專題2.5 二次根式的乘除【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）

專題2.5二次根式的乘除【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二次根式乘除法法則成立的條件】 1【題型2二次根式的乘除混合運算】 3【題型3把根號外的因數(shù)（式）移到根號內(nèi)】 6【題型4判斷最簡二次根式】 8【題型5化為最簡二次根式】 9【題型6根據(jù)最簡二次根式的概念求值】 11【題型7分母有理化及其應用】 13【題型8比較二次根式的大小】 15【題型9應用二次根式的乘除運算解決實際問題】 17【題型10二次根式乘除法中的新情境題】 19【知識點1二次根式的乘除法則】①二次根式的乘法法則：a?②積的算術平方根：a?b=③二次根式的除法法則：ab④商的算術平方根：ab【題型1二次根式乘除法法則成立的條件】【例1】（2023·上海閔行·八年級?？计谥校┤绻鷶?shù)式2m-1m-4=2m-1m-4，那么m的取值范圍是_____________【答案】m＞4.【分析】根據(jù)二次根式除法法則和分式有意義的條件，列出不等式組即可解答.【詳解】∵2m-1∴2m-1≥0，m-4＞0，解得：m＞4，故答案為m＞4.【點睛】此題考查二次根式的乘除法，解題關鍵在于掌握運算法則.【變式1-1】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級烏魯木齊市第六十八中學?？计谀┤?x-2)(3-x)=x-2?3-x成立．則A．x≤3 B．x≥2 C．2<x<3 D．2≤x≤3【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的意義得到x-2≥0，3-x≥0，從而求出x的范圍．【詳解】解：∵(x-2)(3-x)=∴x-2≥0，3-x≥0，∴x≥2，x≤3，∴2≤x≤3，故選D．【點睛】本題主要考查對二次根式的定義，二次根式的乘法等知識點的理解和掌握，能根據(jù)法則得出x-2≥0和3-x≥0是解此題的關鍵．【變式1-2】（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期中）等式x-3x+1=x-3x+1成立的A．B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出x的范圍．【詳解】由題意可知：x-3≥0x+1>0解得：x?3,故選：B．【點睛】考查二次根式的意義，解題的關鍵是熟練運用二次根式有意義的條件.【變式1-3】（2023春·遼寧朝陽·八年級統(tǒng)考期中）若等式2x2-x3【答案】0?x?2．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和絕對值法則列不等式即可求出答案．【詳解】解：∵2x2∴|x|2-x=x2-x∴x?02-x?0解得：0?x?2；故答案為：0?x?2．【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，絕對值法則，解題的關鍵是正確理解二次根式有意義的條件和絕對值的法則列不等式．【題型2二次根式的乘除混合運算】【例2】（2023春·八年級上海市進才實驗中學?？计谥校┯嬎?（1）345（2）32（3）8【答案】（1）206；（2）-154；（【分析】（1）根據(jù)二次根式乘除法法則計算即可；（2）根據(jù)二次根式乘除法法則計算即可；（3）根據(jù)二次根式乘除法法則計算即可．【詳解】（1）原式=3×=2×100×6（2）原式3×(-1（3）原式=4a【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，主要考查學生的化簡能力，題目比較典型，但是一道比較容易出錯的題目．【變式2-1】（2023春·福建龍巖·八年級校聯(lián)考期中）計算(1)-(2)(【答案】(1)-(2)6+2【分析】（1）先計算括號里的乘法運算，相除化簡即可得到結果；（2）運用完全平方公式、平方差公式化簡，計算即可得到結果．【詳解】（1）解原式＝-4＝-4＝-6（2）解原式=7=7+2=6+2【點睛】本題考查了二次根式的混合運算、完全平方公式、平方差公式等相關知識，解題關鍵是熟練掌握運算法則．【變式2-2】（2023春·上海黃浦·八年級上海外國語大學附屬大境初級中學?？计谥校┯嬎悖?12【答案】-2【分析】根據(jù)二次根式的乘除運算法則進行計算即可．【詳解】解：3===-22根據(jù)12x與3xy得：∴原式=-2【點睛】本題考查了二次根式的乘除混合運算，掌握二次根式的乘除運算法則是關鍵，最后二次根式要化成最簡二次根式．【變式2-3】（2023春·黑龍江雞西·八年級統(tǒng)考期中）（1）計算：2-（2）下面是王鑫同學進行實數(shù)運算的過程，認真閱讀并完成相應的問題：9=92=32=32=92①以上化簡步驟中第一步化簡的依據(jù)是：______；②第______步開始出現(xiàn)錯誤，請寫出錯誤的原因______；③該運算正確結果應是______.