三角函數(shù)分析(戴立德)

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)4

必修A版第一章三角函數(shù)

牡丹江市第十五中學(xué)戴立德1一、總體介紹

函數(shù)是刻畫(huà)客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律應(yīng)當(dāng)用不同的函數(shù)來(lái)刻畫(huà)。三角函數(shù)是描述客觀世界中周期變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要作用，它是學(xué)生在高中階段學(xué)習(xí)的又一類(lèi)重要的基本初等函數(shù)。本章中，學(xué)生將在數(shù)學(xué)1中學(xué)習(xí)函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會(huì)三角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律的問(wèn)題中的作用。

2二、本章內(nèi)容的地位作用31．通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以加深對(duì)數(shù)學(xué)與實(shí)踐關(guān)系的認(rèn)識(shí)

三角函數(shù)是描述客觀世界中周期變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，周期變化現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)中大量存在，如音樂(lè)的旋律、波浪、晝夜的交替、潮汐、鐘擺的運(yùn)動(dòng)、交流電等，這些現(xiàn)象都可以用三角函數(shù)來(lái)描述。實(shí)際上，三角函數(shù)的產(chǎn)生、發(fā)展與解決具有周期性變化規(guī)律的問(wèn)題的需要密切相關(guān)。因此三角函數(shù)的學(xué)習(xí)能使學(xué)生加深認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與實(shí)踐的緊密聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的作用與價(jià)值，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看待和處理日常生活以及其他學(xué)科的問(wèn)題的方法。42．通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系性，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)研究的方法

本章中，學(xué)生將在數(shù)學(xué)1中學(xué)習(xí)函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會(huì)三角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律的問(wèn)題中的作用。三角函數(shù)與數(shù)學(xué)1中的函數(shù)概念有著特殊與一般的關(guān)系，三角函數(shù)的研究以一般函數(shù)概念及其研究方法為指導(dǎo)，同時(shí)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)可以加深對(duì)函數(shù)概念的理解，提高用函數(shù)思想解決問(wèn)題的能力，因此，在這部分教學(xué)中應(yīng)貫穿函數(shù)的思想。同時(shí)，三角函數(shù)及其性質(zhì)與圓及其性質(zhì)有著直接的聯(lián)系，三角函數(shù)的研究很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。在三角函數(shù)的研究中，借助單位圓進(jìn)行幾何直觀是非常重要的手段，而且這也是使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合地思考和解決問(wèn)題的好機(jī)會(huì)。

5三、教材編寫(xiě)中考慮的幾個(gè)問(wèn)題本章內(nèi)容屬于“傳統(tǒng)內(nèi)容”。與以往的教科書(shū)相比較，本章節(jié)在內(nèi)容、要求以及處理方法上都有新的變化。61．以基本概念為主干內(nèi)容貫穿本章，削枝強(qiáng)干，建立合理知識(shí)體系。“課標(biāo)”設(shè)定的本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)是：通過(guò)實(shí)例，學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其性質(zhì)，體會(huì)三角函數(shù)在解決具有周期性變化規(guī)律的問(wèn)題中的作用。根據(jù)上述學(xué)習(xí)目標(biāo)，教科書(shū)的編寫(xiě)中，編者特別注意突出主干內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)模型思想、數(shù)形結(jié)合思想。本章突出了三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型這一本質(zhì)。即通過(guò)現(xiàn)實(shí)世界的周期現(xiàn)象，在學(xué)生感受引入三角函數(shù)必要性的基礎(chǔ)上，引出三角函數(shù)概念，研究三角函數(shù)的基本性質(zhì)，并用三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題。突出強(qiáng)調(diào)主干，刪除了任意角的余切、正割、余割，已知三角函數(shù)值求角以及反三角函數(shù)符號(hào)等內(nèi)容；任意角、弧度制概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、周期函數(shù)與最小正周期、三角函數(shù)的奇偶性等內(nèi)容都降低了要求。72．強(qiáng)調(diào)聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)思想性，加強(qiáng)思維能力的培養(yǎng)在討論三角函數(shù)及其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)常提醒學(xué)生注意用數(shù)學(xué)1中獲得的一般函數(shù)概念及其思想方法作指導(dǎo)。例如，教科書(shū)上有這樣的話：“遇到一個(gè)新函數(shù)，非常自然的是畫(huà)出它的圖像，觀察圖像的形狀，看看有沒(méi)有特殊點(diǎn)，并借助于圖像研究一下它的性質(zhì)，如：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、最大值、最小值等。特別的，三角函數(shù)具有‘周而復(fù)始’的特性到底應(yīng)當(dāng)如何描述？”這段話實(shí)際上是提示學(xué)生，在思考三角函數(shù)性質(zhì)到底研究的是那些問(wèn)題以及應(yīng)當(dāng)如何研究時(shí)，應(yīng)當(dāng)與自己在數(shù)學(xué)1中建立的關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的已有經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)，這樣從感情上讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是自然的，不是強(qiáng)加于人的，學(xué)生感受到聯(lián)系的知識(shí)是最有用的，同時(shí)，很自然地以問(wèn)題為核心，從思想方法上對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容和方法水到渠成的引導(dǎo)到位。

