2022年全國(guó)卷2高考語(yǔ)數(shù)學(xué)英語(yǔ)語(yǔ)文解析

2022年全國(guó)2卷高考數(shù)學(xué)試題解析

1.已知集合/={—1,1,2,4},8=,卜一1歸1},則4n8=O

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【分析】求出集合8后可求NflB.

【詳解】5={x|0<x<2},故力C|8={1,2},

故選：B.

2.(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求(2+2i)(l-2i).

【詳解】(2+2i)(l-2i)=2+4—4i+2i=6-2i,

故選：D.

3.中國(guó)的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).如圖是某古建筑物的剖

面圖，z)n，CG，34，/4是舉，。2，。6,。四,54是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別

為品=05大=3第=內(nèi)，妥=%，若匕，七，質(zhì)是公差為0.1的等差數(shù)列，且直線(xiàn)

ODXDC}CB、BA、

04的斜率為0.725,則左3=()

1

【答案】D

【分析】設(shè)。。=￡>G=C8i=臺(tái)4=1，則可得關(guān)于左3的方程，求出其解后可得正確的選

項(xiàng).

【詳解】設(shè)0D尸DC1=CBi=BA\=l,則eq=kx,BB}=k2,AA,=k3,

依題意，有《3-0?2=左,左3—0.1=&，且否上&7而;若=°，25，

UD\+ZJCj+C/Jj+DA}

所以0.5+3：-0.3=0725，故汽=0.9,

故選：D

2

4.已知a=(3,4),X=(l,O),c=a+“，若＜a,c＞=＜瓦c＞，則￡=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡(jiǎn)即可求得

/、9+3/+163+，

【詳解】解：c=(3+Z,4),cosG*=cosb,己，即一—=解得1=5,

故選：C

5.有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排

列方式有多少種O

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解

【詳解】因?yàn)楸∫谝黄穑劝驯±?，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,

有3!種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)

位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5

名同學(xué)共有：3!x2x2=24種不同的排列方式，

故選：B

6.角。,「滿(mǎn)足5由(。+夕)+(：05(￡+P)=2拒(：0$a+—sin/?,則()

\4)

A.tan(a+￡)=lB.tan(a+/?)=-!

C.tan(a—6)=1D.tan(a-〃)=-l

【答案】D

【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.

【詳解】由已知得：

sinacos(5+cosasin尸+cosacos夕一sinasin4=2(cosa-sina)sin/7,

即：sinacosp-cosasin/?+cosacos夕+sinasin夕=0,

即：sin(a-/7)+cos(a—月)=0,

3

所以tan(a一1)=一1,

故選：D

7.正三棱臺(tái)高為1,上下底邊長(zhǎng)分別為3百和4萬(wàn)，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面

積是()

A.100兀B.1287rC.144兀I).192兀

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑G4,再根據(jù)球心距，圓面半

徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑G4,所以26=士叵-,26=也叵1，即

sin60°~sin600

耳=3,々=4,設(shè)球心到上下底面的距離分別為4,刈，球的半徑為H，所以&=JR2_9,

4='火2_]6,故同_出|=1或4+&=1,即版―9-收一16卜1或

JR2—9+1火2-16=1,解得&2=25符合題意，所以球的表面積為S=4兀斤=100兀.

故選：A.

22

8.若函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+y)+f(x-y)=/(xW)J⑴=1,則￡f(k)=

k=\

()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)/(x)的一個(gè)周期為6,求出函數(shù)一個(gè)周期中的

/⑴,〃2),…,/(6)的值,即可解出.

【詳解】因?yàn)?(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),令x=l,y=0可得,

2/(l)=/(l)/(O),所以/(0)=2,令x=0可得，/(田+/(-力=2/(月，即

f(y)=f(-y)r所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù),令1=1得,

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=/(x+l),從而可知

4

/(x+2)=-/'(xT)，/(x-l)=-/(^-4),故/(x+2)=/(x-4),即

/(x)=/(x+6),所以函數(shù)/(x)的一個(gè)周期為6.

