2022年河南省開封市高考理科數(shù)學(xué)二模試卷及答案解析

2022年河南省開封市高考理科數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)設(shè)x,>GR,集合A={1,2X},B=[x,y],若力nB=g},則()

1111

A.{1,2)B.{-1，3}C.{—1，L2)D.{1,2,2)

2.(5分)命題：VxER,x+|x|20的否定為()

A.x+|x|<0B.3x6R,x+|x|W0C.3x6R,x+|x|<0D.3x6R,x+|x|20

3.(5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=|z-i|=1,且在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則z=()

1V3V313443

A.一+一iB.一+-iC.—+-iD.一+T

22225555

3廠/7T、

4.(5分)已知sina=耳，CtG咳,71),則tan?—a)=()

11

A.-7B--7C.一D.7

7

XV

5.（5分）設(shè)A,r分別是雙曲線C—-—=l（a>0,b>0）的一個(gè)頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，過(guò)A,

P分別作C的一-條漸近線的垂線，垂足分別為4,F,若然=3則C的漸近線方程

\rFf\2

為（）

A.y=±V3xB.y=±等xC.y=土空xD.y=土孝生

6.（5分）溶液酸堿度是通過(guò)p”計(jì)算的，pH的計(jì)算公式為p”=-儂獷］,其中［父］表示溶

液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升，若人體胃酸中氫離子的濃度為2.5XK/2摩爾/升，

則胃酸的P”是（參考數(shù)據(jù)：々2^0.3010）（）

A.1.398B.1.204C.1.602D.2.602

7.（5分）已知公差為1的等差數(shù)列｛*｝中，G2=43q6,若該數(shù)列的前〃項(xiàng)和S"=0,則〃

=（）

A.10B.11C.12D.13

8.（5分）若［幻表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如［0.3］=0,n.5］=1.則如圖中的程序框圖運(yùn)

行之后輸出的結(jié)果為（）

第1頁(yè)共24頁(yè)

A.102B.684C.696D.708

9.（5分）已知函數(shù)f（%）=si九（s:+乎）3>0,0<0V￡）的圖象過(guò)點(diǎn)P（0,｝，現(xiàn)將y=/

TT

（x）的圖象向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖象也過(guò)點(diǎn)P,則（）

A.3的最小值為2B.3的最小值為6

C.3的最大值為2D.3的最大值為6

x2y2

10.（5分）已知（2,1）是圓C：=+*=l（a>b>0）上一點(diǎn)，則連接橢圓C的四個(gè)頂

點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積（）

A.有最小值4B.有最小值8C.有最大值8D.有最大值16

11.（5分）騎行是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛.如圖是某

一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓4（前輪），圓。（后輪）的半徑均為百，△

ABE,ABEC,△EC。均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，設(shè)點(diǎn)P為后輪上一點(diǎn)，則在騎行該

自行車的過(guò)程中，品達(dá)到最大值時(shí)點(diǎn)P到地面的距離為（）

C.|+73D,漁+

2

12.（5分）如圖，將一塊直徑為2%的半球形石材切割成一個(gè)正四棱柱，則正四棱柱的體積

取最大值時(shí)，切割掉的廢棄石材的體積為（）

第2頁(yè)共24頁(yè)

A.2v57r—4B.4^37r—4C.2V3TTD.4y/3Jt

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知兩個(gè)單位向量2,。的夾角為60°,則丘+2&=.

1

14.(5分)在(——X)6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.

x

15.(5分)若函數(shù)f(x)=ex+ae'x(?GR)為奇函數(shù)，則不等式/(/nx)</(|/nx|)的解集

為-

16.(5分)如圖，某直徑為5遍海里的圓形海域上有四個(gè)小島，已知小島B與小島C相距

為5海里，cos乙BAD=則小島B與小島D之間的距離為海里：小島B,C,

。所形成的三角形海域BCQ的面積為平方海里.

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：

共60分.

17.(12分)已知數(shù)列｛“”｝的前八項(xiàng)和為S,m=2,且"4"+i+S"+i=l(MGN*).

