＝y(tǒng)（y+2）+1（第一步）＝y(tǒng)2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2+2x+1）2（第四步）＝（x+1）4，故答案為：（x+1）4；②設x2﹣6x＝y(tǒng)，原式＝（y+8）（y+10）+1＝y(tǒng)2+18y+80+1＝（y+9）2＝（x2﹣6x+9）2＝（x﹣3）4；（2）設1﹣2﹣3﹣…﹣2020＝y(tǒng)，原式＝y(tǒng)（2+3+…+2021）﹣（y﹣2021）（2+3+…+2020）＝y(tǒng)（2+3+…+2020）+2021y﹣y（2+3+…+2020）+2021（2+3+…+2020）＝2021y+2021（2+3+…+2020）＝2021（y+2+3+…+2020）＝2021（1﹣2﹣3﹣…﹣2020+2+3+…+2020）＝2021×1＝2021．【點評】本題考查了因式分解﹣換元法，公式法，也是閱讀材料問題，熟練掌握利用公式法分解因式是解題的關鍵．23．（2021春?南京月考）在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項．先閱讀，再分解因式：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）．（1）按照這種方法把多項式x4+4y4分解因式；（2）分解因式：a4+a2b2+b4．【分析】（1）將原式變形為x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2，進一步分解可得；（2）將原式變形為a4+2a2b2+b4﹣a2b2＝（a2+b2）2﹣（ab）2再進一步分解可得．【解答】解：（1）x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2＝（x2+2y2）2﹣4x2y2＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；（2）a4+a2b2+b4＝a4+2a2b2+b4﹣a2b2＝（a2+b2）2﹣（ab）2＝（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）．【點評】本題主要考查因式分解，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式和平方差公式及因式分解的步驟．八．實數(shù)范圍內分解因式（共3小題）24．（2021秋?如皋市校級月考）在實數(shù)范圍內分解因式：a2﹣3b2＝（a+）（a﹣）．【分析】利用平方差公式因式分解即可．【解答】解：a2﹣3b2＝a2﹣（）2＝（a+）（a﹣）．【點評】本題考查了在實數(shù)范圍內分解因式，一定要注意分解到不能再分解為止．25．（2022?南崗區(qū)模擬）在實數(shù)范圍內分解因式：x2y﹣2y＝y(tǒng)（x+）（x﹣）．【分析】先提取公因式y(tǒng)后，再把剩下的式子寫成x2﹣，符合平方差公式的特點，可以繼續(xù)分解．【解答】解：x2y﹣2y＝y(tǒng)（x2﹣2）＝y(tǒng)（x+）（x﹣）．故答案為：y（x+）（x﹣）．【點評】本題考查實數(shù)范圍內的因式分解，因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．在實數(shù)范圍內進行因式分解的式子的結果一般要分到出現(xiàn)無理數(shù)為止．26．（2020秋?崇川區(qū)校級月考）因式分解：（1）x2﹣2（實數(shù)范圍內）；（2）﹣3ax2+18axy﹣27ay2．【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝（x+）（x﹣）；（2）原式＝﹣3a（x2﹣6xy+9y2）＝﹣3a（x﹣3y）2．【點評】此題考查了實數(shù)范圍內分解因式，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．九．因式分解的應用（共3小題）27．（2021秋?亭湖區(qū)期末）把一個兩位數(shù)交換十位數(shù)字和個位數(shù)字后得到一個新的兩位數(shù)，若將這個新的兩位數(shù)與原兩位數(shù)相加，則所得的和一定是（）A．偶數(shù) B．奇數(shù) C．11的倍數(shù) D．9的倍數(shù)【分析】用字母設出原兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字，表示出原兩位數(shù)和新兩位數(shù)的和，進行因式分解，看是哪個常數(shù)的倍數(shù)即可．【解答】解：設原兩位數(shù)十位上的數(shù)字是a，個位上的數(shù)字是b，則原兩位數(shù)為10a+b，新兩位數(shù)為10b+a，∴這兩個數(shù)的和為11a+11b＝11（a+b），∴所得的和一定是11的倍數(shù)，故選：C．【點評】本題考查了因式分解的應用；注意兩位數(shù)的表示方法為：10×十位數(shù)字+個位數(shù)字．28．（2021秋?崇川區(qū)期末）（閱讀材料）我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解：n＝p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q）．在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解，并規(guī)定當p×q是n的最佳分解時，F(xiàn)（n）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因為18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，從而F（18）＝＝．（探索規(guī)律）（1）F（15）＝，F(xiàn)（24）＝，…；（2）F（4）＝1，F(xiàn)（9）＝1，F(xiàn)（25）＝1，…；猜想：F（x2）＝1（x是正整數(shù)）．（應用規(guī)律）（3）若F（x2+x）＝，且x是正整數(shù)，求x的值；（4）若F（x2﹣11）＝1，請直接寫出x的值．【分析】（1）由信息可知15的最佳分解是3×5，24的最佳分解是4×6，代入F（n）＝中進行計算即可；（2）由完全平方數(shù)的特點可知結果為1；（3）把x2+x化為x（x+1）即可得出結果；（4）把（x2﹣11）寫成完全平方數(shù)的形式即可得出x．