23.3.3相似三角形的性質學案華東師大版九年級數(shù)學上冊

相似三角形的性質【學習目標】1.掌握相似三角形的對應高、中線、角平分線、周長的比與相似比的關系2.掌握相似三角形的面積比與相似比的關系3.能利用相似三角形的性質進行有關的計算【學習重點】了解相似多邊形的概念，探索相似多邊形的周長比，面積比與相似比的關系.【學習過程】一、課前熱身1.兩個三角形相似的簡便判定方法有哪些？（1）（2）（3）2.在△ABC與△A′B′C′中，AB=10cm，AC=6cm，BC=8cm，A′B′=5cm，A′C′=3cm，B′C′=4cm，兩個三角形相似嗎？說明理由.如果相似，請寫出他們的相似比.二、自主學習如果兩個相似三角形的相似比為3:5，那么其對應邊上的高之比為；對應角的平分線之比為;對應邊上的中線之比為;周長之比為;面積之比為.三、閱讀探究知識點1：相似三角形對應邊上的高與相似比之間的關系已知：如圖,△ABC∽△A′B′C′且相似比為K，CD和C′D′是它們的對應高.求證：=K證明：∵△ABC∽△A′B′C′（已知）∴________=________（相似三角形對應角相等）又∵________=________=90°（三角形高的定義）∴_________∽________（兩角對應相等的兩個三角形相似）∴=________=K（相似三角形對應邊成比例）★★結論：相似三角形對應邊上的高之比等于相似比知識點2：相似三角形對應角平分線與相似比之間的關系已知:如圖,△ABC∽△A′B′C′，相似比是K,CD和C′D′是它們的對應角的角平分線.求證：=K證明：知識點3：相似三角形對應中線與相似比之間的關系如圖,△ABC∽△A′B′C′,相似比為K,AD,A′D′分別為△ABC和△A′B′C′的中線.求證：AD：A′D′=K證明：知識點4：相似三角形對應面積與相似比之間的關系如圖,△ABC∽△A′B′C′,相似比為=K，AD,A′D′分別為△ABC和△A′B′C的高，求證:Ｓ△ABC：Ｓ△A′B′C′=K證明：★★結論：1.相似三角形對應邊上高的比等于_________.2.相似三角形的對應角平分線的比等于相似比.3.相似三角形對應邊上中線的比等于相似比.4．相似三角形的周長比等于相似比5．相似三角形的面積比等于相似比的平方.核心提示：1.相似三角形的性質適用于相似三角形，一般三角形不具有此性質2.相似三角形的性質揭示的是它們的對應線段，周長，面積與相似比的關系，在解決問題是要靈活運用3.利用相似三角形的這些性質可以求線段長或求周長或求三角形的面積四、點例分析例1在△ABC中,∠C=90°,D是AC上一點,DE⊥AB于E,若AB=10，BC=6,DE=2,求四邊形DEBC的面積.例2三角形ABC是一塊鈍角三角形余料，邊BC＝160mm,高AD＝80mm,要把它加工成長方形零件，長是寬的2倍，長方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個長方形零件的面積是多少？變式練習：如圖△ABC是一塊直角三角形余料，AC=60cm，BC=80m，現(xiàn)要把它加工成正方形零件，試說明下面兩個加工方法中的哪一種的利用率較高？五、小結1.本節(jié)課你學了那些知識：2.在學習中運用了那些數(shù)學思想和方法：六、當堂檢測1.△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它們對應角的角平分線，已知AD=8cm，A′D′=3cm，則△ABC與△A′B′C′的相似比是_________，對應高之比為_________,周長之比為_________,面積之比為_________.2.在一張比例尺為1：100000的地圖上，面積為1cm2的多邊形表示的實際面積是（）A.1000cm2B.100m2C.1000m2D.1000000m2兩個相似三角形對應的中線長分別是6cm和18cm，若較大三角形的周長是42cm，面積是12cm2,則較小三角形的周長是cm，面積cm2.4.兩個相似三角形的一對對應邊分別是35厘米和14厘米（1）它們的周長差60厘米，這兩個三角形的周長分別是.（2）它們的面積之和是58平方厘米，這兩個三角形的面積分別是.第5題圖5.如圖在△ABC中，D、E分別是AB和AC的中點，F(xiàn)是BC延長線上的一點，DF平分CE于點G，CF=1，則BC=.△ADE與△ABC的周長之比為，△CFG與△BFD的面積之比為.第5題圖.6.在平行四邊形ABCD中，E是CD的延長線上的一點，BE與AD交于點F，DE=CD.（1）求證：△ABF∽△CEB；（2）若△DEF的面積為2，求ABCD的面積.課后作業(yè)基礎過關知識點一:相似三角形對應角平分線、中線、高之比如圖(1)，在邊長為2的正方形ABCD中，E是AB的中點，BM⊥CE，則Rt△BEM與Rt△BCM斜邊上的高之比是()A．1:1 B．1:2 C．1: D．1:4圖(4)圖(3)圖(2)圖(1)圖(4)圖(3)圖(2)圖(1)如果兩個相似三角形對應高的比是1:2，那么它們的相似比是；對應的角平分線的比是；對應的中線的比是。如圖(2)，梯形ABCD中，AD∥BC，兩腰BA與CD的延長線相交于P，PF⊥BC，AD＝2，BC＝5，EF＝6，則PF＝．知識點二:相似三角形周長之比△ABC的三邊分別為3㎝，4㎝，6㎝，與其相似的△的最大邊的長為18㎝，那么△的周長為。如果兩個相似三角形的相似比為2:1,周長之差為12㎝，則兩個相似三角形的周長分別為。知識點三:相似三角形面積之比在一張比例尺為1:40000的地圖上，1的面積所表示的實際面積是。如圖(3)，已知:△ABC∽△DBE，AB＝6，DB＝8，則＝。如圖(4)，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，BD＝4，則△ADE與△ABC的面積比為。如圖(5)，在□ABCD中，E為AB延長線上一點，AB:AE＝2:5，若＝12，則＝。如果兩個相似三角形的面積比為1:2，那么它們的周長比為。圖(5)圖(8)圖(7)圖(6)圖(5)圖(8)圖(7)圖(6)如圖(6)，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于點O，如果AD:BC＝1:3，那么下列結論錯誤的是()A．＝ B．＝3 C．＝9 D．＝9能力提升如圖(7)，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，DE∥BC，且＝1:4，則DE:BC＝。如圖(8)，△ABC中，F(xiàn)G∥DE∥BC，且FG和DE把△ABC的面積三等分，則FG:DE:BC＝。如圖，在平行四邊形ABCD中，AE:EB＝1:2， (1)求△AEF和△CDF的周長比；(2)如果＝6，求思維拓展如圖，在△ABC中，AM與BN相交于D，BM＝3MC，AD＝DM，求:(1)BD:DN的值； (2)的值；一開發(fā)商拍得一塊三角形土地，如圖△ABC。測得：△ABC是銳角三角形，BC＝120，高