(1)證明：數(shù)列｛〃％｝為等差數(shù)列；

(2)選取數(shù)列｛%｝的第2"(〃€N”)項(xiàng)構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列｛m｝,求仍"｝的前〃項(xiàng)和7k

第3頁(yè)共24頁(yè)

18.(12分)如圖，四邊形ABC。是圓柱0Q的軸截面，圓柱。。的側(cè)面積為6舊兀，點(diǎn)P

在圓柱0Q的底面圓周上，且△OPB是邊長(zhǎng)為舊的等邊三角形，點(diǎn)G是DP的中點(diǎn).

(1)若G是。尸的中點(diǎn)，求證：AG1BD；

(2)若法=2晶，求G8與平面A8CO所成角的正弦值.

第4頁(yè)共24頁(yè)

19.（12分）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,SG,4）為C上一點(diǎn)，直線/

交C于M,N兩點(diǎn)（與點(diǎn)S不重合）.

（1）若/過(guò)點(diǎn)尸且傾斜角為60°,|FM|=4（M在第一象限），求C的方程；

（2）若p=2,直線SM,SN分別與y軸交于A,B兩點(diǎn)，且后?防=8,判斷直線/是

否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若否，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第5頁(yè)共24頁(yè)

20.(12分)某企業(yè)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級(jí)，升級(jí)后的設(shè)備控制系統(tǒng)由2Z-1(KN*)個(gè)

相同的元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率均為p各元件之間相互獨(dú)立.當(dāng)

控制系統(tǒng)有不少于k個(gè)元件正常工作時(shí)，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正

常運(yùn)行的概率為"(例如：p2表示控制系統(tǒng)由3個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率；p3

表示控制系統(tǒng)由5個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率).

(1)若p=^,當(dāng)k=2時(shí)，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，

并求P2;

(2)已知設(shè)備升級(jí)前，單位時(shí)間的產(chǎn)量為4件，每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為4元，設(shè)備升級(jí)后，

在正常運(yùn)行狀態(tài)下，單位時(shí)間的產(chǎn)量是原來(lái)的2倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為

高端產(chǎn)品的概率為之每件高端產(chǎn)品的利潤(rùn)是8元.記設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)為丫

4

(單位：元).

(i)請(qǐng)用P*表示E(y)；

(ii)設(shè)備升級(jí)后，若將該設(shè)備的控制系統(tǒng)增加2個(gè)相同的元件，請(qǐng)分析是否能夠提高E

(X).

第6頁(yè)共24頁(yè)

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=(^—ex)?(%2—m)(mE/?).

(1)當(dāng)m=0時(shí)，，求/(x)在x=l處的切線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)已知g(x)=，(x+1),若-1時(shí)，f(x)Wg(x)恒成立，求tn的取值范圍.

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（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

22.（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為=（隼為參數(shù)），直線

八的參數(shù)方程為R產(chǎn)％為參數(shù)，0<aV?）,直線/2的參數(shù)方程為忱匚

-CoLTLU乙-Lcubu

（1為參數(shù)，0<aV?）.

（1）將C的參數(shù)方程化為普通方程，并求出/1與/2的夾角；

（2）已知點(diǎn)P（l,0）,M,N分別為/i,/2與曲線C相交所得弦的中點(diǎn)，且△PMN的

2

面積為工？求。的值?

第8頁(yè)共24頁(yè)

［選修4?5：不等式選講］(10分)

23.已知。，b,c6R+,且abc=l.

(1)求證：Q?+b2+/4+/；；

(2)若a=/?+c,求。的最小值.

第9頁(yè)共24頁(yè)

2022年河南省開封市高考理科數(shù)學(xué)二模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）設(shè)x,yeR,集合4={1,2X],B={x,y},若4nB={；},則4UB=（）

B.{-1,1)11

A.{1,2)C.{-1,1,2)D.{L2,2)

解："：A={],2'},B={x,y},且4nB={3,

2X=即x=-1,則y=$

11

可得A={1，-},B={-1,5}

.?.AUB={-1,1,

故選：C.

2.（5分）命題：VxeR,x+|x|20的否定為（）

A.2.v￡R,x+|x|<0B.3AGR,X+|X|W0C.SAGR,X+W<0D.3XGR,X+|X|N0

解：由含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論，

命題：VxGR,x+|x|20的否定為：3.rGR,x+W<0.