【解答】解：（1）∵3×5＝15，∴F（15）＝；∵4×6＝24，∴F（24）＝；故答案為：；；（2）∵4，9，25都是平方數(shù)，∴F（25）＝1，F(xiàn)（X2）＝1，故答案為：1；1；（3）∵F（x2+x）＝，且x2+x＝x（x+1），∴x（x+1）＝8×9，∴x＝8，即x的值為8；（4）∵F（x2﹣11）＝1，∴（x2﹣11）是一個完全平方數(shù)，∴x2﹣11＝x2﹣12+1，∴2x＝12，∴x＝6，即x的值為6．【點評】本題屬于新定義問題，從題目所給的信息中分析得出規(guī)律從而掌握分解因數(shù)的方法，熟悉完全平方數(shù)的特點是解題關鍵．29．（2021秋?南昌期末）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大邊c的值；（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．【分析】（1）根據(jù)x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，應用因式分解的方法，判斷出（x﹣y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值各是多少，再把它們相乘，求出xy的值是多少即可；（2）首先根據(jù)a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，應用因式分解的方法，判斷出（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，求出a、b的值各是多少；然后根據(jù)三角形的三條邊的長度的關系，求出△ABC的最大邊c的值是多少即可；（3）首先根據(jù)a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，應用因式分解的方法，判斷出（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，求出a、c、b的值各是多少；然后把a、b、c的值求和，求出a+b+c的值是多少即可．【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，∴x﹣y＝0，y+3＝0，∴x＝﹣3，y＝﹣3，∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，即xy的值是9．（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，∴a＝5，b＝6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大邊c的值可能是6、7、8、9、10．（3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0，∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，∴a﹣4＝0，c﹣8＝0，∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4，∴a+b+c＝4﹣4+8＝8，即a+b+c的值是8．【點評】（1）此題主要考查了因式分解方法的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：用因式分解的方法將式子變形時，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個代數(shù)式，也可以是其中的一部分．（2）此題還考查了三角形的三條邊之間的關系，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：任意兩邊之和大于第三邊；任意兩邊之差小于第三邊．分層提分分層提分題組A基礎過關練一．選擇題（共8小題）1．（2021?寧波模擬）下列因式分解正確的是（）A．﹣2a2+4a＝﹣2a（a+2） B．x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2 C．2x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y） D．a2+b2＝（a+b）2【分析】利用提公因式法、公式法逐項進行因式分解即可．【解答】解：由于﹣2a2+4a＝﹣2a（a﹣2），所以選項A不符合題意；由于x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2，所以選項B符合題意；由于4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y），所以選項C不符合題意；由于a2+2ab+b2＝（a+b）2，所以選項D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的結構特征是解決問題的關鍵．2．（2021春?上虞區(qū)期末）下列多項式能用公式法分解因式的是（）①﹣4x2﹣y2；②4x2﹣（﹣y）2；③a2+2ab﹣b2；④x+1+；⑤m2n2+4﹣4mn．A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤【分析】根據(jù)平方差公式及完全平方公式進行判斷即可求求解．【解答】解：①﹣4x2﹣y2，不符合平方差公式，故不能用公式法分解因式；②4x2﹣（﹣y）2＝（2x+y）（2x﹣y），符合平方差公式，故能用公式法分解因式；③a2+2ab﹣b2，不符合完全平方公式，故不能用公式法分解因式；④x+1+＝，符合完全平方公式，故能用公式法分解因式；⑤m2n2+4﹣4mn＝（mn﹣2）2，符合完全平方公式，故能用公式法分解因式，故選：C．【點評】本題主要考查因式分解﹣運用公式法，掌握平方差公式及完全平方公式是解題的關鍵．3．（2021春?南潯區(qū)期末）下列多項式中，能用完全平方公式進行分解因式的是（）A．4x2﹣1 B．x2﹣2x﹣1 C．4x2+2x+1 D．4x2﹣4x+1【分析】根據(jù)完全平方公式的特點：兩項平方項的符號相同，另一項是兩底數(shù)積的2倍，對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A.4x2﹣1，只含有兩項，不符合完全平方公式法分解因式的式子特點，故本選項不合題意；B．x2﹣2x﹣1，兩項平方項x2與﹣1的符號不同，故本選項不合題意；C.4x2+2x+1，不符合完全平方公式法分解因式的式子特點，故本選項不合題意；D.4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，符合完全平方公式法分解因式的式子特點，故本選項符合題意．