寧夏銀川市唐徠中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

銀川市唐徠中學(xué)2023～2024學(xué)年度第一學(xué)期9月月考高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到，得到答案.【詳解】，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D.2.已知集合，，（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)解一元二次不等式的解法，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、集合交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：B3.已知角終邊上一點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由任意角三角函數(shù)的定義求出，再由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)代入即可得出答案.【詳解】因?yàn)榻墙K邊上一點(diǎn)，所以.故選：B.4.如圖，在平行四邊形中,為的中點(diǎn)，則A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的加減法的幾何意義將轉(zhuǎn)化為，即可.【詳解】故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，熟練掌握向量的加減法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.5.已知的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，則“”是“為直角三角形”的是（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可得，利用三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡(jiǎn)可得C為直角，結(jié)合充分條件及必要條件進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，，即，所以，所以，因?yàn)?，，所以，，則，為直角三角形，但為直角三角形時(shí)不一定是，所以是△ABC為直角三角形充分不必要條件，故選：A.6.某學(xué)生在“撿起樹葉樹枝，凈化校園環(huán)境”的志愿活動(dòng)中拾到了三支小樹枝（視為三條線段），想要用它們作為三角形的三條高線制作一個(gè)三角形，經(jīng)測(cè)量，其長(zhǎng)度分別為、、，則（）A.能作出一個(gè)銳角三角形 B.能作出一個(gè)直角三角形C.能作出一個(gè)鈍角三角形 D.不能作出這樣的三角形【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出三角形三邊的比值，并計(jì)算出三角形中最大角的余弦值，可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)高分別為、、對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)分別為、、（單位：），則，設(shè)，則，，由三角形三邊關(guān)系可知，這樣的三角形存在，設(shè)該三角形的最大內(nèi)角為，則，則為鈍角，故能作出一個(gè)鈍角三角形.故選：C.7.中，，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)余弦定理，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和定義、平面向量共線的性質(zhì)、加法的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由余弦定理可知：或（舍去），因?yàn)椋?，，故選：C8.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩角和正切公式有，可求，再由兩角差正弦公式、二倍角正弦公式可求b、c，進(jìn)而可知它們的大小關(guān)系.【詳解】∵，∴，，，∴.故選：A9.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用求得，利用的范圍和可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，所以，所以，可?故選：A.10.已知定義在上的函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)是偶函數(shù)和得到是的一個(gè)周期，然后利用周期性求函數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，則，因?yàn)?，所以，則是的一個(gè)周期，因?yàn)?，所以，?故選：C.11.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋砸李}可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．故選：B.12.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，且，使得，則的最大值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二次函數(shù)對(duì)稱性化簡(jiǎn)目標(biāo)式，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值可得.【詳解】作出的函數(shù)圖象如圖所示：若存在實(shí)數(shù)，且，使得，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，由圖可知，，所以．設(shè)，，所以，與在單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以．故選：D．二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)的定義域是.【答案】【解析】【分析】利用根式函數(shù)的定義域求法和正切函數(shù)不等式求解.【詳解】解：由函數(shù)，則，即，解得，所以函數(shù)的定義域是，故答案為：14.已知向量，，若，，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)向量，得到，結(jié)合，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，，因?yàn)椋稍O(shè)向量，則，又因?yàn)?，可得，解得，所以，所?故答案為：.15.已知函數(shù)（，）恒過定點(diǎn)，則函數(shù)的圖像不經(jīng)過第______象限.【答案】二【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知恒過定點(diǎn)，再由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知不過第二象限.【詳解】由已知條件得當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)恒過點(diǎn)，即，此時(shí)，由于由向下平移五個(gè)單位得到，且過點(diǎn)，由此可知不過第二象限，故答案為：二.16.已知函數(shù)（且）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】變換得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到，解得答案.【詳解】，即，易知，故，即，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用參數(shù)分離的思想，將題目轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～2122、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分）17.函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）將的圖象向右平移個(gè)單位,再把得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變,然后再向下平移個(gè)單位,得到的圖象,求在上的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象上的最大值和最小值，求出，根據(jù)特殊點(diǎn)求出函數(shù)周期，結(jié)合，得，再將點(diǎn)代入的解析式，求出的值，從而得到函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)平移與縮放的規(guī)則，得，再由得，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出答案.【小問1詳解】由圖可知,，，由可得：，再將點(diǎn)代入的解析式,得,得，結(jié)合，可知.