因?yàn)椤?)=/⑴_(tái)/(0)=1_2=—1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,

/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個(gè)周期內(nèi)的〃1)+〃2)+…+/⑹=0.由于22除以6余4,

22

所以左)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=1-1—2-1=—3.

k=\

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.函數(shù)/(x)=sin(2x+9)(0＜夕＜兀)的圖象以？-,0j中心對(duì)稱(chēng)，則()

A.y=/a)在單調(diào)遞減

(7111兀、

B.y=/a)在[一立，EJ有2個(gè)極值點(diǎn)

7兀

C.直線(xiàn)x=—是一條對(duì)稱(chēng)軸

6

D.直線(xiàn)y=@—x是一條切線(xiàn)

2

【答案】AD

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出.

【詳解】由題意得：/[g)=sin(與+尹)=0,所以等+°=人無(wú)，kwZ,

471

即(p=--—+kjtykGZ,

又。＜(P＜R,所以攵=2時(shí)，(P=~Y1故/(X)=sin(2x+g).

5

L,(.5K兀)_2TT2兀3兀

對(duì)A,當(dāng)xe|0,—|時(shí)，2xHG,由正弦函數(shù)y=sin〃圖象知y=/(x)在

I12j3了‘萬(wàn)

0,號(hào))上是單調(diào)遞減;

12J

兀11兀2兀715兀

對(duì)B,當(dāng)xe時(shí)，2x+—G,由正弦函數(shù)y=sin〃圖象知y=/(x)只

325T

有1個(gè)極值點(diǎn)，由2x+g=^,解得》=言，即》=意為函數(shù)的唯一極值點(diǎn);

77r2Ji77r77r

對(duì)C,當(dāng)》=一時(shí)，2x+—=371,/(—)=0,直線(xiàn)x=L不是對(duì)稱(chēng)軸;

6366

對(duì)D,由y'=2cos(2x+年)=一1得：cos(2x+2兀]_

2

解得2x+@=仝+2E或2x+@=刎+2E,左eZ,

3333

71

從而得:x=E或x=§+左小左eZ,

所以函數(shù)V=/(X)在點(diǎn)。，弓)處的切線(xiàn)斜率為k=y|A=()=2C0Sy=-l,

切線(xiàn)方程為：歹―告=—(%—0)即丁=乎一X.

故選：AD.

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線(xiàn)C:夕2=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸的直線(xiàn)與C交于Z,B兩

點(diǎn)，點(diǎn)/在第一象限，點(diǎn)”5,0),若I"用=M"|,則o

A.直線(xiàn)Z8的斜率為2而B(niǎo).\OB^\OF\

C.\AB^A\OF\D.^OAM+ZOBM<\S0°

【答案】ACD

【分析】由|Z司=|ZAf|及拋物線(xiàn)方程求得/(與,斗),再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng);

6

表示出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)求得8（。,-岸），即可求出|?；嘏袛郆選項(xiàng)；由拋

物線(xiàn)的定義求出答即可判斷C選項(xiàng)；由礪＜0，而廂＜0求得乙4OB,

ZAMB為鈍角即可判斷D選項(xiàng).

，設(shè)

對(duì)于A,易得嘴,0）,由M=可得點(diǎn)A在句0的垂直平分線(xiàn)上，則A點(diǎn)橫坐標(biāo)

為萬(wàn)+0_3?,

2-T

代入拋物線(xiàn)可得_/=2夕曰=|02,貝（］/（子,與），則直線(xiàn)48的斜率為

ap

——2—=2-^6,A正確；

3￡_￡

42

L1

對(duì)于B,由斜率為26可得直線(xiàn)工8的方程為x=］石＞+彳P，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程得

212

y-j^py-p=o,

設(shè)則90+乂=骼「，則乂=一季，代入拋物線(xiàn)得卜殍）=2p-Xl,

解得否=個(gè)則%，—華），

7

則畫(huà)=+卜孥'）=卒^3|=勺B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由拋物線(xiàn)定義知：|/同=普+（+2=答＞27=4|。制，C正確；

對(duì)于D,力礪=華爭(zhēng)（爭(zhēng)一季）哼爭(zhēng)用一字|=一手＜0,則

4。3為鈍角,

又

則乙4M8為鈍角,

又NAOB+/AMB+NOAM+NOBM=360°，則NO4M+NO8M<180°，D正確.