故選：D．【點評】此題考查了公式法分解因式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．4．（2021春?嘉興期末）若x2﹣bx﹣10＝（x+5）（x﹣a），則ab的值是（）A．﹣8 B．8 C．﹣ D．【分析】直接利用多項式乘多項式得出關于a，b的等式，進而得出答案．【解答】解：∵x2﹣bx﹣10＝（x+5）（x﹣a），∴x2﹣bx﹣10＝x2+（﹣a+5）x﹣5a，故﹣a+5＝﹣b，﹣5a＝﹣10，解得：a＝2，b＝﹣3，故ab＝2﹣3＝．故選：D．【點評】此題主要考查了十字相乘法，正確得出a，b的值是解題關鍵．5．（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．4x2﹣1 B．4x2+4x﹣1 C．x2﹣x+ D．x2﹣xy+y2【分析】利用平方差公式以及完全平方公式分別將各式分解，即可作出判斷．【解答】解：A．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），故此選項不合題意；B．4x2+4x﹣1無法運用完全平方公式分解因式，故此選項不合題意；C．x2﹣x+＝（x﹣）2，故此選項符合題意；D．x2﹣xy+y2無法運用完全平方公式分解因式，故此選項不合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了公式法分解因式，正確掌握乘法公式是解題關鍵．6．（2021?柯橋區(qū)模擬）利用函數(shù)知識對關于代數(shù)式ax2+bx+c（a≠0）的以下說法作出判斷，則正確的有（）①如果存在兩個實數(shù)p≠q，使得ap2+bp+c＝aq2+bq+c，則ax2+bx+c＝a（x﹣p）（x﹣q）；②存在三個實數(shù)m≠n≠s，使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝as2+bs+c；③如果ac＜0，則一定存在兩個實數(shù)m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c；④如果ac＞0，則一定存在兩個實數(shù)m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質，根的判別式一一判斷即可．【解答】解：①∵x＝p或q時，ap2+bp+c與aq2+bq+c不一定等于0，∴①錯誤；②∵最多存在兩個實數(shù)m≠n，使得am2+bm+c＝an2+bn+c，∴②錯誤；③∵ac＜0，則Δ＞0，拋物線與x軸有兩個不同的交點，故一定存在兩個實數(shù)m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c，∴③正確；④∵ac＜0，則△不一定大于0，拋物線與x軸沒有交點，∴④錯誤；故選：A．【點評】本題考查因式分解，解題關鍵是熟練掌握二次函數(shù)與x軸的交點，一元二次方程根的判別式的知識點．7．（2021春?東陽市期末）把多項式x2+ax+b分解因式，得（x+3）（x﹣4），則a，b的值分別是（）A．a＝﹣1，b＝﹣12 B．a＝1，b＝12 C．a＝﹣1，b＝12 D．a＝1，b＝﹣12【分析】首先利用多項式乘法將原式展開，進而得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：∵多項式x2+ax+b分解因式的結果為（x+3）（x﹣4），∴x2+ax+b＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，故a＝﹣1，b＝﹣12，故選：A．【點評】此題主要考查了多項式乘法，正確利用乘法公式用將原式展開是解題關鍵．8．（2021秋?余杭區(qū)期中）三角形的三邊a，b，c滿足（a+b）2﹣c2＝2ab，則此三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【分析】將所給出的等式化簡可得a2+b2＝c2，利用勾股定理的逆定理可求解．【解答】解：∵三角形的三邊a，b，c滿足（a+b）2﹣c2＝2ab，∴a2+2ab+b2﹣c2﹣2ab＝0，∴a2+b2＝c2，∴三角形為直角三角形．故選：B．【點評】本題主要考查完全平方公式，勾股定理的逆定理，將等式變形為a2+b2＝c2是解題的關鍵．二．填空題（共9小題）9．（2021秋?惠州期末）因式分解：3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2．【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可．【解答】解：3x2﹣6x+3＝3（x2﹣2x+1）＝3（x﹣1）2，故答案為：3（x﹣1）2．【點評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．10．（2021秋?長垣市期末）分解因式：2x3+4x2+2x＝2x（x+1）2．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2x（x2+2x+1）＝2x（x+1）2．故答案為：2x（x+1）2．【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．11．（2021秋?淮陽區(qū)期末）甲乙兩人完成因式分解x2+ax+b時，甲看錯了a的值，分解的結果是（x+6）（x﹣2），乙看錯了b的值，分解的結果為（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正確的結果為（x﹣6）（x+2）．【分析】根據(jù)甲、乙看錯的情況下得出a、b的值，進而再利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：因式分解x2+ax+b時，∵甲看錯了a的值，分解的結果是（x+6）（x﹣2），∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，又∵乙看錯了b的值，分解的結果為（x﹣8）（x+4），∴a＝﹣8+4＝﹣4，∴原二次三項式為x2﹣4x﹣12，因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），故答案為：（x﹣6）（x+2）．【點評】本題考查十字相乘法進行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的關鍵．12．（2021秋?南崗區(qū)校級期末）若a+b＝8，ab＝15，則a2+ab+b2＝49．