故選：C.

3.（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=|z-i|=1,且在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則z=（）

1V3V313443

A.-+—iB.—+-iC.-+-iD.~+-i

22225555

解：設(shè)2=。+勿?（a,bER）,

；在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，

.,.x>0,y>0,

._總,1.

,,z-~T+21'

故選：B.

4.（5分）已知si/ia=。，ae/7r）,則比皿與一1）=（）

第10頁(yè)共24頁(yè)

11

A.-7B.-4C.一D.7

77

解：sina=I，ae,TT),可得cosa=—Jl—皮

sina3

，

tana=-c-o--s-a-=—74

3

贓。靖-。)=缶鬻=言=7,

故選：D.

x2y2

5.(5分)設(shè)A,尸分別是雙曲線C：---=l(a>0,6>0)的一個(gè)頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，過(guò)A,

垂足分別為4,F,若船

F分別作C的一條漸近線的垂線,則C的漸近線方程

|FF，|

為()

A.y=±A/3XB.y=土等％C.y=D.y=土孝匯

解：設(shè)A(a,0),F(c,0),雙曲線的一條漸近線為加c-ay=0,

\AAf\1

由t胃=二即un尸尸l=2A41，

\FFf\2

|》c|\cib\

可得=2-y==,

y/a2+b2\a2+b2

即為c=2a,

則b=Vc2—a2=百m

所以雙曲線的漸近線方程為y=±2r,即)，=±V5x,

a.

故選：A.

6.(5分)溶液酸堿度是通過(guò)pH計(jì)算的，〃”的計(jì)算公式為-3/］,其中［V］表示溶

液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升，若人體胃酸中氫離子的濃度為2.5XIOn摩爾/升，

則胃酸的pH是(參考數(shù)據(jù)：/^2^0.3010)()

A.1.398B.1.204C.1.602D.2.602

解：由可得,PH=-lg(2.5X10-2)=-(/g2.5+ZglO2)=-(1-2Zg2-2)=l+2lg2

Q1.6020.

故選：C.

7.(5分)已知公差為1的等差數(shù)列｛板｝中，。52=〃3。6,若該數(shù)列的前〃項(xiàng)和品=0,則〃

=()

A.10B.11C.12D.13

第11頁(yè)共24頁(yè)

解：???公差d=l,452=4306,該數(shù)列的前〃項(xiàng)和S〃=0,

，（。）（）（）na

1+42=（71+2m+5,1+=QY

解得a\=-6,?=13.

故選：D.

8.（5分）若㈤表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如［0.3］=0,口.5］=1.則如圖中的程序框圖運(yùn)

行之后輸出的結(jié)果為（）

A.102B.684C.696D.708

解：由程序圖可知,最終輸出的5=［茄］+［白|+［云|+…

從瑞］到扁共10項(xiàng)，均為0,

從喘］到埸］共10項(xiàng)，均為I,

從［書］到［需］共10項(xiàng)，均為11,

從［蜉］到［號(hào)］共3項(xiàng)，均為12，

故5=10X1+10X2+-+10X11+12X3=10X（1+2+-+10+II）+36=10x^1+11^11+

36=696.

故選：C.

9.（5分）已知函數(shù)f（%）=sin3%+?）（3>0,0v9V今）的圖象過(guò)點(diǎn)P（0,手，現(xiàn)將y=/

（X）的圖象向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖象也過(guò)點(diǎn)P,則（）

第12頁(yè)共24頁(yè)

A.3的最小值為2B.3的最小值為6

C.3的最大值為2D.3的最大值為6

解：函數(shù)/（x）=+w）（3>0,0V。V*）的圖象過(guò)點(diǎn)P（0,芬

1

所以f（0）=sin（p=2，

故<P=親

當(dāng)函數(shù)f（x）的圖象向左平移g個(gè)單位，得到g（%）=+等+5），

1

由于函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,-）；

2

所以g（0）=sin（等+看）=2，

故0）的最小值為2.

