2022年河南省洛陽市高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知雙曲線4=力＞°）的一條漸近線的傾斜角為。，且cos6=正，則該雙曲線的離心率為（）

a-b-5

A.J5B.亞C.2D.4

2

2.若復(fù)數(shù)二滿足（1—i）z=-l+2i,則|王=（）

A板R3「回n1

2222

3.盒子中有編號為1,2,3,4,5,6,7的7個相同的球，從中任取3個編號不同的球，則取的3個球的編號的中位

數(shù)恰好為5的概率是（）

2863

A.—B.—C.—D.一

3535357

4.已知函數(shù)/（x）=lnx,若尸（x）=/（x）-3日2有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)攵的取值范圍為（）

A?19qB.H，。）c（硅）

5.要得到函數(shù)y=；cosx的圖象，只需將函數(shù)y=gsin（2x+2]的圖象上所有點(diǎn)的（）

A.橫坐標(biāo)縮短到原來的;（縱坐標(biāo)不變），再向左平移9個單位長度

]JT

B.橫坐標(biāo)縮短到原來的不（縱坐標(biāo)不變），再向右平移丁個單位長度

C.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移?個單位長度

O

jr

D.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移g個單位長度

22

6.已知點(diǎn)A（2后3啊在雙曲線會-方=1（萬＞0）上，貝！|該雙曲線的離心率為（）

A.叵B.叵C.回D.2M

32

1

7,定義在R上的偶函數(shù)滿足〃x+l)(〃x)rO),且在區(qū)間(2017,2018)上單調(diào)遞減，已知是

銳角三角形的兩個內(nèi)角，則/(sin6),/(cos?)的大小關(guān)系是()

A./(sin/7)</(coscr)B..f(sin/?)>/(cosa)

C./(sin/?)=/(cos?)D.以上情況均有可能

8.已知直線/：岳+y+2=0與圓。：/+y2=4交于人，B兩點(diǎn),與/平行的直線4與圓。交于A7,N兩點(diǎn)，

且z/MB與的面積相等，給出下列直線4：①6x+y-2百=0,②辰+y-2=0,③x—6y+2=0,

④氐+y+26=0.其中滿足條件的所有直線《的編號有()

A.①②B.①④C.②③D.①②④

9.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，又

稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的，如圖(1)),

類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖(2)所示的圖形，它是由6個全等的三角形與中間的一個小正六邊形組成的一個

大正六邊形，設(shè)4'戶'=2產(chǎn)幺，若在大正六邊形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小正六邊形的概率為()

C.巫D,1

77

10.已知x〉0,y>0,x+2y=3,則口^的最小值為（）

孫

A.3-272B.2&+1C.V2-1D.0+1

11.已知復(fù)數(shù)二滿足：zi=3+4i（i為虛數(shù)單位），則1=（）

A.4+3iB.4—3zC.—4+3，D.—4—3i

COSA

12.f（x）=--在原點(diǎn)附近的部分圖象大概是（）

sinx

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在三棱錐尸-ABC中，AB=5,BC=3,C4=4,三個側(cè)面與底面所成的角均為60°,三棱錐的內(nèi)切球的表面

積為.

14.函數(shù)〃x)=cos(3x+W在［0,兀］的零點(diǎn)個數(shù)為.

15.曲線/(x)=在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為.

16.已知圓柱的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，圓柱的高和球半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(可=g上1,其中。＞0,6＞0.

(1)①求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

②若不,々滿足聞＞%(i=l,2),且玉+9＞0,々＞0.求證：/&)+2/(*2)＞百?

(2)函數(shù)g(x)=go?—lnx.若M,工2§1、

0,-7=對任意，再-7,都有i/a)-〃/)i>iga)-g(%)i,求其一a

7a)

的最大值.

18.(12分)如圖，在矩形A3CD中，AB=4,AD=3,點(diǎn)瓦尸分別是線段力CBC的中點(diǎn)，分別將△以￡沿4E

折起，△CEF沿EE折起，使得。，。重合于點(diǎn)G,連結(jié)A尸.

DECG

(I)求證：平面GEE，平面GAE；

(H)求直線GE與平面G4￡所成角的正弦值.

19.(12分)如圖所示，在三棱柱ABC-4與G中，AABC為等邊三角形，ZBAB}=ZBB}A,AgcA8=。，CO1

平面AB44，。是線段AG上靠近4的三等分點(diǎn).