【分析】首先配方得出a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab進而得出答案．【解答】解：∵a+b＝8，ab＝15，則a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab＝82﹣15＝49．故答案為：49．【點評】此題主要考查了配方法的應用，正確配方得出是解題關鍵．13．（2021秋?河口縣期末）若m+n＝3，則2m2+4mn+2n2﹣6的值為12．【分析】原式前三項提取2變形后，利用完全平方公式化簡，將m+n的值代入計算即可求出值．【解答】解：∵m+n＝3，∴2m2+4mn+2n2﹣6＝2（m+n）2﹣6＝18﹣6＝12．故答案為：12．【點評】此題考查了因式分解的應用，將所求式子進行適當?shù)淖冃问墙獗绢}的關鍵．14．（2022?溫州模擬）分解因式：m2﹣4m＝m（m﹣4）．【分析】提取公因式m，即可求得答案．【解答】解：m2﹣4m＝m（m﹣4）．故答案為：m（m﹣4）．【點評】本題考查了提公因式法分解因式．題目比較簡單，解題需細心．15．（2021?西湖區(qū)校級三模）已知x﹣y＝，xy＝4，則xy2﹣x2y＝﹣2．【分析】原式提取公因式，把已知等式代入計算即可求出值．【解答】解：∵x﹣y＝，xy＝4，∴原式＝xy（y﹣x）＝﹣xy（x﹣y）＝﹣4×＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】此題考查了因式分解的應用，熟練掌握分解因式的方法是解本題的關鍵．16．（2021秋?瑞安市期中）有4個不同的整數(shù)m、n、p、q滿足（5﹣m）（5﹣n）（5﹣p）（5﹣q）＝9，那么m+n+p+q＝20．【分析】因為m，n，p，q都是四個不同正整數(shù)，所以（5﹣m）、（5﹣n）、（5﹣p）、（5﹣q）都是不同的整數(shù)，四個不同的整數(shù)的積等于9，這四個整數(shù)為﹣1、﹣3、1、3，由此求得m，n，p，q的值，問題得解．【解答】解：因為（5﹣m）（5﹣n）（5﹣p）（5﹣q）＝9，每一個因數(shù)都是整數(shù)且都不相同，那么只可能是﹣1，1，﹣3，3，由此得出m、n、p、q分別為6、4、8、2，所以，m+n+p+q＝20．故答案為：20．【點評】本題考查了有理數(shù)的乘法，因式分解的應用，解決本題的關鍵是一個正整數(shù)通過分解把它寫為四個不同的整數(shù)的乘積，要考慮有兩個正因數(shù)，兩個負因數(shù)，從而再結合題意解決問題．17．（2021春?鹿城區(qū)校級期中）大長方形中放入5張長為a，寬為b的相同的小長方形，如圖所示，其中A，B，C三點在同一條直線上．若陰影部分的面積為34，大長方形的周長為30，則一張小長方形的面積為4．【分析】根據(jù)“陰影部分的面積為52，大長方形的周長為36”，即可得出關于x，y的方程組，利用（①2﹣②）÷2，可求出一張小長方形的面積．【解答】解：依題意得：，即，（①2﹣②）÷2，得：xy＝4．∴一張小長方形的面積為4．故答案為4．【點評】本題考查了因式分解的應用以及二元二次方程組的應用，找準等量關系，正確列出方程組是解題的關鍵．三．解答題（共7小題）18．（2021春?上虞區(qū)期末）因式分解：（1）4x2﹣y2；（2）9a3﹣6a2b+ab2．【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）4x2﹣y2＝（2x）2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）；（2）9a3﹣6a2b+ab2＝a（9a2﹣6ab+b2）＝a（3a﹣b）2．【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運用乘法公式是解題關鍵．19．（2021春?嵊州市期末）分解因式：（1）25a2﹣4；（2）3ax2﹣6axy+3ay2．【分析】（1）利用平方差公式進行因式分解即可；（2）先提公因式3a，再利用完全平方公式進行因式分解即可．【解答】解：（1）原式＝（5a+2）（5a﹣2）；（2）原式＝3a（x2﹣2xy+y2）＝3a（x﹣y）2．【點評】本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的結構特征是應用公式的前提，找出各項的公因式是提公因式的關鍵．20．（2021春?寧波期末）因式分解：（1）﹣ab+2a2b﹣a3b；（2）（x﹣y）2﹣x+y．【分析】（1）直接提取公因式﹣ab，再利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）將原式后兩項添括號，再提取公因式（x﹣y），進而分解因式即可．【解答】解：（1）原式＝﹣ab（1﹣2a+a2）＝﹣ab（a﹣1）2；（2）原式＝（x﹣y）2﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（x﹣y﹣1）．【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用乘法公式分解因式是解題關鍵．21．（2021春?鄞州區(qū)期末）因式分解：（1）a2﹣4b2；（2）﹣x2+6xy﹣9y2．【分析】（1）根據(jù)平方差公式分解因式；（2）先提負號，然后根據(jù)完全平方公式分解因式．【解答】解：（1）a2﹣4b2＝a2﹣（2b）2＝（a+2b）（a﹣2b）；（2）﹣x2+6xy﹣9y2＝﹣（x2﹣6xy+9y2）＝﹣（x﹣3y）2．【點評】本題考查了運用公式法分解因式，解題的關鍵是掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a2±2ab+b2＝（a±b）2．22．（2021春?拱墅區(qū)校級期中）如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“奇特數(shù)”，例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52；則8、16、24這三個數(shù)都是奇特數(shù)．（1）填空：32是奇特數(shù)，2018不是奇特數(shù)．（填“是”或者“不是”）（2）設兩個連續(xù)奇數(shù)是2n﹣1和2n+1（其中n取正整數(shù)），由這兩個連續(xù)奇數(shù)構造的奇特數(shù)是8的倍數(shù)嗎？為什么？（3）如圖所示，拼疊的正方形邊長是從1開始的連續(xù)奇數(shù)…，按此規(guī)律拼疊到正方形ABCD，其邊長為99，求陰影部分的面積．