83．加強(qiáng)幾何直觀，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想本章的內(nèi)容為加強(qiáng)幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想方法研究數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了很好的條件，同時(shí)，幾何直觀對(duì)學(xué)生理解三角函數(shù)發(fā)揮了重要作用。本章特別強(qiáng)調(diào)了單位圓的直觀作用，借助于單位圓直觀的認(rèn)識(shí)任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式以及三角函數(shù)的圖像，借助三角函數(shù)的圖像理解三角函數(shù)在一個(gè)周期上的單調(diào)性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)性等性質(zhì)。94．改進(jìn)呈現(xiàn)方式，用恰時(shí)恰點(diǎn)的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思維，使學(xué)生得到思維練通過(guò)提供直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類(lèi)比、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維活動(dòng)為載體，達(dá)到體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育新理念，促使學(xué)生采取積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，引導(dǎo)教師改進(jìn)教學(xué)方式，提高教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高數(shù)學(xué)思維能力。基于上述想法，呈現(xiàn)方式上，盡量做到，在保證內(nèi)容體系的合理性、科學(xué)性的前提下，加強(qiáng)教科書(shū)的問(wèn)題性和思想性，在知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程中，利用“觀察”“思考”“探究”等欄目，提出恰時(shí)恰點(diǎn)的問(wèn)題，把數(shù)學(xué)概念的概括過(guò)程和數(shù)學(xué)思想方法的形成過(guò)程設(shè)計(jì)成為一系列問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地思維，這樣，可以使學(xué)生感到概念的發(fā)展和數(shù)學(xué)思想方法的形成是自然的，不是強(qiáng)加于人的。

105．恰當(dāng)使用信息技術(shù)

在本章，信息技術(shù)的使用在如下幾個(gè)方面得到體現(xiàn)：一是利用信息技術(shù)工具進(jìn)行角度制、弧度制的單位互換，求三角函數(shù)值，作函數(shù)圖像；二是利用信息技術(shù)研究問(wèn)題；三是利用“信息技術(shù)使用”欄目提供彈性內(nèi)容。使用信息技術(shù)要適度在本章，信息技術(shù)的使用11四、具體內(nèi)容分析1．1任意角和弧度制內(nèi)容：任意角和弧度制課時(shí)：約2課時(shí)課標(biāo)要求：了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化。12對(duì)教學(xué)的建議：

⑴課本第4頁(yè)中的思考框中有這樣的問(wèn)題：在直角坐標(biāo)系中，角的終邊繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)3600后回到原來(lái)的位置，因此，在直角坐標(biāo)系中討論角可以很好的表現(xiàn)角的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律。教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)這種變化規(guī)律，正是角的這種變化規(guī)律，才使得三角函數(shù)具有周期性，這樣到后面學(xué)習(xí)三角函數(shù)的周期性學(xué)生就不會(huì)感到不自然了。⑵弧度制中，強(qiáng)調(diào)在弧度下，角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣到后面學(xué)習(xí)三角函數(shù)的定義，學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的定義域是一些實(shí)數(shù)的集合就會(huì)感到很自然。⑶用計(jì)算器進(jìn)行角度與弧度的互換，要說(shuō)明一般情況下得到的是近似值。一般情況下知道互換公式，熟練進(jìn)行特殊角的互換就可以了。131．2任意角的三角函數(shù)內(nèi)容：任意角的三角函數(shù)課時(shí)：約3課時(shí)課標(biāo)要求：借助于單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2x+cos2x=1，14對(duì)教學(xué)的建議