(1)求證：AB±AA,；

(2)求直線8與平面4ACG所成角的正弦值.

20.(12分)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為4，b,c,其面積記為S,滿足空S=

3

(1)求A；

222

(2)若同lb+c)=2a,求n幺+h幺+Jr的值.

beacab

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=〃?ln(l+x)—x,g(x)=a%—sinx.

⑴若函數(shù)J'(x)在(O，+8)上單調(diào)遞減，且函數(shù)g(x)在能上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)加的值；

(2)求證：(1+sinl)11+sin^——1+sin——-1+sin---------<e~(〃wN*,且〃之2).

11x2八2x37((〃.

22.(10分)已知函數(shù)/(%)=依一111%—13￡7?).

(1)討論/(x)的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;

i3

(2)若gOO.f—設(shè)玉＜尤2)是函數(shù)g(x)的兩個極值點(diǎn)，若a士，且g(x)-g(x2)2z恒

成立，求實(shí)數(shù)％的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

由傾斜角的余弦值，求出正切值，即a,沙的關(guān)系，求出雙曲線的離心率.

【詳解】

解：設(shè)雙曲線的半個焦距為c,由題意8e[0,乃)

又cosB=^~，則sin9=之弋,,tan0—2,—=2,所以離心率e=￡=Jl=石,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題

2.C

【解析】

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.

【詳解】

/、-l+2z(-l+2z)(l+?)31

v'1-z(1-z)(l+z)22

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

由題意，取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的情況有C：G，所有的情況有種，由古典概型的概率公式即得解.

【詳解】

由題意，取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的情況有C：C，所有的情況有C；種

由古典概型，取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的概率為：

8

C；35

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了排列組合在古典概型中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

4.C

【解析】

令尸(x)=/(x)—3入2=0,可得左=InxInx

57,要使得E(x)=0有兩個實(shí)數(shù)解，即.丫=攵和g(x)=57有兩個交點(diǎn)，結(jié)

合已知，即可求得答案.

【詳解】

令F(x)=f(x)-3kx2=0,

r組/,nX

可得人聲'

Inx

要使得F(x)=0有兩個實(shí)數(shù)解，即y=Z和g。)=南有兩個交點(diǎn),

，/、l-21nx

???g(x)=^^

令1—21nx=0,

可得x=Ve，

???當(dāng)xw(0,、Q時,g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(0,五)上單調(diào)遞增;

當(dāng)X￡(Ve,4-00)時,g'(x)<0,函數(shù)g(x)在+00)上單調(diào)遞減.

，當(dāng)了=—時，g(x)max-~7~'

6e

???若直線y=攵和g(x)="有兩個交點(diǎn)，則4G[0,^|.

3xI6eJ

實(shí)數(shù)左的取值范圍是

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟，考查

了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

5.C

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系，即可容易求得.

【詳解】

為得到y(tǒng)=

22<2J

將y=；sin(2x+?)橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),

故可得y=2I3J

再將y=；sin(x+?)向左平移看個單位長度，

1.(n1.f乃)1

故可得y=7；sin|x+—+—=—sinx+—=—cosx.

213oJ212)2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導(dǎo)公式的使用，屬基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實(shí)軸長和虛軸長，進(jìn)而求得離心率.

【詳解】

將尤=2j?,y=3jlU代入方程常方=10>0)得人=3屈，而雙曲線的半實(shí)軸a=河，所以o=后壽=10,

得離心率e=￡=W,故選C.

a

【點(diǎn)睛】

此題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率的概念，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

由已知可求得函數(shù)的周期，根據(jù)周期及偶函數(shù)的對稱性可求Ax)在(0,1)上的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較.

【詳解】

由+=可得/(x+2)=/[(x+l)+l]=_J=/*),即函數(shù)的周期丁=2,

因?yàn)樵趨^(qū)間(2017,2018)上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減，

根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，/0)在(0』)上單調(diào)遞增，

因?yàn)閍,夕是銳角三角形的兩個內(nèi)角，

所以％尸€(0,3萬)且&+/?>3%即&>3乃一夕，

所以cosa<cos(g萬一4)即0<cosa<sin，<1,

/(cosa)</(sin，).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

8.D

【解析】

求出圓心0到直線/的距離為：d=l=；r,得出NAO3=120。，根據(jù)條件得出。到直線《的距離d'=l或6時滿足

條件，即可得出答案.

