第十五章分式（知識(shí)歸納14題型突破）（原卷版）

第十五章分式（知識(shí)歸納+14題型突破）1.理解分式的定義，基本性質(zhì)，混合運(yùn)算．2.整數(shù)的指數(shù)冪運(yùn)算．3.會(huì)解分式方程及含參數(shù)的有關(guān)問題和分式方程的應(yīng)用．一、分式的定義分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．注：=1\*GB3①分式可以理解為兩個(gè)整式相除的商，分母是除數(shù)，分子是被除數(shù)，分?jǐn)?shù)線是除號(hào)。=2\*GB3②整式B作為分母，則整式B0.=3\*GB3③只要最終能轉(zhuǎn)化為形式即可.=4\*GB3④B中若無字母，則變成系數(shù)乘A，為整式.二、分式的相關(guān)概念1）分式有意義的條件：分母不為0，即B02）分式的值為0的條件：分子為0，且分母不為0，即A=0且B03）分式為正的條件：分子與分母的積為正，即AB>04）分式為負(fù)的條件：分子與分母的積為負(fù)，即AB<0三、分式的基本性質(zhì)1）分?jǐn)?shù)的性質(zhì)（特點(diǎn)）如下：=1\*GB3①分母不能為零;=2\*GB3②分?jǐn)?shù)分子分母同乘除不為零的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變;=3\*GB3③分?jǐn)?shù)的通分與約分（短除法）.2）分式是分?jǐn)?shù)的拓展延伸，分式有與分?jǐn)?shù)類似的性質(zhì)（特點(diǎn)）：=1\*GB3①分式分母也不能為零=2\*GB3②分式分子分母同乘除一個(gè)不為零的整式，分式大小不變。即：用式子表示為或，其中A，B，C均為整式．=3\*GB3③分式的通分與約分在知識(shí)點(diǎn)4中詳細(xì)講解.四、分式的約分與通分1）分式的約分：與分?jǐn)?shù)的約分類似，約去分式分子、分母中的公因式（最大公約數(shù)）.注：有時(shí)，分式分子、分母需進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)換才有公因式。2）最簡(jiǎn)分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式．注：約分一般是將一個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式，分式約分所得的結(jié)果有時(shí)可能成為整式．3）分式的通分：利用分式的性質(zhì)，將分式的分母變成最小公倍數(shù)，分子根據(jù)分母擴(kuò)大的倍數(shù)相應(yīng)擴(kuò)大，不改變分式的值。步驟：=1\*GB3①通過短除法，求出分式分母的最小公倍數(shù)；=2\*GB3②分母變?yōu)樽钚」稊?shù)的值，確定原式分母擴(kuò)大的倍數(shù);=3\*GB3③分子對(duì)應(yīng)擴(kuò)大相同倍數(shù).4）最簡(jiǎn)公分母：幾個(gè)分式通分時(shí)，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡(jiǎn)公分母．五、分式的混合運(yùn)算分式是分?jǐn)?shù)的擴(kuò)展，因此分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似：1）分式的加減①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減．用式子表示為：．②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減．用式子表示為：．2）分式的乘法乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示為：．3）分式的除法除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．用式子表示為：．4）分式的乘方乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示為：為正整數(shù)，．5）分式的混合運(yùn)算含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算．混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號(hào)的，先算括號(hào)里的．注：上述所有計(jì)算中，結(jié)果中分子、分母可約分的，需進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式六、整數(shù)指數(shù)冪（冪的運(yùn)算的擴(kuò)大）1）前面已學(xué)習(xí)：=1\*GB3①am?an=am+n，（m，n是正整數(shù)）；=2\*GB3②（am）=3\*GB3③（ab）m=ambm，（m是正整數(shù)）；=4\*GB3④am÷an=am?n，（a≠0，m=5\*GB3⑤（ab）n=anbn，（n是正整數(shù)）；=6\*GB3若按照=4\*GB3④運(yùn)算，當(dāng)m<n時(shí)。如：a2÷a3=2）針對(duì)這種現(xiàn)象，我們規(guī)定，當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，a?n=1a3）冪的運(yùn)算性質(zhì)擴(kuò)大當(dāng)a≠0時(shí)=1\*GB3①am?an=2\*GB3②（am）n=3\*GB3③（ab）m=am4）利用負(fù)指數(shù)化除為乘，設(shè)m，n為正整數(shù)，a≠0，根據(jù)定義am÷a5）科學(xué)記數(shù)法的擴(kuò)大一般，一個(gè)小于1的數(shù)可以表示為a×10?n的形式，其中步驟：確定a值的大小。1＜a＜10；確定n的值。原數(shù)變?yōu)閍后，小數(shù)點(diǎn)向前移動(dòng)x位，則原數(shù)相應(yīng)擴(kuò)大了10x倍。故n七、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個(gè)方程為分式方程的依據(jù)．八、分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母．（2）解分式方程的步驟：①找最簡(jiǎn)公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗(yàn)根．注意：解分式方程過程中，易錯(cuò)點(diǎn)有：①去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)；②忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡(jiǎn)公分母中，只有最簡(jiǎn)公分母不是零的解才是原方程的解．九、增根在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗(yàn)根，其方法是將根代入最簡(jiǎn)公分母中，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根．若這個(gè)整式方程本身無解，當(dāng)然原分式方程就一定無解．十、分式方程的應(yīng)用（1）分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．每個(gè)問題中涉及到三個(gè)量的關(guān)系，如：工作時(shí)間＝，時(shí)間＝等．（2）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①設(shè)未知數(shù)；②找等量關(guān)系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗(yàn)（一驗(yàn)分式方程，二驗(yàn)實(shí)際問題）；⑥答．【題型一分式有意義的條件】例題：（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______．【變式訓(xùn)練】1．（2023·云南昆明·昆明八中?？既＃┮狗质接幸饬x，則的取值范圍為______．2．（2023·云南楚雄·統(tǒng)考二模）要使分式有意義，則的取值范圍為____．3．（2023秋·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）當(dāng)滿足條件___________時(shí)，分式?jīng)]有意義．4．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）要使分式無意義，則x的取值范圍是_________．【題型二分式值為零的條件】例題：（2023·廣東佛山·佛山市南海區(qū)南海執(zhí)信中學(xué)?？既＃┤舴质降闹禐?，則x的值為(