【答案】（1）-7+42；（2）①商的算術平方根，等于算術平方根的商或ab=ab（a≥b，b>0）；【分析】（1）根據(jù)平方差公式，完全平方公式化簡計算即可．（2）①根據(jù)二次根式的性質(zhì)：ab=ab（②括號前是負號，去掉括號后第二項沒有變號．③根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運算法則，正確運算即可．【詳解】（1）2-5（2）①化簡步驟中第一化簡的依據(jù)為ab=ab（故答案為：ab=ab（②第二步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因為：括號前是負號，去掉括號后第二項沒有變號；故答案為：二，括號前是負號，去掉括號后第二項沒有變號；③9====-33該運算正確結果應是-33故答案為：-33【點睛】本題考查了二次根式的混合運算和性質(zhì)，熟練掌握二次根式運算的法則是解題的關鍵．【題型3把根號外的因數(shù)（式）移到根號內(nèi)】【例3】（2023春·全國·八年級專題練習）把2-x1x-2的根號外因式移到根號內(nèi)得【答案】-【分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)是非負數(shù)且分式分母不為零，將根號外的因式轉(zhuǎn)化成正數(shù)形式，然后進行計算，化簡求值即可．【詳解】解：∵1x-2∴x-2>0；2-x=-(x-2)1=-(x-2)=-(x-2)(x-2)=-x-2故答案為：-【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)和二次根式計算，靈活運用二次根式的性質(zhì)是解題關鍵．【變式3-1】（2023春·山東·八年級統(tǒng)考期中）若把﹣43根號外的因式移到根號內(nèi)，得（）A．12 B．﹣12 C．﹣48 D．48【答案】C【分析】把4寫成16的形式，利用二次根式的乘法法則即可得到．【詳解】解：﹣43＝﹣16×3＝﹣48故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的乘法法則，以及二次根式的化簡，解題的關鍵是避免出現(xiàn)符號錯誤的問題．【變式3-2】（2023春·江蘇南通·八年級階段練習）把-a-1aA．-a B．-a C．--a D【答案】A【詳解】試題分析：因為-a-1a有意義，所以a＜0，所以-a考點：二次根式的化簡．【變式3-3】（2023春·河北唐山·八年級?？计谀┌严铝懈柾獾囊蚴揭频礁杻?nèi).(1)a1a(2)xyx-y·x2-(3)ab1a-1b(0<【答案】（1）a;（2）xy;（3）ab【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件可知a>0，利用二次根式的乘法法則化簡；（2）(3)利用二次根式的乘法法則求解即可．【詳解】(1)

∵1a>0,∴a>0,a=a2,∴a1a(2)

∵x>y>0,∴x-y>0,xy>0,即xyx∴xyx∴xyx-y·x(3)

∵0<a<b,∴ab>0,b-a＞0,∴ab=(ab∴ab1a-1【點睛】本題考查了二次根式的化簡，正確確定a、b和x的范圍是關鍵．【知識點2最簡二次根式】我們把滿足①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式這兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．【題型4判斷最簡二次根式】【例4】（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期中）在二次根式①a2+b2②x5

③x2A．①② B．③④ C．①③ D．①④【答案】C【分析】判斷一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【詳解】①a2②x5③x2④27abc=3①③是最簡二次根式．故選C．【點睛】本題考查了最簡二次根式的定義．根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．【變式4-1】（2023春·湖南益陽·八年級統(tǒng)考期末）下列式子中，為最簡二次根式的是()A．12 B．2 C．8 D．【答案】B【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，判斷即可．【詳解】解：A.原式=22，故B.2是最簡二次根式，故B符合題意．C.原式=22，故CD.原式=3，故D不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查最簡二次根式，解題的關鍵是正確理解最簡二次根式，本題屬于基礎題型．【變式4-2】（2023春·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）如果x-3是最簡二次根式，則x的值可能是（