故選：ACD.

11.如圖，四邊形力8CQ為正方形，平面N8C。，F(xiàn)B〃ED,4B=ED=2FB,記

三棱錐E—/CO,F-ABC,尸一力CE的體積分別為匕，匕，匕，則（）

【答案】CD

【分析】直接由體積公式計(jì)算匕，匕，連接8。交NC于點(diǎn)〃，連接由

匕=匕.EFM+LEFM計(jì)算出匕，依次判斷選項(xiàng)即可.

8

設(shè)AB=ED=2FB=2a,因?yàn)镋D_L平面/BCD,。，則

V.=--ED-Sq='2a=3/

13"co32—3

13

V2=--FB-S^ABC=--a(2a)=-a,連接80交ZC于點(diǎn)M,連接瓦易

332v'3

得8DJ.4C,

又E。，平面Z8CD，/Cu平面Z8CZ),則EDLZC,又EDCBD=D,ED,BDu

平面60EE，則ACJ?平面8。即，

又BM=DM=、BD=0a,過(guò)戶(hù)作FGLOE于G,易得四邊形BOG尸為矩形，則

2

FG=BD=2EG=ci，

則EM=

2222

EM+FM=EF>則EM，9，S.FM=-EM-FM=^a-AC=2?，

aivl

則匕=七一￡四+七一EFM=；ZC￡EFM=2/,則2匕=3匕，匕=3%,匕=匕+匕，故

A、B錯(cuò)誤；C、D正確.

故選：CD.

12.對(duì)任意x,y,x2+y2-xy=[,則()

A.x+y<\B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

【答案】BC

【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假.

9

【詳解】因?yàn)榈龋?I包'（a,biR）,由f+j?一孫=1可變形為，

/、2

（x+y）2-l=3盯43（三上），解得-24x+y42,當(dāng)且僅當(dāng)x=_y=-1時(shí)，

x+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)，x+y=2,所以A錯(cuò)誤，B正確；

由f+V—9=1可變形為卜2+/）一1=町4二|上1,解得一+必42,當(dāng)且僅當(dāng)

x=y=±l時(shí)取等號(hào)，所以C正確:

因?yàn)閤2+V一盯=1變形可得口一、）+|y2=i,設(shè)X_'=cos6,*y=sin0,所以

2

x-cos6+^=sin。,N=耳sin。，因此

V3

x2+y2=cos2^+―sin2e+^^sin6cos6=1+-X=sin20--cos20+-

373V333

=g+gsin（26—1,2，所以當(dāng)》=曰）=—當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足等式，但是/+/之1不

成立，所以D錯(cuò)誤.

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,（y2）,且尸（2<X?2.5）=0.36,則

P（X>2.5）=.

7

【答案】0.14##一.

50

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的性質(zhì)即可解出.

【詳解】因?yàn)閄?N（202）,所以尸（X<2）=P（X>2）=0.5,因此

P（X>2.5）=尸（X>2）—尸（2<XW2.5）=0.5—0.36=0.14.

故答案為：0.14.

14.寫(xiě)出曲線(xiàn)y=In|x|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程：,.

10

【答案】①.y=-x②.y=--x

ee

【分析】分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)x>0時(shí)設(shè)切點(diǎn)為(Xo，lnx。)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，

即可求出切線(xiàn)的斜率，從而表示出切線(xiàn)方程，再根據(jù)切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)求出4,即可求出切線(xiàn)

方程，當(dāng)x<0時(shí)同理可得；

【詳解】解：因?yàn)閥=ln|x|,

當(dāng)x>0時(shí)丁=lnx,設(shè)切點(diǎn)為(%,InXo),由_/=1，所以71=%=',所以切線(xiàn)方程為

x/

y-lnx0=—(x-x0),

%

又切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以-lnx°=—(-/),解得/=e,所以切線(xiàn)方程為

y-\=-(x-e),y=—x；

ee

當(dāng)x<0時(shí)歹=ln(—x),設(shè)切點(diǎn)為,由j/=L所以川.『=不，所以切線(xiàn)

