浙江省浙北G2聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題1

浙北G2期中聯(lián)考2023學(xué)年第一學(xué)期高一數(shù)學(xué)試題考生須知：1.全卷分試卷和答卷，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.本卷的答案必須做在答卷的相應(yīng)位置上，做在試卷上無效.3.請(qǐng)用鋼筆或水筆將班級(jí)、姓名、試場號(hào)、座位號(hào)分別填寫在答卷的相應(yīng)位置上.4.本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】由可得或，所以，故選：B2.命題“，一元二次方程有實(shí)根”的否定是（）A.，一元二次方程沒有實(shí)根B.，一元二次方程有實(shí)根C.，一元二次方程沒有實(shí)根D.以上均不正確【答案】A【解析】【分析】由全稱命題的否定是特陳命題，即可得出答案.【詳解】命題“，一元二次方程有實(shí)根”的否定是:，一元二次方程沒有實(shí)根.故選：A.3.下列函數(shù)與是同一函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域以及對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A,的定義域?yàn)?的定義域?yàn)?，故兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，所以與不是同一函數(shù)，A錯(cuò)誤，對(duì)于B，的定義域?yàn)?的定義域?yàn)?，由于兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，所以與不是同一函數(shù)，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，的定義域?yàn)?的定義域?yàn)椋?，由于兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以與是同一函數(shù)，C正確，對(duì)于D，的定義域?yàn)?的定義域?yàn)椋?，由于?duì)應(yīng)關(guān)系不相同，所以與不是同一函數(shù)，D錯(cuò)誤，故選：C4.已知非零實(shí)數(shù)，，則“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義賦值即可.【詳解】若，時(shí)，但，充分性不成立，若則，，所以，必要性成立.“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.若函數(shù)是奇函數(shù)，則使成立的的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先用奇函數(shù)的性質(zhì)解得，再解不等式即可【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，，解得即，解得故選：D6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，，，即可得出答案.【詳解】，，，故故選：C.7.已知函數(shù)，若方程有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分兩類討論：時(shí)有兩個(gè)解，有一個(gè)解；時(shí)有一個(gè)解，有兩個(gè)解；即可求解.【詳解】依題意，①若與有一個(gè)解，與有兩個(gè)解，則當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹氵^定點(diǎn)，也過點(diǎn)，即是其中的一個(gè)交點(diǎn)；即當(dāng)只有一個(gè)解，整理得解得或，即，與只有一個(gè)解；此時(shí)與需要有兩個(gè)解才能滿足要求，當(dāng)時(shí)，即有兩個(gè)解，解得或（舍去），只有一個(gè)解不滿足題意；當(dāng)時(shí)，即有兩個(gè)解，整理得，因?yàn)椋朔匠虩o解，不滿足題意；②若與有兩個(gè)解，與有一個(gè)解，則當(dāng)時(shí)有兩個(gè)解，解得或，此時(shí)；⑴當(dāng)時(shí)，即有一個(gè)解，整理得，解得或（舍去），只有一個(gè)解滿足題意，此時(shí)；⑵當(dāng)時(shí)，即有一個(gè)解，整理得，因?yàn)?，所以，即，轉(zhuǎn)化為與圖像的有一個(gè)交點(diǎn)即可，如圖所示：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即；綜合⑴⑵可知，當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)解，又與有兩個(gè)解時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.故選：B.8.已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，且，都有成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將所給式子化簡可得，即可根據(jù)不等式的性質(zhì)求解.詳解】由可得，化簡可得，由于，所以，故，由于，所以，故，所以，故選：A二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)即可判斷BC，舉反例即可判斷AD【詳解】對(duì)于A,若，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,若，則，即，故B正確；對(duì)于C,若，兩邊同乘以得，兩邊同乘以得，則，故C正確；對(duì)于D,滿足，則得不到，故D錯(cuò)誤故選：BC10.已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)可能的值為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則“同增異減”求解后，即可依次判斷各選項(xiàng)是否滿足題意.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則“同增異減”得：在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，且當(dāng)時(shí)，，即，解得：，所以選項(xiàng)滿足題意，選項(xiàng)不滿足題意.故選：.11.設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如，，則當(dāng)時(shí)，下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)新定義判斷A選項(xiàng)；B、C舉出反例；D選項(xiàng)，首先設(shè)，，然后對(duì)和分別討論即得.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楸硎静怀^的最大整數(shù)，所以，故A對(duì)；對(duì)于B，取，則，得，，故B不成立.對(duì)于C，取，，，得，故C不成立.對(duì)于D，設(shè)，，則，而；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，綜上：，故D對(duì).故選：AD12.