）A．11 B．13 C．21 D．27【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方式非負，列出不等式得到解集后，再由最簡二次根式定義代值逐項驗證即可得到答案．【詳解】解：∵x-3是二次根式，∴x-3≥0，解得x≥3，A、當x=11時，x-3=8=2B、當x=13時，x-3=10，確定C、當x=21時，x-3=18=3D、當x=27時，x-3=24=2故選：B．【點睛】本題考查二次根式有意義的條件及最簡二次根式定義，熟練掌握最簡二次根式的定義是解決問題的關鍵．【變式4-3】（2023春·安徽銅陵·八年級統(tǒng)考期末）對于二次根式x2+9，以下說法不正確的是（A．它是一個無理數(shù) B．它是一個正數(shù) C．它是最簡二次根式 D．它有最小值為3【答案】A【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義：被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)不含開的盡的因數(shù)或因式，可得答案．【詳解】x2+9是一個非負數(shù)，是最簡二次根式，最小值是當時x=0，x2+9是有理數(shù)，故故選A.【點睛】考查了最簡二次根式，利用最簡二次根式的性質(zhì)是解題關鍵．【題型5化為最簡二次根式】【例5】（2023春·全國·八年級專題練習）下列各組二次根式化成最簡二次根式后的被開方數(shù)完全相同的是(

)A．a(chǎn)b與ab2 B．mnC．m2+n2與m2【答案】D【分析】利用二次根式的性質(zhì)將選項中的二次根式化成最簡二次根式然后比較被開方數(shù)即可．【詳解】解：A、ab2=B、1m+1C、m2+nD、4a3b2=2aba故選D．【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡，將選項中的二次根式化成最簡二次根式是解決此題的關鍵．【變式5-1】（2023春·重慶·八年級統(tǒng)考期末）把2015化成最簡二次根式的結果是_____【答案】2【分析】根據(jù)二次根式的除法法則可得2015=20【詳解】2015＝20故答案為：2【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和最簡二次根式，關鍵是理解最簡二次根式的定義和能化成最簡二次根式，最簡二次根式定義滿足下列條件的二次根式，叫做最簡二次根式：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有能開的盡方的因式或因數(shù)．【變式5-2】（2023春·浙江杭州·八年級期末）設2=a，3=b，用含a,b的代數(shù)式表示0.54，結果為【答案】3ab【分析】將0.54化簡后，代入a，b即可．【詳解】解：0.54=∵2=a，3∴0.54故答案為：3ab10【點睛】本題考查了二次根式的乘除法法則的應用，解題的關鍵是將0.54化簡變形，本題屬于中等題型．【變式5-3】（2023春·八年級單元測試）把下列根式化成最簡二次根式．（1）5（2）6（3）50（4）n【答案】（1）103；（2）362；（3）5a2b；（【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案；（2）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案；（3）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案；（4）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．【詳解】解：（1）512（2）63（3）50=5a2b（4）n==-1【點睛】此題主要考查了二次根式的化簡，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關鍵，二次根式開出來的數(shù)一定為非負數(shù)．【題型6根據(jù)最簡二次根式的概念求值】【例6】（2023春·全國·八年級專題練習）若2m+3和32m-n+1都是最簡二次根式，則m+n＝【答案】﹣6．【分析】由于二次根式都是最簡二次根式，因此被開方數(shù)的冪指數(shù)均為1，由此可得出關于m、n的方程組，可求出m、n的值．【詳解】由題意可得：m+3=1解得：m=-2∴m+n＝﹣6故答案：﹣6．【點睛】本題考查了最簡二次根式的定義，當已知一個二次根式是最簡二次根式時，那么被開方數(shù)（或因式）的冪指數(shù)必為1．【變式6-1】（2023春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期中）24化簡后與最簡二次根式5a+1的被開方數(shù)相等，則a=【答案】5【分析】本題先將24化簡為最簡二次根式，繼而利用題干信息“被開方數(shù)相同”列方程求解．