⑴本教材是用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的意義。這樣定義可以使學(xué)生在三角函數(shù)學(xué)習(xí)之初就能感受到單位圓的重要性，反映數(shù)與形的關(guān)系更加直接，數(shù)形結(jié)合的更加緊密，為后續(xù)借助于單位圓的直觀討論三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，例如從定義可以方便的推導(dǎo)出同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式，而且為公式的記憶提供了圖形支持。大綱教材是用角的終邊上除原點(diǎn)以外任意一點(diǎn)的坐標(biāo)和點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的比值定義的，這樣定義可以反映從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的推廣，有利于引導(dǎo)學(xué)生從自己已有的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)學(xué)習(xí)三角函數(shù)。實(shí)際上按照現(xiàn)行教材定義到后面學(xué)習(xí)輔助角公式時(shí)，學(xué)生會(huì)感到不自然（當(dāng)然是按14523的順序?qū)W習(xí)，如果先學(xué)完2，再學(xué)習(xí)4，就沒(méi)有這種感覺(jué)了），所以建議老師們?cè)诎幢窘滩膶W(xué)習(xí)完定義之后，把課本13頁(yè)探究框中的內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，明確兩種定義的等價(jià)性，但不需要過(guò)多練習(xí)，深入研究15⑵教材中刪減了任意角的余切、正割、余割，建議老師們不要隨意給學(xué)生進(jìn)行補(bǔ)充，因?yàn)楸竟?jié)內(nèi)容重點(diǎn)是理解三角函數(shù)概念，對(duì)細(xì)枝末節(jié)內(nèi)容不做過(guò)多要求。

⑶教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，給出解析式和定義域，為后續(xù)學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像、性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。⑷單位圓中三角函數(shù)線是數(shù)形結(jié)合的有效工具，為學(xué)習(xí)畫(huà)三角函數(shù)的圖像打下基礎(chǔ)，同時(shí)又可以用來(lái)研究三角函數(shù)的性質(zhì)。⑸同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式這一節(jié)中不要隨意補(bǔ)充已被刪減的知識(shí)點(diǎn)，也不要引進(jìn)那些繁瑣的、技巧性高的變換題目161．3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式內(nèi)容：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式課時(shí)：約2課時(shí)課標(biāo)要求：借助于單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公17對(duì)教學(xué)的建議

⑴三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式在大綱版教材是從求三角函數(shù)值引入的，把1800，-，3600-，900-的三角函數(shù)與的三角函數(shù)的關(guān)系作為誘導(dǎo)公式，并且把900-的誘導(dǎo)公式作為和差角公式的推論給出。本教材是借助于單位圓，先引導(dǎo)學(xué)生討論了這些角的終邊與角的終邊之間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義導(dǎo)出所有的誘導(dǎo)公式。這樣既能很好地反映誘導(dǎo)公式的本質(zhì)（圓的對(duì)稱(chēng)性的代數(shù)表示），又能使他們成為了一個(gè)有機(jī)整體。另外，去掉了關(guān)于3600-的誘導(dǎo)公式（因?yàn)樗c-的誘導(dǎo)公式等價(jià)），增加了900+的誘導(dǎo)公式。為了使學(xué)生盡快熟悉并形成使用弧度制的習(xí)慣，在誘導(dǎo)公式中全部使用了弧度制。18⑵教材中三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是通過(guò)創(chuàng)設(shè)一個(gè)思考框和一個(gè)探究框這樣兩個(gè)問(wèn)題情境引出的，其中，“思考”中的問(wèn)題是上位的，它對(duì)利用圓的性質(zhì)討論三角函數(shù)的性質(zhì)具有一般思想方法的引導(dǎo)作用；“探究”中的問(wèn)題比較具體，可以直接引起學(xué)生對(duì)誘導(dǎo)公式的探究活動(dòng)。設(shè)計(jì)這樣的問(wèn)題系列，就是希望學(xué)生在問(wèn)題的引導(dǎo)下，開(kāi)展積極主動(dòng)的思維活動(dòng)，自己獨(dú)立推到出三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，體現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知的過(guò)程性，培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)探究、創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。教學(xué)中最好遵循教材的設(shè)計(jì)思想。191．4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)內(nèi)容：正弦、余弦函數(shù)的圖像；正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)；正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)課時(shí)：約4課時(shí)課標(biāo)要求：借助于單位圓中的三角函數(shù)線，能畫(huà)出y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖像，了解三角函數(shù)的周期性；借助于圖像，理解正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)。