故選：A.

x2y2

10.（5分）已知（2,1）是圓C/+宣=l（Q>b>0）上一點(diǎn)，則連接橢圓C的四個(gè)頂

點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積（）

A.有最小值4B.有最小值8C.有最大值8D.有最大值16

x2y2,

解：因?yàn)椋?,1）是橢圓C：+上的點(diǎn)，

z

QNb

41

所以W+77=1，

a2b2

4i7121

所以-7+77當(dāng)且僅當(dāng)一=工，即。=2匕時(shí)，取等號(hào)），

a2b2abab

A.

所以布，即ab，4,

所以連接連接橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為S=%2a?26=2"28,

所以連接橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積的最小值為8,

故選：B.

11.（5分）騎行是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛.如圖是某

一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓。（后輪）的半徑均為遮，△

ABE,ABEC,△ECZ）均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，設(shè)點(diǎn)P為后輪上一點(diǎn)，則在騎行該

自行車的過(guò)程中，兄?己達(dá)到最大值時(shí)點(diǎn)P到地面的距離為（）

第13頁(yè)共24頁(yè)

3V3V6/—

D.—+y3

2

解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則A(-8,0),C(-2,-2V3),圓。的方程為

x2+y2=3,

設(shè)尸(V3cosa,V3sina),貝ijAC=(6,-2A/3),CP=(V3cosa+2,V3sina+2V3),

：.AC^P=(6,-2V3)(V3cosa+2,V3sina+2V3)

=6避cosa+12-6sina-12

—12cos(a+看)W12,

當(dāng)僅當(dāng)a+1=2匕t時(shí)取“="，此時(shí)a=—1+2內(nèi)i(依Z),

3/o

則尸（3-岑），

所以點(diǎn)尸到地面的距離為產(chǎn)+V3=

故選:B.

D)x

12.（5分）如圖，將一塊直徑為2%的半球形石材切割成一個(gè)正四棱柱，則正四棱柱的體積

取最大值時(shí)，切割掉的廢棄石材的體積為（）

C.2V3TT-^^D.4V3n--i^

A.2V3TT—4B.4V3TT-4

解：設(shè)正四棱柱的底面正方形邊長(zhǎng)為a,高為/?,

第14頁(yè)共24頁(yè)

則底面正方形的外接圓半徑r=￥a,...九2+"=層+32=3,.?.”2=6-2〃2,

；?正四棱柱體積U=a2h—(6—2h2)h——2h3+6/i(0<h<V3),

V=-6層+6=-6(力+1)(力-1),

工當(dāng)0<〃<l時(shí)，V>0；當(dāng)1<九《/々時(shí)，V<0；

二V=-2川+6%在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,次)上單調(diào)遞減，.V|6=l=4,

又半球的體積為57rx(V3)3=2?兀，

,切割掉的廢棄石材的體積為2757r-4.

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知兩個(gè)單位向量：，而勺夾角為60°,則丘+2&=_夕

解：兩個(gè)單位向量工1的夾角為60°,

.\a9b=1X1Xcos60°=

(a+2b==a2+4a?b+462

1

=l+4x1+4X1

=7,

：.\a+26|=V7.

故答案為：V7.

1

14.(5分)在(--x)6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為-20.

x

11

解：(--X)6的展開式的通項(xiàng)公式為A1=C>(-)6r<-x)r=(-1)r-cp?r-6,

XX

令2r-6=0,則r=3,

所以常數(shù)項(xiàng)為C”(-1)3=-20.

故答案為：-20.

15.(5分)若函數(shù)/(x)=F+，0x(aGR)為奇函數(shù)，則不等式/(/以)</(|/nx|)的解集

為(0,1).

解：函數(shù)f(x)=炭+這一"(aeR)為奇函數(shù)，

可得/(0)=0,即1+4=0,解得4=-1,

第15頁(yè)共24頁(yè)

即有/(x)=^-e'x,

/(-JV)+f(x)=e'x-e''+^-e'x=0,可得/(x)為奇函數(shù)，

由/(%)=/+旌、>0,可得/(x)在R上單調(diào)遞增，

則不等式/(/?%)</(|/?x|)等價(jià)為阮

可得/〃x<0,解得0<x<l,

可得所求解集為(0，1).

故答案為：(0,1).