函數(shù)（，且）的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】分類討論，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，，其圖象與選項(xiàng)A對(duì)應(yīng)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上，為對(duì)勾函數(shù)，其圖象在第一象限先減后增，在區(qū)間上，為減函數(shù)，其圖象與選項(xiàng)B對(duì)應(yīng)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上，為增函數(shù)，在區(qū)間上，，其圖象在第四象限先增后減，無對(duì)應(yīng)選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上，為增函數(shù)，在區(qū)間上，，其圖象在第二象限先減后增，圖象與選項(xiàng)D對(duì)應(yīng)，故選：ABD．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過（3，27），則f（2）＝________．【答案】8【解析】【詳解】試題分析：設(shè)冪函數(shù)，依題意可知，所以．所以，所以．考點(diǎn)：冪函數(shù)．14.計(jì)算：________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)即可求解.【詳解】,故答案為：15.已知，，則的值是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可確定，進(jìn)而根據(jù)一元二次方程求解即可.【詳解】令，則同理，令，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故，因此，且，所以，故答案為：16.已知實(shí)數(shù)，，且滿足，則的最小值是________.【答案】17【解析】【分析】設(shè)，從而得到，，不等式轉(zhuǎn)化為，換元后，由基本不等式求出最小值.【詳解】令，則，化簡得，故，故，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，，，滿足要求，當(dāng)時(shí)，，，滿足要求，故答案為：17四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知全集，集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由集合的交、并運(yùn)算即可得解.（2）由得列出不等式組，求解即得.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，，所以，【小?詳解】由得，得解得，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為18.已知函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)，的值；（2）若，且，，求的最小值.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）由不等式的解集可得1，b為的兩個(gè)根，從而利用韋達(dá)定理即可得解；（2）利用的代換，即可求得的最小值．【小問1詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，則的兩個(gè)根為，，，則，解得，故，.【小問2詳解】若，則，即，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.所以的最小值為.19.已知函數(shù)為定義在上奇函數(shù).（1）求，，的值，并判斷在上的單調(diào)性（不需要證明）；（2）求不等式的解集.【答案】（1），在上單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）用奇函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）利用單調(diào)性即可求解.小問1詳解】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)；所以，解得，：，即，，故，當(dāng)時(shí)，根據(jù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，又為定義在上的奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】因?yàn)?，而在上單調(diào)遞增,故，解得.則不等式解集為.20.用洗衣液清洗衣物上殘留污漬.對(duì)用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用水越多，洗掉的污漬也越多，但總還有污漬殘留在衣物上.設(shè)用單位量的水清洗一次后，衣物上殘留的污漬量與本次清洗前殘留的污漬量之比為函數(shù).（1）根據(jù)實(shí)際意義判斷的單調(diào)性，并求的值；（2）設(shè)，現(xiàn)有1單位量的水，需要將水分成2份后清洗衣物，試確定2次清洗時(shí)各自需要的用水量，使得2次清洗后衣物中殘留的污漬量最少.【答案】（1）答案見解析（2）2次清洗時(shí)分別用單位量的水【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由條件分析即可得到單調(diào)性；（2）根據(jù)題意，設(shè)第一次清洗時(shí)需要單位量的水，則第二次清洗時(shí)需要單位量的水，結(jié)合解析式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由表示衣物上殘留的污漬量與本次清洗前殘留的污漬量之比可知，在單調(diào)遞減，且，表示沒有用水洗時(shí)，衣服上的物資量將保持原樣.【小問2詳解】設(shè)第一次清洗時(shí)需要單位量的水，則第二次清洗時(shí)需要單位量的水，其中，則第一次清洗之后衣服中污漬量之比為，第二次清洗之后衣服中污漬量之比為，對(duì)于函數(shù)，則，所以.即當(dāng)2次清洗時(shí)分別用單位量的水，衣物中殘留的污漬量最少.21.已知函數(shù).（1）求的最小值；（2）令，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）9（2）【解析】【分析】（1）由基本不等式求出最小值；（2）函數(shù)變形為，當(dāng)時(shí)，結(jié)合基本不等式求出，故只需，得到，結(jié)合時(shí)，，從而得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)椋苫静坏仁降?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為9【小問2詳解】，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，若，則，若恒成立，只需，即，因?yàn)?，所以，若，則恒成立，綜上，，實(shí)數(shù)的取值范圍為.22.定義：函數(shù)的定義域?yàn)?，且任意，存在，使得，則稱為“好函數(shù)”.已知，.（1）當(dāng)時(shí)，判斷是否為“好函數(shù)”，并說明理由；（2）若為“好函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】22.“好函數(shù)”，理由見解析23.【解析】【分析】（1）令，當(dāng)時(shí)，，則，根據(jù)條件即可判斷；（2）因?yàn)閱握{(diào)遞增，根據(jù)題意分情況討論值域與的關(guān)系，求解即可.【小問1詳解】令，當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，因?yàn)椋?，得定義域?yàn)?，即，因?yàn)?，都有，，且，所以存在，有，即任意，存在，使得成立，故?dāng)時(shí)，判斷為“好函數(shù)”.【小