)A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？计谥校┤舴质降闹禐榱?，則x的值為（

）A． B．0 C．3 D．2．（2023春·河北保定·八年級(jí)保定十三中?？茧A段練習(xí)）若分式的值為0，則的取值是（

）A． B． C． D．3．（2023春·安徽蚌埠·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知分式的值為，則______．4．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若分式的值為0，則________【題型三判斷分式變形是否正確】例題：（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）下列等式中正確的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·北京西城·八年級(jí)北京市第一六一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）下列變形正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·安徽六安·七年級(jí)六安市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列變形中，錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【題型四利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化】例題：（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果把中x，y的值都擴(kuò)大2倍，那么這個(gè)分式的值（

）A．不變 B．縮小到原來的 C．?dāng)U大4倍 D．?dāng)U大2倍【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北保定·八年級(jí)保定十三中?？茧A段練習(xí)）當(dāng)，時(shí)，若、都擴(kuò)大為原來的10倍，則分式的值（

）A．縮小到原來的 B．?dāng)U大到原來的10倍C．縮小到原來的 D．?dāng)U大到原來的100倍2．（2023春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若把分式中的和都擴(kuò)大2倍，那么分式的值（

）A．不變 B．?dāng)U大2倍 C．縮小為原來值 D．縮小為原來值的3．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果把中的與都擴(kuò)大3倍，那么這個(gè)代數(shù)式的值（

）A．縮小到原來的 B．不變 C．?dāng)U大3倍 D．?dāng)U大9倍【題型五最簡(jiǎn)分式】例題：（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列分式是最簡(jiǎn)分式的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）下列等式成立的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）下列各分式中，是最簡(jiǎn)分式的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）下列分式是最簡(jiǎn)分式的個(gè)數(shù)為(