方程為N—山(一須)=」"(萬(wàn)一玉)，

x\

又切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以=一玉)，解得玉=-e,所以切線(xiàn)方程為

x\

y-1=—(x+e),即y；

-ee

故答案為：y=-x；y=-x

ee

15.已知點(diǎn)力(-2,3),6(0,a),若直線(xiàn)48關(guān)于y的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)與圓

(X+3)2+3+2)2=1存在公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】

[32]

【分析】首先求出點(diǎn)A關(guān)于丁=。對(duì)稱(chēng)點(diǎn)W的坐標(biāo)，即可得到直線(xiàn)/的方程，根據(jù)圓心到直

線(xiàn)的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可：

【詳解】解：Z(-2,3)關(guān)于N=a對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為H(-2,2a-3),B(O,a)在直線(xiàn)歹=。

11

上，

所以H3所在直線(xiàn)即為直線(xiàn)/,所以直線(xiàn)/為丁=紇乙+。，即（。一3）x+2y—2a=0；

一2

圓C:（x+3『+（y+2『=1,圓心。（一3,-2）,半徑〃=1,

|-3（a-3）-4-2a|

依題意圓心到直線(xiàn)/的距離d=~~7=」41,

『（"3）2+22

I3-]3-

即（5—Sa）?K（a—3『+22,解得即ae：

故答案為：—

|_32J

22

16.已知橢圓年+q=1,直線(xiàn)/與橢圓在第一象限交于/,8兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別交于

M,N兩點(diǎn)，且1Mzi=|N3|,|〃N|=2jL則直線(xiàn)/的方程為.

【答案】x+。-2后=0

【分析】令48的中點(diǎn)為E,設(shè)4（4弘），8（%,%），利用點(diǎn)差法得到《?！?猾=—；,

設(shè)直線(xiàn)48：、=a+加，k<0,m>0,求出M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)求出左、m,

即可得解；

【詳解】解：令功的中點(diǎn)為E，因?yàn)閨四|=加同，所以附同=|N￡|,

2222

設(shè)/（XQJ,6（》2，8），則工+”=1，t+二=1，

6363

所以立一立+￡_應(yīng)=0,即國(guó)72乂司+0）+（凹+乃乂M一%）=0

663363

（弘+%）（y-8）11

所以,：W：L：W=—即七小38=一—，設(shè)直線(xiàn)48號(hào)=丘+加，k<0,加>0,

（x,-x2）（x,+x2）22

令》=0得夕=加，令y=0得x=—^,即/（一￡,0）,N（0,m）,所以弓一治，今），

m

即左x，一=-L,解得左=-亞或左=也（舍去），

_m_222

~2k

12

又|MN|=2jL即|MN|=用『=23，解得加=2或加=—2（舍去）,

所以直線(xiàn)=-半x+2，即x+0—2亞=0；

故答案為：x+凡一2四=0

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟.

17.已知｛《,｝為等差數(shù)列，也,｝是公比為2的等比數(shù)列，且出一4.

（1）證明：%=”；

（2）求集合卜歷=a,“+q」WmK500｝中元素個(gè)數(shù).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）9.

【分析】（1）設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,根據(jù)題意列出方程組即可證出;

（2）根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得加=2"」2,即可解出.

【小問(wèn)1詳解】

q+d—26]=q+2d—d

設(shè)數(shù)列｛《,｝的公差為d，所以，＜4+"-24=珈-(％+3")’即可解得，4=6=5,

13

所以原命題得證.

【小問(wèn)2詳解】

由（1）知，b、=4=；,所以瓦=《,,+%o。x2*T=%+（加一1）4+q,即2&T=2m，

亦即機(jī)=2=w[1,500],解得24左＜10,所以滿(mǎn)足等式的解左=2,3,4,…,10,故集合

｛上也=%+%,14加4500｝中的元素個(gè)數(shù)為個(gè)—2+1=9.

18.記△4SC的三個(gè)內(nèi)角分別為力，B,C,其對(duì)邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長(zhǎng)

的三個(gè)正三角形的面積依次為百,$2,S3,已知5—$2+$3=*,sin8=g.

（1）求△ZBC的面積：

（2）若sinZsinC=迎，求b.