【詳解】

解：由已知可得：圓0：V+y2=4的圓心為(0Q),半徑為2,

則圓心。到直線/的距離為：d=\=-r,

2

：.ZAOB=120°,

而"4,與AOMN的面積相等，

:.ZMON=120°或60°,

即。到直線4的距離"'=1或6時滿足條件，

根據(jù)點(diǎn)到直線距離可知，①②④滿足條件.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及點(diǎn)到直線的距離公式.

9.D

【解析】

設(shè)AF=a,貝iJ4F'=2a,小正六邊形的邊長為A'F'=2a,利用余弦定理可得大正六邊形的邊長為=再

利用面積之比可得結(jié)論.

【詳解】

由題意，設(shè)AF'=a,則AF=2a,即小正六邊形的邊長為A'F'=2tz,

TT

所以，F(xiàn)F'=3a,NAFF=—,在八4b戶中，

3

由余弦定理得AF2=AFf2+FF,2-2AF?FFcosZAFfF,

即AF~=。~+（3。）—2a,3cl?cos—,解得AF—\p7ci，

所以，大正六邊形的邊長為AF=J7a，

i巧

所以，小正六邊形的面積為S]=3x2ax2ax-^-x2+2Qx2Ga=66a2,

大正六邊形的面積為$2=gxJ7QX曰^X2+五a=21；,

S4

所以，此點(diǎn)取自小正六邊形的概率？=寸=亍.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.B

【解析】

3=立包生建目]+紅21+2m=1+2應(yīng)，選B

孫盯yx\yx

11.A

【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算求出Z,再根據(jù)共輸復(fù)數(shù)的概念即可求解.

【詳解】

由zi=3+4i,則z=二3+，4z=±3z-^4=4—3i,

i-1

所以三=4+3"

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共匏復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

12.A

【解析】

分析函數(shù)y=/(x)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間(0,萬)上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).

【詳解】

令sinxwO,可得々肛左eZ},即函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，

cos(-x)8sx

/(一x)=.(=一^=一小),則函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，排除c、D選項(xiàng)；

sin(-x)sinx

cos.r

當(dāng)0<x<7t時，eC0SJC>0?sinx>0,則/(%)=---->0,排除B選項(xiàng).

sinx

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號，考查分

析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

4%

13.

3

【解析】

先確定頂點(diǎn)在底面的射影，再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高，利用各個面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱

錐的體積的三倍即可解決.

【詳解】

設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為〃，”是三角形A8C的內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑r=l.三個側(cè)面與底面所

成的角均為60°,APAB，APBC,AR4c的高莊=尸尸=2,PH=6設(shè)內(nèi)

切球的半徑為K,(-(3+4+5)x2+-x3x4)x/?=3xlxix3x4x>/3=673

2232

:.R=B,內(nèi)切球表面積S=4?/?2=".

33

47r

故答案為：——.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問題，考查學(xué)生空間想象能力，本題解題關(guān)鍵是找到內(nèi)切球的半徑，是一道中檔題.

14.3

【解析】

TTTF

求出3x+—的范圍，再由函數(shù)值為零，得到3x+—的取值可得零點(diǎn)個數(shù).

66

【詳解】

詳解：>/0<X<71

71,、71,19萬

-<3x+—<---

666

由題可知3%+工=工,3%+工=2,^3x4--=—

626262

切出714萬_7萬

解得x=§，一§一，或5

故有3個零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

15.3x—y-1=0

【解析】

求導(dǎo)，得到r(o)和/(o),利用點(diǎn)斜式即可求得結(jié)果.

【詳解】

由于/(O)=T，/'(x)=4-心所以r(o)=4-1=3,

由點(diǎn)斜式可得切線方程為3x-y-1=0.

故答案為：3x-y-l=0.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，屬基礎(chǔ)題.

16.百

【解析】

由圓柱外接球的性質(zhì)，即可求得結(jié)果.

【詳解】

解：由于圓柱的高和球半徑均為2,,則球心到圓柱底面的距離為1,

設(shè)圓柱底面半徑為廣，由已知有產(chǎn)+f=22，

r=>

即圓柱的底面半徑為6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】

本題考查由圓柱的外接球的性質(zhì)求圓柱底面半徑，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

J__1_、

17.(1)①單調(diào)遞增區(qū)間――,+s,單調(diào)遞減區(qū)間;②詳見解析；(2)

4ay/a

7716

【解析】

⑴①求導(dǎo)可得/'(X)=竺二=,x*0,再分別求解r(x)>0與/'(x)<0的解集，結(jié)合定義域分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即

2bx

可.