)①；②；③；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型六最簡(jiǎn)公分母】例題：（2023春·廣東佛山·八年級(jí)佛山市惠景中學(xué)?？计谥校┓质脚c的最簡(jiǎn)公分母是______．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）分式，，的最簡(jiǎn)公分母是_______．2．（2023春·江蘇·八年級(jí)?？贾軠y(cè)）的最簡(jiǎn)公分母是_________3．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)），，的最簡(jiǎn)公分母是_____．【題型七含乘方的分式乘除混合運(yùn)算】例題：（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：（1）；（2）；（3）?÷；（4）．【題型八零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪】例題：（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）計(jì)算：___________．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江杭州·七年級(jí)期中）計(jì)算：________，________．2．（2023·廣東佛山·佛山市華英學(xué)校?？既＃┯?jì)算：____________．3．（2023春·浙江杭州·七年級(jí)期中）已知，那么a，b，c之間的大小關(guān)系是__________（請(qǐng)用“<”表示）．【題型九用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)】例題：（2023春·陜西西安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）2023年1月8日起，國家對(duì)新冠病毒感染實(shí)施“乙類乙管”，已經(jīng)知新冠病毒的直徑是，這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可表示為____________m．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）維生素A是人體內(nèi)不可缺少的微量元素，成年女性每天維生素A的攝入量約為．質(zhì)量單位是微克的符號(hào)，單位轉(zhuǎn)換，，數(shù)據(jù)“”用科學(xué)記數(shù)法可表示為（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考三模）近年來，我國研發(fā)的北斗芯片實(shí)現(xiàn)了22納米制程的突破，22納米等于0.000000022米．用科學(xué)記數(shù)法表示0.000000022是_________．3．（2023春·廣東清遠(yuǎn)·七年級(jí)校聯(lián)考期中）某顆粒物的直徑是，把用科學(xué)記數(shù)法表示為______．【題型十整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算】例題：（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：（1）；（2）.2．（2023春·山東泰安·六年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【題型十一分式加減乘除混合運(yùn)算】例題：（2023·河南漯河·統(tǒng)考二模）化簡(jiǎn)：．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考二模）化簡(jiǎn)：2．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）化簡(jiǎn)：．3．（2023春·河北保定·八年級(jí)保定十三中?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【題型十二分式化簡(jiǎn)求值】例題：（2023·湖南益陽·統(tǒng)考二模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）先化簡(jiǎn)，再求值：其中滿足方程．2．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中：3．（2023春·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)：，若，請(qǐng)選取一個(gè)合適的整數(shù)作為x的值代入求值．4．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再從不等式中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，代入求值．5．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再從，0，1，2中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)作為a的值代入求值．6．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)校聯(lián)考期中）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a滿足．【題型十三解分式方程】例題：（2023春·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北保定·八年級(jí)保定十三中?？茧A段練習(xí)）解方程(1)；(2)．2．（2023·四川攀枝花·?？家荒＃┙夥匠蹋?1);(2)．3．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）解分式方程：(1)(2)4．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）解方程(1)；(2)．5．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）解下列分式方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【題型十四分式方程的實(shí)際應(yīng)用】例題：（2023·吉林白山·校聯(lián)考三模）第5代移動(dòng)通信技術(shù)簡(jiǎn)稱5G，某地已開通5G業(yè)務(wù)，經(jīng)測(cè)試5G速度是4G速度的16倍，小明和小強(qiáng)分別用5G與4G一部960兆的公益片，小明比小強(qiáng)所用的時(shí)間快150秒，求該地4G與5G的速度分別是每秒多少兆？【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）水碧萬物生，岳陽龍蝦好．小龍蝦產(chǎn)業(yè)已經(jīng)成為岳陽鄉(xiāng)村振興的“閃亮名片”．已知翠翠家去年龍蝦的總產(chǎn)量是，今年龍蝦的總產(chǎn)量是，且去年與今年的養(yǎng)殖面積相同，平均畝產(chǎn)量去年比今年少，求今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量．2．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）2023年5月，江西省突發(fā)港澇災(zāi)?，為響應(yīng)政府救援號(hào)召，甲、乙兩公司組織全體員工參與“眾志成城，人間大愛”捐款活動(dòng)，甲公司共?款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙兩公司員工的一段對(duì)話：(1)甲、乙兩公司各有多少人？(2)現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購買、兩種防疫物資，種防疫物資每箱15000元，種防疫物資每箱12000元．若購買種防疫物資