20對(duì)教學(xué)的建議⑴強(qiáng)調(diào)提醒學(xué)生注意用數(shù)學(xué)1中獲得的一般函數(shù)概念及其思想方法作指導(dǎo)。例如，教科書(shū)上有這樣的話：“遇到一個(gè)新函數(shù)，非常自然的是畫(huà)出它的圖像，觀察圖像的形狀，看看有沒(méi)有特殊點(diǎn)，并借助于圖像研究一下它的性質(zhì)，如：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、最大值、最小值等。特別的，三角函數(shù)具有‘周而復(fù)始’的特性到底應(yīng)當(dāng)如何描述？”這段話實(shí)際上是提示學(xué)生，在思考三角函數(shù)性質(zhì)到底研究的是那些問(wèn)題以及應(yīng)當(dāng)如何研究時(shí)，應(yīng)當(dāng)與自己在數(shù)學(xué)1中建立的關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的已有經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)，這樣從感情上讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是自然的，不是強(qiáng)加于人的，學(xué)生感受到聯(lián)系的知識(shí)是最有用的，同時(shí)，很自然地以問(wèn)題為核心，從思想方法上對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容和方法水到渠成的引導(dǎo)到位。

21⑵加強(qiáng)幾何直觀，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合。教學(xué)中一定要借助于三角函數(shù)的圖像直觀討論三角函數(shù)的性質(zhì)。三角函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性和最小正周期等內(nèi)容降低了要求。221．5函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像內(nèi)容：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像課時(shí)：約2課時(shí)課標(biāo)要求：結(jié)合具體實(shí)例，了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的實(shí)際意義；能借助于計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像，觀察參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖像變化的影響。23對(duì)教學(xué)的建議

⑴由于涉及的參數(shù)有3個(gè)，先討論某個(gè)參數(shù)對(duì)圖像的影響，再整合成完整的問(wèn)題解決。具體線索如下：探索φ對(duì)y=sin(x+φ)圖像的影響，探索ω對(duì)y=sin(ωx+φ)圖像的影響，探索A對(duì)y=Asin(ωx+φ)圖像的影響，上述三個(gè)過(guò)程的合成。具體討論中，先讓學(xué)生對(duì)參數(shù)賦值，形成對(duì)圖像變化的具體認(rèn)識(shí)，再推廣到一般情形。這樣安排既分散了難點(diǎn)，又使學(xué)生形成清晰的討論線索，從中能使學(xué)生學(xué)習(xí)到如何將復(fù)雜問(wèn)題分解為簡(jiǎn)單問(wèn)題并“各個(gè)擊破”，然后整合為整個(gè)問(wèn)題的解決的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考的習(xí)慣，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。241．6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用內(nèi)容：三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用課時(shí)：約2課時(shí)課標(biāo)要求：會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。25對(duì)教學(xué)的建議主要以舉例的方式說(shuō)明三角函數(shù)模型的應(yīng)用方法。選題包括：用已知的三角函數(shù)模型解決問(wèn)題；將復(fù)雜的函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為y=sinx等基本初等函數(shù)解決問(wèn)題；根據(jù)問(wèn)題情境建立精確的三角函數(shù)模型問(wèn)題；通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，利用根據(jù)建立擬合函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。安排本節(jié)內(nèi)容的目