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考點(diǎn)02一元二次方程的6大解法1,直接開平方法的方法如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方,另一邊是非負(fù)數(shù),可以直接開平方。一般地,對(duì)于形如x2=a(a≥0)的方程,根據(jù)平方根的定義可解得x1=,x2=.直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接開平方法。用直接開平方法求一元二次方程的根,要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì),即正數(shù)的平方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù);零的平方根是零;負(fù)數(shù)沒有平方根。直接開平方法解一元二次方程的步驟是:①移項(xiàng);②使二次項(xiàng)系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項(xiàng)的系數(shù)為1;③兩邊直接開平方,使原方程變?yōu)閮蓚€(gè)一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。2,配方法的用法1、配方法的一般步驟可以總結(jié)為:一移、二除、三配、四開;2、把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊;3、方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù);4、方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,把左邊配成完全平方式;5、若等號(hào)右邊為非負(fù)數(shù),直接開平方求出方程的解。3,公式法的用法一般地,對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的兩個(gè)根為x=,這個(gè)公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c的值直接求得方程的解,這種解方程的方法叫做公式法。一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過(guò)程。公式法解一元二次方程的具體步驟:方程化為一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),一般a化為正值確定公式中a,b,c的值,注意符號(hào);求出b2-4ac的值;若b2-4ac≥0,則把a(bǔ),b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,若b2-4ac<0,則方程無(wú)實(shí)數(shù)根。4,因式分解法的用法1.用因式分解法解一元二次方程的步驟(1)將方程右邊化為0;(2)將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積;(3)令這兩個(gè)一次式分別為0,得到兩個(gè)一元一次方程;(4)解這兩個(gè)一元一次方程,它們的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法,公式法(平方差公式、完全平方公式),十字相乘法等.特別說(shuō)明:(1)能用分解因式法來(lái)解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn):方程的一邊是0,另一邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積;(2)用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù):兩個(gè)因式的積為0,那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0;(3)用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn):①必須將方程的右邊化為0;②方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式;(4)解一元二次方程時(shí)如果能用因式分解法進(jìn)行解題,它是首選。5,換元法的用法1、解數(shù)學(xué)題時(shí),把某個(gè)式子看成一個(gè)整體,用一個(gè)變量去代替它,從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化,這叫換元法.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對(duì)象,將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,變得容易處理.2、我們常用的是整體換元法,是在已知或者未知中,某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn),而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題,當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn).把一些形式復(fù)雜的方程通過(guò)換元的方法變成一元二次方程,從而達(dá)到降次的目的.,6,十字相乘法的用法十字相乘法,形如x2+(a+b)x+ab=0的一元二次方程可變形為(x+a)(x+b)=0.例如x2+5x+6=0解:(x+2)(x+3)=0,解得x1=-2,x2=-3.用十字相乘法解一元二次方程X2x3步驟:①因式分解豎直寫;3x+2x=5x②交叉相乘驗(yàn)中項(xiàng);(x+2)(x+3)=0③橫向?qū)懗鰞梢蚴???键c(diǎn)1直接開平方法考點(diǎn)2配方法考點(diǎn)3公式法考點(diǎn)4因式分解法考點(diǎn)5換元法考點(diǎn)6十字相乘法考點(diǎn)1直接開平方法1.(2023春·海南??凇ぐ四昙?jí)海師附中??计谀┙夥匠?1)(2)2.(2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí))解方程:.3.(2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí))解方程:(1);(2)4.(2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí))解方程.考點(diǎn)2配方法5.(2023春·安徽蚌埠·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))用配方法解方程:.6.(2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí))解方程:(配方法).7.(2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí))解方程:(配方法).8.(2023春·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期中)配方法解方程.考點(diǎn)3公式法9.(2021秋·廣東深圳·九年級(jí)深圳市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)10.(2023春·廣西梧州·八年級(jí)統(tǒng)考期末)解方程:11.(2019秋·廣東中山·九年級(jí)校考開學(xué)考試)用公式法解一元二次方程:.12.(2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末)用公式法解方程:.考點(diǎn)4因式分解法13.(2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末)解方程:.14.(2022秋·湖南邵陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中)解下列方程:(1);(2).15.(2023春·安徽亳州·八年級(jí)校考期中)解方程:(1);(2).16.(2023春·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期中)解方程:.考點(diǎn)5換元法17.(2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè))已知,求的值.18.(2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè))閱讀下面的材料:解方程這是一個(gè)一元四次方程,根據(jù)該方程的特點(diǎn),它的解法通常是:設(shè),則,∴原方程可化為,解得,,當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,.∴原方程有四個(gè)根是,,,.以上方法叫換元法,達(dá)到了降次的目的,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.運(yùn)用上述方法解答下列問(wèn)題:(1)解方程:;(2)已知實(shí)數(shù),滿足,試求的值.19.(2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))解方程:(1)配方法:;(2).20.(2023·青海·統(tǒng)考一模)提出問(wèn)題為解方程,我們可以將視為一個(gè)整體,然后可設(shè),則,于是原方程可轉(zhuǎn)化為,解此方程,得,.當(dāng)時(shí),,,∴;當(dāng)時(shí),,,∴.∴原方程的解為,,,.以上方法就是換元法解方程,從而達(dá)到了降次的目的,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.解決問(wèn)題(1)運(yùn)用上述換元法解方程.延伸拓展(2)已知實(shí)數(shù)m,n滿足,求的值.考點(diǎn)6十字相乘法21.(2023春

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