3

【答案】（1）"

【分析】（1）先表示出百石2,53,再由s「S2+S3=曰求得/+02一〃=2,結(jié)合余弦

定理及平方關(guān)系求得農(nóng)，再由面積公式求解即可；

（2）由正弦定理得—J=———,即可求解.

sin-Bsin%sinC

【小問(wèn)1詳解】

由題意得=2s且〃,S3=@C2,則

12242434

v??V3V3,,V32_垂＞

S、—S）+=—u2bHc——，

'234442

即/+_/=2，由余弦定理得cosB="/一”,整理得accos8=1,則cos8＞0,

2ac

又sin5=1，

3

14

逑則S=LesinB=——;

~T~“灰28

【小問(wèn)2詳解】

由正弦定理得：一2一=_L=，^,則

sinBsinAsinC

3V2

b2acac49A3,3.1

===—'=—HIM_____——b=—sin5=——

sin2BsinAsinCsin/sinCyj24'sin52,22

19.在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)

據(jù)頻率分布直方圖.

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(2)估計(jì)該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間［20,70)的概率;

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口占該地區(qū)

總?cè)丝诘?6%,從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患該種疾病的

概率.(樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到

0.0001)

【答案】(1)44.65歲；

(2)0.89；

(3)0.0014.

【分析】(1)根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出：

(2)設(shè)4={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},根據(jù)對(duì)立事件的概率公式

P(A)=l-P(A)即可解出;

(3)根據(jù)條件概率公式即可求出.

15

【小問(wèn)1詳解】

平均年齡三=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.012+75x0.006+85x0.002)x10=44,65(歲).

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)力={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},所以

P(A)=1-P(J4)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)6=｛任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)｝,C=｛任選一人患這種疾病｝,

則由條件概率公式可得

P(C⑶=3="空^="吆噌=0.0014375。0.0014.

P(B)16%0.16

20.如圖，尸O是三棱錐的高，PA=PB,E是P8的中點(diǎn).

(1)求證：OE//平面上4C；

(2)若NZ80=NC80=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—4E-8的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵U

13

【分析】(1)連接80并延長(zhǎng)交ZC于點(diǎn)。，連接0/、PD,根據(jù)三角形全等得到0/=OB,

再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到/。=。。，即可得到。為8。的中點(diǎn)從而得到OE〃尸。，即

可得證；

(2)過(guò)點(diǎn)A作加〃OP,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值,

再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；

【小問(wèn)1詳解】

證明：連接8。并延長(zhǎng)交NC于點(diǎn)。，連接PD，

16

因?yàn)槭琌是三棱錐尸一Z8C的高，所以尸平面力8C,〃。,8。<=平面48。，

所以尸0,40、POVBO,

又PA=PB,所以△POANAPOB,即。4=。8,所以N04B=N0B4,

又Z8_LZC,即ZSZC=90°,所以N0Z8+/"￡)=90°,N0B4+N0D4=90°,

所以N0A4=N。/。

所以NO=。。，即40=00=08,所以。為3。的中點(diǎn)，又￡為P8的中點(diǎn)，所以

0E//PD,

又OE<Z平面尸4C,尸。u平面R4C,

所以O(shè)E〃平面Q4C

【小問(wèn)2詳解】

解：過(guò)點(diǎn)A作出〃。尸，如圖建立平面直角坐標(biāo)系,

因?yàn)槭?3,AP=5,所以3=J,p2_po2=4,

17

又/OBA=/OBC=300,所以80=204=8,則/Q=4,AB=46，

所以ZC=12,所以O(shè)(2百,2,0),5(473,0,0),網(wǎng)2百,2,3),C(0,12,0),所以

=（473,0,0）,祀二（0,12,0）,

一n-AE-3y/3x+y+—z=0

設(shè)平面4E5的法向量為〃=(x,y,z),則彳2，令z=2,則

萬(wàn)?AB-4gx=0

y=-3,x=0,所以3=(0,-3,2)；

、一、一］比?近=3&+b+3c=0廠(chǎng)

設(shè)平面/EC的法向量為加二(a,6,c)，則＜2,令。=百，則

in-AC=12b=0

c=-6,6=0,所以加=(JJ,0,-6卜

n-m-124>/3

R=麗=而病=一百

設(shè)二面角C-ZE-6為。，由圖可知二面角C-ZE-8為鈍二面角，

所以cos。=—勺叵，所以sin8=Jl—cos26=U

1313

故二面角C-AE-B的正弦值為—；

13

21.設(shè)雙曲線(xiàn)。:[-<=1（。>0,6>0）的右焦點(diǎn)為尸（2,0）,漸近線(xiàn)方程為歹=±氐.