16.(5分)如圖，某直徑為5遍海里的圓形海域上有四個(gè)小島，已知小島B與小島C相距

為5海里，COS4BAD=-±則小島2與小島。之間的距離為3V5海里；小島B,

C,。所形成的三角形海域8CO的面積為」—平方海里.

4

解：圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，cosC=cos(n-A)=-cosA=>0,

C為銳角，sinC=A/1—cos2C—

BDBD「一

在三角形SCO中，由正弦定理得一:=—=5遮，可得8。=3萌，

sinC-

5

在三角形BCD中，由余弦定理得(3V5)2=0^+52-2-CD-5-^,

整理得C￡>2-8CO-20=0,可得(CD+2)(C。-10)=0,解得C￡>=10(負(fù)根舍去)，

所以SABCD=10X5X1=15平方海里.

故答案為：3V5,15.

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：

共60分.

17.(12分)已知數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為S,m=2,且曲+1+8+1=1("CN*).

(1)證明：數(shù)列｛”5｝為等差數(shù)列；

(2)選取數(shù)列｛S”｝的第2"(〃WN*)項(xiàng)構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列｛加｝,求｛為｝的前"項(xiàng)和S.

第16頁(yè)共24頁(yè)

(1)證明：：數(shù)列｛“"｝的刖"項(xiàng)和為S",ai=2,且〃4"+i+S?+i=1(〃eN-),

n(S"+1-Sn)+Sn+1—1>即(n+1)5?+i-nSn~1,

，數(shù)列｛〃％｝為等差數(shù)列；

(2)解：由(1)知,InS>,=2+｝X(n-1)=n+\,

：.Sn=1+->即％=S2"=1+環(huán)，

1111

T=1+^+1+商+1+有+…+1+”

n422z

11111

="+訝+于+/+…+尹=n+_-=n-尹+1?

18.(12分)如圖，四邊形ABCD是圓柱0Q的軸截面，圓柱0。的側(cè)面積為6遮兀，點(diǎn)P

在圓柱。。的底面圓周上，且△0PB是邊長(zhǎng)為百的等邊三角形，點(diǎn)G是OP的中點(diǎn).

(1)若G是。P的中點(diǎn)，求證：AG±BD,

(2)若法=2ck求GB與平面ABC。所成角的正弦值.

證明：(1)設(shè)圓柱。。的底面半徑為r,高為/?.

因?yàn)槿切?PB是邊長(zhǎng)為舊的等邊三角形，所以乙48P=60。，r=V3.

因?yàn)閳A柱OQ的側(cè)面積為6百兀，所以2仃九=6百兀，解得：h=3.

在底面圓中，NAPB=90°,NA8P=60°,所以AP=BPtan60°=3.

因?yàn)閳A柱。。的母線D4_L底面APB,所以DALBP,DALAP.

因?yàn)镹APB=90°,所以附J_BP,y.PAQAD=A,所以8Pl.面APO.

因?yàn)?Gu面4尸。，所以BPJ_AG.

在三角形D4P中，AD=AP=3,G是OP的中點(diǎn)，所以。PJ_AG.

又BPCDP=P,所以46_1面82。.

因?yàn)?￡)u面PBD,所以AG_L8D

第17頁(yè)共24頁(yè)

解：(2)在底面內(nèi)過(guò)。作。x，A3,連結(jié)。。.以0為原點(diǎn)，Ox,OB,OQ分別為x,y、

z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

貝I」0(0,0,0),4(0,-V3,0),B(0,W，0),C(0,V3,3),0(0,-

V3,3),Q(0,0,3),P(|,坐，0).所以而=(一楙，堂,0).

因?yàn)橥?2茄，所以G(1,0,I),

所以后=(-1,痘,-1).

顯然，x軸的單位向量l=(1,0,0)是平面A8CC的一個(gè)法向量.

)TT廠

設(shè)GB與平面ABCD所成角0,則sin。=|cos⑴，GB)|=*叱=-^t====噌.

|n|x|G5|1XV1+3+1'

19.(12分)已知拋物線C：yl=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,S(t,4)為C上一點(diǎn)，直線I

交C于M,N兩點(diǎn)(與點(diǎn)S不重合).