【分析】（1）根據(jù)32＝92﹣72，以及8、16、24這三個數(shù)都是奇特數(shù)，他們都是8的倍數(shù)，而2018＝2×1009，不是8的整數(shù)倍，進行判斷．（2）利用平方差公式計算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n?2＝8n，得到兩個連續(xù)奇數(shù)構造的奇特數(shù)是8的倍數(shù)；（3）利用陰影部分面積為：S陰影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12，進而求出即可．【解答】解：（1）∵32＝8×4＝92﹣72，∴32是奇特數(shù)，∵因為2018不能表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，∴2018不是奇特數(shù)，故答案為：是，不是；（2）由這兩個連續(xù)奇數(shù)構造的奇特數(shù)是8的倍數(shù)，理由：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n?2＝8n，∴由這兩個連續(xù)奇數(shù)構造的奇特數(shù)是8的倍數(shù)．（3）S陰影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12＝（99+97）（99﹣97）+（95+93）（95﹣93）+（91+89）（91﹣89）+…+（7+5）（7﹣5）+（3+1）（3﹣1）＝（99+97+95+…+3+1）×2＝×2＝5000．【點評】本題考查了正方形面積、新概念應用、平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）應用，利用圖形正確表示出陰影部分是解題關鍵．23．（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)期末）閱讀下列材料：對于多項式x2+x﹣2，如果我們把x＝1代入此多項式，發(fā)現(xiàn)x2+x﹣2的值為0，這時可以確定多項式中有因式（x﹣1）；同理，可以確定多項式中有另一個因式（x+2），于是我們可以得到：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．又如：對于多項式2x2﹣3x﹣2，發(fā)現(xiàn)當x＝2時，2x2﹣3x﹣2的值為0，則多項式2x2﹣3x﹣2有一個因式（x﹣2），我們可以設2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx+n），解得m＝2，n＝1，于是我們可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x+1）．請你根據(jù)以上材料，解答以下問題：（1）當x＝1時，多項式8x2﹣x﹣7的值為0，所以多項式8x2﹣x﹣7有因式（x﹣1），從而因式分解8x2﹣x﹣7＝（x﹣1）（8x+7）；（2）以上這種因式分解的方法叫試根法，常用來分解一些比較復雜的多項式，請你嘗試用試根法分解多項式：①3x2+11x+10；②x3﹣21x+20．【分析】（1）當x＝1時，多項式8x2﹣x﹣7的值為0，所以多項式8x2﹣x﹣7有因式（x﹣1），從而因式分解8x2﹣x﹣7＝（x﹣1）（8x+7）；（2）①當x＝﹣2時，3x2+11x+10＝0，所以有一個因式是（x+2），從而得出答案；②當x＝1，4，﹣5時，x3﹣21x+20＝0，所以x3﹣21x+20＝（x﹣1）（x﹣4）（x+5）．【解答】解：（1）當x＝1時，多項式8x2﹣x﹣7的值為0，所以多項式8x2﹣x﹣7有因式（x﹣1），從而因式分解8x2﹣x﹣7＝（x﹣1）（8x+7），故答案為：1，（x﹣1），（x﹣1）（8x+7）；（2）①因為當x＝﹣2時，3x2+11x+10＝0，所以有一個因式是（x+2），所以3x2+11x+10＝（x+2）（3x+5）；②因為當x＝1，4，﹣5時，x3﹣21x+20＝0，所以x3﹣21x+20＝（x﹣1）（x﹣4）（x+5）．【點評】本題考查了因式分解，熟練掌握多項式乘多項式，理解閱讀材料的方法，借助多項式乘法進行因式分解是解題的關鍵．24．（2021春?寧波期末）閱讀理解并解答：【方法呈現(xiàn)】（1）我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在運用完全平方公式進行因式分解時，關鍵是判斷這個多項式是不是一個完全平方式，同樣地，把一個多項式進行局部因式分解可以來解決代數(shù)式值的最?。ɑ蜃畲螅﹩栴}．例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．則這個代數(shù)式x2+2x+3的最小值是2，這時相應的x的值是﹣1．【嘗試應用】（2）求代數(shù)式﹣x2+14x+10的最?。ɑ蜃畲螅┲?，并寫出相應的x的值．【拓展提高】（3）將一根長300cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，則這兩個正方形面積之和有最?。ɑ蜃畲螅┲担咳粲?，求此時這根鐵絲剪成兩段后的長度及這兩個正方形面積的和；若沒有，請說明理由．【分析】（1）由題意不難看出其最小值為2，相應的x的值為﹣1；（2）根據(jù)（1）中的方法，不難求得結果；（3）可設一段鐵絲長為xcm，則另一段長為（300﹣x）cm，然后列出式子進行求解即可．【解答】解：（1）∵x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，∴其最小值為2，這時相應的x的值為﹣1．故答案為：2，﹣1；（2）﹣x2+14x+10＝﹣（x2﹣14x+49﹣49）+10＝﹣（x﹣7）2+59，∵﹣（x﹣7）2≤0，∴﹣（x﹣7）2+59≤59，故代數(shù)式﹣x2+14x+10的最大值為59，相應的x的值為7，（3）有最小值，設一段鐵絲長為xcm，則另一段長為（300﹣x）cm，由題意得：，當x＝150，兩個正方形的面積之和有最小值．則另一段鐵絲的長度為300﹣150＝150（cm）．【點評】本題主要考查因式分解的應用，完全平方式，解答的關鍵是對完全平方式的掌握與應用．題組B能力提升練一．選擇題（共5小題）1．（2020秋?南宮市校級期中）已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，則ab+bc+ac＝（）A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11【分析】由已知得出a﹣c＝4，求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，即可得出所求的值．