（1）求C的方程：

（2）過(guò)尸的直線(xiàn)與C的兩條漸近線(xiàn)分別交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)尸（為,必）,0（迎，％）在C上，

且西>%>。,%>0.過(guò)尸且斜率為-行的直線(xiàn)與過(guò)。且斜率為6的直線(xiàn)交于點(diǎn)M，請(qǐng)

從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)條件成立：

①M(fèi)在上；②PQHAB*、③

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

18

【答案】（i）*2—21=1

3

（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得。的值，利用漸近線(xiàn)方程求得a,b的關(guān)系，進(jìn)而利用a,b,c

的平方關(guān)系求得。力的值，得到雙曲線(xiàn)的方程;

（2）先分析得到直線(xiàn)Z8的斜率存在且不為零，設(shè)直線(xiàn)的斜率為匕由

X后2

③|4。=18M等價(jià)分析得到%+僅）=粵-；由直線(xiàn)和?！钡男甭实玫街本€(xiàn)方程,

K—D

結(jié)合雙曲線(xiàn)的方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線(xiàn)尸。的斜率根=也，由②尸。//48等價(jià)轉(zhuǎn)

y（）

化為@0=3/，由①M(fèi)在直線(xiàn)43上等價(jià)于如0=r（%—2），然后選擇兩個(gè)作為已知條

件一個(gè)作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.

【小問(wèn)1詳解】

右焦點(diǎn)為R（2,0）,.?.c=2「..漸近線(xiàn)方程為y=±Gx,，2=百，；.b=G，

a

c1=a~+b~—4a2—4>；?a=1'b=V3?

2

???C的方程為：x2-^-=l；

3

【小問(wèn)2詳解】

由已知得直線(xiàn)P。的斜率存在且不為零，直線(xiàn)Z8的斜率不為零，

若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線(xiàn)的斜率存在且不為零；

若選①③推②，則〃為線(xiàn)段的中點(diǎn)，假若直線(xiàn)Z8的斜率不存在，則由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)

性可知M在x軸上，即為焦點(diǎn)廠(chǎng)，此時(shí)由對(duì)稱(chēng)性可知?、。關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，與從而玉=々，

已知不符；

總之，直線(xiàn)Z8的斜率存在且不為零.