(1)若/過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°,\FM\=4(M在第一象限)，求C的方程；

(2)若p=2,直線SM,SN分別與y軸交于A,B兩點(diǎn)，且?茄=8,判斷直線/是

否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若否，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑴解：拋物線C：f=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F(5，0),

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60。，所以/：丫=b(%-分

聯(lián)立y2=2px(p>0),可得12』-20/zr+3P2=0,

第18頁(yè)共24頁(yè)

解得X=或X=I，

又M在第一象限，所以%M=^P，

3V

因?yàn)閨FM|=4,所以mp+]=4,

解得p=2,

所以拋物線C的方程為夕=4*

（2）解：由已知可得拋物線C的方程為），2=4x,點(diǎn)S（4,4）,

設(shè)直線/的方程為x=M2y+〃，點(diǎn)M（1,%），N（[,，2），

將直線I的方程與拋物線C：y2=4x聯(lián)立得y2-4my-4n=0,

所以A=16〃/+16〃>0,yi+*=4m,yiy2=-4〃（*）,

直線SM的方程為y—4=馬—（%—4）,

今-4

令x=0求得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為色同理求得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為包

yi+4y2+4

由％?°B=為丫2+期;i）+16=8'化簡(jiǎn)得y，y2=4（y，+y2）+16，

將上面（*）式代入得-4〃=16，〃+16,BPn—-4m-4,

所以直線/的方程為x=，wy-4機(jī)-4,即x+4=〃？（y-4）,

所以直線/過(guò)定點(diǎn)（-4,4）.

20.（12分）某企業(yè)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級(jí)，升級(jí)后的設(shè)備控制系統(tǒng)由兼-1（虻N*）個(gè)

相同的元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率均為p（0<p<l）,各元件之間相互獨(dú)立.當(dāng)

控制系統(tǒng)有不少于k個(gè)元件正常工作時(shí)，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正

常運(yùn)行的概率為0?（例如：R表示控制系統(tǒng)由3個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率；p3

表示控制系統(tǒng)由5個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率）.

（1）若p=|,當(dāng)&=2時(shí);求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，

并求P2;

（2）己知設(shè)備升級(jí)前，單位時(shí)間的產(chǎn)量為“件，每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為4元，設(shè)備升級(jí)后，

在正常運(yùn)行狀態(tài)下，單位時(shí)間的產(chǎn)量是原來(lái)的2倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為

1

高端產(chǎn)品的概率為一，每件高端產(chǎn)品的利潤(rùn)是8元.記設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)為y

4

（單位：元）.

第19頁(yè)共24頁(yè)

(i)請(qǐng)用p左表示E(Y)；

(ii)設(shè)備升級(jí)后，若將該設(shè)備的控制系統(tǒng)增加2個(gè)相同的元件，請(qǐng)分析是否能夠提高E

(r).

解：(1)因?yàn)殡?2,所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的可能取值為0,1,2,3,

因?yàn)槊總€(gè)元件的工作相互獨(dú)立，且正常工作的概率均為p=|,所以X?8(3,I),

所以P(x=0)=?.(金。?(33=蕓,

22

瑪12

儂z

-1-=r-=-

p(sx39

4

=-廢-

p(2)9

P(X=3)=CJ-(|)3.(1)°=捺,

所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列為:

X0123

p1248

1————

279927

控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3x|=2,p2=P(X=2)+

p(y-_3OA)_+i萬(wàn)8一_方20,

a3a

(2)(i)設(shè)備升級(jí)后，在正常運(yùn)行狀態(tài)下，單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)為-x8+—x4=10a,

22

所以y的分布列為：

Y10a0

設(shè)備運(yùn)行概率Pk1-Pk

所以E(丫)=10〃XpH0X(1-pk)=1癡ipk.