【解答】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，∴a﹣c＝4，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝﹣1，故選：B．【點評】此題主要考查了因式分解的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要靈活應用完全平方公式．2．（2020春?句容市期末）已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，則m2+2mn+n2的值為（）A．9 B．6 C．4 D．無法確定【分析】將已知的兩個方程相減，求得m+n的值，再將所求代數(shù)式分解成完全平方式，再代值計算．【解答】解：∵m2＝3n+a，n2＝3m+a，∴m2﹣n2＝3n﹣3m，∴（m+n）（m﹣n）+3（m﹣n）＝0，∴（m﹣n）[（m+n）+3]＝0，∵m≠n，∴（m+n）+3＝0，∴m+n＝﹣3，∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣3）2＝9．故選：A．【點評】本題主要考查了求代數(shù)式的值，因式分解的應用，關鍵是由已知求得m+n的值．3．（2020?泰興市一模）已知m2＝4n+a，n2＝4m+a，m≠n，則m2+2mn+n2的值為（）A．16 B．12 C．10 D．無法確定【分析】將m2＝4n+a與n2＝4m+a相減可得（m﹣n）（m+n+4）＝0，根據(jù)m≠n，可得m+n+4＝0，即m+n＝﹣4，再將m2+2mn+n2變形為（m+n）2，整體代入即可求解．【解答】解：將m2＝4n+a與n2＝4m+a相減得m2﹣n2＝4n﹣4m，（m+n）（m﹣n）＝﹣4（m﹣n），（m﹣n）（m+n+4）＝0，∵m≠n，∴m+n+4＝0，即m+n＝﹣4，∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣4）2＝16．故選：A．【點評】考查了因式分解的應用，關鍵是得到m+n＝﹣4，以及整體思想的應用．4．（2020春?蕭山區(qū)期末）有下列說法：①在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；②無論k取任何實數(shù)，多項式x2﹣ky2總能分解成兩個一次因式積的形式；③若（t﹣3）3﹣2t＝1，則t可以取的值有3個；④關于x，y的方程組為，將此方程組的兩個方程左右兩邊分別對應相加，得到一個新的方程，當a每取一個值時，就有一個確定的方程，而這些方程總有一個公共解，則這個公共解是．其中正確的說法是（）A．①④ B．①③④ C．②③ D．①②【分析】利用平行公理對①判斷，利用平方差公式的特點對②分析，③通過0指數(shù)、底數(shù)為1，底數(shù)為﹣1對代數(shù)式進行分類討論得結果，④抓住a取每一個值方程的解都相同，求出x、y的值．【解答】解：①按照平行公理可判斷在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項正確；②當k為負值時，多項式x2﹣ky2不能分解成兩個一次因式積的形式，故本選項不正確；③當t＝4、時，（t﹣3）3﹣2t＝1，故本選項不正確；④新方程為（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5，∵a每取一個值時，就有一個方程，而這些方程總有一個公共解，∴當a＝1時，y＝﹣1，當a＝﹣2時，x＝3，∴公共解是．綜上正確的說法是①④．故選：A．【點評】本題考查了平行公理、因式分解、零指數(shù)冪和二元一次方程組的解等知識點，熟練掌握相關性質定理及運算法則是解題的關鍵．5．（2020春?沙坪壩區(qū)校級月考）分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正確結果是（）A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1） C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1）【分析】確定公因式是b（x﹣3），然后提取公因式即可．【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），＝b（x﹣3）（b+1）．故選：B．【點評】需要注意提取公因式后，第二項還剩因式1．二．填空題（共8小題）6．（2021秋?鋼城區(qū)期末）多項式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），則m＝﹣5．【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積，可得答案．【解答】解：x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），得x2+mx+6＝（x﹣2）（x+n），（x﹣2）（x+n）＝x2+（n﹣2）x﹣2n，x2+mx+6＝x2+（n﹣2）x﹣2n，﹣2n＝6，m＝n﹣2．解得n＝﹣3，m＝﹣5，故答案為：﹣5．【點評】本題考查了因式分解的意義，利用因式分解得出相等整式是解題關鍵．7．（2021秋?西湖區(qū)校級期中）已知x2﹣3x+1＝0，則﹣2x2+6x＝2；x3﹣2x2﹣2x+9＝8．【分析】由x2﹣3x+1＝0，可得x2﹣3x＝﹣1，把﹣2x2+6x和x3﹣2x2﹣2x+9分解因式，使之出現(xiàn)x2﹣3x，整體代入即可求出結果．【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴﹣2x2+6x＝﹣2（x2﹣3x）＝﹣2×（﹣1）＝2，x3﹣2x2﹣2x+9＝x3﹣3x2+x2﹣3x+x+9＝x（x2﹣3x）+（x2﹣3x）+x+9＝﹣x+（﹣1）+x+9＝8，故答案為：2，8．【點評】本題考查了因式分解的應用，正確把多項式分解為已知條件中出現(xiàn)的因式是解決問題的關鍵．8．（2021春?諸暨市期末）已知x≠y，且滿足兩個等式x2﹣2y＝20212，y2﹣2x＝20212，則x2+2xy+y2的值為4．【分析】聯(lián)立方程，通過因式分解求出x+y的值，再將x2+2xy+y2因式分解得（x+y）2，將x+y的值代入求解．【解答】解：，①﹣②得x2﹣y2+2x﹣2y＝0，（x+y）（x﹣y）+2（x﹣y）＝0，（x﹣y）（x+y+2）＝0，∵x≠y，∴x+y+2＝0，即x+y＝﹣2，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝4．