設(shè)直線(xiàn)AB的斜率為左，直線(xiàn)48方程為y=左（》一2）,

則條件①“在Z8上，等價(jià)于%=左（玉）-2）=?0=*（/一2）；

19

兩漸近線(xiàn)的方程合并為3f—必=0,

聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：（公-3）/-4公》+4左2=。

設(shè)4（/,%）,3仇/4）,線(xiàn)段中點(diǎn)為Na、,％）,則

6k

=>A.=左卜-2）=

女2—3

設(shè)"（XoM，

則條件③14M=等價(jià)于（X。-%3）2+（%-%）2=（X。一%4）2+（%—乂f，

移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：

（%3-》4）［2/一（入3+匕）］+（乃一乂）［2%一（必+乂）］=。

［25一（》3+5）］+^^"［2%一（匕+夕4）］=°,即X。—X/V+左（%一^N）=。，

X3~X4

8爐

即玉）+仇=

k2-3

由題意知直線(xiàn)PM的斜率為-6，直線(xiàn)QM的斜率為J1,

由y-%=-6（玉一%），％一%=唐（x2~xo），

凹-8=―也（xi+》2-2X（））,

所以直線(xiàn)PQ的斜率m=匕二及=_6（』+a—2%）,

玉-x2x］—x2

直線(xiàn)PM:y=-A/3（x-x0）+y0,即y=%+0/一VIx,

代入雙曲線(xiàn)的方程3/一丁2一3=（）,即（氐+歹）（岳一?。?3中,

得：（為+后0）［2氐-（%+氐0）=3,

解得P的橫坐標(biāo)：X］=20耳—1■%+J'o）,

20

+^^X]+X2=-

K-3%

%

二條件②PQ"AB等價(jià)于m=ko吼=3工§,

綜上所述：

條件①M(fèi)在Z8上，等價(jià)于僅）=左2（與一2）；

條件②PQ//AB等價(jià)于ky0=3x0；

條件③MM=忸閭等價(jià)于x0+ky0=段、；

選①②推③：

QL-2

由①②解得：xQ=-xQ+0o=4x0=-，，③成立;

K—3K—3

選①③推②：

由①③解得:

P—3

00=3%,.?.②成立;

選②③推①:

6k2.__6

由②③解得:-2~7，??/-2--7-

k2-3

2

二kyn^k（x0-2）,：.①成立.

22.已知函數(shù)f（x）^xeM-ex.

（1）當(dāng)a=l時(shí)，討論/（X）的單調(diào)性;

（2）當(dāng)x>0時(shí)，/（%）<-1,求a的取值范圍;

（3）設(shè)〃wN*，證明:+-+-??+.>ln(n+l).

V22+2

【答案】（1）/（x）的減區(qū)間為（—8,0）,增區(qū)間為（0,+8）.

21

(2)a<-

2

(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)求出/可x),討論其符號(hào)后可得/(x)的單調(diào)性.

⑵設(shè)〃(x)=xe'"-e'+l,求出/(x),先討論a>；時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就

0<a<1結(jié)合放縮法討論”(x)符號(hào)，最后就a<0結(jié)合放縮法討論A(x)的范圍后可得參數(shù)

的取值范圍.

(3)由(2)可得對(duì)任意的，>1恒成立，從而可得ln(〃+l)—ln〃<二—對(duì)

t+n

任意的〃eN*恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=(x-l)e\則/'(x)=xe*,

當(dāng)x<0時(shí)，f^(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，f^[x}>0,

故/(x)的減區(qū)間為(一8,0),增區(qū)間為(0,+8).

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)〃(x)=xe"'_e'+l,則〃(0)=0,

又“(X)=(1+0￥,心—e"設(shè)g(x)=(l+ax)e"*-e”,

則g'(x)=(2a+a2x)eur-er,

若a>；,則g'⑼=2a-l>0,

因?yàn)間'(x)為連續(xù)不間斷函數(shù)，

故存在%€(0,+oo),使得Vxe(O,x()),總有g(shù)%)>0,

故g(x)在(0,%)為增函數(shù)，故g(x)〉g(O)=O,

故"x)在(0,%)為增函數(shù)，故〃(x)>/7(0)=-l,與題設(shè)矛盾.

ar+ln(,+ax)v

若0<awg,則/(x)=(1+歐)產(chǎn)—e*=e-e,

下證：對(duì)任意x>0,總有l(wèi)n(l+x)<x成立，

22

1_Y

證明：設(shè)S(x)=ln(l+x)-x,故S'(x)=1=<0,

1+X1+X

故S(x)在(0,+8)上為減函數(shù),故s(x)<s(o)=o即ln(l+x)<x成立.

由上述不等式有ettv+ln(l+av)-ev<e…-ev=e2a￥-ev<0，

故”(x)W0總成立，即A(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，

所以//(切<力(0)=—1.

當(dāng)時(shí)，有。'(》)=6C-6*+。*6如<1-1+0=0,

所以〃(力在(0,+8)上為減函數(shù),所以Mx)<"o)=—1.

綜上，a<—.

2

【小問(wèn)3詳解】

取a=g,則Vx〉0,總有xef_e、+l<0成立，

令則f>1/=e*,x=21nf,

I-c

故2flnt</-1即對(duì)任意的f>1恒成立.

t

所以對(duì)任意的〃eN*，有21n

1

整理得到：ln(?+l)-ln〃<Q—，

+n

故>In2-In1+In3-In2+

r2——+——+…+——…+ln(〃+l)-ln

VPTITFT!n

=ln(〃+l),

故不等式成立.