(")若控制系統(tǒng)增加2個(gè)元件，則至少要有攵+1個(gè)元件正常工作，設(shè)備才能正常工作,

設(shè)原系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)為"

第一類：原系統(tǒng)中至少有Z+1個(gè)元件正常工作，

其概率為P(f>fc+1)=pfc-C笈T?P*?(1-P)kT；

第二類：原系統(tǒng)中恰好有k個(gè)元件正常工作，新增2個(gè)元件中至少有1個(gè)正常工作，

其概率為P(6=k)=C(_1?pk?(1-p)l-[1-(1-p)2]=C梟_1,pk+1(1-p)J-

(2一P)；

第20頁(yè)共24頁(yè)

第三類：原系統(tǒng)中恰好有k-1個(gè)元件正常工作，新增2個(gè)元件全部正常工作，

其概率為P(f=k-1)=Lpl(1-p)k.p2=C髭、.pk+1.(1-p)k,

所以Pfc+l=Pk~。失-1,p”?(1-P)"T+C梟T?pk+1,(1一p)"T?(2-p)+CQ1?

pk+1?(1_p)k=pk+c梟_1?p”?(1—P)"?(2p—1)，

所以Pk+i-Pk=C梟_i?pk?(1-p)k-(2p-l),

所以當(dāng)：VpVI時(shí)，pk+l-pk>0,p&單調(diào)遞增，即增加2個(gè)相同元件，設(shè)備正常工作的

概率變大，

當(dāng)OVpW；時(shí)，Pk+l-pkWO,即增加2個(gè)相同元件，設(shè)備正常工作的概率沒(méi)有變大，

因?yàn)镋(丫)=\OaPk,

11

所以當(dāng)；VpVI時(shí)，E(Y)提高；當(dāng)0中式a時(shí)，E(K)沒(méi)有提高.

24

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=('—？')?(/—m)(mG/?).

(1)當(dāng)根=0時(shí)，求/(x)在x=l處的切線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)己知g(x)="(x+1),若-1時(shí)，/(x)Wg(%)恒成立，求的取值范圍.

解：(1)當(dāng)團(tuán)=0時(shí)，/(%)=(l-ex)-x2,/(I)=1-e,

f(x)=x-e"(>+2x),f(1)=1-3ef

故切線方程為y-(1-e)=(l-3e)(x-1),

即y=(1-3e)x+2e-1，當(dāng)x=0時(shí)，y=2e

所以f(x)在x=l處的切線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2e-1)；

(2)依題意，當(dāng)-1時(shí)，，(x)Wg(x)恒成立，

1-

即(]—?”)?(/—m)<ex(x4-1)恒成立，

即-1時(shí)，&-ex)?(x2—m)-ex(x4-1)<0恒成立，

11

取x=-1代入,則G-(1-m)<0,此時(shí)優(yōu)》1,

1

取x=0代入，則(2—1),(一加)-1W0，此時(shí)機(jī)W2,

所以

1

下面證明，當(dāng)時(shí)、-ex)?(%2-m)-ex(x4-1)<0恒成立，

第21頁(yè)共24頁(yè)

構(gòu)造函數(shù)F(%)=(4—e")?(——Hi)—+1),%>—1,

也即是證明F(x)<0在區(qū)間[-1,+8)上恒成立.

下面分兩種情形進(jìn)行討論：

情形一：當(dāng)-1WxW-/〃2時(shí)，有1—ex>0,

止匕時(shí)尸(工)=&-?(%2—m)-ex(x4-1)<(^—ex)?(%2—1)—ex(x+1),

i

因?yàn)橐?Wx4-ln2f2—0/%2-1<0/ex>0,x+120,

1

所以(今-ex)?(%2-1)-ex(x+l)<0,即尸(x)WO；

1

情形二，當(dāng)x>-ln2時(shí)，，--ex<0,

止匕時(shí)F(x)=(^—ex)?(%2—m)—e%(x4-1)<(^—e")?(%2—2)—ez(x+1),

設(shè)九(%)=(2—ex)?(%2—2)—ex(x+1)=-^x2-1—ex(x24-x—1),

則hf(x)=x-(W+3x)=x[]-/(x+3)],

當(dāng)xNO時(shí)，/(x+3)23,此時(shí)/(x)=x[\-eK(x+3)]W0,

所以"(x)在[0,+8)上遞減，所以〃(x)Wh(0)=0,

當(dāng)7〃2Vx<0時(shí)，<p(x)=e"(x+3),(p(x)=ex(x+4)>0,(p(x)遞增，

所以eX(x+3)>e-m2(一m2+3)=;(3-仇2)=1+1(1-/