故答案為：4．【點評】本題考查因式分解的應用，解題關鍵是熟練掌握因式分解的方法，通過整體代入的思想求解．9．（2021春?江北區(qū)校級期中）已知a+b＝4，ab＝﹣2，則a3b﹣2a2b2+ab3＝﹣48．【分析】因式分解后整體代換求值【解答】解：∵a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2＝ab[（a+b）2﹣4ab]＝﹣2×（16+8）＝﹣48．故答案為﹣48．【點評】本題考查因式分解，提公因式再分解求值是求解本題的關鍵．10．（2021春?西湖區(qū)校級期中）已知多項式x4+mx+n能分解為（x2+px+q）（x2+2x﹣3），則p＝﹣2，q＝7．【分析】把（x2+px+q）（x2+2x﹣3）展開，找到所有x3和x2的項的系數(shù)，令它們的系數(shù)分別為0，列式求解即可．【解答】解：∵（x2+px+q）（x2+2x﹣3）＝x4+px3+qx2+2x3+2px2+2qx﹣3x2﹣3px﹣3q＝x4+（p+2）x3+（q+2p﹣3）x2+（2q﹣3p）x﹣3q＝x4+mx+n．∴展開式乘積中不含x3、x2項，∴，解得：．故答案為：﹣2，7．【點評】本題考查了整式乘法的運算、整式乘法和因式分解的關系，將結果式子運用整式乘法展開后，抓住“若某項不存在，即其前面的系數(shù)為0”列出式子求解即可．11．（2021春?西湖區(qū)校級期中）若2b﹣a＝﹣2，a+2b＝5．則a2﹣4b2＝10．【分析】從結論入手，用平方差公式進行因式分解，再對第一個條件進行變形即可求出答案．【解答】解：∵2b﹣a＝﹣2，∴a﹣2b＝2，∴a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝5×2＝10．故答案為：10．【點評】本題考查平方差公式，解題的關鍵是知道2b﹣a和a﹣2b互為相反數(shù)．12．（2021?寧波模擬）化簡：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝（a+1）100．【分析】原式提取公因式，計算即可得到結果．【解答】解：原式＝（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）98]＝（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97]＝（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96]＝…＝（a+1）100．故答案為：（a+1）100．【點評】此題考查了因式分解﹣提公因式法，熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關鍵．13．（2021?光明區(qū)二模）分解因式：a3﹣6a2+9a＝a（a﹣3）2．【分析】先提取公因式a，再根據(jù)完全平方公式進行二次分解．【解答】解：a3﹣6a2+9a＝a（a2﹣6a+9）＝a（a﹣3）2，故答案為a（a﹣3）2【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進行二次分解，注意分解要徹底．三．解答題（共14小題）14．（2021春?拱墅區(qū)校級月考）閱讀下列材料：定義：任意兩個數(shù)a，b，按規(guī)則c＝ab+a+b擴充得到一個新數(shù)c，稱所得的新數(shù)c為“如意數(shù)”．（1）若a＝2，b＝﹣1，直接寫出a，b的“如意數(shù)”c；（2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，求a，b的“如意數(shù)”c，并證明“如意數(shù)”c恒小于等于0；（3）已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意數(shù)”為c＝x4+4x2+2，請用含x的式子表示b．【分析】（1）利用“如意數(shù)”的定義可直接求得；（2）利用“如意數(shù)”的定義求出c的值，再判斷；（3）利用“如意數(shù)”的定義表示出c，把a與c的值代入即可．【解答】解：（1）由“如意數(shù)”的定義可得，c＝ab+a+b＝2×（﹣1）+2+（﹣1）＝﹣1；（2）證明：由“如意數(shù)”的定義可得，c＝ab+a+b＝（m﹣4）?（﹣m）+（m﹣4）+（﹣m）＝﹣m2+4m+m﹣4﹣m＝﹣m2+4m﹣4＝﹣（m﹣2）2，∵（m﹣2）2≥0，∴﹣（m﹣2）2≤0，∴“如意數(shù)”c恒小于等于0；（3）∵c＝ab+a+b，∴（a+1）b＝c﹣a，∴（x2+1）b＝x4+4x2+2﹣x2，∴（x2+1）b＝x4+3x2+2＝（x2+1）（x2+2），∵x2≥0，∴x2+1＞0，∴b＝x2+2．【點評】本題以新概念“如意數(shù)”為背景考查了因式分解，關鍵是能根據(jù)定義表示出“如意數(shù)”，然后利用因式分解解答．15．（2021春?拱墅區(qū)期中）若一個四位數(shù)A滿足：①千位數(shù)字2﹣百位數(shù)字2＝后兩位數(shù)，則稱A為“美妙數(shù)”．例如：∵62﹣12＝35，∴6135為“美妙數(shù)”．②7×（千位數(shù)字﹣百位數(shù)字）＝后兩位數(shù)，則稱A是“奇特數(shù)”．例如：7×（8﹣5）＝21，∴8521為“奇特數(shù)”．（1）若一個“美妙數(shù)”的千位數(shù)字為8，百位數(shù)字為7，則這個數(shù)是8715．若一個“美妙數(shù)”的后兩位數(shù)字為16，則這個數(shù)是4016或5316．（2）一個“美妙數(shù)”與一個“奇特數(shù)”的千位數(shù)字均為m，百位數(shù)字均為n，且這個“美妙數(shù)”比“奇特數(shù)”大14，求滿足條件的“美妙數(shù)”．【分析】（1）根據(jù)美妙數(shù)的定義進行解答便可；（2）根據(jù)新定義表示出美妙數(shù)與奇特數(shù)，再根據(jù)題意列出方程，求得符合每件的解，進而求得結果．【解答】解：（1）∵82﹣72＝15，∴若一個“美妙數(shù)”的千位數(shù)字為8，百位數(shù)字為7，則這個數(shù)是8715，∵16＝42﹣02＝52﹣32，∴若一個“美妙數(shù)”的后兩位數(shù)字為16，則這個數(shù)是4016或5316，故答案為8715；4016或5316；（2）根據(jù)題意得，（1000m+100n+m2﹣n2）﹣[1000m+100n+7（m﹣n）]＝14，化簡得（m﹣n）（m+n﹣7）＝14，∵m、n均為整數(shù)，且1≤m≤9，0≤n≤9，∴m＝8，n＝6或m＝8，n＝1，∴滿足條件的“美妙數(shù)”為，1000m+100n+m2﹣n2＝8628或8163．