②根據(jù)(1)中的結(jié)論，求出/(內(nèi))+2/(々)的表達(dá)式,再分玉<0與玉>。兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析

/&)+2/伍)的范圍即可?

⑵求導(dǎo)分析g(x)=g以27nx的單調(diào)性,再結(jié)合f(x)單調(diào)性，設(shè)x,<x2,去絕對值化簡可得

/&)—g(xJ-"(X2)-g(W)]>0，再構(gòu)造函數(shù)”(x)=/(x)-g(x),xe，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與恒成立問

,2b八

題可知1--尸20，再換元表達(dá)力-。求解最大值即可.

\ja

【詳解】

解:⑴小卜寨1,衣。,

由廣(工)>?？傻脁>了"或x<一7^,

由/'（%）＜o(jì)可得一支＜尤＜下，

（1、111]

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間-8-,+8，單調(diào)遞減區(qū)間

y/a)

\7

②玉+x2>0,x2>0,

%>0或X|VO,

若%>0,因?yàn)棰?gt;7=，故聞〉-^,|引>^,

7ayjayja

上單調(diào)遞增"㈤+2/伍）=半＞半,

由①知/（%）在,+CO

7\\/ajobbb

若玉V0,由年|>二可得X<--\=X\,

yjayja

因?yàn)橛?x2>0,x2>0,

所以々＞-,

(1)

由①f（x）在-尸,+?)上單調(diào)遞增,

\7a7

/(%)+2f(々)>/(X])+2/(-x,)>-y-

綜上/(^i)+2/(x2)>^y-

(2)Q<x<—j=時,g'(x)=依_J_二———1<o,g(尤)在上單調(diào)遞減,

不妨設(shè)玉〈々，

由⑴“X）在［0,七］上單調(diào)遞減，

由I"%）-/（々）|＞k（%）一（工2）|，

可得（凡）＞g&）-g（動,

所以，&）一8（石）一"（電）-g（x）］＞o,

令M（x）=/（x）-g（x）,x€（0,9）,

可得MG)單調(diào)遞減,

所以“(力=竺=1一奴+工=叵」K=竺Uo在［。，9］上恒成立,

x2bx\"J

,2b

即1-2紜;20在上恒成立，即卜刀=30,

yja

所以b^^-,b-a￡^--a=-4a--+—<—,

22I4j1616

所以6a的最大值;

16

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分類討論分析函數(shù)單調(diào)性的問題，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式以及構(gòu)造函數(shù)分析函數(shù)的最

值解決恒成立的問題.需要根據(jù)題意結(jié)合定義域與單調(diào)性分析函數(shù)的取值范圍與最值等.屬于難題.

18.(I)詳見解析；(H)逑.

9

【解析】

(1)根據(jù)或，64,GELGF,可得G￡_L平面G4/7,故而平面GEF，平面GA/.

(II)過戶作EHLAG于H,則可證平面G4E,故NFG/7為所求角，在AAGE中利用余弦定理計(jì)算

cosZFGH,再計(jì)算sinNFG//.

【詳解】

解：（I）因?yàn)镚EJ_G4,GELGF,GEC］GF=G,GE1平面GAF,GEu平面GA/7

所以GEL平面G4E,

又GEi平面GEF,

所以平面GEF±平面GAF；

(U)過戶作FHLAG于H,則由GE_L平面G4F,且FHu平面G4F知

GE1FH,所以平面G4E,從而NFG”是直線GF與平面GAE所成角.

3

因?yàn)锳G=3,FG=—,AF

2

c973

G4+G尸-A尸44=7

所以cosNAGF=

2GAGF2-3--§

2

從而sinNFGH=sinZAGF=Vl-cos2ZAGF=-.

【點(diǎn)睛】

本題考查了面面垂直的判定，考查直線與平面所成角的計(jì)算，屬于中檔題.

19.(1)證明見解析(2)叵

11

【解析】

(1)由ZBAB,=NBBiA,故AB=BB1,所以四邊形4ABB,為菱形，再通過NCO4NCOB,證得AO=80,

所以四邊形為正方形，得到AB1A4,.

ABB{AX

一m-AA.=0,

(2)根據(jù)(1)的論證，建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)平面AACG的法向量為用=(%乂z),由J八求得，再由

OD=72,--,--^,利用線面角的向量法公式求解.