故；【小問2詳解】將的圖象向右平移個(gè)單位，得到，再把得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變,然后再向下平移個(gè)單位,得到，，，，.18.如圖，線段是圓柱的母線，是圓柱下底面的直徑.（1）弦上是否存在點(diǎn)D，使得平面，請(qǐng)說明理由；（2）若，，點(diǎn)，A，B，C都在半徑為的球面上，求二面角的余弦值.【答案】（1）存在，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面平行的判定定理、性質(zhì)定理分析證明；（2）根據(jù)題意結(jié)合長(zhǎng)方體的外接球可得，建系，利用空間向量求二面角.【小問1詳解】當(dāng)點(diǎn)D為的中點(diǎn)時(shí)，平面，證明如下：取AB的中點(diǎn)D，連接OD，∵O，D分別為，的中點(diǎn)，則，平面，平面，∴平面，又∵，平面，平面，∴平面，，平面，∴平面平面，由于平面，故平面.【小問2詳解】∵是的直徑，可得，即，且，，故，，又∵平面，且平面，∴，即，，兩兩垂直，且點(diǎn)，A，B，C都在半徑為的球面上，可知該球?yàn)橐?、、為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的外接球，則，可得，以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，得，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，可得，且為平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角為，則，所以二面角的余弦值為.19.為進(jìn)一步鞏固提升全國(guó)文明城市，加速推行垃圾分類制度，銅川市推出了兩套方案，并分別在、兩個(gè)大型居民小區(qū)內(nèi)試行.方案一：進(jìn)行廣泛的宣傳活動(dòng)，向小區(qū)居民和社會(huì)各界宣傳垃圾分類的意義，講解分類垃圾桶的使用方式，垃圾投放時(shí)間等，定期召開垃圾分類會(huì)議和知識(shí)宣傳教育活動(dòng)；方案二：在小區(qū)內(nèi)設(shè)立智能化分類垃圾桶，智能垃圾桶操作簡(jiǎn)單，居民可以通過進(jìn)行自動(dòng)登錄、稱重、積分等一系列操作.并建立激勵(lì)機(jī)制，比如，垃圾分類換積分兌換禮品等，以激發(fā)帶動(dòng)居民參與垃圾分類的熱情.經(jīng)過一段時(shí)間試行之后，在這兩個(gè)小區(qū)內(nèi)各隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行問卷調(diào)查，記錄他們對(duì)試行方案的滿意度得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）請(qǐng)通過頻率分布直方圖分別估計(jì)兩種方案滿意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾分類推廣措施更受居民歡迎（同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表）；（2）以樣本頻率估計(jì)概率，若滿意度得分不低于70分認(rèn)居民贊成推行此方案，低于70分認(rèn)為居民不贊成推行此方案，規(guī)定小區(qū)居民贊成率不低于才可在該小區(qū)繼續(xù)推行該方案，判斷兩小區(qū)哪個(gè)小區(qū)可繼續(xù)推行方案？（3）根據(jù)（2）中結(jié)果，從可繼續(xù)推行方案的小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人，用表示贊成該小區(qū)推行方案的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）小區(qū)平均分為，小區(qū)平均分為，方案二的垃圾分類推行措施更受居民歡迎（2）小區(qū)可繼續(xù)推行方案二（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的求法分別計(jì)算，即可得出結(jié)論；（2）分別求出小區(qū)即方案一中，滿意度不低于70分的頻率和小區(qū)即方案二中，滿意度不低于70分的頻率，由此即可得出結(jié)論；（3）由題意可知，再根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列和期望公式計(jì)算即可.【小問1詳解】設(shè)小區(qū)方案一的滿意度平均分為，，設(shè)小區(qū)方案二的滿意度平均分為，，∵.∴方案二的垃圾分類推行措施更受居民歡迎；【小問2詳解】由題意可知：小區(qū)即方案一中，滿意度不低于70分的頻率為，以頻率估計(jì)概率，贊成率為，小區(qū)即方案二中，滿意度不低于70分的頻率為，以頻率估計(jì)概率，贊成率為，∴小區(qū)可繼續(xù)推行方案二；【小問3詳解】現(xiàn)從小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人，的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，則，，，，，，，∴的分布列為012345數(shù)學(xué)期望.20.已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，斜率為的直線過且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)線段的中垂線交軸于，在以，為鄰邊的平行四邊形中，頂點(diǎn)恰好在橢圓上，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓定義和離心率定義即可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先設(shè)出直線方程及，點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到，點(diǎn)坐標(biāo)，最后把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程求出斜率得到直線方程.【詳解】解：（1）由的周長(zhǎng)為，則有，所以，又橢圓的離心率，則，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由題意可知，直線的斜率，設(shè)直線：，，由可得顯然，，則中點(diǎn)，中垂線方程為：.所以，由四邊形為平行四邊形，則，即所以，由在橢圓上，則，解得，即.故直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是利用向量工具表示點(diǎn)的坐標(biāo)，采用設(shè)而不求，屬于中檔題.21.設(shè)函數(shù)（k為常數(shù)，e＝2．71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在（0,2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）．【解析】【詳解】試題分析：（I）函數(shù)的定義域?yàn)?，由可得，得到的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（II）分，，，時(shí)，討論導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，明確極值點(diǎn)的有無、多少.試題解析：（I）函數(shù)的定義域?yàn)?，由可得，所以?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（II）由（I）知，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，故在內(nèi)不存在極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，得時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)，解得，綜上所述，函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為.考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，分類討論思想，不等式組的解法.（二）選考題：共1022、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若是曲線上一點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由普通方程與參數(shù)方程以及極坐標(biāo)方程的互化，代入計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合輔助角公式即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由直線的參數(shù)方程，得直線的普通方程為．將代入曲線的極坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)得曲線的直角坐標(biāo)方程為．【小問2詳解】由（1），設(shè)點(diǎn)，由題知的最小值為點(diǎn)到直線的距離的最小值．又點(diǎn)到直線的距離，其中．當(dāng)時(shí)，的最小值為．的最小值為．[選修45：不等式選講]23設(shè)函數(shù).（1）求不等式的