【點評】本題主要考查了新定義，整數(shù)的計算，關鍵是根據(jù)新定義列出代數(shù)式和方程．16．（2021春?渦陽縣期末）教科書中這樣寫道：“我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等問題．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知當x＝﹣1時，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：（1）分解因式：x2﹣4x﹣5＝（x+1）（x﹣5）．（2）當x為何值時，多項式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出這個最大值．（3）利用配方法，嘗試解方程﹣2ab﹣2b+1＝0，并求出a，b的值．【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以將題目中的式子因式分解；（2）根據(jù)題目中的例子，先將所求式子配方，然后即可得到當x為何值時，所求式子取得最大值，并求出這個最大值；（3）將題目中的式子化為完全平方式的形式，然后根據(jù)非負數(shù)的性質，即可得到a、b的值．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3）＝（x+1）（x﹣5），故答案為：（x+1）（x﹣5）；（2）∵﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x+1）2+5，∴當x＝﹣1時，多項式﹣2x﹣4x+3有最大值，這個最大值是5；（3）∵，∴（﹣2ab+2b2）+（b2﹣2b+1）＝0∴（a﹣b）2+（b﹣1）2＝0∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，解得，a＝2，b＝1．【點評】本題考查非負數(shù)的性質、因式分解的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用因式分解的方法和非負數(shù)的性質解答．17．（2021春?婁底期中）利用完全平方公式進行因式分解，解答下列問題：（1）因式分解：x2﹣4x+4＝（x﹣2）2．（2）填空：①當x＝﹣2時，代數(shù)式x2+4x+4＝0．②當x＝3時，代數(shù)式x2﹣6x+9＝0．③代數(shù)式x2+8x+20的最小值是4．（3）拓展與應用：求代數(shù)式a2+b2﹣6a+8b+28的最小值．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式可以將題目中的式子因式分解；（2）①將x＝﹣2代入代數(shù)式x2+4x+4中，即可求得代數(shù)式x2+4x+4的值；②解方程x2﹣6x+9＝0，求出x的值，即可解答本題；③將代數(shù)式變形，然后根據(jù)非負數(shù)的性質，即可得到代數(shù)式x2+8x+20的最小值；（3）將代數(shù)式a2+b2﹣6a+8b+28變形，然后根據(jù)非負數(shù)的性質，即可求得代數(shù)式a2+b2﹣6a+8b+28的最小值．【解答】解：（1）x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故答案為：（x﹣2）2；（2）①當x＝﹣2時，x2+4x+4＝（﹣2）2+4×（﹣2）+4＝4+（﹣8）+4＝0，故答案為：0；②∵x2﹣6x+9＝0，∴（x﹣3）2＝0，∴x1＝x2＝3，故答案為：3；③∵x2+8x+20＝（x+4）2+4，∴當x＝﹣4時，x2+8x+20取得最小值4，故答案為：4；（3）∵a2+b2﹣6a+8b+28＝（a﹣3）2+（b+4）2+3≥3，∴代數(shù)式a2+b2﹣6a+8b+28的最小值是3．【點評】本題考查因式分解的應用、非負數(shù)的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用因式分解的方法和非負數(shù)的性質解答．18．（2020秋?沂南縣期末）先閱讀下列材料：我們已經(jīng)學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．（1）分組分解法：將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分組分解法：解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．【分析】（1）將前兩項利用平方差公式分解因式，進而利用提取公因式法分解因式得出答案；（2）直接利用十字相乘法分解因式得出答案．【解答】解：（1）原式＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+1）；（2）原式＝（x2﹣6x+9﹣16）＝（x﹣3）2﹣16＝（x﹣3﹣4）（x﹣3+4）＝（x﹣7）（x+1）．【點評】此題主要考查了十字相乘法以及分組分解法分解因式，正確應用公式是解題關鍵．19．（2021春?鄞州區(qū)校級期末）已知多項式2x4﹣3x3+ax2+7x+b含有因式x2+x﹣2，求的值．【分析】由于x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），而多項式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，則2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除．運用待定系數(shù)法，可設商是A，則2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝A（x+2）（x﹣1），則x＝﹣2和x＝1時，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝0，分別代入，得到關于a、b的二元一次方程組，解此方程組，求出a、b的值，進而得到的值．【解答】解：∵x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），∴2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除，設商是A．則2x4﹣3x3+ax2+7x