【詳解】24=26，其中被開方數(shù)為6；5a+1的被開方數(shù)為故有：a+1=6，則a=5．故答案為：5．【點睛】本題考查最簡二次根式的化簡以及對二次根式概念的理解，需注意化簡原則為被開方數(shù)不含分母,也不含能開的盡方的因數(shù)或因式．【變式6-2】（2023春·全國·八年級專題練習）若a是正整數(shù)，3a+6是最簡二次根式，則a的最小值為______.【答案】3【分析】直接利用最簡二次根式的定義進行分析即可得.【詳解】∵a是正整數(shù)，3a+6是最簡二次根式，∴3a+6=3a+2∵a為1時，3a+2=3，a為2時，3a+2=2a為3時，3a+2=15∴a最小為3，故答案為：3.【點睛】本題考查了最簡二次根式，正確把握最簡二次根式的定義是解題的關鍵.【變式6-3】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）我們把形如ax+b（a，b為有理數(shù)，x為最簡二次根式）的數(shù)叫做x型無理數(shù)，如3x+1是x型無理數(shù)，則(2A．2型無理數(shù) B．5型無理數(shù) C．10型無理數(shù) D．20型無理數(shù)【答案】B【分析】先利用完全平方公式計算，再化簡得到原式=12+45【詳解】解：(2所以(2+10故選：B．【點睛】本題考查了最簡二次根式：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．也考查了無理數(shù)．【知識點3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根號化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式；②兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．一個二次根式的有理化因式不止一個．【題型7分母有理化及其應用】【例7】（2023春·四川巴中·八年級校聯(lián)考期中）閱讀下列材料，然后回答問題：在進行二次根式運算時，我們有時會碰上如23、23+123以上這種化簡過程叫做分母有理化．2323+1=3-13+1=(3)2請任用其中一種方法化簡：①215-3；②【答案】①15+3②23【分析】（1）根據(jù)題意分子分母同時乘以15+（2）根據(jù)題意分子分母同時乘以23-【詳解】解：①215-3=2（②523+7=【點睛】分母有理化是本題的考點，能夠運用平方差公式把分母中的根號去掉是解題的關鍵.【變式7-1】（2023春·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）分母有理化:13【答案】2-【分析】3+2的有理化因式為：3-2，故將分子分母同時乘3【詳解】1故答案為2-【點睛】此題考查的是分母有理化，找出分母的有理化因式是解決此題的關鍵.【變式7-2】（2023春·八年級單元測試）下列各組中互為有理化因式的是（

）A．a(chǎn)+b與-b-aC．2a+3與3-2a【答案】C【分析】根據(jù)有理化因式的定義判斷即可.【詳解】A.a+b-b-a=B.2-aa-2=-aC.2a+33-2a=D.a·2a=2a,不符合題意故選C.【點睛】本題考查有理化因式得定義,關鍵在于掌握定義化簡判斷.【變式7-3】（2023春·河南開封·八年級統(tǒng)考階段練習）【閱讀材料】像5+25-2=1、a?a=aa≥0、b+1b-1=b-1b≥0兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如，【解決問題】（1）填空：7-3的有理化因式為（2）化簡：12-（3）已知正整數(shù)a，b滿足a2-1-b2【答案】（1）7+3；（2）2-23；（3）a=3，【分析】（1）根據(jù)題意，理解有理化因式的概念，即可求解；（2）對式子分別進行有理化，然后運算求解即可；（3）對式子分別進行有理化，對應系數(shù)相等，列二元一次方程組，即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)有理化因式的概念可得：7-3的有理化因式為（2）1（3）對a2(2+1)a-可得：a-12所以，a=3，b=10【點睛】此題考查了二次根式的分母有理化，理解題意掌握二次根式分母有理化的方法是解題的關鍵．【題型8比較二次根式的大小】【例8】（2023·全國·八年級專題練習）比較大?。?-3______【答案】＞【分析】先求出5-3與【詳解】∵11而7+∴5-3故答案為：＞．【點睛】本題考查了實數(shù)大小比較：利用平方法或倒數(shù)法進行比較大?。咀兪?-1】（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）若a=2020×2022-2020×2021,b=20232-4×2022,c=20212+1，則aA．c>b>a B．c>a>b C．b>a>c D．b>c>a【答案】A【分析】分別將a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性質(zhì)化簡后對平方進行比較得出結論．