【詳解】

(1)因?yàn)锳,故48=84，

所以四邊形為菱形，

而CO平面4,故ZCOA=ZCOB=90°.

因?yàn)镃O=CO,C4=C8,故△COgACOB,

故AO=3O,即四邊形A88同為正方形，故ABLAA,.

(2)依題意，CO,OA,CO，Q4.在正方形4ABg中，0A.10A,

故以。為原點(diǎn)，。4，。4。。所在直線分別為》、y、z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

如圖所示:

不紡設(shè)AB=2,

則0（0,0,0）,A（夜,0,0）,A（0,衣0）,C（0,0,0）,G（夜,一夜,72）,

又因?yàn)闅v=西+：而'，所以0

所以扁=（-V2,V2,0）,AC=（0,-72,正）.

設(shè)平面4ACG的法向量為m=（x,y,z）,

則篇.前=0「

-y/Q,X+—0,

即—岳+岳=0「

令x=l,則y=l,z=l.于是,〃=（1,1,1）.

又因?yàn)闅v=（"-坐,坐］,

I33J

設(shè)直線OD與平面AACG所成角為e,

則sine=1cos<m,OD}|=AB=叵,

\m\\OD\11

所以直線on與平面AACG所成角的正弦值為普.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間線面的位置關(guān)系、線面成角，還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

4=紅

20.(1)(2)3+—

33

【解析】

(1)根據(jù)三角形面積公式及平面向量數(shù)量積定義代入公式，即可求得tanA,進(jìn)而求得A的值；

(2)根據(jù)正弦定理將邊化為角，結(jié)合(1)中A的值，即可將表達(dá)式化為B的三角函數(shù)式；結(jié)合正弦和角公式與輔助

角公式化簡，即可求得3和C,進(jìn)而由正弦定理確定a:6:c,代入整式即可求解.

【詳解】

(1)因?yàn)樵?=福?目，

3

所以由三角形面積公式及平面向量數(shù)量積運(yùn)算可得

-^Z?csinA=becos(萬一A)=-hecosA,

所以tanA=—V3?

因?yàn)?<A<?,

所以A=W.

3

(2)因?yàn)镚(6+c)=2a,

所以由正弦定理代入化簡可得后(sinB+sinC)=2sinA=g,

由(1)A=—,代入可得GsinB+sinfB+—|=G,

3LI3)\

J31

展開化簡可得—sinBH-----cosB=J5,

[22,

根據(jù)輔助角公式化簡可得sin(B+?]=1.

因?yàn)?<8〈三，所以B=m，所以C=工，

366

所以AA8c為等腰三角形，且a:人：c=sinA:sin6:sinC=6：1:1,

二加c2c6百.26

所以一+—+—=3+—+—=3+—^-.

beacab333

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，正弦和角公式及輔助角

公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

21.(1)1；(2)見解析

【解析】

(1)分別求得/(X)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求得，〃的值;

(2)由(1)可知當(dāng)x〉0時，ln(l+x)<x,當(dāng)0cx時，sinx<x,因而

sinl,sin^—,sin^—sin----——N\n>2),構(gòu)造

1x22x3(〃一l)x〃'7

1,1)l+sin--1―,由對數(shù)運(yùn)算及不等式放縮可證明

In(1+sinl)l+sinl+sin----

1^22x3j(〃一J

l+sin~~1—=2--<2,從而不等式可證明.

In(1+sinl)l+sinl+sin—7

1x22x3(〃一l)x拉Jn

【詳解】

(1)?.?函數(shù)”X)在(0，+8)上單調(diào)遞減，

/'(X)=W-14°，即加W1+X在(0,+8)上恒成立,

m￡1,

又；函數(shù)g(x)在能上單調(diào)遞增,

/.g,(x)=zn-cosx>0,即mNco&x在期々上恒成立，m>l,

.,.綜上可知，m-\.

(2)證明：由(1)知，當(dāng)加=1時,函數(shù)/(x)=ln(l+x)—x在(0,+8)上為減函數(shù),

g(x)=x—siru^j,g上為增函數(shù)，而/⑼=0,g(0)=0,

???當(dāng)x>0時，ln(l+x)<x,當(dāng)0cxv]時，sinr<x.

?sinl,sin」一，sin」一,...，sin]

1x22x3(71-1)XW

In(1+sinl)(l+sin1.I)1

l+sin----...l+sin

2x3)

1+lnl+sin-^1____

ln(14-sinl)+ln1+sin