23

2022年全國(guó)2卷高考英語(yǔ)試題解析

第二都分閱讀（共兩節(jié)，滿(mǎn)分50分）

第一節(jié)（共15小題；每小題2.5分，滿(mǎn)分37.5分）

閱讀下列短文，從每題所給的A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中選出最佳選項(xiàng)。

A

Children'sDiscoveryMuseum

GeneralInformationaboutGroupPlay

Pricing

GroupPlayS7/person

Scholarships

Weofferscholarshipstolow-incomeschoolsandyouthorganizations,subjecttoavailability.

Participationinapost-visitsurveyisrequired.

ScholarshipsareforGroupPlayadmissionfeesand/ortransportation.Transportationinvoices

（發(fā)票）mustbereceivedwithin60daysofyourvisittoguaranteethescholarship.

GroupSize

Werequireonechaperone（監(jiān)護(hù)人）pertenchildren.Failuretoprovideenoughchaperones

willresultinanextrachargeof$50perabsentadult.

GroupPlayisforgroupsof10ormorewithalimitof35people.Forgroupsof35ormore,

pleasecalltodiscussoptions.

Hours

TheMuseumisopendailyfrom9:30amto4:30pm.

GroupPlaymaybescheduledduringanydayortimetheMuseumisopen.

RegistrationPolicy

Registrationmustbemadeatleasttwoweeksinadvance.

RegisteronlineorfilloutaGroupPlayRegistrationFonnwithmultipledateandstarttime

options.

Oncetheregistrationformisreceivedandprocessed,wewillsendaconfinnationemail

withintwobusinessdays.

Guidelines

?Teachersandchaperonesshouldmodelgoodbehaviorforthegroupandremainwith

studentsatalltimes.

?ChildrenarenotallowedunaccompaniedinallareasoftheMuseum.

?Childrenshouldplaynicelywitheachotherandexhibits.

?UseyourindoorvoicewhenattheMuseum.

1.Whatdoesagroupneedtodoiftheyareofferedascholarship?

A.Prepaytheadmissionfees.B.UsetheMuseum'stransportation.

C.Takeasurveyafterthevisit.D.Scheduletheirvisitonweekdays.

2.Howmanychaperonesareneededforagroupof30childrentovisittheMuseum?

A.One.B.Two.C.Three.D.Four.

3.WhatarechildrenprohibitedfromdoingattheMuseum?

A.Usingthecomputer.B.Talkingwitheachother.

C.Touchingtheexhibits.D.Exploringtheplacealone.

【答案】l.C2.C3,D

【解析】

【導(dǎo)語(yǔ)】本文是一篇應(yīng)用文，文章提供了關(guān)于兒童博物館團(tuán)體游的相關(guān)信息。

【1題詳解】

細(xì)節(jié)理解題。根據(jù)Scholarship標(biāo)題下"Weofferscholarshipstolow-incomeschoolsandyouth

organizations,subjecttoavailability.Participationinapost-visitsurveyisrequired.（我們會(huì)視情

況而定，為低收入學(xué)校和青年組織提供獎(jiǎng)學(xué)金，并需要其參與訪(fǎng)問(wèn)后調(diào)查問(wèn)卷）”可知，如

果一個(gè)團(tuán)體獲得了獎(jiǎng)學(xué)金，需要在參加一個(gè)訪(fǎng)后的調(diào)查問(wèn)卷，與選項(xiàng)C"Takeasurveyafter

thevisit.（接受參觀后的問(wèn)卷調(diào)查）”屬于同義替換，故選C。

【2題詳解】

細(xì)節(jié)理解題。根據(jù)"GroupSize"標(biāo)題下"Werequireonech叩erone（監(jiān)護(hù)人）perten

children.（我們要求每十個(gè)孩子有一個(gè)監(jiān)護(hù)人）”可知，10個(gè)孩子需要1個(gè)監(jiān)護(hù)人，那么30

個(gè)孩子則需要3個(gè)監(jiān)護(hù)人。故選C。

【3題詳解】

細(xì)節(jié)理解題。根據(jù)