【詳解】解：∵a=2020×2022-2020×2021=2020×2022-2021∴a2∵b=20232-4×2022∴b2c2∵20202<2021∵a、b、c都是大于0的實數(shù)，∴c>b>a，故選：A．【點睛】本題考查了完全平方公式、二次根式大小的比較等知識點，利用完全平方公式計算出值，是解決本題的關鍵．【變式8-2】（2023春·全國·八年級專題練習）計算：（1）比較15-14和（2）求y=x+1【答案】（1）15-14<14【分析】（1）分子有理化，將15-14即15-141分子分母同時乘以15+14將15-14轉(zhuǎn)化為115（2）分子有理化，將x+1-x-1即x+1-x-11分子分母同時乘以x+1+x-1轉(zhuǎn)化為2x+1+x-1，當x=1時，分母x+1+【詳解】（1）15-14-而15>∴15∴15（2）∵x+1≥0，x-1≥∴x≥1，∵y=x+1-x-1當x=1時，分母x+1+x-1有最小值∴y=2x+1+【點睛】本題主要考查二次根式有意義的條件以及分子有理化在二次根式中的應用，此類問題掌握分子、分母有理化的方法是解題關鍵．【變式8-3】（2023·全國·八年級專題練習）先觀察解題過程，再解決以下問題：比較3-2與解：(3-23-2=13+（1）比較4-3與（2）試比較n+1-n與【答案】（1）4-3＜3-2；（2【分析】（1）根據(jù)示例中的方法，把4-3與3-（2）根據(jù)示例中的方法，把n+1-n與n-【詳解】（1）∵(4-3∴4-3=又∵4+∴14+3＜13+（2）∵(n+1-n)(n+1+n)=1，(n∴n+1-n=又∵n+1+n＞∴1n+1+n＜1n+【點睛】本題主要考查了實數(shù)的大小比較，掌握二次根式的運算法則，把二次根式化為分子為1的數(shù)或式子，是解題的關鍵．【題型9應用二次根式的乘除運算解決實際問題】【例9】（2023春·八年級課時練習）站在豎直高度hm的地方，看見的水平距離是dm，它們近似地符合公式d=8h5.某一登山者登上海拔2000m的山頂，那么他看到的水平距離是________【答案】160【分析】把h=2000代入公式d=8h5【詳解】解：把h=2000代入公式d=8hd=8所以答案是：160.【點睛】本題考查了二次根式的計算.熟練掌握二次根式的性質(zhì)是運算的關鍵.【變式9-1】（2023春·八年級單元測試）站在水平高度為h米的地方看到可見的水平距離為d米，它們近似地符號公式為d=8h5，某一登山者從海拔h米處登上海拔【答案】2【分析】由題意知d和h的關系式，則由海拔h米處登上海拔2h【詳解】解：登山者看到的原水平線的距離為d1=8h5，現(xiàn)在的水平線的距離為d2【變式9-2】（2023春·浙江·八年級專題練習）“欲窮千里目，更上一層樓”，說的是登得高看得遠．如圖，若觀測點的高度為h，觀測者視線能達到的最遠距離為d，則d≈2hR，其中R是地球半徑，約等于6400km．小麗站在海邊的一塊巖石上，眼睛離海平面的高度h為0.02km，她觀測到遠處一艘船剛露出海平面，求【答案】16【分析】根據(jù)d≈2hR，R≈6400km【詳解】解：根據(jù)題意得，d≈2hR，R≈6400km∴d≈2故答案是：16．【點睛】本題主要考查的是代數(shù)式的求值計算，理解代數(shù)式中相應字母的值是解題的關鍵．【變式9-3】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）已知一個長方體木塊放在在水平的桌面上，木塊的長、寬、高分別是a、b、ca>b>c>0，若木塊對桌面的最大壓強為p1，最小壓強為p2，則p1【答案】ac【分析】先分別求解最大壓強與最小壓強，再列式計算即可．【詳解】解：如圖，a>b>c，∴a∴ab>∵最大壓強是前面向下放置，∴p1∵最小壓強是面積最大的面向下，∴p2∴p1故答案為：acc【點睛】本題考查的是二次根式的乘除混合運算的實際應用，屬于跨學科的題，熟記公式與二次根式的除法運算是解本題的關鍵．【題型10二次根式乘除法中的新情境題】【例10】（2023春·八年級課時練習）老師在復習“二次根式”時，在黑板上寫出下面的一道題作為練習：已知7=a，70=b，用含a，b的代數(shù)式表示小豪：4.9=小麥：4.9=因為0.1=110老師看罷，提出下面的問題：(1)兩位同學的解法都正確嗎？(2)請你說明理由．【答案】(1)都正確(2)見解析【分析】（1）仔細閱讀兩同學的解題過程，然后判斷；（2）證明兩人所得結果可以互相轉(zhuǎn)換即可．(1)解：都正確．(2)解：理由如下：觀察兩位同學的解答過程可知，均符合二次根式運算法則，所得結果可以互相轉(zhuǎn)換，ab10【點睛】本題考查了二次根式的乘除法，靈活運用二次根式運算法則是解題的關鍵．【變式10-1】（2023春·福建泉州·八年級校聯(lián)考期中）請閱讀材料，并解決實際問題：海倫—秦九韶公式：海倫（約公元50年），古希臘幾何學家，在數(shù)學史上以解決幾何測量問題聞名，在他的著作《度量》一書中證明了一個利用三角形的三條邊